力矩分配法习题解答

kN20kN55A清华题5-6·2iBi35CA·题9-1bM图(kN·m)EIBEICM图(kN·m)1559027.517.5V图8.75V图32.5分配系数固端弯矩0分与传0最后弯矩00.60.4(20)67.50-52.5-3515-35分配系数0-17.5-17.5固端弯矩0分与传0最后弯矩00.50.5(55)450-50-50-5-50000

解：（1）计算分配系数：

BABCsBA32i0.6sBAsBC32i4isBC4i0.4sBAsBC32i4i

（2）计算固端弯矩：固端弯矩仅由非结点荷载产生，结点外力偶不引起固端弯矩，结点外力偶逆时针为正直接进行分配。

FMAB0MFBA 3Pl360667.5kNm1616（3）分配与传递，计算列如表格。

（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。 （5）根据弯矩图作剪力图如图所示。

MABMBA0153027.5kNl6MABMBA0150VBAVBA3032.5kN

l6MMCB3517.5VBCVCBBC8.75kNl60VABVAB2、利用力矩分配法计算连续梁，并画其弯矩图和剪力图。

kNAkN/m20kNCDM图(kN·m)7.1415.712028.9330202mEI2mBEI4m1m题9-1bkN原结构kN/m2BmN·k0DAkNV图(kN)7.8620EIkNEIC12.14kN/mB31.07AEIEIC20kN·m简化结构分配系数固端弯矩-10分与传2.860.5710.42910-30+105.714.2920-200020-20最后弯矩-7.1415.71-15.71解：（1）计算分配系数：令iBAEIiiBC,SBA4i,SBC3i 4

BAsBA4i0.429sBAsBC4i3iBCsBC3i0.571

sBAsBC4i3i（2）计算固端弯矩：CD杆段剪力和弯矩是静定的，利用截面法将外伸段从C处切开，让剪力直接通过支承链杆传给地基，而弯矩暴露成为BC段的外力偶矩，将在远端引起B、C固端弯矩。

FMABFMBCPl204F10kNm,MBA=10kNm88

ql2m1542F1020kNm,MCB20kNm828（3）分配与传递，计算列如表格。

（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。 （5）根据弯矩图作剪力图如图所示。

MABMBA207.1415.717.86kNl24MMBA207.1415.710VBAVBAAB12.14kNl24 MM15415.71200CBVBCVBCBC28.93kNl24MMCB15415.71200VCBVCBBC31.07kNl240VABVAB3、9-2a利用力矩分配法计算连续梁，并画其弯矩图。

A45kN0.75EIB2m4mq=15kN/m1.5EI4m4m0.640kNC解：（1）计算分配系数：

D题9-2a分配系数EI3m3m令EI4B结点：SBA40.75EIEI1.5EI3EI2,SBC436284sBA20.4sBAsBC23sBC30.6sBAsBC23 固端弯矩-40分 配与 传递123.180.290.40.620-802436-15.96.369.54-1.430.570.860.4080-4518-31.8-21.24.77-2.86-1.910.43-0.24-0.16BA

BC0最后弯矩-24.5350.93-50.9368.28-68.28C结点：SCB41.5EI3EIEIEI3，SCD328462sCB30.6sCBsCD32sCD20.4sCBsCD326050.9368.2860M图24.53 ·m)(kNCB120

CD（2）计算固端弯矩：固端弯矩仅由非结点荷载产生。

MFABFMBCFMCDPab245242240kNm,l62ql215821080kNm,12123Pl340645kNm,1616MFABPba245422220kNml62

FMCB80kNmFMDC0（3）分配与传递，计算列如表格。

（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。

4、9-3c利用力矩分配法计算刚架，并画其弯矩图。

q=5kN/m10kN·mB1.5EI40kNC10kNDq=5kN/m10kN·mB1.5EI10kN40kN10kN·mCq=5kN/m10kN·mB1.5EI40kN10kN·mCA2EI4m2EIA2EIE2EIA2EI简化结构E2EI(a)4mE原结构3m1mC题9-3cA3m(b)10253015BBABEBC0.3750.3750.25(-10)100-45+10/21015152515-3010CD1010A60E7.50(c)E(d)07.57.5M图(kN·m)解：（1）计算分配系数：

SBA3令EI22EI2EI1.5EI1.5EI3,SBC3EI2,SBE4EI2466则，SBA3,SBC2,SBE2BABCBCsBA30.375sBAsBCSBE332sBC20.25sBAsBCSBE332sBE30.375sBAsBCSBE332

（2）计算固端弯矩：刚结点处力偶不引起固端弯矩，结点外力偶逆时针为正直接进行分配。CD杆段剪力和弯矩是静定的，利用截面法将外伸段从C处切开，让剪力直接通过支承链杆传给地基，而弯矩暴露成为BC段的外力偶矩，将在远端引起B、C固端弯矩。

MFABFMABql25423Plm340610F0，M10kNmMBC40kNm, 88162162FF10kNmMEBMBE0kNmFBA（3）分配与传递，计算如图所示。

（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。

9-3d利用力矩分配法计算刚架，并画其弯矩图。

10kN10kN10kNG3mGG2.5kNq=10kN/mAB4EI4EI2.5C4EIEI20kN·mq=10kN/mB4m4EI4EI2.5EI20kN·mq=10kN/mB4EI简化结构4EI2.5EI2.5kN4EI4EI4EIDC4EIDC4EID题9-3d2mE4m(a)F4mEFEF(b)G200-0.5-0.58.520124.55.50.55B-20CBCFCGCD0.30.40.20.11000-5-1.5-2-1-0.58.5-2-1-5.5D-50.5-4.5M图(kN·m)1(c)E0-1-1F(d)

解：（1）计算分配系数：

SCB3iCB3SCFCBCG4EI2.5EI3EI,SCG4iCG42EI,454EI4EI4iCF44EI,SCDiCDEI44SCB3EI0.3sCBsCGSCFSCD3EI2EI4EIEISCG2EI0.2sCBsCGSCFSCD3EI2EI4EIEISCF4EI0.4sCBsCGSCFSCD3EI2EI4EIEISCDEI0.1sCBsCGSCFSCD3EI2EI4EIEI

CFCD（2）计算固端弯矩：AB杆段剪力和弯矩是静定的，利用截面法将外伸段从B处切开，让剪力直接通过

BE杆传给地基，而弯矩暴露成为BC段的外力偶矩，将在远端C引起固端弯矩。

MFBCFMCDFMCGmql220104220kNm M10kNm2828Pl2.54F MDC5kNm22FMGC0FCB（3）分配与传递，计算如图所示。

（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。

9-3e利用力矩分配法计算刚架，并画其弯矩图。

36kN·m36kN·m18kN48.542.2510842.2555.51837.5ABq=24kN/mCADBq=24kN/mC18kN18kN·m题9-3eE4.5m(a)6mEI=常数M图(kN·m)EF(b)21.13(c)18.75F6m1mBABEBC1/31/31/3(-36)00-7236363660.2560.25-186-0.750.25CBCF0.50.5(-18)7218-36-363-1.5-1.542.2542.25-48.501830.1321.130-18-0.75-18.75(d)

解：（1）计算分配系数：

B刚结点：

SBA3BAEI2EI2EI2EI,SBC4EI,SBE4EI4.536363

1BCBE3C刚结点：

SCB4CBEI2EI2EI,SCF4EI6363 CF0.5（2）计算固端弯矩：CD杆段剪力和弯矩是静定的，利用截面法将外伸段从B处切开，让剪力直接通过

CF杆传给地基，而弯矩暴露成为作用于刚结点B的外力偶矩，将在远端C不引起固端弯矩。

MFBCql21246272kNm1212MFBCql21246272kNm 1212无荷载杆无固端弯矩。

（3）分配与传递，计算如图所示。

（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。

9-3h利用力矩分配法计算刚架，并画其弯矩图。

53.316013.3826.6840.0513.3780q=30kN/mABEI=常数80kNCD4m题9-3h4m(a)E4mF2m2mM图(kN·m)(b)13.34-40-12.73-0.58-53.31BABC0.50.540010.92-25.46-25.462.32-1.16-1.1613.38-13.38CBCFCD0.3640.3640.2720-60021.8421.8416.32-12.734.634.633.47-0.580.210.210.1613.3726.68-40.05010.922.320.1013.34(c)

解：（1）计算分配系数：

B刚结点：

SBA4BAEIEIEI,SBC4EI,44

EIBC0.52EIC刚结点：

SCD3CFCDEI3EIEIEI,SCF4EI,SCB4EI4444EI CB0.3643EIEIEI43EI40.2723EIEIEI4（2）计算固端弯矩：

ql21ql212FM30440kNmMAB304240kNm121212123Pl3F MCD 80460kNm1616FFFMBCMCBMCF0FBA无荷载杆无固端弯矩。

（3）分配与传递，计算如图所示。

（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。 5、9-4b利用对称性，采用力矩分配法计算刚架，并画其弯矩图。

q=5kN/m5kN/mE5mi=240kNFi=1Di=3Bi=3i=1i=4G20kNi=15mi=3A4m4m114m补充题(a)(b)CECACK1/60.51/30-406.672013.335.84-0.97-2.92-1.950.11-0.02-0.05-0.0411.6317.03-28.66K-40-13.31.950.04-51.3451.348.518.51M(kN·m)(d)A010-1.46-0.038.51(c)

6、9-4d利用对称性，采用力矩分配法计算刚架，并画其弯矩图。

11K.63.63Ci=4i=8ECEG0.50.50-26.673.3311.6711.67-0.440.220.2214.7814.78G-13.33-11.67-0.22-25.2214.7825.2128.6617.0314.7828.6617.030.5llGi=2i=1i=2Hi=4Gi=2i=40.5lAi=1Ei=1BAi=1Ei=1BAi=4Gi=1ElCi=1Fi=1D(b)(c)ll(a)AGAE0.50.50ql224ql224-12ql2ql224ql224Eql212ql2485ql248ql224ql224ql285ql482ql224ql285ql482ql28ql224ql224ql224G0-24ql2-247、9-9c利用无剪力分配法计算刚架，并画其弯矩图。

4kNAGi=2i=1Hi=2BABql2(d)(e)ql28(f)ql28

A2kN2kN2kNGi=2B2kN6mi=1i=18kNCi=1E4kNDi=1FE(b)4kNCD4kNHCi=2i=14kND6mFEF(c)6m题9-9a(a)ACAG2kNAi=4i=1G2kN0.080.92-60.0GA7.117.107.11BAG-1.680.617.07-0.040.0030.037-7.117.114.8916.284.8921.174kNCi=4i=1ECD16.28H6kNCH0.070.070.86-6-180.01.68-0.610.040.04CACECH21.17H19.721.6820.64M(kN·m)E19.72F0.53E(d)(e)(g)-4.89-16.2821.17(f)E-18-1.68-0.04-19.72 解：（1）由于刚架是对称的，因此可将荷载分解为正对称和反对称两部分，如上图（b ）、（c）所示。而正对称结点荷载作用下刚架处于无弯矩状态，原图的弯矩图只考虑反对称荷载作用。考虑刚架和荷载的对称性，可以取半刚架如(d)所示。由于(d)图半刚架立柱的剪力是静定的，每一跨都可以化为单跨超静定梁，因此选取如图(e)所示无剪力分配法力学计算模型。

SAG3iAG340.92AGSS3ii341AGACAGAC（2）计算分配系数： A结点：

Si1ACAC0.08ACSS3ii341AGACAGACSCAiCA110.07CASCASCHSCEiCA3iCHiCE134114SCH3iCH3412C结点：CH0.86

SCASCHSCEiCA3iCHiCE134114SCEiCE110.07CESCASCHSCEiCA3iCHiCE134114（2）计算固端弯矩：

FFMACMCAFFMCEMECP上l266kNm22

P上+下l（24）618kNm221FFMBCMCB604120kNm

2（3）弯矩的分配与传递

计算过程如图（f）所示。结点的分配次序为C→A→C→A （4）绘制弯矩图如（f）所示。 8、利用分层法计算多层刚架。

q=10kN/mq=10kN/mGEID4m4m2EIH2EIEIEEIB4m2EII4mGi=40.9i=2.72.7HE62.7I4mG2.7q=30kN/mH2.72.763EIq=30kN/m2EIIFEICD6mF4mD4m3i=4E3FEIA令EI=126mA6mB4mC题9-10解： （1）分层：以梁为界选取如图(b)、(c)所示分层法计算模型。线刚度：上层各柱打折—9折。

（2）第二层（顶层）： ①求分配系数：

SGD4iGDG结点：S4iGHGHSGDiGD2.70.403GDSSiGDiGH2.74GDGH iGH4SGH0.597GHSGDSGHiGDiGH2.74SHGiHG40.315HGSHGSHESHFiHGiHEiHF42.76SHEiHE2.7HE0.213 SHGSHESHFiHGiHEiHFSHFiHF60.472HFSHGSHESHFiHGiHEiHF42.76SHG4iHGS4iHEH结点：HES4iHFHFiIHS60.69IHSIHSIFiIHiIF62.7SIH4iIHI结点：

Si2.7SIF4iIFIFIF0.31IFSIHSIFiIHiIF62.7②明确传递系数

传递系数：两端固定时，上层中上下传1/３，横传1/2。 ③求固端弯矩。

MFGHFMHI2qlGH1F106230kNm, MHG30kNm1212 2ql1FHI104213.3kNm, MIH13.3kNm1212④列表计算。

顶层计算结点杆端分配系数传递系数固端弯矩分配与传递DDGGGD1/3HGH1/2-30IHIIH0.691/2FIF0.311/3EEHHGHE1/2301/3FI0.4030.5970.3150.2130.4721/2-13.313.3-2.900.480.0613.150.420.05-2.63-5.26-3.56-7.88-3.9419.489.74-3.23-6.46-1.03-2.05-1.39-3.07-1.540.610.300.531.06-0.13-0.26-0.18-0.39-0.190.080.040.070.13-0.03-0.02-0.05最后弯矩4.5413.62-13.6232.48-5.1527.322.36-2.36-0.79-1.72

（3）第二层（顶层）： ①求分配系数：

SDA4iDASDE4iDED结点：

S4iDGDGSDAiDA30.309DASDASDESDGiDAiDEiDG342.7SDEiDE4DE0.413 SDASDESDGiDAiDEiDG342.7SDGiDG2.70.278DGSDASDESDGiDAiDEiDG342.7E结点：

SED4iEDS4iEBEBSEF4iEFSEH4iEHSEDEDSSSSEDEBEFEHSEBEBSSSSEDEBEFEHSEFEFSEDSEBSEFSEHSEHEHSEDSEBSEFSEHiED40.255iEDiEBiEFiEH4362.7iEB30.191iEDiEBiEFiEH4362.7iEF60.382iEDiEBiEFiEH4362.7 iEH2.70.172iEDiEBiEFiEH4362.7SFEiFE60.513FESFESFCSFIiFEiFCiFI632.7SFE4iFESFCiFC3S4i0.256FCFCF结点：FC SFESFCSFIiFEiFCiFI632.7S4iFIFISFIiFI2.70.231FISFESFCSFIiFEiFCiFI632.7②明确传递系数

传递系数：两端固定时，上层柱上下传1/３，下层柱下传1/2、横传1/2。 ③求固端弯矩。

MFDEFMEF2qlDE1F306290kNm, MHG90kNm1212 2qlEF1F304240kNm, MIH40kNm1212④列表计算。

底层计算结点杆端分配系数传递系数固端弯矩分配与传递AADGGDDG0.2781/3DDA1/2EDE1/2-90FEBEFFE1/240-7.800.590.05CFI1/3IIFBBEHHEEDEH1/2901/3FC1/2CF0.3090.4130.2550.1720.1910.3821/21/2-400.5130.2310.25626.8029.780.430.040.480.04-6.38-12.75-8.6-9.5539.8019.90-1.54-3.08-2.08-2.310.640.32-0.12-0.23-0.16-0.180.040.02-0.02-0.01-0.01-19.1-9.55-7.81-15.62-6.49-4.62-2.310.601.19-0.35-0.180.040.09-0.020.530.04最后弯矩15.029.0327.2730.03-57.5694.16-10.85-12.05-71.2613.62-5.92-7.16-3.58-1.97-6.03-6.62（3）除底层立柱外，其它层立柱需要计算两次。叠加两次的弯矩值。

MGD13.629.0322.65kNmMHE5.156.6211.77kNmMIF2.361.974.33kNm（4）画最后弯矩图。

4532.4827.32MDG4.527.2731.81kNmMEH1.7210.8512.57kNm MFI0.795.926.71kNm13.6222.652094.1657.5630.0331.8111.772.364.3371.2613.627.1612.0513515.026.03M(kN·m)6.3.5812.5771

9、白皮书习题9-11（a）,采用反弯矩法画弯矩图。 解：（1）第二层各柱高和线刚度相同，

VADVBEVCF6020(kN)

3第一层各柱高、线刚度完全相同，

VDGVFIVEH60kNAi=1i=46012060(kN) 3Ci=1Bi=460kN505025502550505025502550i=1120kNDi=8Ei=8F50D50E50F502001501001505010020050150i=2i=2i=260kN505050M(kN·m)G4mH6m150I150150题9-11a(a)120kN5015015050(c)150150150150(b)

（2）本刚架只有两层，少于3层，均假设柱的反弯点在柱的中点。反弯点高度为柱高的一半2.5m 。

（3）由于，同一层梁的线刚度相等，又都视为两端固定的梁，所以分配系数都为。 E点，柱端弯矩为MEBMEH50150200(kNm)不平衡力矩 梁端所分配的弯矩：MEDMEF2001100(kNm) 2B点：柱端弯矩为MBE50(kNm)不平衡力矩 梁端所分配的弯矩：MBAMBC50125(kNm) 4）画M图 2（