一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在下列各数中，比﹣1小的数是（ ） A．1
B．﹣1 C．﹣2 D．0
2．下列计算正确的是（ ） A．3m﹣m=2
B．m4÷m3=m C．（﹣m2）3=m6
D．﹣（m﹣n）=m+n
3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正六边形
D．圆
4．下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A．了解西宁电视台“教育在线”栏目的收视率 B．了解青海湖斑头雁种群数量
C．了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量 D．了解某班同学“跳绳”的成绩 5．不等式组A．
的解集在数轴上表示正确的是（ ） B．
C．
D．
6．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（ ） A．（﹣3，﹣2）
B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）
7．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
第1页（共28页）
A． B．2 C．2 D．8
9．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（ ） A．
+
=1
B．
+
=
C．
+
=
D．
+
=1
10．如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11． x2y是 次单项式．
12．市民惊叹西宁绿化颜值暴涨，2017年西宁市投资25160000元实施生态造林绿化工程建设项目，将25160000用科学记数法表示为 ．
13．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 ． 14．计算：（2﹣2
）2= ．
第2页（共28页）
15．x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，若x1，则x12x2+x1x22的值是 ．
16．圆锥的主视图是边长为4cm的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是 cm2．
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD=120°，则∠DCE= ．
18．如图，点A在双曲线y=（x＞0）上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA
的垂直平分线交OC于点B，当AC=1时，△ABC的周长为 ．
19．若点A（m，n）在直线y=kx（k≠0）上，当﹣1≤m≤1时，﹣1≤n≤1，则这条直线的函数解析式为 ．
20．如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=8，则AE的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共70分） 21．计算：﹣22+（
﹣π）0+|1﹣2sin60°|
﹣m﹣n）÷m2，其中m﹣n=
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22．先化简，再求值：（
．
23．AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，如图，四边形ABCD中，BD=6，．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．
24．如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，
≈1.732）？
25．西宁市教育局在局属各初中学校设立“自主学习日”，规定每周三学校不得以任何形式布置家庭作业，为了解各学校的落实情况，从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的反馈表，针对以下六个项目（每人只能选一项）：A．课外阅读；B．家务劳动；C．体育锻炼；D．学科学习；E．社会实践；F．其他项目进行调
查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽查的样本容量为 ，请补全条形统计图；
（2）全市约有4万名在校初中学生，试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人？
（3）七年级（1）班从选择社会实践的2名女生和1名男生中选派2名参加校级社会实践活动，请你用树状图或列表法求出恰好选到1男1女的概率是多少？并列举出所有等可能的结果．
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26．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F． （1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=10，AE=8，求BF的长．
27．首条贯通丝绸之路经济带的高铁线﹣﹣宝兰客专进入全线拉通试验阶段，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义，试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象进行一下探究： 【信息读取】
（1）西宁到西安两地相距 千米，两车出发后 小时相遇；
（2）普通列车到达终点共需 小时，普通列车的速度是 千米/小时．
【解决问题】 （3）求动车的速度；
（4）普通列车行驶t小时后，动车到达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安？
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28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）． （1）求抛物线的解析式；
（2）猜想△EDB的形状并加以证明；
（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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2017年青海省西宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在下列各数中，比﹣1小的数是（ ） A．1
B．﹣1 C．﹣2 D．0
【考点】18：有理数大小比较．
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得 ﹣2＜﹣1＜0＜1，
所以各数中，比﹣1小的数是﹣2． 故选：C．
2．下列计算正确的是（ ） A．3m﹣m=2
B．m4÷m3=m C．（﹣m2）3=m6
D．﹣（m﹣n）=m+n
【考点】48：同底数幂的除法；44：整式的加减；47：幂的乘方与积的乘方． 【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方和去括号的知识进行判断即可．
【解答】解：A、3m﹣m=2m，此选项错误； B、m4÷m3=m，此选项正确； C、（﹣m2）3=﹣m6，此选项错误； D、﹣（m﹣n）=n﹣m，此选项错误； 故选B．
3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正六边形
D．圆
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；． 故选：A．
4．下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A．了解西宁电视台“教育在线”栏目的收视率 B．了解青海湖斑头雁种群数量
C．了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量 D．了解某班同学“跳绳”的成绩 【考点】V2：全面调查与抽样调查．
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、对西宁电视台“教育在线”栏目的收视率情况的调查，适合抽样调查，故A选项错误；
B、对青海湖斑头雁种群数量情况的调查，适合抽样调查，故B选项错误； C、对全国快递包裹产生包装垃圾的数量情况的调查，适于抽样调查，故C选项错误；
D、对某班同学“跳绳”的成绩情况的调查，适合全面调查，故D选项正确． 故选：D．
5．不等式组A．
的解集在数轴上表示正确的是（ ） B．
C．
D．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
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【解答】解：解不等式﹣2x+1＜3，得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1， 故选：B．
6．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（ ） A．（﹣3，﹣2）
B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标；Q3：坐标与图形变化﹣平移． 【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
【解答】解：点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，﹣2），即（2，﹣2），
则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2）， 故选：B．
7．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【考点】LB：矩形的性质．
【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB， ∴OM是△ADC的中位线，
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∴OM=3， ∴DC=6， ∵AD=BC=10， ∴AC=∴BO=AC=故选D．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
=2，
，
A． B．2 C．2 D．8
【考点】M2：垂径定理；KO：含30度角的直角三角形；KQ：勾股定理． 【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=
，所以CD=2CH=2
．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图， ∵OH⊥CD， ∴HC=HD， ∵AP=2，BP=6， ∴AB=8， ∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°， ∴∠POH=30°，
第10页（共28页）
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1， ∴CH=∴CD=2CH=2故选C．
=．
，
9．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（ ） A．
+
=1
B．
+
=
C．
+
=
D．
+
=1
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题意可以得到甲乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选B．
10．如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
第11页（共28页）
A． B． C． D．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】分两部分计算y的关系式：①当点N在CD上时，易得S△AMN的关系式，S△AMN的面积关系式为一个一次函数；②当点N在CB上时，底边AM不变，示出S△AMN的关系式，S△AMN的面积关系式为一个开口向下的二次函数．
【解答】解：∵点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，
∴N到C的时间为：t=3÷2=1.5， 分两部分：
①当0≤x≤1.5时，如图1，此时N在DC上， S△AMN=y=AM•AD=x×3=x，
②当1.5＜x≤3时，如图2，此时N在BC上， ∴DC+CN=2x， ∴BN=6﹣2x，
∴S△AMN=y=AM•BN=x（6﹣2x）=﹣x2+3x， 故选A．
第12页（共28页）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11． x2y是 3 次单项式． 【考点】42：单项式．
【分析】利用单项式的次数的定义求解． 【解答】解： x2y是3次单项式． 故答案为3．
12．市民惊叹西宁绿化颜值暴涨，2017年西宁市投资25160000元实施生态造林绿化工程建设项目，将25160000用科学记数法表示为 2.516×107 ． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
n为整数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2516 0000用科学记数法表示为2.516×107． 故答案为：2.516×107．
13．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 9 ． 【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°， 据此可得
=40，
第13页（共28页）
解得n=9． 故答案为9．
14．计算：（2﹣2
）2= 16﹣8 ．
【考点】79：二次根式的混合运算． 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【解答】解：原式=4﹣8=16﹣8
+12
故答案为：16﹣8
15．x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，若x1，则x12x2+x1x22的值是 15 ．
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系可求得（x1+x2）与x1x2的值，代入计算即可． 【解答】解：
∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根， ∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣5，
∴x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=﹣5×（﹣3）=15， 故答案为：15．
16．圆锥的主视图是边长为4cm的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是 8π cm2．
【考点】U1：简单几何体的三视图；I6：几何体的展开图；MP：圆锥的计算． 【分析】根据题意确定出圆锥的底面半径与母线，进而确定出侧面展开图面积即可．
【解答】解：根据题意得：圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm， 则该圆锥侧面展开图的面积是8πcm2． 故答案为：8π
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD=120°，
第14页（共28页）
则∠DCE= 60° ．
【考点】M6：圆内接四边形的性质；M5：圆周角定理．
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠BOD=120°， ∴∠A=∠BOD=60°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠DCE=∠A=60°． 故答案为：60°．
18．如图，点A在双曲线y=
（x＞0）上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA
+1 ．
的垂直平分线交OC于点B，当AC=1时，△ABC的周长为
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KG：线段垂直平分线的性质． 【分析】由OA的垂直平分线交OC于点B，可得出OB=AB，结合三角形的周长公式可得出△ABC的周长=OC+CA，由AC的长度利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出点A的坐标，进而即可得出△ABC的周长． 【解答】解：∵OA的垂直平分线交OC于点B， ∴OB=AB，
∴C△ABC=AB+BC+CA=OB+BC+CA=OC+CA．
第15页（共28页）
∵点A在双曲线y=∴点A的坐标为（∴C△ABC=OC+CA=故答案为：
（x＞0）上，AC=1， ，1），
+1．
+1．
19．若点A（m，n）在直线y=kx（k≠0）上，当﹣1≤m≤1时，﹣1≤n≤1，则这条直线的函数解析式为 y=x或y=﹣x ．
【考点】FB：待定系数法求正比例函数解析式；F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】分别把（﹣1，﹣1），（1，1）代入可得直线解析式． 【解答】解：
∵点A（m，n）在直线y=kx（k≠0）上，﹣1≤m≤1时，﹣1≤n≤1， ∴点（﹣1，﹣1）或（1，1）都在直线上， ∴k=﹣1或1， ∴y=x或y=﹣x，
故答案为：y=x或y=﹣x．
20．如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=8，则AE的长为
．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L5：平行四边形的性质．
【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB（ASA），从而可知D′F=EB，CF=CE，设AE=x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．
【解答】解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G， 在▱ABCD中，
第16页（共28页）
∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB， 由于▱ABCD沿EF对折，
∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB， D′C=AD=BC，
∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB， ∴∠D′CF=∠ECB， 在△D′CF与△ECB中，
∴△D′CF≌△ECB（ASA） ∴D′F=EB，CF=CE， ∵DF=D′F， ∴DF=EB，AE=CF 设AE=x，
则EB=8﹣x，CF=x， ∵BC=4，∠CBG=60°， ∴BG=BC=2， 由勾股定理可知：CG=2
，
∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x 在△CEG中，
由勾股定理可知：（10﹣x）2+（2解得：x=AE=故答案为：
）2=x2，
三、解答题（本大题共8小题，共70分）
第17页（共28页）
21．计算：﹣22+（
﹣π）0+|1﹣2sin60°|
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】根据乘方、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值进行计算即可． 【解答】解：原式=﹣4+1+|1﹣2×=﹣3+=
22．先化简，再求值：（
﹣m﹣n）÷m2，其中m﹣n=
．
﹣1
|
﹣4．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】现根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再代入求解即可得． 【解答】解：原式=[===
•，
， ， =﹣
．
﹣（m+n）]•
•
∵m﹣n=∴n﹣m=﹣则原式=
23．AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，如图，四边形ABCD中，BD=6，．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）由已知条件易证△AOD≌△COB，由此可得OD=OB，进而可证明四
第18页（共28页）
边形ABCD是平行四边形；
（2）由（1）和已知条件可证明四边形ABCD是菱形，由菱形的面积公式即可得解．
【解答】解：
（1）∵O是AC的中点， ∴OA=OC， ∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠CBO， 在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB， ∴OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴▱ABCD的面积=AC•BD=24．
24．如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，
≈1.732）？
【考点】T8：解直角三角形的应用．
第19页（共28页）
【分析】如图，过点D作DH⊥AC于点H．通过解直角△BHD得到sin60°==
，由此求得DH的长度．
=
【解答】解：过点D作DH⊥AC于点H． ∵∠HBD=∠DAC+∠BDA=60°，而∠DAC=30°， ∴∠BDA=∠DAC=30°， ∴AB=DB=200．
在直角△BHD中，sin60°=∴DH=100
=
=
，
≈100×1.732≈173．
答：体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．
25．西宁市教育局在局属各初中学校设立“自主学习日”，规定每周三学校不得以任何形式布置家庭作业，为了解各学校的落实情况，从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的反馈表，针对以下六个项目（每人只能选一项）：A．课外阅读；B．家务劳动；C．体育锻炼；D．学科学习；E．社会实践；F．其他项目进行调
查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽查的样本容量为 1000 ，请补全条形统计图；
（2）全市约有4万名在校初中学生，试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人？
（3）七年级（1）班从选择社会实践的2名女生和1名男生中选派2名参加校级社会实践活动，请你用树状图或列表法求出恰好选到1男1女的概率是多少？并列举出所有等可能的结果．
第20页（共28页）
【考点】X6：列表法与树状图法；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图． 【分析】（1）根据
=百分比，计算即可；
（2）用样本估计总体的思想，即可解决问题；
（3）画出树状图，求出所有可能，以及一男一女的可能数，利用概率公式计算即可；
【解答】解：（1）总人数=200÷20%=1000， 故答案为1000，
B组人数=1000﹣200﹣400﹣200﹣50﹣50=100人， 条形图如图所示：
（2）参加体育锻炼的人数的百分比为40%， 用样本估计总体：40%×40000=16000人，
答：全市学生中选择体育锻炼的人数约有16000人．
（3）设两名女生分别用A1，A2，一名男生用B表示，树状图如下：
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共有6种情形，恰好一男一女的有4种可能， 所以恰好选到1男1女的概率是=．
26．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F． （1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=10，AE=8，求BF的长．
【考点】MC：切线的性质；KH：等腰三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）连接OD、AD，由AB=AC且∠ADB=90°知D是BC的中点，由O是AB中点知OD∥AC，根据OD⊥DE可得； （2）证△ODF∽△AEF得
=
，据此可得答案．
【解答】解：（1）连接OD、AD，
∵DE切⊙O于点D， ∴OD⊥DE，
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∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∵AB=AC，
∴D是BC的中点， 又∵O是AB中点， ∴OD∥AC， ∴DE⊥AC；
（2）∵AB=10， ∴OB=OD=5， 由（1）得OD∥AC， ∴△ODF∽△AEF， ∴
=
=
，
设BF=x，AE=8， ∴=解得：x=经检验x=∴BF=
27．首条贯通丝绸之路经济带的高铁线﹣﹣宝兰客专进入全线拉通试验阶段，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义，试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象进行一下探究： 【信息读取】
（1）西宁到西安两地相距 1000 千米，两车出发后 3 小时相遇；
． ， ，
是原分式方程的根，且符合题意，
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（2）普通列车到达终点共需 12 小时，普通列车的速度是 【解决问题】 （3）求动车的速度；
千米/小时．
（4）普通列车行驶t小时后，动车到达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安？
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）由x=0时y=1000及x=3时y=0的实际意义可得答案； （2）根据x=12时的实际意义可得，由速度=
可得答案；
（3）设动车的速度为x千米/小时，根据“动车3小时行驶的路程+普通列出3小时行驶的路程=1000”列方程求解可得；
（4）先求出t小时普通列车行驶的路程，继而可得答案．
【解答】解：（1）由x=0时，y=1000知，西宁到西安两地相距1000千米， 由x=3时，y=0知，两车出发后3小时相遇， 故答案为：1000，3；
（2）由图象知x=t时，动车到达西宁，
∴x=12时，普通列车到达西安，即普通列车到达终点共需12小时， 普通列车的速度是故答案为：12，
=；
千米/小时，
（3）设动车的速度为x千米/小时， 根据题意，得：3x+3×
=1000，
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解得：x=250，
答：动车的速度为250千米/小时；
（4）∵t=∴4×∴1000﹣
=
=4（小时）， （千米）， =
（千米），
千米到达西安．
∴此时普通列车还需行驶
28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）． （1）求抛物线的解析式；
（2）猜想△EDB的形状并加以证明；
（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由B、D、E的坐标可分别求得DE、BD和BE的长，再利用勾股定理的逆定理可进行判断；
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（3）由B、E的坐标可先求得直线BE的解析式，则可求得F点的坐标，当AF为边时，则有FM∥AN且FM=AN，则可求得M点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标；当AF为对角线时，由A、F的坐标可求得平行四边形的对称中心，可设出M点坐标，则可表示出N点坐标，再由N点在x轴上可得到关于M点坐标的方程，可求得M点坐标． 【解答】解：
（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3， ∴A（4，0），C（0，3）， ∵抛物线经过O、A两点， ∴抛物线顶点坐标为（2，3），
∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，
把A点坐标代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=﹣， ∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3，即y=﹣x2+3x； （2）△EDB为等腰直角三角形． 证明：
由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），
∴DE2=32+12=10，BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20， ∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD， ∴△EDB为等腰直角三角形； （3）存在．理由如下： 设直线BE解析式为y=kx+b， 把B、E坐标代入可得∴直线BE解析式为y=x+1， 当x=2时，y=2， ∴F（2，2），
①当AF为平行四边形的一边时，则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2，
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，解得，
∴点M的纵坐标为2或﹣2，
在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=，
∵点M在抛物线对称轴右侧， ∴x＞2， ∴x=
，
∴M点坐标为（
，2）；
在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=， ∵点M在抛物线对称轴右侧， ∴x＞2， ∴x=
，
∴M点坐标为（
，﹣2）；
②当AF为平行四边形的对角线时， ∵A（4，0），F（2，2），
∴线段AF的中点为（3，1），即平行四边形的对称中心为（3，1）， 设M（t，﹣ t2+3t），N（x，0）， 则﹣t2+3t=2，解得t=
，
∵点M在抛物线对称轴右侧， ∴x＞2， ∴t=
，
∴M点坐标为（
，2）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（，2）或（
，﹣
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2）．
2017年7月4日
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