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高三一轮复习专用
1．1 集合的概念及其运算(1) 例1．选择题：
(1)不能形成集合的是( ) (A)大于2的全体实数 (B)不等式3x－5＜6的所有解
(C)方程y=3x+1所对应的直线上的所有点 (D)x轴附近的所有点
(2)设集合 ，则下列关系中正确的是( ) (A)x A
(B)x A
(C){x}∈A (D){x} A
(3)设集合 ，则( ) (A)M=N (C)M N
例3．已知A={x｜－2＜x＜5}，B={x｜m+1≤x≤2m－1}，B≠ ，且B A，求m的取值范围．
例4*．已知集合A={x｜－1≤x≤a}，B={y｜y=3x－2，x∈A}，C={z｜z=x2，x∈A}，若C B，求实数a的取值范围．
1．2 集合的概念及其运算(2) (A) (B){d}
(C){a，c} (D){b，e}
(C)M∩( UN)
(D)( UM)∩( UN)
1
例1．(1)设全集U={a，b，c，d，e}．集合M={a，b，c}，集合N={b，d，e}，那么( UM)∩( UN)是( ) (2)全集U={a，b，c，d，e}，集合M={c，d，e}，N={a，b，e}，则集合｛a，b}可表示为( ) (A)M∩N (B)( UM)∩N (A)(M∩P)∩S (C)(M∩P)∩( US)
例3．(1)设A={x｜x2－2x－3=0}，B={x｜ax=1}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为____； (2)已知集合M={x｜x－a=0}，N={x｜ax－1=0}，若M∩N=M，则实数a的取值集合为____． 例4．定义集合A－B={x｜x∈A，且x B}．
(1)若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}则N－M等于( ) (A)M (B)N (C)｛1，4，5 } (D){6}
(2)设M、P为两个非空集合，则M－(M－P)等于( ) (A)P (B)M∩P (C)M∪P (D)M
例5．全集S={1，3，x3+3x2+2x}，A={1，|2x－1|}.如果 sA={0}，则这样的实数x是否存在?若存在，求出x；若不存在，请说明理由．
1．3 简单的逻辑联结词
例1．用“p或q”、“p且q”或“非p”填空， ①命题“矩形的对角线互相垂直平分”是________形式
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例2．如图，U是全集，M、P、S为U的3个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为( )
(B)(M∩P)∪S
(D)(M∩P)∪( US)
(B)M N (D)M∩N=
例2．已知集合 ，试求集合A的所有子集．
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②命题“
Q是____形式
③命题“1≥2”是____形式． 其中真命题的序号为____． 例2．给出下列命题：
①“若k＞0，则关于x2+2x－k=0的方程有实根”的逆命题； ②“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题； ③“若A∪B=B，则A B”的逆否命题；
④命题p：“x，y∈R，若x2+y2=0，则x，y全为0”的非命题 其中真命题的序号是____．
例3．若命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，则( ) (A)命题p是假命题
(B)命题q是假命题
(D)命题p与命题“非q”真值相同
(C)命题p与命题q真值相同
例4．(1)命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则 p是( ) (A)有些三角形不是等腰三角形 (B)有些三角形可能是等腰三角形 (C)所有三角形不是等腰三角形 (D)所有三角形是等腰三角形 (2)已知命题p： x∈R，sinx≤1，则( ) (A) p： x∈R，sinx≥1 (C) p： x∈R，sinx＞1
(B) p： x∈R，sinx≥1 (D) p： x∈R，sinx＞1
1．4 充分条件、必要条件与命题的四种形式 例1．设集合 “a=1”是“A∩B≠ ”的( ) (A)充分不必要条件 (C)充要条件 q的( )
(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (A)充分必要条件
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件
例2．(1)条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴的截距的2倍”；条件q：“直线l的斜率是－2”，则p是2
(2)“ ”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的( ) (C)必要而不充分条件
例3．下列各小题中，p是q的充分必要条件的是
①p：m＜－2，或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点 ② ；
q：y=f(x)是偶函数
q： UB UA (C)③④
(D)①④
③p：cosα=cosβ； q：tanα=tanβ ④p：A∩B=A； (A)①②
(B)②③
例4．已知 p是q的充分不必要条件，则p是 q的( ) (A)充分不必要条件 (C)充要条件
(B)必要不充分条件
解：(1)选D．“附近”不具有确定性．(2)选D．(3)选B．
方法一： 故排除(A)、(C)，又 ，故排除(D)． 方法二：集合M的元素 集合N的元素
．而2k＋1为奇数，k＋2为全体整数，因此M N． 小结：解答集合问题，集合有关概念要准确，如集
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(D)既不充分也不必要条件
第一章 集合与常用逻辑用语 1．1 集合的概念及其运算(1)
例1分析：(1)集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的；(2)注意“∈”与“ ”以及x与{x}的区别；(3)可利用特殊值法，或者对元素表示方法进行转换．
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合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转化．
例2分析：本题是用{x｜x∈P}形式给出的集合，注意本题中竖线前面的代表元素x∈N．
解：由题意可知(6－x)是8的正约数，所以(6－x)可以是1，2，4，8；
可以的x为2，4，5，即A={2，4，5}．
∴A的所有子集为 ，{2}，{4}，{5}，{2，4}，{2，5}，{4，5}，{2，4，5}．
小结：一方面，用{x｜x∈P}形式给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；另一方面，含n(n∈N*)个元素的集合A的所有子集的个数是： 个．
例3分析：重视发挥图示法的作用，通过数轴直观地解决问题，注意端点处取值问题． 解：由题设知 ， 解之得，2≤m＜3．
小结：(1)要善于利用数轴解集合问题．(2)此类题常见错误是：遗漏“等号”或多“等号”，可通过验证“等号”问题避免犯错．(3)若去掉条件“B≠ ”，则不要漏掉 A的情况．
例4*分析：要首先明确集合B、C的意义，并将其化简，再利用C B建立关于a的不等式． 解：∵A＝[－1，a]， ∴B={y｜y=3x－2，x∈A}， B=[－5，3a－2]
(1)当－1≤a＜0时，由C B，得a2≤1≤3a－2无解； (2)当0≤a＜1时，1≤3a－2，得a=1； (3)当a≥1时，a2≤3a－2得1≤a≤2 综上所述，实数a的取值范围是[1，2]．
小结：准确理解集合B和C的含义(分别表示函数y=3x－2，y=x2的值域，其中定义域为A)是解本题的关键．分类讨论二次函数在运动区间的值域是又一难点．若结合图象分析，结果更易直观理解． 1．2 集合的概念及其运算(2)
例1分析：注意本题含有求补、求交两种运算．求补集要认准全集，多种运算可以考虑运算律． 解：(1)方法一：∵ UM={b，c}， UN={a，c} ∴( UM)∩( UN)= ，答案选A 方法二：( UM)∩( UN)= U(M∪N)= ∴答案选A
方法三：作出文氏图，将抽象的关系直观化． ∴答案选A
(2)同理可得答案选B
小结：交、并、补有如下运算法则
U(A∩B)=( UA)∪( UB)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
U(A∪B)=( UA)∩( UB)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
例2分析：此题为通过观察图形，利用图形语言进行符号语言的转化与集合运算的判断．
解：∵阴影中任一元素x有x∈M，且x∈P，但x S，∴x∈ US．
由交集、并集、补集的意义． ∴x∈(M∩P)∩( US)答案选D．
小结：灵活进行图形语言、文字语言、符号语言的转化是学好数学的重要能力．
例3解：(1)由已知，集合A={－1，3}，
∵A∪B=A得B A ∴分B= 和 两种情况． 当B＝ 时，解得a=0； 当 时，解得a的取值 综上可知a的取值集合为 (2)由已知， ∵M∩N=M M N a=0舍去 当 时，解得
综上可知a的取值集合为{1，－1}．
小结：(Ⅰ)要重视以下几个重要基本关系式在解题时发挥的作用：(A∩B) A，(A∩B) B；(A∪B) A，(A∪B) B；A∩ U A= ，A∪ UA=U；A∩B=A A B，A∪B=B A B等．
(Ⅱ)要注意 是任何集合的子集．但使用时也要看清题目条件，不要盲目套用．
例4解：(1)方法一：由已知，得N－M={x｜x∈N，且x M}={6}，∴选D 方法二：依已知画出图示 ∴选D．
(2)方法一：M－P即为M中除去M∩P的元素组成的集合，故M－(M－P)则为M中除去不为M∩P的元素的集合，所以选B．
方法二：由图示可知M=(M∩P)∪(M－P) 选B．
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3
当N= 时，解得a=0；M={0} 即M∩N≠M ∴
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方法三：计算(1)中N－(N－M)={2，3}，比较选项知选B．
小结：此题目的检测学生的阅读理解水平及适应、探索能力，考查学生在新情境中分析问题解决问题的能力．事实证明，虽然这类问题内容新颖，又灵活多样，但其涉及的数学知识显得相对简单和基础，要勇于尝试解题．
例5*解：假设这样的x存在，∵ SA={0}，∴0∈S，且｜2x－1｜∈S．
易知x3＋3x2＋2x＝0，且｜2x－1｜=3， 解之得，x=－1．
当x=－1时，S={1，3，0}，A={1，3}，符合题设条件．
∴存在实数x=－1满足 S A={0}． 1．3 简单的逻辑联结词
例1分析：逻辑联结词“或”“且”“非”可类比集合的“并”“交”“补”的关系． 解：①p且q ②非p ③p或q 真命题的序号为②③．
小结：(1)逻辑联结词“或”“且”“非”可类比集合的“并”“交”“补”的关系
A∪B={x｜x∈A或x∈B}； A∩B={x｜x∈A且x∈B}
SA={x｜x∈S且x A}
(2)逻辑联结词“或”的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，另一是“可兼有”．数学书籍中一般采用后一种解释．即“或此或彼或兼”三种情形．注意“可兼有”并不意味“一定兼有”．
例2分析：(1)四种命题的相互关系如下
(2)命题的非命题即为命题的否定形式，不等于否命题．
解：首先写出相应命题：
①若关于x的方程x2＋2x－k=0有实根，则k＞0 ②若a≤b，则2a≤2b－1； ③若A B，则A∪B≠B．
④x，y∈R，若x2＋y2=0，则x，y不全为0 分别判断知
①若关于x的方程x2＋2x－k=0有实根，则k＞－1，故命题为假； ②取 ，命题不成立；
③由互为逆否命题同真同假，故③可直接判断原命题，知命题为真；
④由实数性质知，命题不成立．综上知真命题序号为③．
小结：(1)互为逆否命题同真同假，故③可直接判断原命题，此种等价性常被认为是反证法理论基础，尽管此说法不完全对．
(2)“若p则q”形式命题它的否定形式不等于否命题．否定形式是对命题结论的否定；否命题是将命题题设、结论分别否定．
(3)一些基本逻辑关系式可类比集合运算律： ① (p∨q)=( p)∧( q)…… U(A∪B)=( UA)∩( UB) ② (p∧q)=( p)∨( q) …… U (A∩B)＝( UA)∪( UB)
(其中“p∨q”表示“p或q”，“p∧q”表示“p且q”)． 例3分析：要分清命题的构成，准确了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．
解：∵p或q为真，∴p或q中至少有一个为真． 又∵“p且q”为假，∴p、q中一真一假． 综上可知，答案为(D)．
例4分析：存在性命题的否定命题与全称性命题的否定命题互为相反非命题．
解：(1)命题p：“存在x∈A使P(x)成立”， p为：“对任意x∈A，有P(x)不成立”． 故命题p：“有些三角形是等腰三角形”， 则 p是“所有三角形不是等腰三角形”； 答案选C
(2)命题p：“任意x∈A使P(x)成立”， p为：“存在x∈A，有P(x)不成立”．
故命题p： x∈R，sinx≤1，则 p为： x∈R，sinx＞1； 答案选C
1．4 充分条件、必要条件与命题的四种形式 例1分析：解此类题首先确定命题的前件与后件，可利用划出主谓宾的方法，即：
“条件M‖是条件N的××条件．”得出M是条件．即为命题前件、N为后件，再分别判别． 解：“a=1”是条件，“A∩B≠ ”是结论． 由题意得A={x｜－1＜x＜1}，B={x｜1－a＜x＜a＋1}． (1)验证充分性
由a＝1得A={x｜－1＜x＜1}，B={x｜0＜x＜2}． 则A∩B={x｜0＜x＜1}≠ 成立，即充分性成立． (2)验证必要性
A∩B≠ ，取 满足，但是a≠1，所以必要性不成立．
4
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综合得“a=1”是：A∩B≠ 的充分非必要条件， 小结：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常所以 答案选A．
见的思想方法．
例2分析：以几何素材为载体，考查充要条件，要注意几何问题中的特殊位置关系及其相对应的数量关系．
解：(Ⅰ)条件p中的截距为零时，斜率可以为任意值，故答案选B；
(Ⅱ)当 时，两直线斜率乘积为－1，从而可得两直线垂直；
当m=－2时，两直线一条斜率为0，一条斜率不存在，但两直线仍然垂直．
因此 是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件． 故答案选B；
小结：解析几何中要注意一些特殊情况的数量关系问题．如截距相等要注意为0的特殊情况，对于两条直线垂直的充要条件分为①k1，k2都存在时，k1•k2=－1；②k1，k2中有一个不存在，另一个为零．类似情况，不要忽略，要注意积累．
例3分析：本题以充要条件知识为载体，考查一元二次不等式知识、偶函数、集合及简单的三角知识． 解：①中：q成立．则△=m2－4(m＋3)＞0，解得m＜－2，或m＞6．可知①满足条件；
②中：p变形为f(－x)=f(x)．可知是y=f(x)是偶函数；反之，y=f(x)是偶函数时，f(x)可以为0．如y=x2(x∈R)是偶函数，但是 不存在，即p为q的充分不必要条件；
③中：p：cosα=cosβ不能推出q成立．如： ∴p成立，而q不成立；反之q成立不能推出p成立．如： ∴q成立，而p不成立； ④中：p成立，则A B，q成立； 同样，q成立，则A B，即p成立 所以，p是q的充要条件． 所以答案选D
小结：充要条件的判断，首先要理解条件和结论，其次掌握三种条件的定义及判别方法，同时要注意不同知识点的应用与渗透．
例4分析：可以利用四种命题关系判断 解：依题意 p q，且q p，
由联系四种命题可知“ p q”为原命题真， ∴ q p也为真(逆否命题)． 同理p q．
∴p是 q的必要不充分条件． 所以答案选B．
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