2015-2016学年广东省高三数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．复数
（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合M={x|y=lg
}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁RM）∩N=（ ）
A．{x|10＜x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|x≥2} D．{x|1＜x＜2}
3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ） A．15
B．10
C．9
D．7
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（ ） A．120 B．105 C．90
D．75
5．由直线y=2x及曲线y=3﹣x2围成的封闭图形的面积为（ ） A．
B．
C．
D．
6．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+
的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
）
7．如图，定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子（2tan⊗lne+lg100⊗（）﹣1的值为（ ） A．11
B．13
C．8
D．4
8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A．54
9．5、如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足=2，若
A．﹣2 B．2
C．
D．
=2，
=3，∠BAC=120°，则
的值为（ ）
B．27
C．18
D．9
10．如图，在平行四边ABCD中，∠ABD=90°，2AB2+BD2=4，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（ ）
A．4π B．8π
11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则A．
B．1
C．
D．2
的最大值为（ ）
C．12π D．16π
12．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，则函数g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3的零点所在区间是（ ） A．（1，2） B．（2，3） C．（，1） D．（0，） 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（x3+
）9的展开式中的常数项为 ．
+
+…+
=n2+3n（n∈N*），则
+
+…+
= ．
14．若数列{an}是正项数列，且
15．3）x+y﹣3=0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为 ． 若m∈（0，，则直线（m+2）（3﹣m）16．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S=a2﹣（b﹣c）2，则sin= ． 三、解答题（共5小题，满分60分）
17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．
18．为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛．先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．
=b．
分数（分数段） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100） 合 计 频数（人数） 9 y 16 z p 频率 x 0.38 0.32 s 1 （Ⅰ）求出上表中的x，y，z，s，p的值；
（Ⅱ）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序．已知高一•二班有甲、乙两名同学取得决赛资格．
①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
②记高一•二班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD于O，E为线段PC上一点，且AC⊥BE， （1）求证：PA∥平面BED； （2）若BC∥AD，BC=
20．已知抛物线C：x点T．
（1）证明：抛物线C在点T处的切线与MN平行； （2）是否存在实数k使
，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
，直线y=kx+2交C于M、N两点，Q是线段MN的中点，过Q作x轴的垂线交C于，AD=2
，PA=3且AB=CD，求PB与面PCD所成角的正弦值．
21．设函数f（x）=1﹣e﹣x． （Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤
四、请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）证明：AE是⊙O的切线； （2）如果AB=2
选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知圆M的极坐标方程为坐标系．
（1）求圆M的标准方程； （2）过圆心M且倾斜角为
选修4-5：不等式选讲 24．已知函数f（x）=|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；
（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．
的直线l与椭圆
交于A，B两点，求|MA|•|MB|的值．
，现以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角
，AE=
，求CD．
；
，求a的取值范围．
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．复数
（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【分析】先对复数化简并整理出实部和虚部，求出对应的点的坐标，即判断出点所在的象限． 【解答】解：∵即在第一象限， 故选A．
【点评】本题考查了复数的乘除运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
2．已知集合M={x|y=lg
}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁RM）∩N=（ ） =
=2+i，∴在复平面上对应的点坐标是（2，1），
A．{x|10＜x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|x≥2} D．{x|1＜x＜2}
【考点】其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域． 【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用函数的定义域求出M，函数的值域求出N，即可求解（∁RM）∩N． 【解答】解：集合M={x|y=lgM={x|0＜x＜1}， ∴∁RM={x|x≤0或x≥1} N={y|y=x2+2x+3}={y|y≥2}， （∁RM）∩N=[2，+∞） 故选：C．
【点评】本题考查分式不等式的解法，函数的值域以及函数的定义域，交、并、补的运算．
3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ） A．15
B．10
C．9
D．7
}，
，解得：0＜x＜1，
【考点】系统抽样方法． 【专题】概率与统计．
【分析】根据系统抽样的方法和步骤，我们可将960人分为32组，每组30个人，则由此可计算出做问卷AB的组数和做问卷C的组数，即相应的人数．
【解答】解：用系统抽样方法从960人中抽取32人 可将960人分为32组，每组30个人
由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9， 故编号为[1，750]中共有750÷30=25组 即做问卷C的有32﹣25=7组 故做问卷C的人数为7人 故选D
【点评】本题考查的知识点是系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的方法和步骤是解答的关键．
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（ ） A．120 B．105 C．90 【考点】等差数列．
【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可． 【解答】解：{an}是公差为正数的等差数列， ∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80， ∴a2=5，
∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16， ∴d=3，a12=a2+10d=35 ∴a11+a12+a13=105 故选B．
【点评】本题主要考查等差数列的运算．
5．由直线y=2x及曲线y=3﹣x2围成的封闭图形的面积为（ ） A．
B．
C．
D．
D．75
【考点】定积分． 【专题】计算题．
【分析】根据图形可以得到直线y=2x及曲线y=3﹣x2围成的封闭图形的面积为第三象限二分之一矩形的面积减去抛物线在第三象限曲边三角形的面积，加上抛物线在第一和第二象限曲边梯形的面积减去直角三角形的面积． 【解答】解：如图，由
得：
或
，
所以直线y=2x及曲线y=3﹣x2围成的封闭图形的面积为 S=
﹣
﹣
=8+故选D．
=8+（3x﹣）=8+．
【点评】本题考查了定积分，考查了数形结合的数学思想，解答此题的关键是明确微积分基本定理．
6．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+
的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质． 【专题】计算题．
【分析】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．
当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可． 【解答】解：依题意可知m=±
=±4
，e==则，e=
当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=故选D
【点评】本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．
7．如图，定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子（2tan
）⊗lne+lg100⊗（）﹣1的值为（ ）
A．11 B．13 C．8 D．4
【考点】程序框图． 【专题】新定义．
【分析】根据程序框图可得，当a≥b时，则输出a（b+1），反之，则输出b（a+1），比较2tan与⊗（）﹣1的大小，即可求解得到答案． 【解答】解：∵2tan∴（2tan
=2，而lne=1，
）×（lne+1）=2×2=4，
与lne，lg100
）⊗lne=（2tan
∵lg100=2，（）﹣1=3，
∴lg100⊗（）﹣1=（）﹣1×（lg100+1）=3×3=9， 故（2tan故选：B．
【点评】本题考查了程序框图，对应的知识点是条件结构的应用，其中正确理解各变量的含义并根据程序功能的需要合理的分析是解答的关键．属于基础题．
8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
）⊗lne+lg100⊗（）﹣1的值为4+9=13．
A．54 B．27 C．18 D．9
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，由体积公式可求． 【解答】解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥， 且底面为矩形，长6，宽3；体高为3． 则故选：C．
【点评】做三视图相关的题时，先要形成直观图，后要注意量的关系．属于基础题．
9．5、如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足∠BAC=120°，则
的值为（ ）
=2，若
=2，
=3，
=18．
A．﹣2 B．2 C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】数形结合；转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】利用数量积运算性质可得：积运算性质即可得出． 【解答】解：∵∵∴
=，∴
=2， =•
=3，∠BAC=120°，∴
，化为=
=+
+﹣
=2×3×cos120°=﹣3． =
+=
=++
． ﹣
=﹣2．
．利用向量共线定理及其三角形法则可得
=
+
．再利用数量
故选：A．
【点评】本题考查了数量积运算性质、向量共线定理及其三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．如图，在平行四边ABCD中，∠ABD=90°，2AB2+BD2=4，若将其沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（ ）
A．4π B．8π C．12π D．16π
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】确定三棱锥A﹣BCD的外接球的直径，根据2AB2+BD2﹣4=0，确定三棱锥A﹣BDC的外接球的半径，即可求得棱锥A﹣BDC的外接球的表面积．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，
∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，且AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4， ∴三棱锥A﹣BDC的外接球的半径为1， ∴三棱锥A﹣BDC的外接球的表面积是4π 故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，解题的关键是确定三棱锥A﹣BCD的外接球的直径，属于中档题．
11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则A．
B．1
C．
D．2
的最大值为（ ）
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案． 【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF 由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP| 在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b． 由余弦定理得，
|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab 配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab， 又∵ab≤（
） 2，
∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2 得到|AB|≥
（a+b）．
所以≤=，即的最大值为．
故选：A
【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．
的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本
12．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，则函数g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3的零点所在区间是（ ） A．（1，2） B．（2，3） C．（，1） D．（0，） 【考点】导数的运算；函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】由∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，可设f（x）﹣log3 x=c（c为常数），求出g（x）的解析式，并说明g（x）的单调性，计算g（2），g（3），确定符号，由零点存在定理即可得到答案． 【解答】解：∵对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4， ∴可设f（x）﹣log3 x=c（c为常数），则f（x）=log3 x+c， ∴f[f（x）﹣log3 x]=f（c）=log3c+c=4，∴c=3， ∴f（x）=log3 x+3，
∴g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3=log3（x﹣1）﹣g（2）=﹣log3e＜0，g（3）=log32﹣log3e=log3
＞0，
log3e在（1，+∞）上为增函数，
由零点存在定理得，函数g（x）的零点所在的区间为（2，3）．
故选B．
【点评】本题主要考查函数的零点的判断，考查应用零点存在定理判断函数的零点所在范围，同时考查函数导数的运算和函数的单调性，是一道函数综合题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（x3+
）9的展开式中的常数项为 84 ．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出r，即可求出常数项． 【解答】解：Tr+1=C9r（x3）9﹣r令27﹣r=0， 则r=6时，∴（x3+故答案为：84．
【点评】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特征项问题的工具．
14．若数列{an}是正项数列，且【考点】数列的求和． 【专题】计算题．
【分析】根据题意先可求的a1，进而根据题设中的数列递推式求得已知式相减即可求得数列{an}的通项公式，进而求得数列{的求和公式求得答案． 【解答】解：令n=1，得当n≥2时，
+
+…+
=（n﹣1）2+3（n﹣1）．
=4，∴a1=16．
+
+…+
=（n﹣1）2+3（n﹣1）与
+
+…+
=n2+3n（n∈N*），则
+
+…+
= 2n2+6n ．
）9的展开式中的常数项为C96=84．
=C9r
}的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列
与已知式相减，得
=（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=2n+2， ∴an=4（n+1）2，n=1时，a1适合an． ∴an=4（n+1）2， ∴
=4n+4，
∴+++=
=2n2+6n．
故答案为2n2+6n
【点评】本题主要考查了利用数列递推式求数列的前n项和．解题的关键是求得数列{an}的通项公式．
15．若m∈（0，3），则直线（m+2）x+（3﹣m）y﹣3=0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为 【考点】几何概型． 【专题】概率与统计．
【分析】由题意，分别令x，y=0可得截距，进而可得×出相等长的比值即可．
【解答】解：∵m∈（0，3），∴m+2＞0，3﹣m＞0 令x=0，可解得y=
，令y=0，可解得x=
×
，
，
×
＜，解不等式可得m的范围，由几何概型求
．
故可得三角形的面积为S=×由题意可得×
×
＜，即m2﹣m﹣2＜0，
解得﹣1＜m＜2，结合m∈（0，3）可得m∈（0，2），
故m总的基本事件为长为3的线段，满足题意的基本事件为长为2的线段， 故可得所求概率为： 故答案为：
【点评】本题考查几何概型的求解决，涉及直线的方程和一元二次不等式的解集，属中档题．
16．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S=a2﹣（b﹣c）2，则sin= 【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】解三角形．
【分析】利用余弦定理及三角形面积公式列出关系式，变形后代入已知等式，整理求出tan的值，利用同角三角函数间基本关系求出sin的值即可．
【解答】解：将S=bcsinA，a2=b2+c2﹣2bccosA，代入已知等式得： bcsinA=a2﹣b2﹣c2+2bc=﹣2bccosA+2bc， 整理得： sinA=﹣2cosA+2，即sinA=4（1﹣cosA）， 化简得：2sincos=4×2sin2，
．
∴tan=，cos2=
=，
则sin=故答案为：
．
=．
【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围． 【考点】正弦定理的应用．
【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．
【分析】（1）根据正弦定理化简题中等式，得sinAcosC﹣sinC=sinB．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入前面的等式解出cosA=﹣，结合A∈（0，π）可得角A的大小； （2）根据A=
且a=1利用正弦定理，算出b=
sinB且c=
sinC，结合C=
﹣B代入△ABC的周长表达
=b．
式，利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式，再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得△ABC的周长的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵acosC﹣
=b，
∴根据正弦定理，得sinAcosC﹣sinC=sinB．
又∵△ABC中，sinB=sin（π﹣B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∴sinAcosC﹣sinC=sinAcosC+cosAsinC，
化简得﹣sinC=cosAsinC，结合sinC＞0可得cosA=﹣ ∵A∈（0，π），∴A=（Ⅱ）∵A=
，a=1，
；
∴根据正弦定理，可得b===sinB，同理可得c=sinC，
因此，△ABC的周长l=a+b+c=1+sinB+sinC
=1+=1+
[sinB+sin（（sinB+
﹣B）]=1+cosB）=1+
∈（
，
[sinB+（sin（B+
）
cosB﹣sinB）]
）．
∵B∈（0，∴sin（B+
），得B+）∈（
，1]，可得l=a+b+c=1+
]．
sin（B+）∈（2，1+]
即△ABC的周长的取值范围为（2，1+
【点评】本题已知三角形的边角关系式，求角A的大小，并在边a=1的情况下求三角形的周长的取值范围．着重考查了正弦定理、三角函数的图象与性质、三角恒等变换和函数的值域与最值等知识，属于中档题．
18．为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛．先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表． 分数（分数段） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100） 合 计 频数（人数） 9 y 16 z p 频率 x 0.38 0.32 s 1 （Ⅰ）求出上表中的x，y，z，s，p的值；
（Ⅱ）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序．已知高一•二班有甲、乙两名同学取得决赛资格．
①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
②记高一•二班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布表；离散型随机变量及其分布列． 【专题】概率与统计．
【分析】（I）根据样本容量，频率和频数之间的关系得到要求的几个数据，注意[80，90）小组数据得出样本容量，从而进一步得出表中的x，y，z，s，p的值．
（II）①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A，根据相互独立事件的概率公式得到结果． ②随机变量X的可能取值为0，1，2，结合变量对应的概率，写出分布列和期望． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知，由[80，90）上的数据， 根据样本容量，频率和频数之间的关系得到n=
=50，
∴x==0.18，
y=19，z=6，s=0.12，p=50﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A， 则
所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
②随机变量X的可能取值为0，1，2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
，
，
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
随机变量X的分布列为： X P 0 1 2 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因为
，
所以随机变量X的数学期望为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本小题考查频率、频数和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的随机变量的分布列及数学期望，是一个综合题．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD于O，E为线段PC上一点，且AC⊥BE， （1）求证：PA∥平面BED； （2）若BC∥AD，BC=
，AD=2
，PA=3且AB=CD，求PB与面PCD所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）连接OE，推导出AC⊥OE，AC⊥PA，从而OE∥PA，由此能证明PA∥平面BED．
（2）分别以OB，OC，OE为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出PB与平面PCD所成角的正弦值．
【解答】（本小题满分12分）
证明：（1）∵AC⊥BD，AC⊥BE，BD∩BE=B， ∴AC⊥平面BDE，连接OE，… ∴AC⊥OE，又PA⊥平面ABCD，
∴AC⊥PA，又OE，PA都是平面PAC中的直线， ∴OE∥PA，…
∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE， ∴PA∥平面BED．… 解：（2）∵BC∥AD，BC=
，AD=2
，且AB=CD，
∴在等腰梯形ABCD中，OB=OC=1，OA=OD=2，…
由（1）知OE⊥平面ABCD，分别以OB，OC，OE为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz， 则B（1，0，0），C（0，1，0），D（﹣2，0，0），P（0，﹣2，3），… 设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则取x=1，则y=z﹣2， =（1，﹣2，﹣2），… 又
=（1，2，﹣3），
＞=
=
，…
，
∴cos＜
∴PB与平面PCD所成角的正弦值为．…
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
20．已知抛物线C：x点T．
（1）证明：抛物线C在点T处的切线与MN平行； （2）是否存在实数k使
，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
，直线y=kx+2交C于M、N两点，Q是线段MN的中点，过Q作x轴的垂线交C于
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0），联立理、导数性质能证明抛物线C在T点处的切线与MN平行． （2）求出T（
），由此利用向量的数量积公式和韦达定理能求出存在k=±2，满足
=0．
，得2x2﹣kx﹣2=0，由此利用韦达定
【解答】（本小题满分12分）
证明：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0），… 联立
，得2x2﹣kx﹣2=0，…
∴
，x1x2=﹣1，…
∴
∵y=2x2，∴
，…
=k，
∴抛物线C在T点处的切线与MN平行． … 解：（2）由（1）得T（则
=（
）（
），… ）+（y1﹣）（x1+x2）+
=0，…
）（
） …
=（k2+1）x1x2+（=﹣解得k=±2， ∴存在k=±2，满足
=0．…
【点评】本题考查直线平行的证明，考查使得数量积为零的斜率是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、韦达定理、直线与圆锥曲线的位置关系的合理运用．
21．设函数f（x）=1﹣e﹣x． （Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤
；
，求a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）将函数f（x）的解析式代入f（x）≥
整理成ex≥1+x，组成新函数g（x）=ex﹣x﹣1，然后根据其
导函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．
（2）先确定函数f（x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直接得到f（x）≤
不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函数
判断单调性并求出最值，求a的范围． 【解答】解：（1）当x＞﹣1时，f（x）≥令g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数 当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（﹣∞，0]是减函数
于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即ex≥1+x 所以当x＞﹣1时，f（x）≥
当且仅当ex≥1+x
（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞﹣，则＜0，f（x）≤不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，则 f（x）≤
当且仅当h（x）≤0
因为f（x）=1﹣e﹣x，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）﹣1=af（x）﹣axf（x）+ax﹣f（x） （i）当0≤a≤时，由（1）知x≤（x+1）f（x） h'（x）≤af（x）﹣axf（x）+a（x+1）f（x）﹣f（x） =（2a﹣1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤（ii）当a＞时，由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）﹣axf（x）+ax﹣f（x）≥af（x）﹣axf（x）+af（x）﹣f（x）=（2a﹣1﹣ax）f（x） 当0＜x＜
时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞
综上，a的取值范围是[0，]
【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在．
四、请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）证明：AE是⊙O的切线； （2）如果AB=2
，AE=
，求CD．
【考点】与圆有关的比例线段． 【专题】立体几何．
【分析】（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．
（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果
【解答】
（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E， ∴∠DAE+∠ADE=90° ∵DA平分∠BDC． ∴∠ADE=∠BDA ∵OA=OD ∴∠BDA=∠OAD ∴∠OAD=∠ADE ∴∠DAE+∠OAD=90° 即：AE是⊙O的切线 （2）在△ADE和△BDA中， ∵BD是⊙O的直径 ∴∠BAD=90°
由（1）得：∠DAE=∠ABD 又∵∠BAD=∠AED
∵AB=2
求得：BD=4，AD=2
∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60° 进一步求得：CD=2 故答案为：（1）略 （2）CD=2
【点评】本题考查的知识点：证明切线的方法：连半径，证垂直．三角形相似的判定，勾股定理的应用．
选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知圆M的极坐标方程为坐标系．
，现以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角
（1）求圆M的标准方程； （2）过圆心M且倾斜角为
的直线l与椭圆
交于A，B两点，求|MA|•|MB|的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程． 【分析】（1）由
（2）求出过圆心M且倾斜角为【解答】解：（1）∵∴
得圆M的直角坐标方程x2+y2=y+x， ∴圆M的标准方程（2）∵圆心M（
），
．
，能求出圆M的标准方程．
的直线l的参数方程，代入椭圆方程，由此利用韦达定理能求出|MA|•|MB|的值．
，
，
∴过圆心M且倾斜角为的直线l的参数方程为：，（t为参数），
代入椭圆方程整理得：
，
故|MA|•|MB|=|t1t2|=．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查两线段长乘积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
选修4-5：不等式选讲 24．已知函数f（x）=|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；
（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法． 【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）分当x≤1时、当1＜x≤2时、当x＞2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a＞0时，利用绝对值三角不等式可得f（ax）﹣af（x）≤|a﹣1|，结合题意可得2a﹣3≥|a﹣1|，由此解得a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）原不等式等价于：当x≤1时，﹣2x+3≤2，即≤x≤1．
当1＜x≤2时，1≤2，即 1＜x≤2． 当x＞2时，2x﹣3≤2，即2＜x≤． 综上所述，原不等式的解集为{x|≤x≤}．
（Ⅱ）当a＞0时，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=|a﹣1|， 所以，2a﹣3≥|a﹣1|，解得a≥2．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．
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