最大公因数和最小公倍数应用题 教师版

第三讲

专题——最大公因数和最小公倍数应用题

公因数、公倍数问题，是指用求几个数的（最大）公因数或（最小）公倍数的方法来解答的应用题。这类题一般都没有直接指明是求公因数或公倍数，要通过对已知条件的仔细分析，才能发现解题方法。解答公因数或公倍数问题的关键是：从因数和倍数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公因数问题。 【考点分析】

最大公因数和最小公倍数的性质。

（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。 （2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，

（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

【例题1】有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？ 解：根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公约数。即： （325、175、75）=25（厘米） 因为325÷25=13

175÷25=7 ，75÷25=3 所以13×7×3=273（个）

答：能分为小立方体273个，小立方体的每条棱长为25厘米。

【例题2】有一个两位数，除50余2，除63余3，除73余1。求这个两位数是 多少？ 【分析】这个两位数除50余2，则用他除48（52－2）恰好整除。也就是说，这个两位数是48的约数。同理，这个两位数也是60、72的约数。所以，这个两位数只可能是48、60、72的公约数1、2、3、4、6、12，而满足条件的只有公约数12，即（48、60、72）=12。 答：这个两位数是12。

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【强化练习】

1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？

【分析】截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。 解：

（18、24、30）＝6 （18+24+30）÷6＝12段

答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。

2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？ 【分析】要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。 解：

（36、60）＝12

（60÷12）×（36÷12）＝15个

答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。

3、有一批机器零件。每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个？ 【分析】每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个；每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1；每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2×7＝14个，应是少1个。也就是说，这批零件的个数被15除也少1个。 解：

如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。 1、刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个 ［12、18、15］＝180

2、在300至400之间的180的倍数是多少 180×2＝360

3、这批零件共有多少个

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360-1＝359个

【例3】用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？

【分析】要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。 解：

（1）最多可以做多少个花束 （96、72）＝24

（2）每个花束里有几朵红玫瑰花 96÷24＝4朵

（3）每个花束里有几朵白玫瑰花 72÷24＝3朵

（4）每个花束里最少有几朵花 4+3＝7朵

【例4】公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？

【分析】这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。 解：

［5、10、6］＝30

答：最少过30分钟再同时发车。

【例5】某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？

【分析】安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。 解：

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（1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？ ［3、12、5］＝60

（2）第一道工序应安排多少人 60÷

3＝20人

（3）第二道工序应安排多少人 60÷12＝5人

（4）第三道工序应安排多少人 60÷5＝12人

【例6】公路上一排电线杆，共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？

【分析】不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数。要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。 解：

1、从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？ ［45、60］＝180（米） 2、公路全长多少米？ 45×（25-1）＝1080（米） 3、可以有几根不需要移动？ 1080÷180+1＝7（根）

【例7】两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？ 【分析】根据“两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。”先求出4与252的乘积，再用积去除以28即可。 解：

4×252÷28=1008÷28=36

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1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最大的一个是？

2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）

3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。

4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？

5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。

6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？

7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？

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8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。

9、有A、B两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A、B两个自然数的和是多少？ 【答案】

1、24的因数共有8个，36的因数共有9个，24和36的公因数是1、2、3、4、6、12。其中最大的一个是12。

2、长方形的长是19厘米，宽是17厘米。 3、它们的最小公倍数是35。 4、这两个数分别是24和40。 5、另一个数是42。 6、至少需要221块水泥板。

7、每段最长30厘米，一共可以截成12段。 8、这两个数是42和6或18和30。 9、A、B两个自然数的和是48。

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