第２６卷第２期 ２０１０年４月 大 学 数 学 Ｃ（）Ｉ Ｉ ＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏｌ＿２６，№．２ Ａｐｒ．２０１０ 带有Ｐｏｉｓ ｓｏｎ随机测度的比例 微分方程数值解的收敛性 毛 伟 ， 韩修静 （１．江苏教育学院数学系．江苏南京２１００１ ３ ２．江 大学理学院，江苏镇江２１２０１３） ［摘 要］主要研究ｒ带跳的随机比例微分方程 ｒ ｒ — Ｊ ｄＸ（ｔ）一－厂（（ｘ（ｆ），ｘ（ ））ｄｔ ４－ｇ（ｘ（ｆ），ｘ（ ））ｄＷ（ｔ）＋Ｉ ｈ（ｘ（，），Ｘ（ｑｔ），Ｈ）Ｎ（ｄｔ，ｄ１．），０≤ｆ≤丁， ＩＸ（Ｏ）＝Ｘｎ， 给出了此方程的Ｅｕｌｅｒ数值解，并在局部Ｉ．ｉｐｓｃｈｉｔｚｓ条件下，证明了数值解依均方和概率测度意义下收敛于精 确解． ［关键词］随机比例微分方程；补偿Ｐｏｉｓｓｏｎ随机测度；Ｅｕｌｅｒ方法；数值解；ｊ 收敛和依概率测度收敛 ［中图分类号］０２１１．６３ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１ ６７２ １ ｒ ５４（２Ｏ１０）０２ ００６４—０２ １ 引 言 众所周知，对确定情形有一类很特殊的延迟微分方程～一比例方程 ｆｘ （ｆ）一，（Ｘ（ｆ），Ｘ（ｑｔ））， ≥０， ｌｘ（０）一ｘ。， 其中Ｏ＜ｑ＜１．它出现在诸如数论、动力系统、概率论、量子力学和电气力学等众多领域．尤其，它被 Ｏｃｋｅｎｄｏｎ和Ｔａｙｌｏｒ［１ 用来研究电动机车的导电弓架收集电流的方法．然而在我们的现实生活中，一个 事物的发展有些时候会受到大量的、偶然的随机因素的影响，文献［２］就研究了带有白噪声的比例微分 方程．我们知道随机微分方程的解析解很难得到．所以研究有效的数值解法就显得尤为必要，文献 ［３—４］给出了解析解存在惟一的条件；文献［５—９］提出了有效的数值方法，研究了它们的收敛性和稳定 性；文献［１０一ｌ３］则研究了随机微分延迟方程数值解的收敛性．与随机微分方程一样，随机比例微分方 程很难得到解析解，因此需要合适的数值方法去近似模拟此类方程，研究它们的性态特征．本文主要研 究下列带有Ｐｏｉｓｓｏｎ跳测度的比例微分程 ｒ ｒ Ｊ— — ｆｄＸ（ｔ）：，（（ （ ），Ｘ（ｑｔ））ｄｔ＋ｇ（Ｘ（ｔ），Ｘ（ｑｔ））ｄＷ（ｔ）＋ｆ， ｈ（ （ｆ），Ｘ（ｑｔ），ｕ）Ｎ（ｄｔ，出），０≤ｔ≤Ｔ， ｌｘ（０）：Ｘ０， （１） 其中０＜ｑ＜ｌ，，：熙 ×ｌ＝Ｊ 一： ，ｇ： ×√ 一 和ｈ：； × × ： 一— ． （ｆ）是 维布朗运动， 且 （ｄｒ，ｄｕ）一Ｎ（ｄｔ，ｄｕ）－－Ｈ（ｄｕ）ｄｔ是定义在［０，一］×：一 上补偿Ｐｏｉｓｓｏｎ随机测度，且与ｗ（ｆ）．本 文不仅考虑了白噪声而且研究了Ｐｏｉｓｓｏｎ随机跳测度，给出了此方程Ｅｕｌｅｒ方法的数值解，利用比文献 ［２］弱的局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚｓ条件，证明厂数值解收敛于精确解． ［收稿日期］２００７—０９ １０； ［修改日期］２００８ ０５—２１ ［基金项目］江苏教育学院重点课题（Ｊｓｊｙ２００９ｚｄ０３） 第２期 毛伟，等：带有Ｐｏｉｓｓｏｎ随机测度的比例微分方程数值解的收敛性 ６５ ２预备知识和Ｅｕｌｅｒ近似数值解 考虑完备概率空间（ｎ， 歹，Ｐ），（ ） 是（ ， Ｐ）上的完备参考族，且满足通常条件．假设｛ｗ（￡） 一（ｗ （ｔ），ｗ （￡），…，ｗ （￡）） ，￡≥０｝是概率空间（ ， Ｐ）上关于（ ），≥＝０适应的／７２维标准Ｂｒｏｗｎ运动． ｒ丁 令Ｔ＞Ｏ，５／ （Ｅｏ，Ｔ］； ”）表示所有取值于 、可测、关于（ ）适应、满足Ｉ Ｊ，（ｆ）Ｊ＜Ｃｘ３ Ｗ．Ｐ．１的随机过 Ｊ Ｏ ｒＴ 程 ＝＝＝｛，（ｆ）｝。≤ ≤ 、的全体． （［０，丁］； ）表示所有取值于 、可测、关于（ ）适应、满足Ｉ Ｉ，（ ）Ｉ √０ ＜。。Ｗ．Ｐ．１的随机过程＿厂一｛，（￡）｝ ≤ 的全体．令 。是 可测、取值于 ”、满足Ｅ ＩＸ。Ｊ ＜。。的随机 变量．在这里用ｌ・Ｉ表示 ”上欧几里德向量范数和矩阵迹范数． 考虑将Ｅｕｌｅｒ方法应用于方程（１）得到离散时间Ｅｕｌｅｒ数值解． ｒ ～ ｙ ｌ—ｙ， ＋，（ ，ｙ［ ］）ｈ＋ｇ（ｙ ，ｙ［ ］）△ｗ ＋ｌ ｈ（ｙ ，ＹＥ ］，ｕ）Ｎ（ｈ，ｄｕ） 且Ｙ。一 （０），其中Ｙ －￣Ｘ（ｔ ），ｈ—ｔ 一１一ｔ △ｗ 一ｗ（￡ １）一ｗ（ｆ ）， 一０，１，２，…，Ｎ．且Ｎ—Ｔ／ｈ． （２） 利用内插方法定义连续时间Ｅｕｌｅｒ数值解，首先定义两个分段函数： Ｎ Ｎ ｚｌ（ｆ）一∑ｌ， Ｊ 一＾］（ ）， ｚ２（￡）一∑ｌ， ］Ｉ —ｏ ＾］（ｆ）． ｏ 于是（２）式可以表示为 ｒｆ Ｊ ０ ｒ Ｊ ０ ｌ，（ｆ）一ｙ（ｏ）＋ｌ ｆ（Ｚ１（ｓ），Ｚ２（ｓ））ｄｓ＋Ｉ ｇ（Ｚ１（ｓ），ｚ２（ｓ））ｄｗ（ｓ） ｔ ｒ ～ ＋Ｉ Ｉ ｈ（ｚｌ（５），ｚ２（ｓ），“）Ｎ（ｄｓ，ｄＨ）， ｏ≤ ｔ≤ 丁， Ｊ ０ Ｊ＆“ 在给出主要结果之前，首先假设一些基本条件成立： （３） ｉ）（局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件）对每一个ｄ≥１，存在一个常数Ｋｄ≥０，使得对一切ｔＥ Ｅｏ，Ｔ］和 ，Ｙ１， ２， Ｙ ，“∈ ”且ｌ Ｘ Ｉ Ｖ ｌ ｙ ｌ Ｖ ｌ ｌ Ｖ Ｉ ｙ ｌ≤ ，有 ｌ ｆ（ｘ１，Ｙ１）一ｆ（ｘ２，Ｙ２）ｌ。Ｖ ｇ（ｘ１，Ｙ１）－－ｇ（ｘ２，Ｙ２）ｌ。 ｈ（ｘ１，Ｙｌ，Ｈ）一ｈ（ｘ２，Ｙ２，ｌ１）ｆ。１７（ｄｕ）≤Ｋ （Ｉ ｌ— ２ ｌ ＋ｌ Ｙｌ—Ｙ２ ｌ ）． 注 由局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件可以推出一定存在一个常数Ｋ ，使得 ，Ｙ，“∈ ”，有 ｒ （４） ，●＼５ 、 ｌｆ（ｘ， ）Ｉ ｖ ｆｇ（ｘ， ）ｌ。ｖ｝ ｌｈ（ｘ，Ｙ，Ｈ）ｌ Ｈ（ｄｕ）≤Ｋｄ ； Ｊ’ （ｉｉ）存在Ｃ 函数 ： 一 ，使得ｌｉｍ （ ）一Ｃｘ３， ∈ ； （ｉｉｉ）对某些Ｋ＞０，有ＬＶ（ｘ， ）≤Ｋ（１＋ （ ）＋ （ ）），其中 １ ＬＶ（ｘ，ｊ，）三Ｖ （ｘ）ｆ（ｘ，ｙ）＋去［ｇ （ ，ｙ）Ｖ （ ）ｇ（ｘ， ）］ ｒ ＋Ｉ ＥＶ（ｘ＋ｈ（ｘ，ｙ，ｌ１））－－Ｖ（ｘ）一 （ ）｜Ｉｚ（ ，Ｙ，ｌ１）］Ⅱ（ｄｕ）； Ｊ． “ （ｉｖ）存在正常数Ｌ ，使得 ，Ｙ∈蠢”，ｌ ｝Ｖ ｌ ｌ≤ｄ，有 （ｌ ）一 （ｙ）ｆ Ｖ ｌ Ｖ （ ）一 （ ）ｌ Ｖ ｌ Ｖ （ ）一 （ｊ，）ｌ≤Ｌｄ ｆ — Ｊ． ３主要结果及其证明 在这一节，我们给出本文的主要结果． 对充分大的ｄ，令０一ｉｎｆ｛ｔ∈Ｅｏ，Ｔ３：Ｉ ｘ（￡）】≥ ｝，．０一ｉｎｆ｛ｔ∈Ｅｏ，Ｔ］：１ ｙ（ ）ｌ≥ ）．定义停时 ｒ＝ｐ＾ ．于是我们有， 定理３．１ 假设条件ｉ）成立，则Ｅｕｌｅｒ数值解均方意义下收敛于方程（１）的精确解，即 ６６ 大 学 数 学 第２６卷 Ｅ［ｓｕｐ ＩＹ（ｔ）一ｘ（ｆ） ≤ｃ ＾． （８） ０≤ ≤ｒＡ Ｔ 由定理３．１，我们进一步得到依概率测度意义下数值解收敛于精确解・ 定理３．２假设条件ｉ）－－ｉ ）成立且存在常数Ｍ，使得 ＜ｑ，则Ｅｕｌｅｒ数值解依概率测度意义收敛 于方程（１）的精确解，即对任意小的￡，８＞０，有 Ｐ（ｓｕｐ Ｉｌ，（￡）一Ｘ（￡）｛。≥ ）≤￡． （９） Ｏ≤ｒ≤丁 为了证明定理３．１，３．２，我们需要几个引理． 引理３．１假设条件ｉ）成立，对任意ｔＥ［０，ｒ八Ｔ］，有 Ｅ［Ｉｌ，（ｆ）一Ｚ１（ｆ）ｆ。］≤Ｃ１（ ）＾， （１０） 其中Ｃ （ ）与ｈ无关． 证对任意ｔＥ［０，ｒ＾明，存在整数 ，使得ｆ∈［”＾，（”＋１） ）・于是 ｙ（￡）一ｚ１（ｆ）一ｙ（ ）一ｙ ： ，（ｚ ），Ｚ２（ （ｚ ），Ｚ２（ｓ）） ㈤十 （ｚ ），ｚ２（５）’ 出 由基本不等式Ｊ ＋西＋ｆｊ ｚ≤３ Ｊ口Ｊ ＋３ Ｉ ｔ，Ｉ ＋３ 。，Ｃａｕｃｈｙ不等式和鞅等距同构性可得 ＥｌＹ（ｔ） 一ｚ （ｆ￡）｛ ≤３Ｅ ，｛Ｊ ，（ｚ ） ，Ｚ２㈥）ｄｓ｛１ ＋３＋。Ｅ ｇ １ ｊ （Ｚｘ㈥，ｚ ｚ㈦）‘ ５ｄｗ ｊ）ｌ ‘ ＋ｓＥ ｚ㈥ （ｄｓ，ｄｕ）｛。 ：３ｈＥ｛ Ｉｆ（Ｚ （５），ｚ。（ｓ））ｄｓ１ ＋３Ｅ ｊ．１ｇ（Ｚ （ｓ），ｚ２（ｓ））１ ｄｓ ＋３Ｅ ｊｆ，ｆｈ（Ｚ１（ｓ），Ｚ２（ｓ），ｌ１）ｌ ／／（ｄｕ）ｄｓ ”ｈ ３一 ≤３ｈ。Ｋ ＋３ｈＫ ＋３ｈＫ ≤Ｃ１（ ）ｈ． 类似于引理３．１的证明可得 引理３．２假设条件ｉ）成立，对任意ｔＥ［０，ｒ Ａ丁］，有 Ｅ［ＩＶ（ｑ ）－－Ｚ （ ）ｌ ］≤ｃ。（ ） ， （１１） 其中Ｃ （ ）与ｈ无关． 下面来证明定理３．１．令 ｆ 一，（Ｘ（ ），Ｘ（ｑｓ））－－ｆ（Ｚｌ（ｓｔ，ｚｚ（ｓｔ）， ｇ 一ｇ（ｘ（ｓ），Ｘ（ｑ ））－－ｇ（Ｚ （ｓｔ，ｚ２（ｓ）），ｈ 一ｈ（ｘ（５），Ｘ（ｑｓ），¨）一ｆ（Ｚ１（ｓ），Ｚ２（ ），ｔ‘）， 则 ｘ（ ）一ｌ，（ ）：＝＝』 ， ｄｓ＋Ｊ ｇ ｄＷ（ ）＋』 ， ｈ Ｎ（ｄｓ，ｄ”）． 对任意Ｔ ∈［Ｏ，Ｔ］，当ｔＥ［０，ｔ Ａ Ｔ ］，利用基本不等式可得到 Ｅ［Ｓ Ｕ ｐ ，Ｘ（ｔ）－－Ｙ（ｔ），ｚ ≤ｓＥ ｓ ｕ ｐ 。 。 ；ｌ』 ， ｄ ｌ。］＋３Ｅ［。 ；ｓ ｕ； ｐ 、 ！ｊ’ ｇ ｃ ｃ ，ｌ‘．１ ＋３Ｅ ０ ｓｕｐ Ｔ ０… （ ＩＪ Ｊ一 ｄｓ，ｄｕ）ｌ ｆ利用Ｃａｕｃｈｙ不等式，Ｄｏｏｂ鞅不等式和鞅等距同构性，有 Ｅｒ ｓｕｐ ｌＸ（ｔ）－－ｙ（ｔ）ｌ ｎ＜ｆ＜，＾７、． ＜３－Ｔ￣ＩＩ Ｉｆ，｝２（１ ２Ｅ ｈ ｝ 丌（ｄ“）ｄｓ． 再由局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件和引理３．１，３． Ｅ ＪｓｕｐＩｘ（ｆ）一ｌ，（ 胴 。≤ ¨第２期 毛伟，等：带有Ｐｏｉｓｓｏｎ随机测度的比例微分方程数值解的收敛性 ６７ ≤（３Ｔ＋２４）Ｅ Ｉ Ｋ （１ｘ（ｓ）一ｚ （ｓ）Ｉ ＋ｌＸ（ｑｓ）～ｚ （ｓ）ｊ ）ｄｓ Ｊ ０ ｒｒＡ丁 ≤６（Ｔ＋８）ＫｄＥ ｌ （Ｉｘ（ｓ）－－Ｙ（ｓ）ｆ 十Ｉｙ（ｓ）一ｚ （５）Ｊ ＋｝Ｘ（ｑｓ）－－Ｙ（ｑｓ）Ｉ ＋｝Ｙ（ｑｓ）一ｚ。（ｓ）ｌ ）ｄｓ ｒ丁 ≤Ｃ。（ ）＾＋Ｃ （ ）Ｉ Ｅ［ｓｕｐ ｌｘ（“）－－Ｙ（ｕ）Ｉ。］ｄ５ √０ ０≤ Ｈ≤ ｒＡ 利用Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式和Ｔ 的任意性可以得到 广 Ｅｌ Ｌ ０≤ ｓｕｐ ｌｘ（ｆ）－－Ｙ（ｔ）ｆ ］≤Ｃ ｈ， 其中Ｃ 一Ｃ。（ ）ｅＣ４（，１）Ｔｈ． 下面证明定理３．２，整个证明分为三个步骤： １）假设非负函数Ｖ（ ）存在且满足条件ｉｉ），对Ｖ（Ｘ（ｆ））利用一般的Ｉｔ６公式得到 ｄ （Ｘ（ ））一Ｌ （Ｘ（ ），Ｘ（ｑｔ））ｄ ＋ （Ｘ（ ））ｇ（Ｘ（ｆ），Ｘ（ｑｔ））ｄＷ（ｆ） ＥＶ（Ｘ（ｔ）＋＾（ｘ（ ），Ｘ（ｑｔ），“））一 （ｘ（ ））］ （ｄ￡：ｄ“） 两边从０到ｔＡ ０积分，再取期望，得 Ｅ（Ｖ（Ｘ（ｔ＾ ））一Ｖ（Ｘｏ）＋Ｅ Ｉ ＬＶ（Ｘ（ｓ），Ｘ（ｑｓ））ｄｓ． 由条件ｉｉｉ），有 ＥＶ（Ｘ（ｔ＾ ））≤Ｖ（Ｘ。）＋ＫＥ ｌ ［１＋ （ （ｓ），Ｖ（Ｘ（ｑｓ））］ｄｓ ≤ （ｘ。）＋ＫＴ＋Ｋ（１＋ ）Ｅ （ｘ（ｓＡ Ｏ））ｄｓ． 利用Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式，得到 ＥＶ（Ｘ（ｔＡ臼））≤［ （ｘ。）＋ＫＴ］ｅ （ 古） ． （１２） 令 一ｉｎｆ｛ （ ）：ｌ Ｉ≥ ｝，由条件ｉｉ）ｌｉｒａ （ ）一ＣｘＤ，可以推出ｌｉｍｖ 一。。． 注意到只要 ＜Ｔ，就有Ｉｘ（ ）ｌ—ｄ．从（１２）式可以推出 ［ （ｘ。）＋ＫＴ］ｅ （ 吉） ≥Ｅ （ｘ（￡＾ ））≥Ｅ［ （ｘ（ ）） ｛Ｋ¨（叫）］≥ｖ Ｐ（ ＜Ｔ）， Ｅｖ（ｘ。）＋Ｋ丁］ｅ （ 古） 即有Ｐ（ ＜Ｔ）≤ ．因为 ＜Ｍ，且当 一。。，有ｖ 一。。，所以对于给定的Ｔ和ｘ。， ｄ ０ ［ （ｘ。）＋Ｋ丁］ｅ，Ｋ（ 古） 当ｄ－－￣ｏｏ时， 一。．令 一 墨 ± ！ ∈（。，１），于是有Ｐ（ ＜Ｔ）≤ ． ｄ ２）对 （１，（￡））利用一般的Ｉｔ６公式，则有 ｄ （ｙ（ｆ））一［ （（１，（ ）），（ｚ （￡），Ｚ２（ ）） １ ＋寺［ （ｙ（ｆ））ｇ （ｚ１（ ），ｚ２（ｆ））］出＋ （１，（￡））ｇ（Ｚ１（￡），ｚ２（￡））ｄｉｇ（ｔ） ｒ ＋ｌ ［ （１，（ｆ）＋ｈ（Ｚ１（￡）， （￡），Ｈ））－－Ｖ（Ｙ（ｔ））一 （ｙ（￡））Ｊｌｚ１（￡），Ｚ２（ｆ），ｕ）］Ｈ（ｄｕ）ｄｔ ＋Ｉ ［ｗ（ｆ）＋矗（ｚ （ ）， （￡），ｌ１））一 （１，（ ））］ （出，ｄｕ） ＝＝＝Ｌ、，（ｚ】（￡）， （ｆ）） ＋［ （ｙ（ ））一 （ｚ１（ ））Ｉｆ（Ｚ１（￡），ｚ２（ ））ｄｔ ＋÷［ （１，（ｆ）一 （ｚ （￡））］ｇ （ｚｌ（￡），ｚ２（￡））出 ｛ＩｖＹ（ｔ）＋Ｊ『ｌ（ｚ１（ｆ），ｚ２（￡），ｌ１））一 （ｚｔ（￡）＋ （ｚ１（ ），ｚ２（ ），ｌ１））］ ［ （ｙ（ｆ）－－Ｖ（Ｚ１（￡）］一［ （１，（ ））一Ｖｘ（ｚ （ ））］）ｈ（Ｚ （￡）， （ ），ｌ１））Ⅱ（ｄｌ１）ｄｔ ＋ （ｙ（ｆ））ｇ（ｚ （ｆ），Ｚｚ（ ））ｄｗ（ｆ）＋ Ｉｖ（Ｙ（￡）＋Ｊｚ（ｚ１（￡），ｚ２（ ），ｌ１））一 （ｙ（￡））］ （出，（ｈ１）． ６８ 大 学 数 学 第２６卷 两边从０到ＩＤ＾ｔ积分，取期望，得 ＥＶ（Ｙ（ｔ Ａ｜Ｄ）） 一Ｖ（Ｘｏ）＋Ｅ Ｊ ０ ｆｐａｔＬＶ（Ｚ （ ），Ｚ２（ｓ））ｄ ＋Ｅ √ｌ＿ｒ ［ （１，（ ））～ｖ （ｚ （ｓ））］，（ｚ （ｓ），Ｚ。（ｓ））ｄｓ ｒｐＡｔ １ 十Ｅ Ｉ 去［ （ｙ（ｓ））～ （ｚ （ｓ））］ｇ。（ｚ （５），ｚｚ（ ））ｄｔ ＋Ｅ ｛ｒＶ（Ｙ（ｓ）＋ （ｚ１（ ），ｚ２（ ）， ））－－Ｖ（ＺＩ（ ）＋ （ｚＩ（ ），ｚ２（ ）。甜））］ 一［ （１，（ ）－－Ｖ（Ｚ１（ ）］一Ｅｖ （１，（ ））一 （ｚ （ ））］Ｉｈ（Ｚ１（ ），ｚｚ（ ）， ））ＩＩ（ｄｕ）ｄｓ． 利用条件ｉｉｉ）和加一项减一项的技巧可得 ＥＶ（Ｙ（ｔ＾ｌＤ））≤ （ｘ。）＋ＫＥ Ｉ （Ｉ＋Ｖ（Ｚ （ ））＋ （ｚ２（ ）））ｄｓ ＋Ｅ Ｉ ［ （１，（ｓ））一Ｖ （ｚ１（ｓ））］，（ｚ１（ ），ｚ２（ｓ））ｄｓ ＋Ｅ 吉［ 麒（ｙ（５））一Ｖ肼（ｚ （ ））］ｇ （ｚ （ ），ｚ：（５））ｄ ＋Ｅ ｊ’ ｛［ （ｙ（ｓ）＋ （ｚ （ｓ），ｚｚ（ｓ），Ｈ））一 （ｚ・（ｓ）＋ （ｚ （ｓ），ｚｚ（５），ｌ１））］ ［Ｖ（ｙ（ｓ）－－Ｖ（Ｚ （ｓ）］一［Ｖ （ｙ（ｓ））一Ｖ （ｚ （ｓ））］｝ｈ（Ｚ （ｓ），ｚ２（ｓ），Ｈ））ＩＩ（ｄｕ）ｄｓ ≤ （ ）十ＫＴ十ＫＥ Ｊ Ｖ（ｒ ＾， １，（ ））ｄｓ十ＫＥ ｌ ｒ Ａｔ Ｖ（Ｙ（ｑｓ））ｄｓｒ ＾ｔ ｒＰ＾ 一 ＋ＫＥ ｌ ［ （ｚ （ ））一 （ｙ（ｓ））］ｄｓ＋ＫＥ Ｉ ［ （ｚ （ｓ））一Ｖ（Ｙ（ｑｓ））］ｄｓ 十Ｅ ｌ ［Ｖ （ｙ（ｓ））一 （ｚ （ ））２ｆ（ｚ （ ），ｚ （ ））ｄｓ ＋Ｅ Ｉ ｒＤＡｔ ＋Ｅｖ （ｙ（ ））一Ｖ （ｚ （ ））］ｇ （ｚ （ ），ｚｚ（ｓ））ｄｓ ｛ｒ （１，（ ）＋ （ｚ （ｓ），ｚ。（ ），ｌ１））－－Ｖ（Ｚ （ ）＋矗（ｚ （ｓ），ｚ：（ｓ），Ｈ））］ ［ （１厂（ｓ）－－Ｖ（Ｚ （ｓ）］一［ （１厂（ ））一 （ｚ （ｓ））］｝ （ｚ－（ ），Ｚｚ（５），ｌ１））ＩＩ（ｄｕ）ｄｓ． 再由条件ｉｖ）就有 ＥＶ（Ｙ（ 八１０））≤Ｖ（ｘ。）＋Ｋ丁＋Ｋ（１＋ ）Ｅ ¨Ｖ（ｙ（ ））ｄ ＋ＫＬ Ｅ Ｌ Ｅ ＥｆＩ ｐａｔ－ｙ（Ｙ（ ））一ｚ 一ｚ１（ ）］ｄｓ ＋ＫＬ Ｅ Ｌ Ｅ Ｅｄ Ｉｆ －ｐａｔＥｒ（ ｑｓ）－ＺＺ２（５）］ｊ ｄｓ ｒＤ＾， ＋Ｌ Ｅ ｌ。 Ｉｙ（ ）一ｚ】（ ）Ｉ Ｉ ｆ（Ｚ （ ），ｚ２（ｓ））Ｉ ｄｓ ＋ １ Ｌ Ｅ ｆ ＩＹ（ ）一ｚ （ ）ｊ Ｉｇ（Ｚ （ ），ｚ：（ ））｝ｚｄ ｙ（ｓ）一ｚ】（ｓ）｛ｌ ｈ（Ｚ１（ｓ），ｚ２（ｓ），“ｌ／／（ｄｕ）ｄｓ． 通过计算，利用引理３．１，３．２和（５）式，有 ＥＶ（Ｙ（ｔＡ．Ｄ））≤ｖ（ｘ。）＋ＫＴ－ＦＫＬＪ（￣／ ＋￣／ ））矗÷丁 一 ｔ １ １ ｃ ｉ１ Ｈ（ｄｕ） ＋Ｋ（１＋ ）Ｅ （ｙ（１。＾ ））ｄ ． 令 Ｈｄ：ＫＬｄ（厕＋ｆ—Ｃ２（ｄ）卅Ｌ 厕 ｎ １］Ｔ＋ｓ… １ 鼬 卜 第２期 毛伟，等：带有Ｐｏｉｓｓｏｎ随机测度的比例微分方程数值解的收敛性 ６９ 于是利用Ｇｒｏｎｗａｌｌ型不等式可得 ＥＶ（Ｙ（￡Ａｐ））≤［ （ｘ。）＋ＫＴ］ｅＫ（ 古） ＋Ｈ ＾吉． （１３） 注意到当』Ｄ＜丁时，ｌｙ（ｆ０）Ｉ—ｄ，所以由（１３）式有 ｒｖ（ｘ。）ｑ－ＫＴ］ｅＫ（ 古） ＋Ｈ 专 ≥ＥＶ（ｙ（ｔ＾ｐ）） ≥Ｅ［ （１，（Ｉ。）） ： （ ）ｊ ≥ Ｐ（ｐ＜丁）． 令茸 ＝＝： 等 定义 ，于是Ｐ（ＩＤ＜丁）≤￡（１＋再 ，２ １）．从而有 Ｐ（ｚ＿＜Ｔ）≤Ｐ（ｐ＜Ｔ）＋Ｐ（ ＜Ｔ）≤ｅ（２＋Ｈｄｈ ）． 一｛ ：ｓｕｐ｛ｙ（ｆ）一ｘ（ｔ）Ｉ。≥ ｝， Ｏ≤ｆ≤丁 由定理３．１的结论，有 ｕ ｙ（ｆ）一ｘ（ ）Ｉ。］≥Ｅ［ ｓｐ ＩＹ（ｔ）ｘ（￡）ｌ Ｊｒ≥７（ ）］ Ｃｊｈ≥Ｅ［ ｓｕ ｐ ｌｏ Ａ ≤≤Ｔ ≤，≤ｒ， Ｔ丁 （）≤ｆ≤ ≥Ｅ［ｓｕｐ １Ｙ（ ）－－Ｘ（ｔ）｝。Ｉ ≥１、（ ） （叫）］≥ Ｅ［Ｊ ≥Ｔ（ ） （ ）］ 一８Ｐ（｛ｒ≥Ｔ｝ｎ ）≥ａ［Ｐ（ｂ）一Ｐ（ｒ＜Ｔ）］． 从而得到 Ｐ（ ）一Ｐ（ ｓｕｐ ［Ｙ（ｏ ≤ｆ≤丁 ， ）一ｘ（ ）ｌ：≥占）≤２￡＋￡再 ＾专十 ＾． ｕ ［参 考 文 献］ ｎｄｏｎ Ｊ Ｒ，Ｔａｙ１ｏｒ Ａ Ｂ．Ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ａ ｃｕｒｒｅｎｔ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｆｏｒ ａｎ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｌｏｃｏｍｏｔｉｖｅ［Ｊ］．Ｐｒｏｃ ［１］ ｏｃｋｋｅＲｏｙ，Ｓｏｃ．Ａ，１９７１，３２２：４４７—４６８． Ｆａｎ Ｚｈｅｎｃｈｅｎｇ，Ｉ ｉｕ Ｍｉｎｇｚｈｕ，Ｃａｏ Ｗａｎｒｏｎｇ． Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｓｅｍｉ— Ｅ２］ ｉｍｐｌｉｃｉｔ Ｅｕ１ｅｒ ｉｉ１ｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐａｎｔｏｇｒａｐｈ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａ１．Ａｐｐ１．，２００７，３２５：１１４２—１ １５９． ｄ Ｔ Ｃ．Ｉｎｔｒ。ｄｕｃｔｉｏｎ ｔ。ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｄｅｋｋｅｒ，１ ９９８． ［３］ Ｇａｒｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｈａｒｗｏｏｄ，１９９７． ［４］ Ｍａ。Ｘ Ｒ．Ｓｔ［５２ Ｍｉｌｓｔｅｉｎ Ｇ Ｎ． Ａ ｔｈｅｏｒｅｍ。ｎ ｔｈｅ。ｒｄｅｒ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｍｅａｎ ｓｑｕａｒｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｌｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｔｈｅｏｒ．Ｐｒｏｂａｂ．Ａｐｐ１．，１９９８，３２：７３８—７４１． ｄｏｎ Ａ． Ｆｈｅ。ｒｄｅｒ。ｆ ａｐｐｒｏｘｉｍａｒｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｉｔ０一ｔｙｐｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｊｕｍｐｓＥＪ］． ［６］ ＧａｒＳｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００４，２２：６７９—６９９． ｇｈｈａｍ Ｄ Ｊ． Ｍｅａｎ ｓｑｕａｒｅ ａｎｄ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｔｈｅｔａ ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］． ＳＩＡＭ．Ｊ．Ａｐｐ１．Ａｎａ１．， ［７］ Ｈｉ２０００，３８：７５３—７６９． ｉｇｈｈａｍ Ｄ Ｊ，Ｍａｏ Ｘ，Ｓｔｕａｒｔ Ａ Ｍ．Ｓｔｒｏｎｇ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ Ｅｕｌｅｒ—ｌｉｋｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ［８］ Ｈ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ．Ｊ．Ａｐｐ１．Ａｎａ１．，２００２，４０：１０４１—１０６３． ｉｏｎ Ｇ，Ｍａｏ Ｘ，Ｒｅｎｓｈａｗ Ｅ．Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｅｕｌｅｒ ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］． ［９］ ＭａｒＩｎｔ．Ｍａｔｈ．，２００１，１：９ ２２． ｋｗａｒ Ｆ．Ｉｎｔｒｏｄｕｃ“ｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｅｌａｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ￣Ｊ］．Ｊ．Ｃｏｍｐｕｔ．Ａｐｐ１． Ｅｌｏ］ ＢｕｃＭａｔｈ．，２０００，１ ２５：２９７ ３０７． ［１１］ Ｋｕｃｈｉｅｒ Ｕ ａｎｄ ＰＩａｔｅｎ Ｅ． Ｓｔｒｏｎｇ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｔｉｍｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｄｅｌａｙ ［Ｊ］．Ｍａｈｔ．Ｃｏｍｐｕｔ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，２０００，５４：１８９—２０５． Ｎｕｍｅｒｉｃａ１ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｄｅｌａｙ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｕｎｄｅｒ ｌｏｃａｌ Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ［１２］ Ｍａ。Ｘ ａｎｄ Ｓａｂａｎｉｓ Ｓ．［Ｊ］．Ｊ．Ｃｏｍｐｕｔ．Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．，２００３，１ ５１（１）：２１５—２２７． ［１３］ Ｒｏｎｇｈｕａ Ｉ ，Ｈｏｎｇｂｉｎｇ Ｍ， Ｙｏｎｇｈｏｎｇ Ｄ． Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｄｅｌａｙ ｅａｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｊｕｍｐｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００６，１７２：５８４ ６０２． ７０ 大 学 数 学 第２６卷 Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｐａｎｔｏｇｒａｐｈ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ Ｐｏｉｓｓｏｎ Ｒａｎｄｏｍ Ｍｅａｓｕｒｅ ＭＡＯ Ｗｅｉ ，ＨＡＮ Ｘｉｕ－ｊｉｎｇ。 （１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉａｎｇｓｕ Ｉｎｓｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｊｉａｎｇｓｕ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ， Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００１３，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｆａｃｕｌｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｊｉａｎｇｓｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｊｉａｎｇ ２１２０１３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅ ｍａｉｎｌｙ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐａｎｔｏｇｒａｐｈ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｊｕｍｐｓ（ＳＰＥｗＪｓ）： １Ｉ ｆｄＸ（ｔ）一，（ｘ（￡），Ｘ（ｑｔ）ｄｔ＋ｇ（ｘ（￡），Ｘ（ｑｔ））ｄ （ ）＋ｆ ｈ（ （￡），Ｘ（ｑｔ），ｕ）Ｎ（ｄｔ，ｄｕ）， ｏ≤￡≤Ｔ， Ｘ（Ｏ）＝Ｘｏ， Ｔｈｅ Ｅｕｌｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ＳＰＥｗＪｓ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ，ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚｓ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｗｅ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ ｔＯ ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｎ Ｌ ｓｅｎｓｅ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｉｎ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｓｅｎｓｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐａｎｔｏｇｒａｐｈ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｒａｎｄｏｍ ｍｅａｓｕｒｅ；Ｅｕｌｅｒ ｍｅｔｈｏｄ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ Ｌ ａｎｄ ｉｎ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ
