副标题
题号 得分
一
二
三
四
总分
一、选择题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）
） 1. 下列运算正确的是（
A. 3x+2x=5x2 B. 3x-2x=x C. 3x•2x=6x
D. 3x÷2x= 3
2
【答案】B
【解析】解：（A）原式=5x，故 A 错误； （C）原式=6x2，故 C 错误； （D）原式= ，故 D 错误； 2
故选：B．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 2. 如果 m＞n，那么下列结论错误的是（
）
3
A. m+2＞n+2 B. m-2＞n-2 C. 2m＞2n D. -2m＞-2n
【答案】D
【解析】解：∵m＞n， ∴-2m＜-2n， 故选：D．
根据不等式的性质即可求出答案．
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型． 3. 下列函数中，函数值 y 随自变量 x 的值增大而增大的是（
）
A. y=3
푥
B. y=-3
푥
C. y=3
푥
D. y=-3
푥
【答案】A
【解析】解：A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y 随 x 的增大而增大，故本选 项正确．
B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y 随 x 的增大而减小，故本选项错误． C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小， 故本选项错误．
D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大， 故本选项错误．
故选：A．
一次函数当 a＞0 时，函数值 y 总是随自变量 x 增大而增大，反比例函数当 k＜0 时，在 每一个象限内，y 随自变量 x 增大而增大．
本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是 关键．
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4. 甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断
正确的是（ ）
A. 甲的成绩比乙稳定
C. 甲的成绩的平均数比乙大 B. 甲的最好成绩比乙高
D. 甲的成绩的中位数比乙大
【答案】A
【解析】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，
则其中位数为 8，平均数为 8，方差为 ×[（7-8）2+3×（8-8）2+（9-8）2]=0.4； 乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，
则其中位数为 8，平均数为 8，方差为 ×[（6-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（10-8 ）
2
1
5
1 5
]=2，
∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低， 故选：A．
分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案．
本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度 越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了 中位数．
5. 下列命题中，假命题是（
）
A. 矩形的对角线相等
B. 矩形对角线交点到四个顶点的距离相等 C. 矩形的对角线互相平分
D. 矩形对角线交点到四条边的距离相等
【答案】D
【解析】解：A、矩形的对角线相等，正确，是真命题；
B、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题； C、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；
D、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题， 故选：D．
利用矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的性质，难度不大．
6. 已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与⊙A、⊙B 都内切，且 AB=5，AC=6，BC=7，那么⊙C
的半径长是（ ）
A. 11
【答案】C
B. 10 C. 9 D. 8
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【解析】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C 的半径为 x，y，z．
푥+푦 = 5 {푧 −푥 = 6 ，
由题意：
푧 −푦 = 7 푥= 3 解得{ 푦 = 2 ，
푧 = 9
故选：C．
如图，设⊙A，⊙B，⊙C 的半径为 x，y，z．构建方程组即可解决问题．
本题考查两圆的位置关系，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考 常考题型．
二、填空题（本大题共 12 小题，共 48.0 分） 7. 计算：（2a2）2=______． 【答案】4a4
【解析】解：（2a2）2=22a4=4a4．
根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可． 主要考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键． 8. 已知 f（x）=x2-1，那么 f（-1）=______． 【答案】0
【解析】解：当 x=-1 时，f（-1）=（-1）2-1=0． 故答案为：0．
根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键． 9. 如果一个正方形的面积是 3，那么它的边长是______． 【答案】√3
【解析】解：∵正方形的面积是 3， ∴它的边长是√3．
故答案为：√3
根据算术平方根的定义解答．
本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的性质和算术平方根的定义． 10. 如果关于 x 的方程 x2-x+m=0 没有实数根，那么实数 m 的取值范围是______． 【答案】m＞ 4
1
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【解析】解：由题意知△=1-4m＜0， ∴m＞4 ．
故填空答案：m＞ ． 4
由于方程没有实数根，则其判别式△＜0，由此可以建立关于 m 的不等式，解不等式即 可求出 m 的取值范围．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根 （3）△＜0⇔方程没有实数根．
11. 一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是 1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷
的点数大于 4 的概率是______． 【答案】 3
【解析】解：∵在这 6 种情况中，掷的点数大于 4 的有 2 种结果， ∴掷的点数大于 4 的概率为 = ， 6 3 故答案为：3 ．
先求出点数大于 4 的数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是概率公式，熟记随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数所有 可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
12. 《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”
大致意思是：有大小两种盛米的桶，5 大桶加 1 小桶共盛 3 斛米，1 大桶加 5 小桶 共盛 2 斛米，依据该条件，1 大桶加 1 小桶共盛______ 斛米．（注：斛是古代一种容量单位） 【答案】6
【解析】解：设 1 个大桶可以盛米 x 斛，1 个小桶可以盛米 y 斛， 5푥+ 푦 = 3 { 则 ， 푥+ 5푦 = 2 故 5x+x+y+5y=5， 则 x+y= ． 6
答：1 大桶加 1 小桶共盛6 斛米． 故答案为：6 ．
直接利用 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛米 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛米 2 斛， 分别得出等式组成方程组求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
13. 在登山过程中，海拔每升高 1 千米，气温下降 6℃，已知某登山大本营所在的位置
的气温是 2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高 x 千米时，所在位置的气 温是 y℃，那么 y 关于 x 的函数解析式是______．
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5
5
5 5 1
2 1
1
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1
【答案】y=-6x+2
【解析】解：由题意得 y 与 x 之间的函数关系式为：y=-6x+2． 故答案为：y=-6x+2．
根据登山队大本营所在地的气温为 2℃，海拔每升高 1km 气温下降 6℃，可求出 y 与 x 的关系式．
本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的气温=地面 的气温-降低的气温．
14. 小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，
他随机调查了该小区 50 户家庭某一天各类生活垃圾 的投放量，统计得出这 50 户家庭各类生活垃圾的投 放总量是 100 千克，并画出各类生活垃圾投放量分 布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估 计该小区 300 户居民这一天投放的可回收垃圾共约 ______千克． 【答案】90
【解析】解：估计该小区 300 户居民这一天投放的可回收垃圾共约50×100×15%=90（千 克）， 故答案为：90．
求出样本中 100 千克垃圾中可回收垃圾的质量，再乘以50 可得答案．
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示 各部分数量占总数的百分数．也考查了用样本估计总体．
15. 如图，已知直线 1 角的三角板的直角顶点 C 在 l 1 上，30°角的顶点 A 在 1 ∥l 2 ，含 30°
l 2 上，如果边 AB 与 l 1 的交点 D 是 AB 的中点，那么∠1=______度．
300
300
【答案】120
【解析】解：∵D 是斜边 AB 的中点， ∴DA=DC，
∴∠DCA=∠DAC=30°， ∴∠2=∠DCA+∠DAC=60°， ∵1 1 ∥l 2 ，
∴∠1+∠2=180°， ∴∠1=180°-60°=120°． 故答案为 120．
根据直角三角形斜边上的中线性质得到 DA=DC，则∠DCA=∠DAC=30°，再利用三角形 外角性质得到∠2=60°，然后根据平行线的性质求∠1 的度数．
本题考查了直接三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 （即直角三角形的外心位于斜边的中点）．也考查了平行线的性质．
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16. 如图，在正边形 ABCDEF 中，设⃗가⃗ ⃗가⃗ =가⃗，⃗가⃗ ⃗가⃗ =⃗푏，那么向
가 ⃗⃗푏 ⃗⃗⃗⃗⃗ ______．
量퐵퐹用向量 、 表示为
⃗푏 【答案】2가⃗+
【解析】解：连接 CF．
∵多边形 ABCDEF 是正六边形， AB∥CF，CF=2BA， ∴가⃗⃗가⃗=가⃗， ∵ 가⃗⃗가⃗ =가⃗⃗가⃗ +⃗가⃗⃗가⃗， ∴ 가⃗⃗가⃗ =2가⃗+⃗푏，
⃗푏 ． 故答案为 2가⃗+
连接 CF．利用三角形法则：가⃗⃗가⃗ =⃗가⃗ ⃗가⃗ +⃗가⃗ ⃗가⃗가 ⃗ ⃗가⃗
，求出 即可． 本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于
中考常考题型．
17. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AD 的中点．将△ABE
沿直线 BE 翻折，点 A 落在点 F 处，联结 DF，那么∠EDF 的正切值是______．
【答案】2
【解析】解：如图所示，由折叠可得 AE=FE， ∠AEB=∠FEB= ∠AEF， 2
∵正方形 ABCD 中，E 是 AD 的中点， ∴AE=DE= AD= AB， 2 2 ∴DE=FE，
∴∠EDF=∠EFD，
又∵∠AEF 是△DEF 的外角， ∴∠AEF=∠EDF+∠EFD， ∴∠EDF= ∠AEF， 2 ∴∠AEB=∠EDF，
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1 1
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∴tan∠EDF=tan∠AEB=퐴퐸=2．
故答案为：2．
由折叠可得 AE=FE，∠AEB=∠FEB，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到 ∠AEB=∠EDF，进而得到 tan∠EDF=tan∠AEB=퐴퐸=2．
本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状 和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18. 在△ABC 和△A ，AC=A 1 B 1 C 1 中，已知∠C=∠C 1 =90°1 C 1 =3，BC=4，B C 1 1 =2，点 D、
D 1 分别在边 AB、A 1 B 1 上，且△ACD≌△C A 1 1 D 1 ，那么 AD 的长是______． 【答案】 3
【解析】解：如图，∵在△ABC 和 △A ， 1 B 1 C 1 中，∠C=∠C 1 =90°AC=A 1 C 1 =3，BC=4，B 1 C 1 =2，
∴AB=√32 + 42=5， 设 AD=x，则 BD=5-x， ∵△ACD≌△C A 1 1 D 1 ， ∴C D 1 1 =AD=x，∠A 1 C D 1 1 =∠A，∠A 1 D C 1 1 =∠CDA， ∴∠C D B 1 1 1 =∠BDC， ∵∠B=90°-∠A，∠B -∠A ， 1 C D 1 1 =90°1 C D 1 1 ∴∠B 1 C D 1 1 =∠B， ∴△C B 1 1 D∽△BCD， ∴ = 퐶 퐷1 1
퐵퐷 퐵퐶 5−푥
퐶 ，即 푥 =2， 퐵
1 1
퐴퐵
퐴퐵
5
解得 x= ， 3 ∴AD 的长为3 ， 故答案为3 ．
根据勾股定理求得 AB=5，设 AD=x，则 BD=5-x，根据全等三角形的性质得出 C D 1 1 =AD=x， ∠A 1 C D 1 1 =∠A，∠A 1 D C 1 1 =∠CDA，即可求得∠C D B 1 1 1 =∠BDC，根据等角的余角相等求得 ∠B 1 C D 1 1 =∠B，即可证得△C B 1 1 D∽△BCD，根据其性质得出 푥 =2，解得求出 AD 的长． 本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，证得 △C B 1 1 D∽△BCD 是解题的关键．
三、计算题（本大题共 1 小题，共 10.0 分） 19. 解方程：푥 −2 - 푥2−2=1 푥
【答案】解：去分母得：2x2-8=x2-2x，即 x2+2x-8=0， 分解因式得：（x-2）（x+4）=0，
解得：x=2 或 x=-4，
经检验 x=2 是增根，分式方程的解为 x=-4．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解．
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2푥
8
5−푥
5
5
5
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 68.0 分） 20. 计算：|√3-1|-√2×√6+ 2−√3-8
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3
【答案】解：|√3-1|-√2×√6+ 2−√3-8
2
3
=√3-1-2√3+2+√3-4 =-3
【解析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少 即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算 时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减， 有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运 算律在实数范围内仍然适用．
1
21. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知一次函数的图象平行于直线 y= x，且经过 2
点 A（2，3），与 x 轴交于点 B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点 C 在 y 轴上，当 AC=BC 时，求点 C 的坐标．
【答案】解：（1）设一次函数的解析式为：y=kx+b， ∵一次函数的图象平行于直线 y= x， 2 ∴k= ， 2
∵一次函数的图象经过点 A（2，3）， ∴3= ×2+b， 2 ∴b=2，
∴一次函数的解析式为 y= x+2； 2 （2）由 y= x+2，令 y=0，得2 x+2=0， 2
∴x=-4，
∴一次函数的图形与 x 轴的解得为 B（-4，0），
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1
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1 1
1
∵点 C 在 y 轴上，
∴设点 C 的坐标为（-4，y）， ∵AC=BC，
∴√(2 − 0)2 +(3− 푦)2=√(−4 − 0)2 +(0− 푦)2， ∴y=- ， 2
经检验：y=- 是原方程的根， 2 ∴点 C 的坐标是（0，- ）． 2
【解析】（1）设一次函数的解析式为 y=kx+b，解方程即可得到结论；
（2）求得一次函数的图形与 x 轴的解得为 B（-4，0），根据两点间的距离公式即可得 到结论．
本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解 题的关键．
22. 图 1 是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备
箱的过程中，箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针方向旋转，当旋转角为 60°时 ，箱盖 ADE 落在 AD′E′的位置（如图 2 所示）．已知 AD=90 厘米，DE=30厘米，EC=40厘 米．
（1）求点 D′到 BC 的距离； （2）求 E、E′两点的距离．
1
1
1
【答案】解：（1）过点 D′作 D′H⊥BC，垂足为点 H，交 AD 于 点 F，如图 3 所示．
由题意，得：AD′=AD=90 厘米，∠DAD′=60°． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，
∴∠AFD′=∠BHD′=90°．
在 Rt△AD′F 中，D′F=AD′•sin∠DAD′=90×sin60°=45√3厘米． 又∵CE=40 厘米，DE=30 厘米，
∴FH=DC=DE+CE=70 厘米，
∴D′H=D′F+FH=（45√3+70）厘米．
答：点 D′到 BC 的距离为（45√3+70）厘米． （2）连接 AE，AE′，EE′，如图 4 所示． 由题意，得：AE′=AE，∠EAE′=60°， ∴△AEE′是等边三角形，
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∴EE′=AE．
∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADE=90°．
在 Rt△ADE 中，AD=90 厘米，DE=30 厘米，
∴AE=√퐴퐷2 + 퐷퐸2=30√10厘米， ∴EE′=30√10厘米．
答：E、E′两点的距离是 30√10厘米．
【解析】（1）过点 D′作 D′H⊥BC，垂足为点 H，交 AD 于点 F，利用旋转的性质可 得出 AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′=∠BHD′=90°， 在 Rt△AD′F 中，通过解直角三角形可求出 D′F 的长，结合 FH=DC=DE+CE 及 D′H=D′F+FH 可求出点 D′到 BC 的距离；
（2）连接 AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出 AE′=AE，∠EAE′=60°，进而可 得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出 EE′=AE，在 Rt△ADE 中， 利用勾股定理可求出 AE 的长度，结合 EE′=AE 可得出 E、E′两点的距离．
本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理， 解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出 D′F 的长度；（2）利用勾股定理求出 AE 的长度．
23. 已知：如图，AB、AC 是⊙O 的两条弦，且 AB=AC，D
是 AO 延长线上一点，联结 BD 并延长交⊙O 于点 E，联 结 CD 并延长交⊙O 于点 F．
（1）求证：BD=CD；
（2）如果 AB2=AO•AD，求证：四边形 ABDC 是菱形．
【答案】证明：（1）如图 1，连接 BC，OB，OC，
∵AB、AC 是⊙O 的两条弦，且 AB=AC， ∴A 在 BC 的垂直平分线上， ∵OB=OA=OC，
∴O 在 BC 的垂直平分线上， ∴AO 垂直平分 BC， ∴BD=CD；
（2）如图 2，连接 OB，
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∵AB2=AO•AD， ， ∴ = 퐴퐷퐴푂
∵∠BAO=∠DAB，
∴△ABO∽△ADB， ∴∠OBA=∠ADB， ∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB， ∴∠OAB=∠BDA， ∴AB=BD，
∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=AC=BD=CD，
∴四边形 ABDC 是菱形．
【解析】（1）连接 BC，根据 AB=AC，OB=OA=OC，即可得出 AD 垂直平分 BC，根据 线段垂直平分线性质求出即可；
（2）根据相似三角形的性质和判定求出∠ABO=∠ADB=∠BAO，求出 BD=AB，再根据菱 形的判定推出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分线的 性质，菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 24. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y=x2-2x，其顶点为 A．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点 A 的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”． ①试求抛物线 y=x2-2x 的“不动点”的坐标；
②平移抛物线 y=x2-2x，使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”，其对 称轴与 x 轴交于点 C，且四边形 OABC 是梯形，求新抛物线的表达式．
퐴퐵 퐴퐵
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【答案】解：（1）∵a=1＞0，
故该抛物线开口向上，顶点 A 的坐标为（1，-1）； （2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则 t=t2解得：t=0 或 3，
-2t
，
故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；
②∵新抛物线顶点 B 为“不动点”，则设点 B（m，m）， ∴新抛物线的对称轴为：x=m，与 x 轴的交点 C（m，0）， ∵四边形 OABC 是梯形， ∴直线 x=m 在 y 轴左侧， ∵BC 与 OA 不平行， ∴OC∥AB，
又∵点 A（1，-1），点 B（m，m）， ∴m=-1，
-2x
故新抛物线是由抛物线 y=x2向左平移 2 个单位得到的， ∴新抛物线的表达式为：y=（x+1）2-1．
【解析】（1）∵a=1＞0，故该抛物线开口向上，顶点 A 的坐标为（1，-1）；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则 t=t2-2t，即可求解；②新抛物线顶点 B 为“不动点”，则设点 B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x=m，与 x 轴的交点 C（m， 0），四边 形 OABC 是梯形，则直线 x=m在 y 轴左侧，而点 A（1，-1），点 B（m，m）， 则 m=-1，即可求解．
本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题 目，通常按照题设顺序，逐次求解即可．
25. 如图 1，AD、BD 分别是△ABC 的内角∠BAC、∠ABC 的平分线，过点 A 作 AE⊥AD，
交 BD 的延长线于点
E．
（1）求证：∠E═ ∠C； 2
（2）如图 2，如果 AE=AB，且 BD：DE=2：3，求 cos∠ABC 的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE 相似，求∠ABC的度数，并直接写出푆△퐴퐷퐸 的
△퐴퐵퐶
푆
1
值．
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【答案】（1）证明：如图 1 中，
∵AE⊥AD， ∴∠DAE=90°，∠E=90°-∠ADE， ∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC，同理∠ABD= ∠ABC， 2 2
∵∠ADE=∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC=180°-∠C， ∴∠ADE= （∠ABC+∠BAC）=90°- ∠C， 2 2 ∴∠E=90°-（90°- ∠C）= ∠C． 2 2 （2）解：延长 AD 交 BC 于点 F．
1
1
1
1
1
1
∵AB=AE， ∴∠ABE=∠E， BE 平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴∠E=∠CBE， ∴AE∥BC，
， ∴∠AFB=∠EAD=90°， = 퐵퐷퐴퐹 ∵BD：DE=2：3，
퐵퐹 퐵퐹 3
퐷퐸 퐵퐹
∴cos∠ABC= = = ． 2 퐴퐵 퐴퐸
（3）∵△ABC 与△ADE 相似，∠DAE=90°，
∴∠ABC 中必有一个内角为 90° ∵∠ABC 是锐角， ∴∠ABC≠90°．
①当∠BAC=∠DAE=90°时， ∵∠E= ∠C， 2
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1
∴∠ABC=∠E= ∠C， 2 ∵∠ABC+∠C=90°，
퐴∴∠ABC=30°，此时푆△△퐴퐵
1
푆
퐷퐸
퐶
=2-√3．
1
∠C=45° ，②当∠C=∠DAE=90°时，∠퐸 = 2 ∴∠EDA=45°，
∵△ABC 与△ADE 相似，
퐴퐷퐸
∴∠ABC=45°，此时푆△△퐴퐵퐶=2-√2．
푆
综上所述，∠ABC=30°或 45°， 푆△퐴퐵퐶=2-√3或 2-√2．
【解析】（1）由题意：∠E=90°-∠ADE，证明∠ADE=90°- ∠C 即可解决问题． 2
（2）延长 AD 交 BC 于点 F．证明 AE∥BC，可得∠AFB=∠EAD=90° ， = ，由 BD：DE=2： 퐵퐷퐴퐹
퐷퐸 퐵퐹
1
푆 퐴퐷퐸 △
3，可得 cos∠ABC= = = ． 2 퐴퐵 퐴퐸
（3）因为△ABC 与△ADE 相似，∠DAE=90°，所以∠ABC 中必有一个内角为 90°因为∠ABC 是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角 三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
3
퐵퐹 퐵퐹
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