选修2-1教案

（一）教学目标

１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；

２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点

重点：命题的概念、命题的构成

难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 （三）教学过程 学生探究过程：

1．思考、分析

下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点 ． （2）2+4=7．

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1．

（５）两个全等三角形的面积相等．

（６）３能被２整除．

定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．

在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子． 教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．

2．练习、深化

判断下列语句是否为命题？

（１）空集是任何集合的子集． （２）若整数a是素数，则是a奇数．

（３）指数函数是增函数吗？ （４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行． （５）

(2)2＝－２． （６）x＞１５．

3.命题的构成――条件和结论

定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者 “如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论． 4．练习、深化

指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假． （１）若整数a能被２整除，则a是偶数．

（２）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直平分． （３）若a＞0，b＞0，则a+b＞0． （４）若a＞0，b＞0，则a+b＜0．

（５）垂直于同一条直线的两个平面平行．

5．命题的分类――真命题、假命题的定义．

1

真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．

假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．

(１)数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．

(２)要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

6．练习、深化

例３：把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题： （１） 面积相等的两个三角形全等。 （２） 负数的立方是负数。 （３） 对顶角相等。

（４）

教学反思 师生共同回忆本节的学习内容．

1．什么叫命题？真命题？假命题？ 2．命题是由哪两部分构成的？ 3．怎样将命题写成“若P，则q”的形式． 4．如何判断真假命题．

1.1.2四种命题 1.1.3四种命题的相互关系

（一）教学目标

◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．

◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

（二）教学重点与难点 重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系． 难点：（1）命题的否定与否命题的区别； （2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；

（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．

１．复习引入

初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？

2．思考、分析

问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

３．归纳总结

问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）

2

和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。

４．抽象概括

定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

让学生举一些互逆命题的例子。

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

让学生举一些互否命题的例子。

定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

让学生举一些互为逆否命题的例子。

小结：

(1) 交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：

(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；

(3) 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题． 强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。 ５．四种命题的形式

让学生结合所举例子，思考：

若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？

学生通过思考、分析、比较，总结如下： 原命题：若P，则q．则：

逆命题：若q，则P． 否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p） 逆否命题：若￢q，则￢P． ６．巩固练习

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假： （１） 若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等； （２） 若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除； （３） 若x2=1,则x=1；

（４） 若整数a是素数，则是a奇数。 ７．思考、分析

结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？ 通过此问，学生将发现：

①原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③原命题为真，它的逆否命题一定为真。 原命题为假时类似。

结合以上练习完成下列表格： 原 命 题 逆 命 题 否 命 题 逆 否 命 题

3

真 假 真 假 假 真 真 假 由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ９．例题分析

例4： 证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．

分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。

例题表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。 练习巩固：证明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１． １０：教学反思

（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；

（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；

（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系； （４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．

1．2充分条件与必要条件

（一）教学目标 1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．

2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．

（二）教学重点与难点

重点：充分条件、必要条件的概念．

(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)

难点：判断命题的充分条件、必要条件。 （三）教学过程 学生探究过程： 1．练习与思考

写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.

学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．

置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？ 2、定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p  q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．

上面的命题(1)为真命题，即

4

x ＞ a + b x ＞ 2ab，

所以“x ＞ a + b”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a + b”的必要条件． 3．例题分析：

例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？ （1）若x ＝1，则x － 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数； （3）若x为无理数，则x2为无理数．

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．

例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件? (1) 若x ＝ y，则x2 ＝ y2；

(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； （3）若a ＞b,则ac＞bc． 分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q． 解略．

４、巩固巩固：P12 练习 第1、2、3、4题 ５．教学反思：

充分、必要的定义．

在“若p，则q”中，若pq，则p为q的充分条件，q为p的必要条件． ６．作业 P14：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题

2

2

2

2

2

＂

22

1.2.2充要条件

(一)教学目标 1.知识与技能目标：

（１） 正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不

充分也不必要条件的定义．

（２） 正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.

2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质． （二）教学重点与难点

重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定题 难点：正确区分充要条件． （三）教学过程 学生探究过程：

1.思考、分析

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数. 请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

易知：pq，故p是q的充分条件； 又q  p，故p是q的必要条件．

此时,我们说, p是q的充分必要条件 ２.类比归纳

一般地,如果既有pq ，又有qp 就记作 p  q.

5

此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.

概括地说,如果p  q,那么p 与 q互为充要条件. 3.例题分析

（１） 例1：分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．

４．类比定义

一般地，

若pq ,但q  p，则称p是q的充分但不必要条件； 若pq，但q  p，则称p是q的必要但不充分条件； 若pq，且q  p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

５．巩固练习：P14 练习第 1、2题

说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件． ６．例题分析

例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可．

例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？

７．教学反思：

充要条件的判定方法

如果“若p，则q”与“ 若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是． ８．作业：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题

1.3简单的逻辑联结词

1.3.1且 1.3.2或

(一)教学目标

1.知识与技能目标：

（１） 掌握逻辑联结词“或、且”的含义 （２） 正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题

2．过程与方法目标：

在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养． (二)教学重点与难点

重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。

难点：1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”.

6

（三）教学过程

学生探究过程： 1、思考、分析

问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？ （1）①12能被3整除；

②12能被4整除；

③12能被3整除且能被4整除。 （2）①27是7的倍数；

②27是9的倍数；

③27是7的倍数或是9的倍数。 3、归纳定义

一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作

p∧q

读作“p且q”。

一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。 命题“p∧q”与命题“p∨q”即，命题“p且q”与命题“p或q”中的“且”字与“或” 字与下面两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义相同吗？ （1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。

（2）若 x∈A或x∈B，则x∈A∪B。

说明：符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。

注意：“p或q”，“p且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分. 4、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的规定

你能确定命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假吗？命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假和命题p，q的真假之间有什么联系？ 引导学生分析前面所举例子中命题p，q以及命题p∧q的真假性，概括出这三个命题的真假之间的关系的一般规律。

例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，①②都是真命题，所以命题③是真命题。 第（2）组命题中，①是假命题，②是真命题，但命题③是真命题。

p q p∧q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假

（即一假则假） （即一真则真）

一般地，我们规定：

当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。 5、例题

7

p q p∨q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 例1和例2、例3

说明，在用＂且＂或＂或＂联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的意思不变． ．

6．巩固练习 ：Ｐ2０ 练习第1 ， 2题 ７.教学反思：

（１） 掌握逻辑联结词“或、且”的含义

（２） 正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题 （３） 掌握真值表并会应用真值表解决问题

p q P∧q P∨q 真 真 真 假 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 ８．作业： P20：习题１.３Ａ组第1、2题

1.3.3非

(一)教学目标

1.知识与技能目标：

（1）掌握逻辑联结词“非”的含义 （2）正确应用逻辑联结词“非”解决问题 （3）掌握真值表并会应用真值表解决问题 2．过程与方法目标：

观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维能力中严密性品质的培养． (二)教学重点与难点

重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容. 难点： 1、正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题 “￢P”. （三）教学过程

学生探究过程：1、思考、分析

问题1：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？

（1） ①35能被5整除； ②35不能被5整除；

（2） ①方程x2+x+1=0有实数根。 ②方程x2+x+1=0无实数根。 学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。 2、归纳定义

一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作

￢p

读作“非p”或“p的否定”。

3、，若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；

p ￢P 真 假 假 真

4、命题的否定与否命题的区别

8

让学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什么区别？

命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，因此在解题时应分请命题的条件和结论。 例：如果命题p:5是15的约数，那么 命题￢p：5不是15的约数；

p的否命题：若一个数不是5，则这个数不是15的约数。

显然，命题p为真命题，而命题p的否定￢p与否命题均为假命题。 5.例题分析

例1 写出下表中各给定语的否定语。

若给定语为 等于 大于 是 都是 至多有一至少有个 一个 其否定语分别为 分析：“等于”的否定语是“不等于”；

“大于”的否定语是“小于或者等于”； “是”的否定语是“不是”；

“都是”的否定语是“不都是”；

“至多有一个”的否定语是“至少有两个”； “至少有一个”的否定语是“一个都没有”；

例2：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假 （1）p：y ＝ sinx 是周期函数； （2）p：3＜2；

（3）p：空集是集合A的子集。

6.巩固练习：P20 练习第3题 7．教学反思：

（１）正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定． （２）简洁、准确地表述命题 “￢P”. ８．作业 P20：习题１.３Ａ组第3题

1.4.1全称量词1.4.2存在量词

(一)教学目标

1.知识与技能目标

（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．

（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及 判断其命题的真假性．

2.过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． (二)教学重点与难点

重点:理解全称量词与存在量词的意义 难点: 全称命题和特称命题真假的判定. 教具准备：与教材内容相关的资料。

9

（三）教学过程

学生探究过程：1．思考、分析

下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）2x＋１是整数； (2) x＞３；

(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；

（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；

（6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；

（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。 1． 推理、判断

（让学生自己表述）

3．发现、归纳

命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。命题（5）－（8）都是全称命题。 通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），„„表示，变量x的取值范围用M表示。那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：xM, p（x），读做“对任意x属于M，有p（x）成立”。 命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）

，，

命题（5）－（8）都是特称命题（存在命题）．

特称命题：“存在M中一个x，使p（x）成立”可以用符号简记为：xM,p(x)。读做“存在一个x属于M,使p（x）成立”．

全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“ 至多有一个”等.

4．巩固练习

（1）下列全称命题中，真命题是：

A. 所有的素数是奇数； B. xR,(x1)0； C.xR,x

（2）下列特称命题中，假命题是： A.

xR,x2x30 B.至少有一个xZ,x能被2和3整除

1x2 D.x(0,22),sinx1sinx2

2C. 存在两个相交平面垂直于同一直线 D.x{x|x是无理数},x是有理数．

（3）已知：对xR,ax1x恒成立，则a的取值范围是 ；

10

变式：已知：对xR,x2ax10恒成立，则a的取值范围是 ；

（4）求函数f(x)cos2xsinx3的值域；

变式：已知：对xR方程cos2xsinx3a0有解，求a的取值范围．

5．课外作业P29习题1.4A组1、2题： 6．教学反思：

（1）判断下列全称命题的真假：

（2）判断下列特称命题的真假：

1．4．3含有一个量词的命题的否定

(一)教学目标

（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

2．过程与方法目标 ：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． (二)教学重点与难点

教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确

地对含有一个量词的命题进行否定． 教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定． （三）教学过程

学生探究过程：1．回顾

我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p ，如何得到命题p 的否定（或非p ），它们的真假性之间有何联系？ 2．思考、分析

判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？ （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0。 （4）有些实数的绝对值是正数； （5）某些平行四边形是菱形； （6） x∈R, x＋1＜0。 3．发现、归纳

从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定都变成了全称命题。

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

2

11

全称命题P：

xM,p(x)

它的否定￢P

xM,p(x)

特称命题P：

xM,p(x)

它的否定￢P：

全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。5．巩固练习

判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定： （１） p：所有能被3整除的整数都是奇数； （２） p：每一个四边形的四个顶点共圆； （３） p：对x∈Z，x2个位数字不等于3； （４） p： x∈R, x2＋2x＋2≤0； （５） p：有的三角形是等边三角形； （６） p：有一个素数含三个正因数。

6．教学反思与作业

（1）教学反思：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？

（2）作业：P29习题1.4A组第3题：B组（1）（2）（3）（4）

x∈M，￢P(x)

2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程

一、教学目标 (一)知识教学点

使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法． (二)能力训练点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．

二、教材分析

1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． 2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法． 三、教学过程 学生探究过程： (一)复习引入

12

大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：

(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过方程，研究平面曲线的性质．

我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；

(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析：

动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析：

题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM．

∵kOM·kAM=-1，

其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．

2．定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

13

分析：

∵点P在AQ的垂直平分线上， ∴|PQ|=|PA|．

又P在半径OQ上．

∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．

故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义 写出P点的轨迹方程．

解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．

3．相关点法

若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．

例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程． 分析：

P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．

解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)

∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．

14

4．待定系数法

求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．

例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲

曲线方程． 分析：

因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方

ax2-4b2x+a2b2=0

∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根． ∴△=16-4Q4b2=0，即a2=2b． (以下由学生完成)

由弦长公式得：

15

即a2b2=4b2-a2．

(三)巩固练习

用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出． 1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的

2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？

3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程． 答案：

义法)

由中点坐标公式得：

(四)、教学反思

求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．

16

第一课时 3.1.1椭圆及其标准方程（一）

一、教学目标：1、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．2、能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力二、 教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 教学难点：椭圆标准方程的推导．

四、教学过程： （一）、复习引入：

彗星太阳

（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要

性，从而导入本节课的主题） 2.复习求轨迹方程的基本步骤：

3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在 画图板上的F1,F2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？ （二）、探究新课：

1 椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫

作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

PF1F2注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：

（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段） 在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）由此，椭圆的形状与 17

两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程：

取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴设P(x,y)为椭圆上的任意

一点，椭圆的焦距是2c（c0）.则F1(c,0),F2(c,0)，又设M与F1,F2y距离之和等于2a(2a2c)过程看书

注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程

PF1OF2x如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点则变成F1(0,c),F2(0,c),只要将方程

2222xa22yb221PyF2OF1中的x,y调换，即可得方程

yaxb1，也是椭

x圆的标准

理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在xa22yb2221与

ya22xb221这两个标准方程中，都有ab0的要求，如方程

x2myn1(m0,n0,mn)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，

可与直线截距式

xayb1类比，如

xa222yb221中，由于ab，所以在x轴上的“截距”

更大，因而焦点在x轴上(即看x,y分母的大小) 2（三）、探析例题： 例1、

（分析：第一看焦点在那个数轴上）

（四）、课堂练习： 1 椭圆

x225y291上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）

A.5 B.6 C.4 D.10 2.椭圆

x225y21691的焦点坐标是（ ）

18

A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3.已知椭圆的方程为

x28ym221，焦点在x轴上，则其焦距为（ ）

A.28m B.222m C.2m8 D.222m22

4.a6,c1,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 5.方程

x23y2sin(2438381表示椭圆，则的取值范围是（ ） )Ａ. Ｃ.8 Ｂ.k Ｄ. 2ky288k2k3838(k∈Ｚ） (k∈Ｚ）

8参：1.A2.C3.A4.

36x2351 5. Ｂ

（五）、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中,

2a2c0； ②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定； ③a、b、c的几何意义 （六）、课后作业：1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b,c的值

①

x22y22x21；②

x24y221；③

x24y221；④4y9x2236 2 椭圆

16y291的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦点F1的弦，

则F2CD的周长为 3． 方程4xky221的曲线是焦点在y上的椭圆 ，求k的取值范围 答案：0k4 4 化简方程：x(y3)22x(y3)2210

5 椭圆

x2100y2361上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是

19

第二课时3.1.1椭圆及其标准方程（二）

一、教学目标：熟练掌握椭圆的两个标准方程 二、教学重点：两种椭圆标准方程的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)、复习： 1、椭圆定义：

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2、椭圆的标准方程 （二）、引入新课

例1、已知B、C是两个定点，∣BC∣=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程. 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单.

在右图中，由△ABC的周长等于16，∣BC∣=6可知，点A到B、C两点的距离之和是常数，即

∣AB∣+∣AC∣=16－6=10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）

解：如右图，建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合.

由已知∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=16，∣BC∣=6，有∣AB∣+∣AC∣=10，即点A的轨迹是椭圆，且

2c=6, 2a=16－6=10 ∴c=3, a=5, b2=52－32=16

但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是

x225y2161(y0)

例2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).

(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.

20

解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：

xa22yb221(ab0)

∵2a(53)022(53)010，2c=6.

∴a5,c3

∴b2a2c2523216

x2∴所求椭圆的方程为：

25y2161.

(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为

ya22xb221(ab0).

∴b2a2c2144. ∴所求椭圆方程为：

y2169x21441

例3、 已知椭圆经过两点（x235,)与(3,5)，求椭圆的标准方程 22解：设椭圆的标准方程

my2n1(m0,n0,mn)

3252()()221则有 m，解得 m6,n10 n2(3)2(5)1nm所以，所求椭圆的标准方程为

x26y2101 例4、已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方

程 解：以BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴建立直角坐标系，设顶点A(x,y)，根据已知条件得|AB|+|AC|=10 再根据椭圆定义得a5,c3,b4 21

所以顶点A的轨迹方程为

x225y216（特别强调检验） 1 （y≠0）

（三）、课堂练习：课本P65页1、2、3

补充题：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答) (1)a=4,b=3,焦点在x轴；(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.（答案：

x216y291；

y225x221 1）

(2) 已知三角形ΔABC的一边长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程 解：以BC边为x轴，BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程为：

x225y2161

若以BC边为y轴，BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆， 其方程为：

x216y2251 （五）、课后作业：习题3-1 A组中2、3、4、5 四、教学反思：

第三课时 3.1.2椭圆的简单几何性质（一）

一、教学目标：

（1）知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握a,b,c几何意义以及a,b,c的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。

（2）过程与方法：以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。

二、重点：要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；

难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。

三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． （二）、新课探析

22

（1）、通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质． 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （2）、椭圆的简单几何性质：①范围：由椭圆的标准方程可得，

yb221xa220，进一步

得：axa，同理可得：byb，即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里；②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率：圆的焦距与长轴长的比e，b当e1时，ca，圆图形越扁椭0ca叫做椭圆的离心率（0e1），

．

；当e0时，c0，ba椭圆越接近于圆（3）例题讲解与引申、扩展

例1、 求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心 率、焦点和顶点的坐标．

分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导 学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可 求相关量．

扩展：已知椭圆mx5y5mm0的离心率为e22105，求m的值．

22解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为

xa22yb1，算出a,b,c的值；

此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定． （三）、课堂练习：课本P68页中1、2

23

（五）、课后作业：课本习题3-1 A组中6、7、8

3.1.2椭圆的几何性质（二）

一、教学目标：１．熟悉椭圆的几何性质；2．了解椭圆的简单应用． 二、教学重点：椭圆的几何性质的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：

1、椭圆定义、椭圆的标准方程 2、椭圆的几何性质 （二）、引入新课

1．椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率

2．椭圆的准线方程 对于

xa22yb221，相对于左焦点F1(c,0)对应着左准线l1:x2a2c2；相对于右焦点

F2(c,0)对应着右准线l2:xac焦点到准线的距离pa2ccacc2b2c（焦参

数）

注：（1）椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 （2）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 （三）例题探析

例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（１）经过点Ｐ（－３，０）、Ｑ（０，－２）；（２）长轴的长等于２０，离心率等于

35．

解：（１）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点Ｐ、Ｑ分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得a=3,b=2.

又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为

x29y241．

24

（２）由已知，2a=20,ea10,c6.b2ca2352,

.

106由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为 x2100y21或

y2100x21．

说明：此题要求学生熟悉椭圆的几何性质，并注意区分两种椭圆标准方程． 例2、求下列椭圆的准线方程：（1）x4y4 (2)解析：将方程化为标准方程，利用性质可求解。

（三）、小结：本节课我们学习了椭圆的椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）．1、掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；２、掌握椭圆标准方程中a、b、c、e之间的关系。

（四）、课堂练习：1、求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．

2、（06山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）

(A)2 (B)

2222x216y2811

(C)

12 (D)

24

3、（1999全国，15）设椭圆

xa22yb22=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1

且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 。 （五）、课后作业：课本习题3-1 B组中1、2、3

25