上海市崇明区2019届高三二模数学试题

数 学

考生注意：

1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．

2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择

题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．

3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）

【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】

1．已知全集U{1,2,3,4,5}，集合A{1,2,3,4}，B{1,3,5}，则CU(A2．函数ysinxcosx的最小正周期T ．

B) ．

3．设函数f(x)x2(x0)的反函数为yf1(x)，则f1(4) ．

z4．若复数，且实部和虚部相等，则实数a的值为 ． i（i为虚数单位）

a2i5．已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过点(0,2)，则该椭圆的标准方程为 ．

a6．已知二项式x2的展开式中含x3项的系数是160，则实数a的值是 ．

x7．已知直线l1:(a3)x(4a)y10与l2:2(a3)x2y30平行，则a ． 8．已知圆锥的体积为63，母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为 ． 33n9．已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和．若对任意的kN*，都有lim(SnSk1)ak

成立，则q ．

10．甲、乙、丙、丁4名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或

2名志愿者，则甲、乙两人在同一路口的概率为 （用数字作答）． 11．已知函数f(x)x是 ．

12．已知点C是平面ABD上一点，BAD大值为 ．

9aa在区间[1,9]上的最大值是10，则实数a的取值范围 x3,CB1,CD3．若APABAD，则AP的最

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】

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13．下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)上单调递减的函数为

A．yx

B．ylog1x

2

C．yx3

D．yx1 x14．对于实数x，“|x|1”是“x1”的 A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

15．已知线段AB上有一动点D（D异于A、B），线段CDAB，且满足CD2ADBD（是

大于0且不等于1的常数），则点C的运动轨迹为

A．圆的一部分

B．椭圆的一部分

C．双曲线的一部分

D．抛物线的一部分

16．在平面直角坐标系中，已知A(1,0)、B(1,0)．若对于y轴上的任意n个不同的点PPn， 1,P2,1n，使得sinAPB总存在两个不同的点Pi,Pj(i,j1,2,,)sinAPjB≤，则n的最小值为 i4A．3 B．4 C．5 D．6

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】

17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分） 已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABBB11，直线B1C与平面ABC成

30的角．

B1 C1

（1）求三棱锥C1AB1C的体积；

A1

（2）求二面角BB1CA的余弦值． B C

A

18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）

a12lg,(x≤6)ax已知函数f(x) x5,(x6)x4（1）已知f(6)3，求实数a的值；

（2）判断并证明函数在区间[7,8]上的单调性．

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19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分9分） 某公园内有一块以O为圆心半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为等腰梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中APABBQ，

2，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到 PABQBA3舞台中心O处的距离都不超过60米（即要求PO60）．设OAB,0,．

3（1）当6（2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？

时，求舞台表演区域的面积；

O A B

题满分6分）

P Q 20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小 对于直线l与抛物线:x24y，若l与有且只有一个公共点且l与的对称轴不平行（或重合），则称l与相切，直线l叫做抛物线的切线．

x0； 2（2）已知M(x0,y0)为x轴下方一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)．

（1）已知P(x0,y0)是抛物线上一点，求证：过点P的的切线l的斜率k求证：x1,x0,x2成等差数列；

（3）如图所示，D(m,n)、E(s,t)是抛物线上异于坐标原点的两个不同的点，过点D、E的的切线分别是l1,l2，直线l1,l2交于点G(a,b)，且与y轴分别交于点D1、E1．设x1、x2为方程x2axb0(a,bR)的两个实根，max{c,d}表示实数c,d中较大的值．求证：“点 G在线段DD1上”的充要条件是“max{|x1|,|x2|}

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|m|”． 2y

D E E1 D1

G

x 21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小

题满分8分）

已知数列{an}是公差为d(d0)的等差数列，如果数列x1,x2,,xm(m≥3,mN*)满足

a1≤x1a2≤x2≤xmam1，则称数列x1,x2,,xm是“可等距划分数列”．

（1）判断数列2, 4, 8, 14是否是“可等距划分数列”，并说明理由；

（2）已知k,tR，k0，设bnknt，求证：对任意的m≥3,mN*，数列{bn}(n1,2,,m)

都是“可等距划分数列”； （3）若数列{2n}(n1,2,,m)是“可等距划分数列”

，求m的所有可能值．

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崇明区2018学年第二次高考模拟考试（数学）参考答案及评分标准

一、填空题

x2y21； 6. 2； 1. {2,4,5}； 2. ； 3. 2； 4. 2； 5. 541517. 3或5； 8. 2； 9. ； 10. ； 11. a8； 12. 43. 26

二、选择题

13. C； 14. A； 15. B； 16. C.

三、解答题 17. 解：（1）B1B平面ABC，B1CB30.....................................................2分 又ABBB11，BC3，AC2 2.....................................................7分 6zB1 A1 C1 BAAC,BAAA1，BA平面ACC1，B1A1平面ACC1..........................4分

1VC1AB1CVB1ACC1S3ACC1B1A1（2）建立如图所示空间直角坐标系

由题意，得：BC(2,1,0),BB1(0,0,1) 设平面BB1C的一个法向量为n1(u,v,w)，

n1BC02uv0则，即

w0n1BB10

令u1，则n1(2,1,0)

yB A C x同理，可得：平面AB1C的一个法向量为n2(0,1,1)................................4分 设n1,n2的夹角为，则cosn1n23 |n1||n2|33.....................................................7分 3又观察知二面角BB1CA为锐角，

二面角BB1CA的余弦值是

18. 解：（1）f(6)12lga3................................................3分 a6a1， a6a2010，a....................................................6分 a63lg

（2）任取x1,x2[7,8]，设x1x2，

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x15x15x1x2...................................................3分 x14x24(x14)(x24)因为7x1x28，所以上式0，即f(x1)f(x2)...................................................6分

...................................................8分[7,8]则有f(x1)f(x2)所以函数在区间

上单调递增

19.解：（1）当6时，AOB所以舞台表演区域的面积S扇形OAB2 31400r2平方米.................................................5分 232)................................................2分 3

（2）作OHAB于H，则AB2AH2OAcos40cos 在OAP中，OPOAAP2OAAPcos(222400(6cos223sincos1)

400(3cos23sin24)................................................4分

8003sin(2)1600................................................6分

3因为(0,3)，所以当12时，

OPmax8003160060................................................8分

所以对于任意，上述设计方案均能符合要求................................................9分

19. 解：（1）证明：由题意知，l的斜率必然存在，

设l的方程为yy0k(xx0).............................................2分

12xkx(kx0y0)0 42由题意，得：kkx0y00，

代入抛物线方程，得：

x02x2x又y0，所以(k0)0，所以k0.............................................4分

422x（2）证明：由（1）知，直线MA的方程是：yy11(xx1)，

2x直线MB的方程是yy22(xx2).............................................2分

2x1yy(xx1)1xx2由，得：y1y22(xx2)1(xx1)

22yyx2(xx)222x2x1x22x12x12x22x所以 22244

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因为x1x2，所以x0x1x2，.............................................5分 2即x1,x0,x2成等差数列.............................................6分

m2m) （3）证明：由（1）知：l1：yn(xm)（*），故D1(0,42msmsmsms由（2）知：a，代入（*）中，得：b，所以G(,).

2424ms所以方程x2axb0的两个根是x1，x2............................................2分

22smmsm2msmsm2,)(,) 设DGGD1(R)，则(244244smms所以.............................................3分 22必要性：当点G在线段DD1上时，有0， 所以(sm)(sm)0，所以|s||m|

|m|所以max{|x1|,|x2|}

2|m|充分性：当max{|x1|,|x2|}时，所以|s||m|，所以(sm)(sm)0

2所以0，所以点G在线段DD1上

|m|综上所述：“点G在线段DD1上”的充要条件是“max{|x1|,|x2|}”.................6分

2

21.解：（1）数列2, 4, 8, 14是“可等距划分数列”

因为存在等差数列1,3,7,11,15满足123478111415................4分 (2) 证明：对任意的m≥3,mN*，设anknt则对任意的n{1,2,即数列{an}(n1,2,k(n1,2,2,m1)，

,m}，有an1ank

,m1)是等差数列...............................................3分

kk又因为k0，所以对任意的n{1,2,,m}，有kntkntk(n1)t

22即满足a1b1a2b2bmam1

所以任意的m≥3,mN*，数列{bn}(n1,2,,m)都是“可等距划分数列”...................6分

（3）当m3时，对于数列2,4,8存在等差数列0,3,6,9满足条件...................2分 当m4时，对于数列2,4,8,16存在等差数列3,2.5,8,13.5,19满足条件...................4分 当m5时，若存在等差数列a1,a2,,am1满足a12a24am2mam1

则有a12a24a38a416a532a6

所以da3a2826，a6a24d42428，与a632矛盾

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所以当m5时，若数列{2n}(n1,2,,m)不可能是“可等距划分数列” 综上所述，m的所有可能值是3,4.....................................................................8分

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