王燕硕士论文

研 究 生 毕 业 论 文 （申请硕士学位）

论文题目一类热传导方程的多点源反演研究 学位申请人 王燕 专 业 名 称 计算数学 研 究 方 向 数学物理方程正反问题理论及其计算 指导教师 徐定华教授

2008 年 4 月 17 日

学位论文独创性声明：

本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果. 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果. 与我一同工作的同事本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 如不实，本人负全部责任.

论文作者（签名）： 年 月 日

学 号：y2005003

论文答辩日期：2008 年 05 月 31 日

指 导 教 师： （签字）

Reconstruction of Point Sources for A Class of

Heat Conduction Equation

Dissertation submitted to East China Institute of Technology In Fulfillment of the Requirement

For the Degree of Master of Science

By

Computational Mathematics

WangYan

Dissertation Supervisor: XuDingHua

June, 2008

Fuzhou, P.R. China

东华理工大学硕士学位论文 摘要

毕业论文题目： 一类热传导方程的多点源反演研究 计算数学 专业 2005 级硕士生 姓名： 王燕 指导教师（姓名、职称）： 徐定华教授 、王泽文副教授

摘 要

本文主要研究热传导方程的多点源反演问题唯一性、稳定性和反演算法, 其中热传导方程的源项与Dirac分布的线性组合有关, 即源项为F(x,t)f(t)i(xsi)。

i1n首先, 在第一类Dirichlet边界条件下, 研究了由表面热流密度来反演热传导方程多点源的唯一性和稳定性, 即反演点源个数n、热源强度组合系数i和点源位置si的唯一性和稳定性。利用热变换方法将热传导方程反问题转化为等价的双曲型方程反问题，然后通过分析等价的双曲型方程反问题得到原反问题的唯一性和条件稳定性结论。

其次，根据本文得到的由热流密度反演多点源的唯一性和稳定性结果，以及已有的由内部某个点的温度值u(b,t),0bl和由某个时刻的温度场u(x,T)反演多点源的唯一性和稳定性结果，采用遗传算法对上述三个反问题进行数值模拟。数值模拟结果表明，遗传算法对由某个时刻的温度场u(x,T)多点源的反问题是有效的，而对另外两个反问题则不够理想。 进一步，分析了产生这种现象的原因。

再次，利用非数值优化中影响显著的模拟退火算法对本文涉及的三个反问题进行了数值模拟。与利用遗传算法模拟的结果相同，数值模拟结果显示模拟退火算法对由某个时刻的温度场u(x,T)多点源的反问题是有效的，而对另外两个反问题则不够理想。

最后，针对本文的研究内容和数值模拟结果，结合热传导反问题的研究现状，提出一些待解决的问题和进一步研究的思路。

关键词：热传导方程，源项反问题，遗传算法，模拟退火算法

I

东华理工大学硕士学位论文 ABSTRACT

THESIS：Reconstruction of Point Sources for a Class of Heat Conduction Equation SPECIALIZATION: Computational Mathematics POSTGRADUATE: WangYan

SUPERVISOR: XuDingHua WangZeWen

ABSTRACT

This thesis mainly studies the uniqueness, conditional stability and inverse algorithms of the inverse point sources problems for a class of heat conduction equation, where the source term is related with the linear combination of the Dirac-distribution, that is, the source term is F(x,t)f(t)i(xsi).

i1nFirst, the uniqueness and stability of the inverse point sources problem, that is to reconstruct the numbers of point sourcesn, the combination coefficients i and the locationssi, is studied for a heat conduction equation with the Dirichlet boundary condition. Using the method of the heat transformation, the inverse problem is transformed into an equivalent problem which is an inverse hyperbolic equation problem. Then, the uniqueness and conditional stability are obtained by analyzing the inverse hyperbolic equation problem.

Secondly, based on the results of the uniqueness and conditional stability for the above three inverse problem, the simulations are given by the method of genetic algorithm. The results of the numerical simulation show that genetic algorithm can reconstruct effectively the point sources from the measurements of u(x,T), but it is not ideal for the other two inverse problems. Furthermore, the reason which causes the above results is given.

Thirdly, simulated annealing algorithm, which is a famous non-numerical optimization method, is used to recover the above three inverse point sources problem of heat conduction equation. Finally, in view of the content of the paper and the results of the numerical simulation, which combine with the status quo of the inversion problem of the heat conduction equation, some conclusions are proposed as to as some problems which need to be researched in the future work.

II

东华理工大学硕士学位论文 ABSTRACT

Keywords: Heat conduction equation, Inverse source problem, Genetic

Algorithm, Simulated Annealing Algorithm

III

东华理工大学硕士学位论文 目录

目录

摘要·······································································································································I ABSTRACT·························································································································II 第一章 引言及问题的提出································································································1 1.1 反问题的研究意义······························································································1 1.2 抛物型方程源项反演的研究动态······································································2

1.3 本文所要研究的主要内容··················································································2 1.4 本文的整体框架··································································································5 第二章 反问题(1.3.2)的理论结果······················································································6 2.1 反问题(1.3.2)的等价转化···················································································6 2.2 反问题的辅助定理······························································································8 2.3 反问题的唯一性·································································································11 2.4 反问题的稳定性·································································································12 第三章 基于遗传算法的多点源反演················································································15 3.1 遗传算法·············································································································15 3.2 遗传算法的原理·································································································15 3.3 遗传算法的步骤·································································································16 3.4 遗传算法的算法设计·························································································16 3.5 基于遗传算法的多点源反演·············································································20 3.6 结论·····················································································································28 第四章 基于模拟退火算法的多点源反演······································································29 4.1 模拟退火算法的基本理论·················································································29 4.1.1 模拟退火算法原理······················································································29 4.1.2 算法具体步骤······························································································29 4.1.3 目标函数与控制条件··················································································30 4.2 基于模拟退火算法的多点源反演·····································································30 4.3 结论·····················································································································34

东华理工大学硕士学位论文 目录

第五章 结论与展望···········································································································35 致谢·····································································································································36 参考文献·····························································································································37 附录·····································································································································40

东华理工大学硕士学位论文 第一章 引言及问题的提出

第一章 引言及问题的提出

1.1 反问题的研究意义

数学物理反问题是一门前沿研究学科，最近几十年该学科发展非常迅速。数学物理反问题在众多实际领域都有非常广泛的应用，来源于地球探测、油藏模拟、无损探伤、CT技术、军事侦察、环境治理、遥感遥测、信号处理、图像处理、控制论、经济学等的许多问题都可从数学上归结为数学物理方程反问题。同时，反问题研究的发展直接受其它学科和众多工程技术领域的应用所产生的迫切需求所驱动。

反问题在数学上的难点往往是不适定性和非线性,不适定性是指至少不满足以下三个条件中的一个：

（1）解是存在的；（2）解是唯一的；（3）解是连续依赖于数据的。

尤其是上面的第(3)条件解不连续依赖于输入的测量数据, 即很小的测量误差或计算误差将导致解的急剧变化。所以通常的求解方法往往不适用, 常用的方法有Tikhonov正则化法、Landweber迭代法等，但对于具体的反问题需要发展不同求解方法，例如热传导逆时反问题的拟逆法以及本文将用反演点源的遗传算法等非经典优化方法。 因此，反问题的研究将丰富计算数学、应用数学研究内容和研究成果，为实际工程应用领域提供数学理论支持和新方法。下面我们以环境污染和地球物理勘探为例，说明反问题研究的实际意义。

当前，我国亟待解决的许多大规模科学计算问题中，很大一部分是地球探测中的不适定问题。例如，石油勘探开发是高风险产业，需要精细了解地下构造、确定油藏规模、定量掌握地下油气流动过程，以制定合理的开发方案。 又如，我国生态环境先天脆弱，水土流失、污染严重，经常蒙受多种自然灾害。加强大气、海洋和环境的数值模拟和预测，将可找到更多有效的措施减灾防灾，这些都是属于地球科学范畴的。 然而，这些问题处理都将归结为数学物理方程的各种各样定解问题，特别是其中的反问题尤其难处理。例如，油气勘探中的很多问题是波动方程的反演问题，而反演问题往往是不适定问题。通过建立的数学模型在计算机上再现含油气盆地的沉积发育史，对油气资源评价和勘探开发有重要的指导意义。油藏模拟就是通过在高性能计算机上数值求解大规模非线性方程组的初边值问题来模拟石油与天然气中复杂流体的流动过程，为了解与控制油气田的开采开发动态、降低成本、选择与决定合理的开发方案提供科学的依据。发展精细油藏数值模拟技术，实现百万结点以上规模的整体油田的精细油藏模拟已成为今后一段时期的国家目标。再如，在水污染控制工程中，污染物的运移往往归结为各种抛物型方程或耦合方程组的定解问题，对其中参数的辨识或源项反演都是反问题研究。有效地解决污染物浓度控制方程的反问题，将有利于环境污染的治理和环境保护部门的正确决策。

总之，反问题的研究将丰富现有的计算数学、应用数学及实际应用领域的研究成

1

东华理工大学硕士学位论文 第一章 引言及问题的提出

果，特别是对一些关键实际问题的研究（例如石油勘探、医学成像、遥感遥测等）将直接提升国家的科学技术水平，推动数学及相关学科领域的发展，推动科学、技术、经济、社会的全面进步与可持续发展。

1.2 抛物型方程源项反演的研究动态

对于抛物型方程源项反演问题，已经有了很多的结果，对于一般的源项F(x,t)，通过边界的测量数据来反演它是非常困难的。因此，许多学者[21-33]对于源项F(x,t)的一些特殊类型进行了研究，即在源项F(x,t)的一些先验假设下得到反演识别是可行的。 例如，Cannon在文[23-24]中利用谱理论研究了热传导方程中的一种与时间无关的源项F(x,t)f(x)。Yamamoto等在文[25-27]中研究了反演源项F(x,t)(t)f(x)的稳定性问题，其中f(x)L2，(t)C1[0,T]为已知且(0)0。Hettlich和Rundell在文[28]中考虑了二维热传导方程的源项F(x,t)D(x)反演识别问题，其中D是圆盘的一个子集。他们证明了已知边界上的两个不同点的热流密度测量值可以识别源项的所在区域D，并给出了数值计算方法。李功胜等在文[29-30]研究了一维扩散方程的源项反演问题,应用积分恒等式方法建立了非线性源项反演的稳定性。文[31-33]在研究了对应地下水污染问题的抛物型方程只与空间变量有关的源项反演算法。

关于抛物型方程点源反演，这方面的研究相对较少。文[34-40]分别研究了不同条件下抛物型方程的点源反问题。文[34, 36, 37]研究的单点源反演问题, 即源项为

F(x,t)(t)(xs)的形式，在源项的先验假设下获得了源项的识别的唯一性和反演

算法，其中文[37]还将有限模型推广到无限长模型。文[38, 39]考虑了对流扩散方程点源反演问题，利用某个时刻T或某些空间位置上的测量数据，将稳恒点源反演转化为优化问题进行求解。

1.3 本文所要研究的主要内容

假设在所考察的区间(0,L)内部有n(n2)个热源si(i1,2,n)，不妨设，同时假设边界x0,L处的温度场和初始温0s1s2snL（如图1.1所示）度为已知，则对应的热传导定解问题为：

2

东华理工大学硕士学位论文 第一章 引言及问题的提出

2nu2utax2f(t)i(xsi),i1u(x,0)u0(x),u(0,t)(t),u(L,t)(t)0xL,0tT;0xL;

0tT. （1.3.1）

当f(t)L2(0,T)时，定解问题（1.3.1）在泛函空间：

L2(0,T;H1(0,L))C(0,T;L2(0,L))

内有唯一解u(x,t)，即所谓的正问题.

0

s1 s2 si

图1.1 多点源示意图

sn

L

x

本文主要研究定解问题（1.3.1）的一类源项反问题，即假设f(t)已知，且f(0)0的前提下。当源项个数n，位置si和反应强度的i未知时，如何根据附加的处的测量数据（即x0处的热流密度）反演n,si,i,i1,2,n。

不失一般性，总是可以假定a21,L1，否则总可以通过线性变换将定解问题变换为a21,L1的情形。因此，将反问题重新写成如下定解问题的形式：

nu2u2f(t)i(xsi), 0x1,0tT;i1txu(x,0)u0(x), 0x1; 0tT;u(0,t)(t),u(1,t)(t), u(0,t)h(t), 0tT.xu在x0x（1.3.2）

其中n,si,i,i1,2,n未知。

如果反问题（1.3.2）中附加信息是u(x,t)在xb(0,L)处的测量数据, 则得到另一个反问题

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东华理工大学硕士学位论文 第一章 引言及问题的提出

nu2u2f(t)i(xsi), 0x1,0tT;txi1 0x1; u(x,0)u0(x), u(0,t)(t),u(1,t)(t), 0tT; 0tT.u(b,t)p(t), （1.3.3）

其中n,si,i,i1,2,n未知。再如反问题（1.3.2）中附加信息是u(x,t)在tT处的测量数据, 则得到反问题

nu2u2f(t)i(xsi), 0x1,0tT;txi1 0x1; u(x,0)u0(x), u(0,t)(t),u(1,t)(t), 0tT; 0tT.u(x,T)(x), （1.3.4）

其中n,si,i,i1,2,n未知。

文[40]研究了反问题的(1.3.3)的唯一性和稳定性, 文[49]则研究了反问题的(1.3.4)

u的唯一性和稳定性。对于反问题(1.3.2)是由在x0处的测量数据（即x0处的热

x流密度）来反演未知源项n,si,i,i1,2,n, 由于u(0,t)是已知的定解条件，这就相当于是由物体表面温度信息（温度场及热流密度）来反演位置源项。因此，在某种程度上本文研究的反问题具有实际意义和应用价值。本文主要研究反问题（1.3.2）的唯一性和稳定性问题，然后基于本文所得到的唯一性和稳定性, 以及反问题(1.3.3)和(1.3.4)的唯一性和稳定性的前提下, 寻求用遗传算法、模拟退火算法对反问题(1.3.2)-(1.3.4)进行数值反演。因此，本文主要围绕下述三个问题展开：

（1）反问题(1.3.2)的唯一性：测量数据h(t)是否可以唯一确定每个热源的具体位置si和该热源的组合系数i，以及热源的个数n？

（2）反问题(1.3.2)的稳定性：反演所得到的每个热源的具体位置si和该热源的组合系数i，以及热源的个数n是否连续地依赖于测量数据h(t)？

（3）反问题(1.3.2)-(1.3.4)的数值解法：如何用可行的数值方法反演热源的具体位置si和该热源的组合系数i，以及热源的个数n？

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东华理工大学硕士学位论文 第一章 引言及问题的提出

1.4 本文的整体框架

本文共分五章：

第一章 引言及问题的提出

第二章 反问题（1.3.2）的理论结果 第三章 基于遗传算法的多点源反演 第四章 基于模拟退火算法的多点源反演 第五章 结论与展望 最后是致谢、参考文献和附录

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东华理工大学硕士学位论文 第二章 反问题（1.3.2）的理论结果

第三章 反问题（1.3.2）的理论结果

在本章中，我们通过运用偏微分方程反问题的理论（包括热传导方程源项反问

题、双曲型偏微分方程点波源反问题）和相关方法，以及积分方程的理论、热变换技巧、弱意义下的Duhamel原理、Volterra积分方程可解性定理等等。将原反问题进行一系列的等价转化，然后再结合广义函数理论，以及泛函分析中的结果（特别是Sobolev空间理论），并利用偏微分方程非齐次边值问题的处理方法和相关结果。从而得到了反问题的唯一性和稳定性。

2.1 反问题（1.3.2）的等价转化

运用线性偏微分方程的叠加原理，则可以将反问题（1.3.1）分解为一个非齐次定解条件定解问题和一个齐次定解条件定解问题的叠加，即分解为

v2v2,0x1,0tT;tx v(x,0)u0(x),0x1;v(0,t)(t),v(1,t)(t),0tT.和

nw2wt2f(t)i(xsi),0x1,0tT;xi1 w(x,0)0,0x1;w(0,t)0,w(1,t)0,0tT.（2.1.1）

（2.1.2）

则u(x,t)v(x,t)w(x,t)，且定解条件的反问题，即

uvw(0,t)(0,t)(0,t)。 因此，只需考虑如下齐次xxxnu2ut2f(t)i(xsi),0x1,0tT;xi1u(x,0)0,0x1; u(0,t)0,u(1,t)0,0tT;u(0,t)h(t),0tT.x （2.1.3）

的唯一性和稳定性，其中n,si,i,i1,2,n未知。

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东华理工大学硕士学位论文 第二章 反问题（1.3.2）的理论结果

r2exp引进变换，记 E(r,t)，称变换 4tt1~TF(u)(x,t)u(x,r)E(r,t)dr TF:u(x,t)u0~是u的热变换像。并假设存在某时刻T0，使得当tT时，为热变换[40]，其中u22f(t)0，即某时刻后热源熄灭了。

引理2.1.1[40] 在弱意义下，(2.1.3)所对应的正问题的解是双曲型方程定解问题

n2v2v22g(t)i(xsi),0x1,0tT;txi1 v(x,0)v(x,0)0,0x1;v(0,t)v(1,t)0,0tT.（2.1.4）

的解v(x,t)在热变换下的像，即如果f(t)g(r)E(r,t)dr，则有

0u(x,t)v(x,r)E(r,t)dr.

0注意到热变换实质上也是Laplace变换。事实上，如果引入参数p1，那么 4tu(x,1pzp1)ev(x,z)dz, 04pz故热变换实际上是以p为参数的Laplace变换。所以，在弱意义下(2.1.3)所对应的正问题与定解问题（2.1.4）等价，即v(x,t)可看作u(x,t)的Laplace逆变换。因此，反问题（2.1.3）的唯一性和稳定性等价于

n2v2v22g(t)i(xsi),0x1,0tT;xi1tv(x,0)v(x,0)0,0x1; v(0,t)v(1,t)0,0tT;v(0,t)q(t),0tT.x（2.1.5）

的唯一性和稳定性，其中n,si,i,i1,2,n未知, q(t)满足

h(t)q(r)E(r,t)dr. （2.1.6）

0因此，已知h(t)则可经逆变换求出q(t)。

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东华理工大学硕士学位论文 第二章 反问题（1.3.2）的理论结果

2.2 辅助定理

为了证明反问题(2.1.5)的唯一性与稳定性，我们首先给出几个辅助定理。 首先，我们定义一些函数空间的定义和记号。

记L2(0, 1)是(0, 1)上平方可积函数空间，且L2(0, 1)对偶空间是其本身。

1记H1(0, 1){f(x)L2(0,1),f(x)L2(0,1)}，H0(0, 1){f(x)H1(0,1), f(0)0}且

其上范数定义为

fH1(f(x)f(x))dx. (2.2.1)

012211记H1(0, 1)为H0(0,1))。进一步记 (0, 1)的对偶空间，即H1(0,1)(H00H1(0, T)uH1(0, T), u(T)0 (2.2.2)

并定义其上的范数为

0H1(0,T)10(t)dt (2.2.3)

2显然0H1(0, T)关于范数(2.2.3)是一个Hilbert空间，且范数(2.2.3)与范数(2.2.2) 在空间

01H1(0, T)中是等价的。 同时记0H0(0,1)的对偶空间为H1(0,1), 则

0H1(0, T)L2(0, T)(0H1(0, T))'H1(0, T) (2.2.4)

其中嵌入0H1(0, T)L2(0, T)和L2(0, T)H1(0, T)是有界的并且是稠密的。

1记H1(0,T)和0H0(0,T)之间的对偶内积为H1,0H1，显然有

201，L(0,T),fH(0,T) (2.2.5) ,f(,f)012H1HL(0,T)由H1(0,T)的定义，我们有



H1supH1,0H1: 0H1(0,T), 0H1(0,T)1 (2.2.6)

下面，我们考虑这样一个辅助模型：

0x1,0tT;v''(x,t)vxx(x,t), 0x1;v(x,0)0,v'(x,0)a(x),

v(0,t)v(1,t)0,0tT. (2.2.7)

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东华理工大学硕士学位论文 第二章 反问题（1.3.2）的理论结果

2v其中a(x)H(0,1),而v(x,t)表示2（下同）。 则（2.2.7）存在唯一的弱解

t1v(x,t)v(a)(x,t)C0([0,T];L2(0,1))C1([0,T];H1(0,1)).

上述结论见Komornik在文[43]中的定理1.1，以及Lions和Magenes文[44]定理3.8.2. 进一步，与Grasselli 和Yamamoto[45]证明方法相同，容易证明如下引理（也可见[47]中的引理1）。

引理2.2.1 设T1，则存在一个不依赖于a(x)常数C10，使得对a(x)H1(0,1)有

C11a

H(0,1)1v(a)(0,)xC1aH1(0,T)H1(0,1) (2.2.8)

0,tT，则K是一个从对于L2(0,T)，定义(K)(t)g(ts)(s)ds0tL2(0,T)到自身的有界算子。

引理2.2.2 设g(t)C1[0,T],g(0)0，则可以将算子K: L2(0,T)L2(0,T)唯一延拓到

H1(0,T)上。仍记延拓后的算子为K，则存在常数C2C2(T,g)使得

1C2KL2(0,T)H1(0,T)C2KL2(0,T)，H1(0,T) (2.2.9)

证明：首先我们证明下述结论成立。

对于0H1(0,T)，定义映射F

(F)(t)g(0)(t)g'(st)(s)ds，0tT

tT则映射F是满的且是从0H1(0,T)到0H1(0,T)的一个同构映射。

因为F是一个第二类Volterra算子[14-15]，易得

C31F0H(0,1)10H(0,1)1C3F0H101，H(0,T) (2.2.10) (0,1)其中C3C3(T,g)0是不依赖于的正常数。显然当0H1(0,T)时，

(F)T()g(0)T(。) 因此，F是满射且是0H1(0,T)到0H1(0,T)的一个同构映射。

现在我们来证明引理2.2.2，给定L2(0,T)和0H1(0,T)，有

((K)',)L2(0,T)(g(0)(t)g'(ts)(s)ds)(t)dt

00Tt9

东华理工大学硕士学位论文 第二章 反问题（1.3.2）的理论结果

g(0)(t)(t)dt(s)(g'(ts)(t)dt)ds (2.2.11)

00sTTT交换积分顺序(ds)dt(dt)ds。因此，重新定义一个F得到

0000TttT((K)',)L2(0,T)(,F)L2(0,T)

另一方面，对于L2(0,T)和0H1(0,T)，因为(K)(0)(T)0，由分步积分得

((K)',)L2(0,1)(K,')L2(0,1).

因此，

(K,')L2(0,T)(,F)L2(0,T)，L2(0,T)，0H1(0,T) (2.2.12)

由式（2.2.5）和式（2.2.6），对于L2(0,T)有

H1(0,T)sup (,)L2(0,T) .

0H1(0,T)1由 (2.2.10)知存在一常数C4C4(T,g)0，使得

1C4H1(0,T)sup0H1(0,T)1(,F)L2(0,T)C4H1(0,T) (2.2.13)

另一方面，由式（2.2.3）和（2.2.12），我们有

KL2(0,T)sup (K,)L2(0,T) (K,')L2(0,T)1L2(0,T)sup0H1(0,T)1sup0H1(0,T)1(,F)L2(0,T)

因此，由式（2.2.13），我们可以得到

1C4H1(0,T)KL2(0,T)C4H1(0,T)，L2(0,T) (2.2.14)

因为L2(0,T)在H1(0,T)中稠密，不等式（2.2.14）表示可以唯一地把算子

K:L2(0,T)L2(0,T)延拓为H1(0,T)L2(0,T)上的有界算子。因此对任意

H1(0,T)，（2.2.14）式是成立的，引理2.2.2证毕。

10

东华理工大学硕士学位论文 第二章 反问题（1.3.2）的理论结果

接下来我们考虑：对于gC1[0,T]，

u''(x,t)uxx(x,t)g(t)a(x),0x1,0tT; 0x1;u(x,0)0,u'(x,0)0,u(0,t)u(1,t)0,0tT.(2.2.15)

其中a(x)H1(0,1). 则(2.2.15)存在唯一的弱解[44]

u(x,t)u(a)(x,t)C0([0,T];L2(0,1))C1([0,T];H1(0,1))

定解问题（2.2.15）的解u(a)(x,t)与问题（2.2.7）的解v(a)(x,t)之间的关系述如下：

引理2.2.3 对于a(x)H1(0,1)，有

u(a)(x,t)g(ts)v(a)(x,s)ds，0x1,0tT

0t证明: 对于光滑的a，Duhamel’s准则显然成立。事实上，如果aC0(0,1)，我们可以直接验证（2.2.15）中方程的左右两端成立。对于aH1(0,1)，注意到C0(0,1)在H1(0,1)中稠密，由u(a)和v(a)的正则性，即可知引理2.2.3成立。

2.3 反问题的唯一性

为了行文方便，我们将（2.1.5）重写如下

n2u2u22g(t)i(xsi),0x1,0tT;xi1tu(x,0)u(x,0)0,0x1; u(0,t)u(1,t)0,0tT;u(0,t)q(t),0tT.x （2.1.5）

其中n,si,i,i1,2,n未知。

本小节主要研究由测量数据q(t)u(0,t)(0tT)是否能唯一的确定nN，xiR，si(0,1)(1in)？

首先，定义两个向量P和Q为：

P{n,1,,n,1,n}Rn(0,1)n  （2.3.1） mmQ{m,1,,m,1,m}R(0,1)11

东华理工大学硕士学位论文 第二章 反问题（1.3.2）的理论结果

且设g(t)C1[0,T]，其中

i0,i0,1in,01n11im,01m1 （2.3.2）

性质1[46,47] 对于给定的P和g(t)C1[0,T]，（2.1.5）存在唯一的一个弱解

1uu(P)C1([0,T];L2(0,1))C0([0,T];H0(0,1)).

性质2[47]

u(0,t)L2(0,1). x为了证明(2.1.5)的唯一性和稳定性，我们还需要假设观测的时间足够长，即必需

大于等于波从x0传播到x1的时间。为方便，以下总是假定T1，且设

g(t)C1[0,T]，g(0)0.

定理2.3.1 在（2.3.1）、（2.3.2）和（2.3.3）的条件下，如果

u(P)u(Q)(0,t)(0,t)，0tT， xx则有PQ，也就是MN,ii,ii,1in。

证明：由Sobolev’s嵌入定理

m（2.3.3）

[11,12]

，我们可知ak1k(k)，

nbk1k(k)H1(0,1)，由引理2.2.1和引理2.2.3，有

u(a)u(b)v(a)v(b))(0,)K((0,)) （2.3.4） xxxxu(P)u(Q)u(a)u(b)(0,t)(0,t),0tT，也就是(0,t)(0,t),0tT,在因为xxxxv(ab)(0,t)0,0tT。 因此由引理2.2.1知在H1(0,1)中应用引理2.2.2即得

x(，知ab即等价于PQ.，定理2.3.1H1(0,1)意义下ab。 由（2.3.1）和（2.3.2）结论成立。

根据（2.1.5）和（2.1.3）的等价性，即可得热传导反问题（2.1.3）也是唯一的。

2.4 反问题的稳定性

为了简单起见，在此仅考虑点源位置的稳定性。也就是，假设

mn,ii,1in （2.4.1）

我们目标是希望得到n个点源{1,,n}和{1,,n}之间的一种距离。 规定

12

东华理工大学硕士学位论文 第二章 反问题（1.3.2）的理论结果

001nn11， 01n1 （2.4.2）

因此，我们可以把{i}1in看成是已知的点源，而把{i}1in分别看成是未知的点源。我们希望由{i}1in来估计{i}1in。

选择任意一个0满足:

01minii1 12in1（2.4.3）

为了得到一个精确估计，我们假设{i}1in的一个先验假设

ii,1in （2.4.4）

条件（2.4.4）表明了{i}1in和{i}1in是分离的，但不是相差很远。由式（2.4.3），我们可以得到

(,j)minii120

1in1 （2.4.5）

因此，我们就可以在依赖于0和{i}1in估计式是常数的情况下阐述条件稳定：

定理 2.4.1（条件稳定） 在满足（2.3.3）和（2.4.1）-（2.4.4）的条件下，存在一个常数CC(T,g)0使得

iii1nCu(P)u(Q)(0,)(0,)x(,j)x

L2(0,T)其中当0时(,j)是递增的。

证明：给定ak1(k)，bk1(k)，在（2.3.4）中应用引理2.2.2可得

nnv(ab)(0,)xC2H1(0,T)u(ab)(0,)x （2.4.6）

L2(0,T)因此，由引理2.2.1和（2.4.6）知存在一个与a和b无关的常数CC(T,)0，使得

ab

H1(0,T)Cu(P)u(Q)(0,)(0,)xx

L(0,T)2（2.4.7）

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东华理工大学硕士学位论文 第二章 反问题（1.3.2）的理论结果

对于1in构造测试函数

ii12(x),ii1x;2i22ii12i(x)(xii1), ixii1; （2.4.8）

222i1iotherwise0,1注意到00和n11，由（2.4.3）和（2.4.4）我们可以验证iH0(0,1)，且

i(j)i(j)0,ji （2.4.9）

i和

1H0(0,1)2(1ii121i1i2 ) （2.4.10）

12i(x)根据12ii12，ixi

（2.4.11）

H1的定义，对于任意的H(0,1)，有 0(0,1)H1ab,H1ab0H1(0,1)1H0(0,1)

所以当i，应用（2.4.9）式得到

i(i)i(i)i1H0(0,1)abH1(0,1).

由式（2.4.10），（2.4.11）和（2.4.5）即得

iiii1222(11ii12H1(0,1)1i1i2)ab12H1(0,1)

1C(1)2ab(,j)

最后，根据（2.4.7）就证明了定理2.4.1。

根据（2.1.5）和（2.1.3）的等价性，即可得热传导反问题（2.1.3）也是条件稳定的。

14

东华理工大学硕士学位论文 第三章 基于遗传算法的多点源反演

第三章 基于遗传算法的多点源反演

3.1 遗传算法

生物在自然界中的生存繁衍，显示出其对自然环境的优异自然适应能力。 生物的进化是一个奇妙的优化过程，它通过选择淘汰、突然变异、基因遗传等规律产生适应环境变化的优良物种。 受其启发，人们致力于生物各种生存特性的机理研究和行为模拟，为人工适应系统的设计和开发提供了广泛的前景。 遗传算法[17] (Genetic Algorithms,简称GAs)就是这种生物行为的计算机模拟中令人瞩目的重要成果。

遗传算法[17]是模拟自然界的生物演化过程，借鉴生物界的自然选择和自然遗传机制而发展起来的一类问题求解的策略和随机计算模型。它采用简单的编码技术来表示各种复杂的结构，并通过对一组编码表示进行简单的遗传操作和优胜劣汰的自然选择来指导学习和确定搜索的方向。由于演化计算本身具有自组织、自适应和自学习等智能特征以及本质的并行性和易于操作、通用性强等特点，已被成功地应用于机器学习、模式识别、经济预测、优化控制及其各种复杂数据的分析和计算等[16,17]，但把遗传算法用于反问题求解的文献[32,38,39]尚不多见。

3.2遗传算法的原理

遗传算法GA把问题的解表示成―染色体‖，在算法中也即是以二进制编码的串。并且，在执行遗传算法之前，给出一群―染色体‖，也即是假设解。然后，把这些假设解置于问题的―环境‖中，并按适者生存的原则，从中选择出较适应环境的―染色体‖进行复制，再通过交叉，变异过程产生更适应环境的新一代―染色体‖群。这样，一代一代地进化，最后就会收敛到最适应环境的一个―染色体‖上，它就是问题的最优解。

很明显，遗传算法是一种优化方法，它通过进化和遗传机理，从给出的原始种群（解群）中，不断进化产生新的解，最后收敛到一个特定的串bi处，即求出最优解。

遗传算法的原理可以简要给出如下: choose an initial population

determine the fitness of each individual perform selection repeat

perform crossover

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东华理工大学硕士学位论文 第三章 基于遗传算法的多点源反演

perform mutation

determine the fitness of each individual perform selection

until some stopping criterion applies

这里所指的某种结束准则一般是指个体的适应度达到给定的阀值。遗传算法中的结束准则，一般依据问题的不同有不同的确定方式. 例如，可以采用以下的准则之一作为判断条件:

(1) 种群中个体的最大适应度超过预先设定值; (2) 种群中个体的平均适应度超过预先设定值; (3) 世代数超过预先设定值。

3.3 遗传算法的步骤

遗传算法将问题的解表示成字符串，并把这样的字符串当作人工染色体或称为个体，多个个体构成一个种群，随机产生若干个个体构成初始种群，通过对种群的不断进化，利用“优胜劣汰”的自然选择机制，使种群中的个体不断朝着最优解的方向移动，最终搜索到问题的最优解。 遗传算法的一般流程如图3.1所示：

yes 产生初始种群 计算适应度 是否满足优化准则 no 选择 最佳个体 开始 交叉 变异

图3.1 遗传算法的一般流程

3.4 遗传算法的算法设计

1. 构造遗传算法参数

反问题遗传算法处理的对象主要是个体。运行参数包括:种群的大小psize，

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东华理工大学硕士学位论文 第三章 基于遗传算法的多点源反演

变量个数nvars，最大进化代数maxgen，交叉概率pc，变异概率pm。这些参数在运行开始时由使用者输入。 2. 初始化，产生初始种群

为产生初始种群设计的函数为initialize()。对每一个个体的每一个变量，利用rand函数产生一个随机数，而后利用如下公式即可得到以实数编码表示的变量值x。其中假设第i个变量的取值范围为:

d(ubound(i)-lbound( x=ran i(i)]，即x为该变量范围内的由于rand[0,1]，故易知x[lbound(i),ubound一个随机产生的数。 3. 计算个体的适应值

为此设计的函数是evalution()。对每一个个体，求解微分方程，从而求得各个点上的数值解，再求出其与给定点的数值的某种平均残差(在本程序中，是对各个点上的计算值和给定值的差值的平方求和，然后再取其平均值)。在程序中用到了几个全局变量(有几个优化变量就有几个全局变量)，由于本文的目标函数是平均残差最小，所以可将适应值直接取为平均残差的负数。 4. 保持最优个体子程序

为此设计的函数是keepbest()。求出初始个体中的最优个体(适应值最高的个体)，并将其复制为第psize+l个个体。 5. 选择操作子程序

为此设计的函数是select()。采用二人联赛选择方法:每次从种群中随机选出两个个体，将上述过程重复比较其适应值，选出适应值较大的一个作为新个体

psize，直到新种群填满为止。

6.交叉操作子程序

为此设计的函数是crossover()。对种群中的每个个体都产生一个是实数编码方法，故采用算术交叉，它是指由两个个体的线性组合而产生的两个新个体。

算术交叉定义如下:给定两个个体X1(1,2,k,n)和

X2(1',2',k',n')按照如下方式得到新个体X1'和X2'：

X1'X1(1)X2

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东华理工大学硕士学位论文 第三章 基于遗传算法的多点源反演

X2'X2(1)X1

进一步可以表示为：

X1'(1(1)1',2(1)2',,n(1)n')

X2'(1'(1)1,2'(1)2,,n'(1)n)

式中，[0,1]为一随机数。 7．变异操作子程序

为此设计的函数是mutate()，变异采用的是非均匀变异，其基本操作如下：对于给定的个体X(1,2,,k,,n)，若它的元素k被选来变异，则生成的新的个体为X'(1,2,,k',,n)，其中，k'随机地按照如下两种可能的机会变化：

Uk'k(t,kk)或k'k(t,kkL)

U这里，k和kL分别为k的上下界。函数(t,y)给出[0,y]内的一个值，使得

(t,y)随着进化代数t的增加而趋于0。可取(t,y)为：(t,y)yr(1tb)，这T里，r是[0,1]内的随机数，t为进化代数，T是最大代数，b为确定非均匀度的参数，一般取b=2。 8. 精华模型子程序

为此设计的函数是elitist()。1、群体中适应值最高的个体和适应值最低的个体。2、若当前群体中的最优个体的适应值大于新的迄今为止的最优个体的适应值，则以当前群体中的最优个体的适应值作为新的迄今为止的最优个体，同时用先前的最优个体代替本代的最差个体。3、若当前群体中的最优个体的适应值小于或等于新的迄今为止的最优个体的适应值，则用迄今为止的最优个代替本代中的最优个体。 9.主程序

主程序设计了多次运行遗传算法的过程，每次运行前由使用者输入不同的参数设置，运行结束时将有关进化过程的统计结果写入输出数据文件中。作为一次的遗传算法运行，首先，运行初始化initialize()，初始化的工作指代用实数编码产生初始种群。其次，求各个体的适应值evaluation()。然后，进入共maxgen代

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东华理工大学硕士学位论文 第三章 基于遗传算法的多点源反演

的进化计算。每一代进化计算调用select函数对适应值大的个体进行选择操作，调用crossover函数完成交叉操作，调用函数mutate()进行变异操作，再调用函数计算经交叉后的新种群中个体的适应值，调用精华模型函数evaluation()elitist()，选取最优个体。遗传算法优化结束时，得到最优个体。

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东华理工大学硕士学位论文 第三章 基于遗传算法的多点源反演

3.5 基于遗传算法的多点源反演

在此我们利用遗传算法分别考虑下面三个反问题,由第二章的讨论知，实际我们只需考虑齐次边界条件和零初始条件的情形, 即

2nu2uf(t)i(xsi), 0x1,0tT;ta2xi1u(x,0)0, 0x1; 0tT;u(0,t)0,u(1,t)0, u 0tT.(0,t)h(t), x（3.5.1）

和

2nu2uf(t)i(xsi), 0x1,0tT;a2txi1 0x1; u(x,0)0, u(0,t)0,u(1,t)0, 0tT; 0tT.u(b,t)p(t), （3.5.2）

和

2nu2uf(t)i(xsi), 0x1,0tT;a2txi1 0x1; u(x,0)0, u(0,t)0,u(1,t)0, 0tT; 0tT.u(x,T)(x), （3.5.3）

其中n,si,i,i1,2,n都是待求的未知量。

根据本文第二章和文[30，49]的分析，我们已经知道该反问题是唯一的且条件稳定。 在此，我们利用遗传算法对该反问题进行求解。实际应用中，测量数据往往含有误差，所以我们记含有误差的测量数据为h(t),p(t),(x)，其中为误差水平, 分别构造适应度函数为

scoreT0u(0,t)h(t)dt x22（3.5.4） （3.5.5） （3.5.6）

scoreu(b,t)p(t)dt

0Tscoreu(x,T)(x)dt

0T2其中误差按h(t)h(t)(2ra(1n)d1),p(t)p(t)(2rand(1)1)，

(t)(t)(2rand(1)1) 其中rand(1)为区间(0,1)上服从均匀分布的一个随机

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东华理工大学硕士学位论文 第三章 基于遗传算法的多点源反演

数。为检验算法的有效性，进一步简化方程，即设（3.5.1）-（3.5.3）中f(t)1且假设源项个数n已知。此时，由于（3.5.1）-（3.5.3）中方程的固有值为kk22，固有函数为sinkx,(n1,2,)，所以按固有函数展开法可求得所相应正问题的解。 令

v(x,t)Tk(t)sinkx

k1把方程右端源项也按固有函数展开，得

(xx)fiii1k1nksinkx

其中

fk21n0(xs)sinkxdx2(sinks)

iiiii1i1n那么可得Tk(t)满足的方程为：

Tk'(k)2Tk(t)fk T(0)0k解得

Tk(t)nfk(ka)2t(1e) (ka)2其中fk2isinksi。 最后求出（3.5.1）-（3.5.3）所对应正问题的解为：

i1u(x,t)k12isinksii1n(ka)2(1e(ka)t)sinkx （3.5.7）

2反问题的反演算法即是利用遗传算法近似求得si，i，i1,2,,n使适应度函数（3.5.4）-（3.5.6）取极小。它是一高度非线性优化问题，如用现有方法例如梯度法、单纯形法求解难度非常大，有时无法实现。由于遗传算法的诸多优点, 因此本文将这一算法应用于上述热传导方程源项反演。计算结果表明此方法精度高，适应性强，并易于计算机实现。

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东华理工大学硕士学位论文 第三章 基于遗传算法的多点源反演

取a20.01, n3, s10.2,s20.5,s30.75,12.3,24.5,31.6, 群体大小为30, 参数范围0i5, 0si1，交叉概率取Pc0.8, 变异概率取Pm0.2, 终止代数取500,分不同情况进行数值模拟。

算例1: n3, s10.2,s20.5,s30.75为已知时, 反演i,i1,2,3.三个反问题的反演结果如下：

精确解 近似解

相对误差

0 0.01

1

2.3 2.2935 0.283

2

4.5 4.04 3.12

3

1.6 0.0032517 99.79

1

2.3 2.2971 0.126

2

4.5 4.0601 9.7756

3

1.6 46.834 2827.125

(%)

表3.1 反问题(3.5.1)的计算结果.

u(0,t)和u(x,t)t2, 并与真值进x行对比, 见图3.2和图3.3, 其中图3.2是由0的反演值计算得到, 图3.3是由0.01u(0,t)的近似解与真值几乎相同, 但是u(x,t)t2与的反演值得到。从图中可以看出, x将表3.1所得近似解代(3.5.1)的第一个方程计算

真解形成很大差异, 说明表3.1中得到的反演值i,i1,2,3精确解的最优近似

80706050403020100-104035302520151050-500.511.5200.51

图3.2 近似解和精确解的对比图.

星线为近似值, 实线为精确值, 左图为

u(0,t), 右图为u(x,t)t2. x22

东华理工大学硕士学位论文 第三章 基于遗传算法的多点源反演

80706050403020100-10400350300250200150100500-5000.511.5200.51

图3.3 近似解和精确解的对比图.

星线为近似值, 实线为精确值, 左图为

u(0,t), 右图为u(x,t)t2. x 精确解 近似解

相对误差(%)

0 0.01

1

2.3 2.406 4.609

2

4.5 4.0727 9.50

3

1.6 5.8692 266.83

1

2.3 2.4093 4.752

2

4.5 4.0512 10.77

3

1.6 6.3701 298.13

表3.2 b0.3时，反问题(3.5.2)的计算结果.

将表3.2所得近似解代(3.5.2)的第一个方程计算u(b,t)b0.3和u(x,t)t2, 并与真值进行对比, 见图3.4和图3.5, 其中图3.4是由0的反演值计算得到, 图3.5是由

0.01的反演值得到.

181614401210861042003060502000.511.52-1000.51

图3.4 近似解和精确解的对比图.

星线为近似值, 实线为精确值, 左图为u(x,t)x0.3, 右图为u(x,t)t2.

23

东华理工大学硕士学位论文 第三章 基于遗传算法的多点源反演

1816141210820-200.511.52605040302010000.51

图3.5 近似解和精确解的对比图.

星线为近似值, 实线为精确值, 左图为u(x,t)x0.3, 右图为u(x,t)t2.

精确解 近似解

相对误差

0 0.01

1

2.3 2.2981 0.0826

2

4.5 4.5027 0.06

3

1.6 1.5947 0.3315

1

2.3 2.3012 0.05217

2

4.5 4.4927 0.1622

3

1.6 1.6156 0.975

(%)

表3.3 T2时，反问题(3.5.3)的计算结果 (终止代数为200).

将表3.3中0.01对应的反演值代(3.5.3)的第一个方程计算和u(x,t)t2, 并与真值进行对比, 见图3.6

8070605040830620100-10420012-20121050-51518161412102040353025u(0,t), u(b,t)b0.3x00.51

图3.6 近似解和精确解的对比图.

24

东华理工大学硕士学位论文 第三章 基于遗传算法的多点源反演

星线为近似值, 实线为精确值, 左图为

u(0,t), 中图为u(x,t)x0.3, 右图为u(x,t)t2. x从算例1可以看出遗传算法n3, s10.2,s20.5,s30.75为已知时, 对反问题(3.5.3)的反演效果最好。所以, 如果si, i均未知时, 遗传算法对于反问题(3.5.1)- (3.5.2)和将得不到理想结果。因此, 下面我们针对反问题(3.5.3)来反演si, i, i1,2,3。

算例2: T2，n3已知, 终止代数取500, 经反问题(3.5.3)反演si, i, i1,2,3.反演结果如下：

精确解 近似解

相对误差

s1 0.2 0.19619

s2 0.5 0.492

s3 0.75 0.75128

1

2.3 2.3009

2

4.5 4.493

3

1.6 1.6121

(%) 精确解 近似解

相对误差

1.905 0.716 0.171 0.003913 0.1556 0.756

表3.4 0时反问题(3.5.3)的反演结果.

s1 0.2 0.199

s2 0.5 0.50135

s3 0.75 0.75212

1

2.3 2.3019

2

4.5 4.494

3

1.6 1.6042

(%)

0.055 0.27 0.283 0.0826 0.1333 0.2625

表3.5 0.01时反问题(3.5.3)的反演结果.

25

东华理工大学硕士学位论文 第三章 基于遗传算法的多点源反演

精确解 近似解

相对误差

s1 0.2 0.20371

s2 0.5 0.50368

s3 0.75 0.75298

1

2.3 2.301

2

4.5 4.5143

3

1.6 1.5988

(%)

1.855 0.736 0.3973 0.04348 0.3718 0.7000

表3.6 0.1时反问题(3.5.3)的反演结果.

算例3: 二维热传导方程

2nu2u2uta(22)f(t)i(xsi,yri), (x,y)D, 0tT;xyi1 (x,y)D,; u(x,y,0)0, u(x,y,t)0, (x,y)D, 0tT;

考虑由u(x,y,T)(x,y)反演si,i,i,i1,2,n. 这里我们取D(0,1)(0,1), T1,

n2, f(t)1, a20.01, 12.3, 24.5, (s1,r1)(0.2,0.3), (s2,r2)(0.7,0.65),进

行数值模拟。利用古典差分格式得到u(x,y,T)T1(x,y)作为真实值，如图3.7所示。 反演结果解表3.7-3.9.

200150100500110.500.200.40.60.8

图3.7 u(x,y,T)T1(x,y)的真实值

26

东华理工大学硕士学位论文 第三章 基于遗传算法的多点源反演

反演结果如下： 精确解 近似解

相对误差

s1 0.2 0.1968

r1 0.3 0.3008

s2 0.7 0.70056

r2 0.65 0.65082

1

2.3 2.2935

2

4.5 4.5204

(%) 精确解 近似解

相对误差

1.6 0.267 0.08 0.1262 0.283 0.4533

表3.7 0时的反演结果.

s1 0.2 0.20061

r1 0.3 0.2848

s2 0.7 0.6978

r2 0.65 0.65084

1

2.3 2.3152

2

4.5 4.5215

(%)

精确解 近似解

相对误差

0.305 0.1333 0.3143 0.1292 0.661 0.478

表3.8 0.01时的反演结果.

s1 0.2 0.2038

r1 0.3 0.3014

s2 0.7 0.7031

r2 0.65 0.65122

1

2.3 2.3168

2

4.5 4.5240

(%)

1.9 0.467 0.4429 0.1877 0.2000 0.0733

表3.9 0.1时的反演结果.

27

东华理工大学硕士学位论文 第三章 基于遗传算法的多点源反演

3.6 结论

上面的数值模拟结果表明，遗传算法对于反问题(3.5.3)是有效的，且对二维情形的点源反演也是有效的, 或者说将反问题转化为优化问题，然后利用遗传算法等优化方法来求解对于反问题的(3.5.3)是有效的，且具有很强的稳定性（见算例2）。 为

u什么会有如此现象，可从(0,t), u(x,t)x0.3和u(x,t)t2的图像（见图3.8）中得到

xu解释。从图3.8中可以看出，(0,t), u(x,t)x0.3的图形很光滑，但u(x,t)t2的图形

x则明显反映出点源的信息。因此，利用某个时刻的温度场通过遗传算法来反演点源是有效的。

8070605040830620100-10420012-20121050-5151816141210204035302500.51

图3.8 左图为

u(0,t), u(x,t)x0.3和u(x,t)t2的图像. xu(0,t), 中图为u(x,t)x0.3, 右图为u(x,t)t2. x

28

东华理工大学硕士学位论文 第四章 基于模拟退火算法的多点源反演

第四章 基于模拟退火算法的多点源反演

4.1 模拟退火算法的基本理论

4.1.1 模拟退火算法原理

模拟退火(Simulated Annealing简称SA)算法[50-52]是基于蒙特卡罗迭代算法求解的一种启发式随机搜索算法，算法思想最早在1953年由Metropolis等人提出。 模拟退火算法的基本思想是从一个给定解开始，从邻域中随机产生另一个解，接受Metropolis准则允许目标函数在有限范围内变坏，它由一个控制参数t决定，其作用类似于物理过程中的温度T，对于控制参数的每一取值，算法持续进行―产生—判断—接受或舍去‖的迭代过程。对应着固体在某一恒定温度下趋于热平衡的过程，当控制参数逐渐减小并趋于0时，系统越来越趋于平衡态，最后系统状态对应于优化问题的全局最优解，该过程也称为冷却过程。由于固体退火必须缓慢降温，才能使得固体在每一温度下都达到热平衡，最终趋于平衡状态。因此，只有控制参数t经缓慢衰减，才能确保模拟退火算法最终优化问题的整体最优解。

4.1.2 算法具体步骤

1) 给定模型每一个参数变化范围，在这个范围内随机选择一个初始模型m0,并计算相应的目标函数值E(m0)；

2) 对当前模型进行扰动产生一个新模型m, 计算相应的目标函数值E(m)，得到

EE(m)E(m0)；

3)若E0,则新模型被接受；若E0，则新模型m 按概率pexp(E/T)进行接受, T为温度。当模型被接受时，置m0m,E(m0)E(m)； 4) 在温度T下,重复一定次数的扰动和接受过程,即重复步骤2、3； 5) 缓慢降低温度T；

6) 重复步骤2、5,直至收敛条件满足为止。

算法的实质分两层循环，随机扰动产生新模型并计算目标函数值(或称能量)的变化，决定是否被接受。由于算法初始温度设计在于高温条件，这使得E增大的模型可能被接受，因而能舍去局部极小值，并通过缓慢地降低温度，算法最终能收敛到全局最优点。

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东华理工大学硕士学位论文 第四章 基于模拟退火算法的多点源反演

4.1.3 目标函数与控制条件

1 目标函数

设yi'是在点xi 的测量值(i1,2,n), yi是在点xi 的理论计算温度,则在n个数据点上的误差平方和为f(yiyi')2,显然这个函数值越小越好。

i1n2 状态产生函数

为了便于应用SA算法，程序中的新状态是以形式较为简单的均匀概率分布方式产生的，由此构造的状态函数为

xi1xiste*p(rand0.5)

式中xi1 与xi 分别为新旧状态参数；step为扰动系数，rand为0~1间的随机数产生器。

3 温度更新函数和循环终止准则

采用指数退温过程，即Tk1d(Tk)Tk，在本文中0.9。内循环采用定步长抽样，外循环也采用定温度。本文在每次内循环的过程中，记忆使目标函数值在该温度下达到最小值的状态函数值，作为降温后的状态参数初值。

4.2 基于模拟退火算法的多点源反演

通常反问题的模型空间是无限维的，而数据空间是有限维的，因而算法是非唯一的。再加上观测数据中必然存在着误差和干扰，故欲求出唯一的真解是不可能的。 一般只能求得在某种意义下的最佳解。而欲取这种解，需要根据某些可接受的标准建立一个所谓的目标函数，例如文[53]求此目标函数的最小值所对应的一组模型参数，即为在某种意义下的最佳解。最常用的目标函数为观测数据与求解正问题计算出的计算数据之间的残差平方和（二范数）。

为了说明模拟退火算法的可行性，我们运用该算法来反演上一章中运用遗传算法反演的例子。下面利用模拟退火算法求解反问题(3.5.1)-(3.5.3)。

算例1: n3, s10.2,s20.5,s30.75为已知时, 反演i,i1,2,3。进行数值模拟, 群体大小为30, 利用模拟退火算法求解的参数设置如下：初始温度T1000，结束温度T00.001，步长step0.02，Markov链长L150。计算结果如下：

30

东华理工大学硕士学位论文 第四章 基于模拟退火算法的多点源反演

精确解 近似解

相对误差

0 0.01

1

2.3 2.3103 0.448

2

4.5 4.5194 0.431

3

1.6 0.625 60.94

1

2.3 2.3165 0.7174

2

4.5 4.5226 0.502

3

1.6 7.5202 370.125

(%)

表4.1 反问题(3.5.1)的计算结果.

u(0,t)和u(x,t)t2, 并与真值进x行对比, 见图4.1, 其中图4.1是由0的反演值计算得到。

将表4.1所得近似解代(3.5.1)的第一个方程计算

80706050403020100-104035302520151050-500.20.40.60.811.21.41.61.8200.20.40.60.811.21.41.61.82

图4.1 近似解和精确解的对比图.

星线为精确值, 实线为近似值, 左图为

u(0,t), 右图为u(x,t)t2. x

精确解 近似解

相对误差(%)

0 0.01

1

2.3 2.502 8.79

2

4.5 4.256 5.422

3

1.6 3.2 103.375

1

2.3 2.6235 14.07

2

4.5 3.9874 11.39

3

1.6 4.859 203.69

表4.2 b0.3时，反问题(3.5.2)的计算结果

31

东华理工大学硕士学位论文 第四章 基于模拟退火算法的多点源反演

将表4.2所得近似解代(3.5.2)的第一个方程计算u(b,t)b0.3和u(x,t)t2, 并与真值进行对比, 其中图4.2是由0的反演值计算得到。

1816141210820-200.20.40.60.811.21.41.61.824035302520151050-500.20.40.60.811.21.41.61.82

图4.2 近似解和精确解的对比图

星线为近似值, 实线为精确值, 左图为u(x,t)x0.3, 右图为u(x,t)t2.

表4.3 T2时，反问题(3.5.3)的计算结果 (终止代数为200). 精确解 近似解

相对误差

0 0.01

1

2.3 2.3002 0.087

2

4.5 4.46 0.2311

3

1.6 1.6025 0.1563

1

2.3 2.296 0.1739

2

4.5 4.5013 0.02

3

1.6 1.5867 0.8313

(%)

将表4.3中0.01对应的反演值代(3.5.3)的第一个方程计算和u(x,t)t2, 并与真值进行对比, 见图4.3.

u(0,t), u(b,t)b0.3x32

东华理工大学硕士学位论文 第四章 基于模拟退火算法的多点源反演

8070605040301816141210840353025201562041050-5100-102000.20.40.60.811.21.41.61.82-200.20.40.60.811.21.41.61.8200.20.40.60.811.21.41.61.82

图4.3 近似解和精确解的对比图.

星线为近似值, 实线为精确值, 左图为

u(0,t), 中图为u(x,t)x0.3, 右图为u(x,t)t2. x从算例1可以看出遗传算法n3, s10.2,s20.5,s30.75为已知时, 对反问题(3.5.3)的反演效果最好。所以, 如果si, i均未知时, 模拟退火算法和遗传算法相同，对于反问题(3.5.1)- (3.5.2)也不会得到理想结果。因此, 下面我们针对反问题(3.5.3)反演si, i, i1,2,3。

算例2: T2，n3已知, 终止代数取500, 经反问题(3.5.3)反演si, i, i1,2,3. 反演结果如下： 精确解

近似解 相对误差

s1 0.2 0.19619 1.905

s2 0.5 0.492 0.716

s3 0.75 0.75128 0.171

1

2.3 2.3009 0.003913

2

4.5 4.493 0.1556

3

1.6 1.6121 0.756

(%)

表4.4 0时反问题(3.5.3)的反演结果.

33

东华理工大学硕士学位论文 第四章 基于模拟退火算法的多点源反演

精确解 近似解

相对误差

s1 0.2 0.199

s2 0.5 0.50135

s3 0.75 0.75212

1

2.3 2.3019

2

4.5 4.494

3

1.6 1.6042

(%) 精确解 近似解

相对误差

0.055 0.27 0.283 0.0826 0.1333 0.2625

表4.5 0.01时反问题(3.5.3)的反演结果.

s1 0.2 0.20371

s2 0.5 0.50368

s3 0.75 0.75298

1

2.3 2.301

2

4.5 4.5143

3

1.6 1.5988

(%)

1.855 0.736 0.3973 0.04348 0.3718 0.7000

表4.6 0.1时反问题(3.5.3)的反演结果.

4.3 结论

通过上述的模拟结果，我们可以看出运用模拟退火算法与运用遗传算法来进行反演的模拟结果相同，即用模拟退火算法对由某个时刻的温度场u(x,T)多点源的反问题是有效的，而对另外两个反问题则不够理想。

模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关。模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法。

34

东华理工大学硕士学位论文 第五章 结论与展望

第五章 结论与展望

本文给出的热传导方程的多点源反问题模型，是一类应用比较广泛的源项反演模型。 但是，由于这类模型涉及到了Dirac分布。所以不能像一般的源项反问题那样处理，正由于这个原因，这类反问题一直很少有人进行深入的研究，然而很多应用上又迫切需要这方面的较为完善的反问题理论。本文运用偏微分方程反问题的理论和偏微分方程的现代理论，以泛函分析为工具，对这类热传导方程多点源反演问题进行了初步研究。该反问题的提法主要有利用表面测量数据、内部温度测量数据或终值（时间）测量数据来反演的点源的个数、位置及热源强度。文中研究了由表面热流密度来反演多点源的理论结果，利用热变换方法和双曲型方程反问题中的结论获得该反问题的唯一性和稳定性。然后在所得唯一性和稳定性的前提下利用遗传算法和模拟退火算法进行了数值反演实验。

同时，本文基于由内部温度测量数据或终值（时间）测量数据反演多点源的已有的唯一性和稳定性，利用遗传算法和模拟退火算法也进行了数值模拟。实验结果表明，用遗传算法和模拟退火算法都对由某个时刻的温度场u(x,T)多点源的反问题是有效的，而对另外两个反问题则不够理想。通过分析测量数据（模拟数据）的图像，给出了产生这种现象的合理解释。

当然还存在不少问题需要继续研究和完善，主要有以下几个问题：

1、寻求改进的遗传算法和模拟退火算法有效地实现由表面数据和内部某个点测量数据反演多点源，即本文反问题(3.5.1)和(3.5.2)。

2、寻求其它高效的数值计算方法。

3、考虑反演的热传导方程的源项为F(x,t)fi(t)(xsi)，即同时反演多点源

i1n的位置和随时间变换的热源强度。

这些问题都有待进一步的研究。

35

东华理工大学硕士学位论文 致谢

致 谢

值此论文完成之际，我衷心的向我的导师徐定华教授、王泽文副教授表示诚挚的谢意！

本论文的工作是在导师徐定华教授、王泽文副教授三年的精心指导和亲切关怀下完成的。值此论文完成并即将通过答辩之际，我谨向我的导师徐定华教授、王泽文副教授表示衷心的感谢。他们的严谨的治学态度，创新求实的精神，给了我很大的启迪，让我受益匪浅，让我体会到了在平时应该如何认真的进行科学研究。在研究方向和选题上，王老师给了我极大的自主性，在论文的构思和撰写上，又严格要求，一丝不苟。正是这种治学方式，使我在硕士阶段的学习任务得以顺利完成，再次向徐老师、王老师表示我衷心的感谢！

还要感谢数信学院的各位领导和老师，是他们的辛勤工作，使我们的科研环境得到很大改善。感谢我的同学许小勇以及我在同一个实验室学习的研究生：曾苏华、丁伟、张小明、左锦辉等同学们，我们一起同学习、同交流、共同讨论。

最后向我亲爱的父母表示崇高的敬意，感谢他们的养育之恩和从小到大一直以来在学习和生活上的支持和鼓励。

衷心感谢审稿专家的细心评阅，感谢答辩委员会的诸位老师！

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东华理工大学硕士学位论文 参考文献

参考文献

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东华理工大学硕士学位论文 附录

附录 作者在攻读硕士学位期间完成的论文

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[2] 王燕. 一类扩散方程参数算子识别反问题的模拟退火算法[J].《四川理工学院学报》（自然科学版）,2007, Vol.20,No.6,23-26

[3] 王泽文, 王燕. 一类热传导方程多点源反演的唯一性和稳定, 准备投稿中.

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