2003年高考数学试题(江苏卷)

2003年高考数学试题（江苏卷）

第I卷（选择题 共60分）

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）如果函数界）为（ ）

的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边

（2）抛物线的准线方程是，则a的值为（ ）A. B. C. 8 D.

（3）已知，，则（ ）A. B. C. D.

（4）设函数，若，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

（5）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

，则P的轨迹一定通过

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

的（ ）

（6）函数的反函数为（ ）A.

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B. C. D.

（7）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）

A. B. C. D.

（8）设，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为

，则P到曲线对称轴距离的取值范围为（ ）

A. B. C. D.

（9）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ）

A. 1 B. C. D.

（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点，MN中点的

横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）A. B. C. D.

（11）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点反射角），设

的坐标为（

后，依次反射到CD、DA和AB上的点

，则

的取值范围是（ ）

和

（入射角等于

），若

A.

B. C. D.

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（12）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A. B. C. D.

第II卷（非选择题 共90分）

二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）展开式中的系数是________。

（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_______，_______，_______辆。 （15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有________种。（以数字作答） （16）对于四面体ABCD，给出下列四个命题 <1>若AB＝AC，BD＝CD，则

；<2>若AB＝CD，AC＝BD，则

；

<3>若，则<4>若，则

其中真命题的序号是________。（写出所有真命题的序号）

三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验。 （I）求恰有一件不合格的概率；（II）求至少有两件不合格的概率。（精确到0.001） （18）（本小题满分12分）已知函数

是R上的偶函数，其图象关于

点

对称，且在区间上是单调函数，求和的值。

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（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱侧棱

的重心G。

分别是

与

中，底面是等腰直角三角形，，

的中点，点E在平面ABD上的射影是

（I）求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（II）求点到平面AED的距离。

（20）（本小题满分12分）已知常数量的直线与经过定点A（0，a）以个定点E、F，使得

，向量，经过原点O以为方向向

为方向向量的直线相交于点P，其中，试问：是否存在两

为定值。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由。

（21）（本小题满分12分）已知为正整数。

（I）设，证明

（II）设，对任意，证明。

（22）（本小题满分14分） 设

，如图，已知直线

及曲线

，C上的点，再从点。

的横坐标为

从C上的点

作直线平行于x轴，交直线于点

的横坐标构成数列

作直线平行于y轴，交曲线C于点

（I）试求与的关系，并求的通项公式；

（II）当时，证明。

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（III）当时，证明。

【参考答案】

一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。

（1）C （2）B （3）D （4）D （5）B（6）B （7）C （8）B （9）C （10）D（11）C （12）A 二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。

（13） （14）6，30，10（15）120 （16）<1><4>

三. 解答题：

（17）本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运算数学知识解决问题的能力。满分12分。 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C。 （I）

因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为

答：恰有一件不合格的概率为0.176。

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（II）解法一：至少有两件不合格的概率为

答：至少有两件不合格的概率为0.012 解法二：三件产品都合格的概率为

由（I）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为

答：至少有两件不合格的概率为0.012。

（18）本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力。满分12分。 解：由

是偶函数，得

即 所以

对任意x都成立，且，所以得 依假设，所以解得

由的图象关于点M对称，得取，得，所以

，又，得

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当时，在上是减函数；

当时，在上是减函数；

当时，在上不是单调函数。所以，综合得或

（19）本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分12分。

解法一：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即

是

与平面ABD所成的角。

设F为AB中点，连结EF，FC D、E分别是的中点，又平面ABC 为矩形

连结DF，G是的重心，在直角三角形EFD

于是

与平面ABD所成的角是

（II）连结，有 ，又平面

设到平面AED的距离为h 则 又

即到平面AED的距离为

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解法二：（I）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA＝2a 则

是与平面ABD所成的角。

，解得

与平面ABD所成角是

（II）由（I）有A（2，0，0），

平面，又平面AED

平面平面，又面面点在平面AED的射影K在AE上

设，则

由，即 解得

故到平面AED的距离为

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（20）本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。满分12分

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值。

因此，直线OP和AP的方程分别为 和

消去参数，得点因为

，所以得：

的坐标满足方程 整理得

（I）当时，方程(1)是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

（II）当两个定点；

时，方程(1)表示椭圆，焦点和为合乎题意的

（III）当时，方程(1)也表示椭圆，焦点和为合乎

题意的两个定点。

（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力。满分12分。

证明：（I）因为所以

（II）对函数求导数：所以

当时，当时，是关于x的增函数

因此，当时，

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即对任意

（22）本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分。

（I）解：

（II）证明：由

知

当时，

（III）证明：由（1）知，当时，

因此

他先后六年为普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学科命题，作为主命题人，2003年江苏数学全省均分43(满分150)，2010年江苏数学全省均分83.5(满分160)。2011受邀参加广东卷命题，广东考生遭受从未有过的打击，戏称“回到原点”一卷回到解放前。他是谁?他就是数学帝——葛军！2012，他在路上……

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