第3章 三角恒等变换单元测试(B卷提升篇)(人教A版)(解析版)

第三章 三角恒等变换单元测试(B卷提升篇）（人教A版）

一．选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（2019秋•东宝区校级月考）tan165°＝（ ） A．

B．

C．

D．

【解析】解：tan165°＝tan（180°﹣15°）＝﹣tan15°＝﹣tan（60°﹣45°）

（2

故选：B．

【点睛】本题主要考查三角函数值的求解，利用两角和差的正切公式是解决本题的关键，比较基础． 2．（2019秋•张家口月考）已知sin（

α）

，则cos（

2α）＝（ ）

）＝﹣2

，

A． B． C． D．

【解析】解：∵sin（α）＝sin[（α）]＝cos（α），

∴cos（故选：D．

2α）＝cos（2α）＝cos2（α

）＝2cos2（α）﹣1＝2×（）2﹣1

．

【点睛】本题重点考查了诱导公式、二倍角的余弦函数公式等知识在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 3．（2019秋•太和县校级月考）若

，且θ为第三象限角，则

的值等于（ ）

A．

【解析】解：若∴tanθ故选：D．

，

B． C．﹣7 D．7

，

，且θ为第三象限角，则sinθ

7，

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于基础题．

1

4．（2019秋•临川区校级月考）已知，则cosα＝（ ）

A． B． C． ，

D．

【解析】解：∵

∴4sinαcosα＝2cos2α，且sinα＞0，cosα＞0， ∴sinα

cosα，

又sin2α+cos2α＝1， ∴（cosα）2+cos2α＝1， ∴解得cosα故选：A．

【点睛】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和方程思想，属于基础题．

5．（2019秋•福田区校级月考）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边过点P（﹣1，3），则cos2α的值为（ ） A．

B．

C．

D．

．

【解析】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边过点P（﹣1，3）， ∴cosα

，

1

．

则cos2α＝2cos2α﹣1＝2故选：A．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题．

6．（2019秋•兴庆区校级月考）黄金三角形就是一个等腰三角形，其顶角为36°，底角为72°，底与腰的长度比值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2cos72°，若n＝cos36°cos72°cos144°，则mn＝（ ） A．﹣1

B．

C．

D．1

【解析】解：∵m＝2cos72°，n＝cos36°cos72°cos144°， ∴mn＝2cos72°cos36°cos72°cos144° ＝﹣2cos72°cos36°cos72°cos36°．

2

∵cos36°cos72°

．

∴mn＝﹣2cos72°cos36°cos72°cos36° ＝﹣2故选：C．

【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．

7．（2019秋•西湖区校级期中）已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5•cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）

cos1.5

．

，则a，b，c，d的大小关系为（ ）

B．b＜d＜c＜a 1.5

，所以

C．d＜b＜c＜a sin1.5＜1；0＜cos1.5

D．d＜c＜b＜a ，

A．b＜c＜d＜a 【解析】解：因为

∴a，0＜b；∴b＜a；

找中间量sin1.5sin1.5，

由y＝sin1.5x是R上的减函数，sin1.5＞cos1.5，可得sin1.5sin1.5＜sin1.5cos1.5； 由y＝xsin1.5是（0，+∞）上的增函数，sin1.5＞cos1.5，可得cos1.5sin1.5＜sin1.5sin1.5； 故c＜d，只有A答案合适． 故选：A．

【点睛】本题考查了大小关系比较，利用指数函数与幂函数的单调性，构造中间量aa或bb，可比较ab与ba形式的数的大小关系，及排除法解决选择题．属于中档题．

8．（2019秋•上城区校级月考）函数f（x）＝sin2x+2cosx（0≤x≤π），则f（x）（ ） A．在[0，]上递增

B．在[0，]上递减

C．在[，]上递减 D．在[，]上递增

【解析】解：函数f（x）＝sin2x+2cosx（0≤x≤π），

所以f′（x）＝2cos2x﹣2sinx＝2（1﹣2sin2x）﹣2sinx＝﹣4sin2x﹣2sinx+2＝﹣4（sinx

）（sinx+1），

3

所以函数sinx单调递减，在sinx单调递增，

所以在x∈[，故选：C．

]上递减．

【点睛】本题考查的知识要点：函数的导数在单调性中的应用，函数的关系式的变形中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

9．（2019秋•叶集区校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC﹣2ccosB＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形 C．等腰直角三角形

【解析】解：∵2bcosC﹣2ccosB＝a，

∴2sinBcosC﹣2sinCcosB＝sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC， ∴sinBcosC＝3cosBsinC， 又∵B＝2C，

∴可得：sinB＝2sinCcosC， ∴2sinCcos2C＝3cosBsinC，

∴由sinC＞0，可得：2cos2C＝3cosB， ∴1+cos2C＝3cos2C，解得：cos2C∵C∈（0，），2C∈（0，π）， ∴2C

，可得C

，B＝2C

，A＝π﹣（B+C）

，即△ABC的形状是直角三角形．

，

B．等腰三角形 D．等边三角形

故选：A．

【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，二倍角的正弦函数公式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题． 10．（2019秋•中原区校级月考）将函数f（x）

cosωx﹣sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度，

所得图彖过点（，1），则ω的最小值为（ ） A．1

B．2

C．

D．

4

【解析】解：f（x）cosωx﹣sinωx＝2（cosωxsinωx）＝2cos（ωx），

将f（x）的图象向右平移个单位长度得到y＝2cos[ω（x）]，

∵所得图象过点（，1），

∴2cos[ω（）]＝2cos（ω）＝1，

即cos（ω），

则ω2kπ±，

得ω＝6k或ω＝6k，

∴当k＝0时，ω的最小值为， 故选：C．

【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式结合三角函数的平移变换关系求出函数的解析式是解决本题的关键．

二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（2019•西湖区校级模拟）已知

，且

，则cosθ﹣sinθ＝

．

【解析】解：已知，且，则sinθ＞cosθ，故，

所以故答案为：

．

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

12．（2019春•杏花岭区校级月考）设△ABC的内角为A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，

5

A＝2B．则的值为 ．

【解析】解：∵A＝2B，b＝3，c＝1，∴a＝6cosB， ∴a＝6•∴a＝2

，

，

，

∵a＝6cosB， ∴cosB∴sinB

， ，

，cosA＝cos2B＝2cos2B﹣1

∴sinA＝sin2B，

∴sin（A）（sinA+cosA）．

故答案为：．

【点睛】本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 13．（2019秋•海安市校级月考）若函数

且|α﹣β|的最小值等于，则ω的值为 1 ． 【解析】解：由题意，f（x）＝sinωx

cosωx＝2sin（ωx

）．

满足f（α）＝0，f（β）＝2，

根据正弦函数图象及题意，可设ωα0，ωβ，则此时|α﹣β|的最小值等于，

∴∴ω

，T＝2π， 1．

可得ω＝1． 故答案为：1．

【点睛】本题主要考查三角函数进行恒等变换及正弦函数图象．本题属基础题． 14．（2019•合肥三模）已知函数

，若对任意实数x，恒有f（a1）≤f

6

（x）≤f（a2），则cos（a1﹣a2）＝ 【解析】解：∵

．

＝2cos[（x）]cos（x）+sinx

＝cos2x+sinx ＝﹣2sin2x+sinx+1， ∵sinx∈[﹣1，1]， ∴f（x）∈（﹣2，），

对任意实数x，恒有f（a1）≤f（x）≤f（a2）， 则f（a1）＝﹣2，f（a2）即sina1＝﹣1，sina2

，

，cosa1＝0，

．

∴cos（a1﹣a2）＝cosa1cosa2+sina1sina2＝0

【点睛】本题主要考查了三角函数的求值，本题的关键在于“变角”将cos（x）变为cos[（x）]

结合诱导公式，从而变成正弦的二倍角公式，考查了转化思想和函数思想，属于中档题． 三．解答题（共4小题，满分30分） 15．（7分）（2019•西湖区校级模拟）已知（Ⅰ）求sinβ的值； （Ⅱ）求

的值．

，

，

，

，

，

．

【解析】解：（Ⅰ）已知所以0＜α+β＜π． 由于

，

．整理得，sin（α+β）．

．

所以sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα（Ⅱ）由于

，

7

所以tan．

所以2tanα．

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． ．（7分）（2019秋•天津期中）设函数f（x）＝﹣sin（x）•sin（x

）

cos2x

，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称中心； （Ⅱ）若函数g（x）＝f（x

），求函数在区间[

，]上的最值．

【解析】解：（Ⅰ）由已知，有f（x）＝cos x•（sin xcos x）

cos2x

sin x•cos x

cos2x

sin 2x（1+cos 2x）sin 2xcos 2x

sin（2x）．

∴最小正周期为T＝π， 由

，得x

，k∈Z．

∴对称中心为k∈Z；

（Ⅱ）由g（x）＝f（x），得，

当x∈时，∈[，]，可得g（x）在区间上单调递增，

当x∈时，∈[，]，可得g（x）在区间上单调递减．

∴．

又

，∴．

8

16

【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题． 17．（8分）（2019•平山区校级二模）在△ABC中，设内角A，B，C的对边为a，b，c，向量

（cosA，﹣sinA），|（1）判定△ABC的形状； （2）若b＝2，

，求△ABC的内切圆与外接圆的面积比．

cos A，

sin A），且|m+n|

，

|

．

，

【解析】解：（1）∵m+n＝（

∴（

cos A）2+（sin A）2

，即

cosA+cos2AsinA+sin2A

，

cos Asin A，即cos （A），

∵A为△ABC的内角， ∴A

，故△ABC为直角三角形．

c，

（2）由（1）知b2+c2＝a2，又b＝2，a∴c＝2，a＝2

；

a

∴△ABC外圆的半径R∴面积比为

，内切圆的半径r3﹣2

．

2，

【点睛】本题主要考查了平面向量的运算，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

18．（8分）（2019春•南平期末）已知函数（1）求m的值及函数f（x）的单调递增区间

（2）若锐角△ABC中角A、B，C所对的边分别为a、b、c，且f（A）＝0，求的取值范围 【解析】解：（1）

，

由已知2+m＝3，∴m＝1， 因此

，

在R上的最大值为3

9

令

，得

，

因此函数f（x）的单调递增区间为

（2）由已知，∴，

由得，

因此∴，

∴，

∵为锐角三角形△ABC，∴，解得，

因此，那么，

∴求的取值范围为．

【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质和正弦定理，考查了转化思想和计算能力，属中档题．

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