一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知角𝛼是第二象限的角，则𝑐𝑜𝑠𝛼的值一定( )
A. 小于零 B. 大于零 C. 等于零 2. 已知
7
D. 不确定
=sin𝛼+cos𝛼
𝑐𝑜𝑠2𝛼
3√2，则𝑐𝑜𝑠2(4𝜋4
+𝛼)的值是( )
A. 8 B. −8
7
C. 7 4
D. −7 𝜋
4
3. 已知函数𝑓(𝑥)=√3𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥，把函数𝑓(𝑥)的图象向右平移3个单位，再把所得图象上所有的
点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，得到函数𝑔(𝑥)的图象，关于函数𝑔(𝑥)，有下列四个结论：
①𝑔(𝑥)的最小正周期为𝜋 ②𝑔(𝑥)的图象关于直线𝑥=6对称 ③𝑔(𝑥)在[3,
𝜋5𝜋
6
𝜋
]上单调递减
④𝑔(𝑥)在[0,𝜋]有3个零点 则其中正确结论的序号是( )
A. ①②③ B. ②④
𝜔𝑥2
C. ③④
(𝜔>0)在区间[−,
2
𝜋2𝜋
3
D. ①③
]上是增函数，且在区间[0,𝜋]上恰好取得
4. 已知函数𝑓(𝑥)=4𝑠𝑖𝑛⋅cos
𝜔𝑥2
一次最大值为2，则𝜔的取值范围是( )
A. (0,1]
B. (0,4]
1
3
C. [1,+∞)
D. [2,4]
13
5. 化简sin2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛽+cos2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛽−2𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛽=( )
A. 2 1
B. √2−1
𝜋
C. 4 1
D. 2√2−1
6. 将函数𝑓(𝑥)=√3𝑠𝑖𝑛2𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑥的图象向左平移𝑎(𝑎>0)个单位后，得到函数𝑔(𝑥)的图象若函数
𝑔(𝑥)的图象关于直线𝑥=24对称，则实数a的最小值为( )
A. 24 𝜋
5𝜋
B. 24 4√3，则cos(𝛼5
7𝜋
C. 12
+
2𝜋3
5𝜋
D. 12
7𝜋
7. 已知sin(+𝛼)+𝑠𝑖𝑛𝛼=
3
3 A. −2√5
)的值是( )
4
3 B. 2√5
C. −5 D. 5
4
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8. 将函数𝑦=sin𝑥的图象向左平移6个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的
(𝜔>0)(纵坐标不变)，得到函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象．若函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间[0,]上有且仅有两𝜔2个零点，则𝜔的取值范围为( )
1
𝜋
𝜋
A. (3,3]
7
1117
B. (1,3]
7
C. [3,3)
1117
D. [1,3)
7
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
9. 已知𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=5，且𝑡𝑎𝑛𝛼>1，则𝑠𝑖𝑛𝛼的值为______． 10. 比较大小：𝑡𝑎𝑛45°______𝑡𝑎𝑛31°(填“>”或“<”)． 11. 函数𝑦=sin(𝑥+6)的单调递增区间为______． 12. 𝑦=2𝑐𝑜𝑠(2𝑥−3)+1的最大值为______． 13. 已知𝑡𝑎𝑛𝛼=2，则𝑐𝑜𝑠2𝛼=______． 14. sin
13𝜋3
𝑠𝑖𝑛2𝛼𝜋𝜋
=______．
𝜋
𝜋
15. 如果函数𝑦=𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑎𝑐𝑜𝑠2𝑥的图象关于直线𝑥=12对称，那么该函数在𝑥∈[0,2]上的最小值为______．
16. 若关于x的方程√3𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥−𝑎=0在(0,𝜋)内有两相异实根𝛼，𝛽，则𝛼+𝛽=______． 三、解答题（本大题共4小题，共48.0分） 17. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(3+4𝑥)+cos(4𝑥−6).
(1)求𝑓(𝑥)的单调增区间；
(2)求𝑓(𝑥)的图象的对称中心与对称轴．
18. 已知𝑠𝑖𝑛𝛼=13，𝛼为第二象限角．
(1)求𝑐𝑜𝑠𝛼的值； (2)求tan(𝛼+4)的值．
𝜋5
𝜋
𝜋
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19. 设函数𝑓(𝑥)=(𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥+𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥)2+2𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑥，(𝜔>0)的最小正周期为2𝜋．
(1)求𝜔的值；
(2)求𝑓(𝑥)的单调减区间；
(3)求𝑓(𝑥)在区间[−12,3]上的值域．
20. 已知函数𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠22−√3𝑠𝑖𝑛𝑥−1．
(1)求函数𝑓(𝑥)的最小正周期和值域．
(2)若𝛼为第二象限角，且𝑓(𝛼−3)=−5，求1+𝑐𝑜𝑠2𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼的值．
𝜋
6
𝑐𝑜𝑠2𝛼
𝑥𝜋
𝜋
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：解：设角𝛼对应的点的坐标为(𝑥,𝑦)，则𝑥<0，𝑦>0， 由余弦的定义可知，𝑐𝑜𝑠𝛼=√𝑥2+𝑦2<0， 故选：A．
根据余弦的定义即可得解．
本题考查三角函数值的符号判断，属于基础题． 2.答案：A
解析：解：∵
𝑐𝑜𝑠2𝛼sin𝛼+cos𝛼
𝑥=
(𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛼)(𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼)
sin𝛼+cos𝛼1
=𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼=
7
√2， 4
∴两边平方，可得1−𝑠𝑖𝑛2𝛼=8，可得𝑠𝑖𝑛2𝛼=8， ∴𝑐𝑜𝑠2(𝜋+𝛼)=cos(
43
3𝜋2
+2𝛼)=𝑠𝑖𝑛2𝛼=．
8
7
故选：A．
利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼=√，两边平方利用同角三角函数基本关
42系式，二倍角的正弦函数公式可求𝑠𝑖𝑛2𝛼的值，进而根据诱导公式化简所求即可计算得解．
本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 3.答案：D
解析：解：函数𝑓(𝑥)=√3𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=2𝑠𝑖𝑛(𝑥+6)，把函数𝑓(𝑥)的图象向右平移3个单位，得到ℎ(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(𝑥−3+6)=2𝑠𝑖𝑛(𝑥−6)，
再把所得图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，得到函数𝑔(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−6)的图象．
所以函数的最小正周期为𝑇=
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
2𝜋2
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
=𝜋.故①正确
𝜋
1
当𝑥=6时，2×6−6=6，所以sin6=2≠1，故②错误． 由于𝑥∈[3,
𝜋𝜋5𝜋
]，所以2𝑥−6∈[2,6
𝜋𝜋3𝜋
]，所以函数𝑔(𝑥)在[,23
𝜋5𝜋
6
]上单调递减，故③正确．
当𝑥=12，12，时，𝑔(𝑥)在[0,𝜋]有2个零点，故④错误．
故选：D．
首先利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数𝑔(𝑥)的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
7𝜋
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本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题． 4.答案：D
解析：解：函数𝑓(𝑥)=4𝑠𝑖𝑛
𝜋
𝜋
𝜔𝑥2
⋅cos
𝜔𝑥2
=2𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥．
则函数𝑓(𝑥)在[−2𝜔,2𝜔]上是含原点的单调增区间． 由于函数𝑓(𝑥)在区间[−2,所以：[−2𝜔,2𝜔]⊇[−2,得到{2𝜋
3
𝜋
𝜋
𝜋2𝜋
3
]上是增函数，
𝜋2𝜋
3
]．
3
−2𝜔≤−2
≤2𝜔
𝜋
𝜋𝜋
，解得0<𝜔≤4．
由于函数在区间[0,𝜋]上恰好取得一次最大值为2， 所以𝜔𝑥=2𝑘𝜋+2(𝑘∈𝑍)， 即函数在𝑥=
𝜋2𝑘𝜋𝜔
𝜋
+
𝜋2𝜔
处取得最大值，
可得：0≤2𝜔≤𝜋， 所以𝜔≥2． 综上所述𝜔∈[2,4]．
故选：D．
首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的关系式子集间的关系的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，子集间的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 5.答案：A
解析：解：∵𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛽=(cos2𝛼−sin2𝛼)(cos2𝛽−sin2𝛽) =cos2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛽−cos2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛽−sin2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛽+sin2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛽， 1
∴sin2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛽+cos2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛽−𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛽
21
=−(cos2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛽−cos2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛽−sin2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛽+sin2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛽)+sin2𝛼⋅sin2𝛽
2+cos2𝛼⋅cos2𝛽
1
=(cos2𝛼⋅cos2𝛽+sin2𝛼⋅sin2𝛽+cos2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛽+sin2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛽) 211
=(cos2𝛼⋅cos2𝛽+cos2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛽)+(sin2𝛼⋅sin2𝛽+sin2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛽) 2213
1
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11
=cos2𝛼+sin2𝛼 22=． 2
故选：A．
由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简所给的式子，即可求得结果． 本题主要考查了同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用问题，是中档题． 6.答案：B
解析：解：函数𝑓(𝑥)=√3𝑠𝑖𝑛2𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑥=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−6)，
函数的图象向左平移a个单位，得到𝑔(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+2𝑎−6)的图象关于直线𝑥=24对称． 即𝑔(24)=±2，
所以24×2+2𝑎−6=𝑘𝜋+2，(𝑘∈𝑍)， 解得𝑎=2𝑘𝜋+24，(𝑘∈𝑍)， 因为𝑎>0，
所以，当𝑘=0时，a取得最小值为24．
故选：B．
首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换可求𝑔(𝑥)，根据正弦型函数的性质即可求出a的最小值，
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换，正弦型函数的性质的应用，属于基础题． 7.答案：C
解析：解：∵sin(𝛼+)+𝑠𝑖𝑛𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛼+√𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛼=√3sin(𝛼+)=
3226∴sin(𝛼+)=，
65则cos(𝛼+
2𝜋𝜋
4
𝜋
1
3𝜋
4√3， 5
7𝜋
1
7𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
1
)=−cos(𝛼−3)=−cos(3−𝛼)=−sin(𝛼+6)=−5， 3
𝜋𝜋𝜋4
故选：C．
由题意利用两角和差的三角函数求得sin(𝛼+6)=5，再利用诱导公式求得cos(𝛼+
𝜋
4
2𝜋3
)的值．
本题主要考查两角和差的三角函数、诱导公式，属于中档题．
8.答案：C
解析：【分析】
本题主要考查函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，正弦函数的零点，属于中档题．
由题意利用函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律求出𝑓(𝑥)的解析式，再根据正弦函数的零点，求
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得𝜔的取值范围． 【解答】
解：将函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥的图象向左平移6个单位长度，可得𝑦=sin(𝑥+6)的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的𝜔(𝜔>0)(纵坐标不变)， 得到函数𝑦=𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+6)的图象． 若函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间[0,2]上有且仅有两个零点， 则2𝜋≤𝜔⋅2+6<3𝜋，即3≤𝜔<故选：C．
𝜋
𝜋
11
173
𝜋
𝜋
1𝜋
𝜋
，
9.答案：5
解析：解：∵𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=5>0， ∴两边平方，可得1+2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=25，
∴𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=sin2𝛼+cos2𝛼=1+tan2𝛼=25，可得12𝑡𝑎𝑛2𝛼−25𝑡𝑎𝑛𝛼+12=0， ∵𝑡𝑎𝑛𝛼>1，可得𝛼为第一象限角， ∴解得𝑡𝑎𝑛𝛼=3，可得𝑐𝑜𝑠𝛼=4𝑠𝑖𝑛𝛼， 又sin2𝛼+cos2𝛼=1， 解得𝑠𝑖𝑛𝛼=5． 故答案为：5．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式化简可得12𝑡𝑎𝑛2𝛼−25𝑡𝑎𝑛𝛼+12=0，结合已知解方程可得𝑡𝑎𝑛𝛼=3，进而根据同角三角函数基本关系式可求𝑠𝑖𝑛𝛼的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了方程思想的应用，属于基础题． 10.答案：>
4
444
3
𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑡𝑎𝑛𝛼
1249
7
4
解析：解：因为0<31°<45°<90°，且正切函数𝑦=𝑡𝑎𝑛𝑥在(0,90°)上单调递增， 所以𝑡𝑎𝑛45°>𝑡𝑎𝑛31°． 故答案为：>．
根据正切函数𝑦=𝑡𝑎𝑛𝑥在(0,90°)上单调递增即可得解． 本题考查正切值的大小比较，熟练掌握正切函数的单调性是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．
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11.答案：[2𝑘𝜋−
𝜋
2𝜋3
,2𝑘𝜋+3]𝑘∈𝑍
𝜋
𝜋
𝜋
解析：解：令−2+2𝑘𝜋≤𝑥+6≤2+2𝑘𝜋可得，−故函数的单调递增区间[2𝑘𝜋−故答案为：[2𝑘𝜋−
2𝜋3
𝜋2𝜋3
𝜋
2𝜋3
+2𝑘𝜋≤𝑥≤+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，
3
𝜋
,2𝑘𝜋+3]，𝑘∈𝑍．
,2𝑘𝜋+3]，𝑘∈𝑍．
结合正弦函数的单调性即可直接求解．
本题主要考查了正弦函数单调性的应用，属于基础试题． 12.答案：3
解析：解：当2𝑥−3=2𝑘𝜋，整理得𝑥=𝑘𝜋+6(𝑘∈𝑍)时，𝑦𝑚𝑎𝑥=2+1=3．
故答案为：3．
直接利用余弦函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
𝜋
𝜋
13.答案：−3
解析：解：由于𝑡𝑎𝑛𝛼=2，
所以：𝑐𝑜𝑠2𝛼=cos2𝛼−sin2𝛼=1−tan2𝛼=−3． 故答案为：−3．
直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
3 14.答案：√2
4
𝑠𝑖𝑛2𝛼
2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼
2𝑡𝑎𝑛𝛼
4
4
解析：解：sin
313𝜋3
=sin3=
𝜋
√3， 2
故答案为：√．
2
由题意利用诱导公式求得式子的值．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题． 15.答案：−√3
𝜋13𝑎解析：解：当𝑥=12时，𝑓()=+√=±√1+𝑎2，整理得：𝑎=√3，
12
2
2
𝜋
所以函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛2𝑥+√3𝑐𝑜𝑠2𝑥=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+3).
𝜋
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当𝑥∈[0,2]，所以2𝑥+3∈[3,
𝜋3
32
𝜋𝜋𝜋4𝜋
3
]，
则：sin(2𝑥+)∈[−√,1]， 当2𝑥+3=
𝜋
4𝜋
𝑥=时，函数的最小值为2×(−√3)=−√3． 时，即23
2
𝜋
故答案为：−√3．
首先利用函数的对称性求出a的值，进一步利用关系式的变换的应用求出正弦型函数，进一步求出函数的最值．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
16.答案：6，或6
∵关于x的方程√3𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥−𝑎=0，解析：解：即2(√𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥)=𝑎，即sin(2𝑥+3)=2．
22由于方程在(0,𝜋)内有两相异实根𝛼，𝛽， ∴sin(2𝛼+)=，sin(2𝛽+)=．
3232
∴2𝛼++2𝛽+=2×，或2𝛼++2𝛽+=2×33233∴𝛼+𝛽=，或， 66故答案为：6，或6．
由题意，方程sin(2𝑥+3)=2 在(0,𝜋)内有两相异实根𝛼，𝛽，可得2𝛼+3+2𝛽+3=2×2，由此求得结果．
本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
𝜋
𝑎
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
7𝜋
𝜋
7𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
3𝜋2
𝜋
𝑎
𝜋
𝑎
31
𝜋
𝑎
𝜋7𝜋
，
17.答案：解：(1)𝑓(𝑥)=sin(3+4𝑥)+cos(4𝑥−6)=sin(4𝑥+3)+sin(4𝑥+3)=2𝑠𝑖𝑛(4𝑥+3)，
令−2+2𝑘𝜋≤4𝑥+3≤2+2𝑘， 则解得单调增区间为[−24+(2)令4𝑥+3𝜋=𝑘𝜋， 可得𝑥=−12+
𝜋
𝑘𝜋4
5𝜋
𝑘𝜋𝜋2
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
,
24
+
𝑘𝜋2
],𝑘∈𝑍．
，
𝑘𝜋4
所以对称中心(−12+
𝜋
𝜋
𝜋
,0)，
𝜋
𝑘𝜋4
令4𝑥+3=2+𝑘𝜋,可得：𝑥=24+
，
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所以对称轴为𝑥=24+
𝜋𝑘𝜋4
,𝑘∈𝑧．
解析：(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(4𝑥+3)，利用正弦函数的图象和性质即可求解其单调增区间． (2)令4𝑥+3𝜋=𝑘𝜋，可得𝑥=−12+
𝜋
𝑘𝜋
𝜋
，可求其对称中心，令4𝑥+3=2+𝑘𝜋,𝑥=24+4
𝜋𝜋𝜋𝑘𝜋4
，可求其
对称轴．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
18.答案：解：因为𝑠𝑖𝑛𝛼=13，𝛼为第二象限角；
∴(1)𝑐𝑜𝑠𝛼=−√1−sin2𝛼=−．
13(2)由(1)知𝑡𝑎𝑛𝛼=cos𝛼=−12， ∴tan(𝛼+4)=
𝜋
1+𝑡𝑎𝑛𝛼1−tan𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛼
512
5
=17．
7
解析：(1)根据sin2𝛼+cos2𝛼=1以及a是第二象限角就可以求出𝑐𝑜𝑠𝛼； (2)然后根据𝑡𝑎𝑛𝛼=cos𝛼求出𝑡𝑎𝑛𝛼的值；进而利用两角和的正切求出结论．
本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角和的正切，对sin2𝛼+cos2𝛼=1 的灵活运用是解题的关键，属于基础题．
19.答案：解：(1)∵函数𝑓(𝑥)=(𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥+𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥)2+2𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑥=1+𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑥+1 =√2sin(2𝜔𝑥+)+2(𝜔>0)的最小正周期为
4𝜋
𝑠𝑖𝑛𝛼
=2𝜋，∴𝜔=，𝑓(𝑥)=√2sin(𝑥+4). 2𝜔2
𝜋
5𝜋4
2𝜋1𝜋
(2)令2𝑘𝜋+2≤𝑥+4≤2𝑘𝜋+
𝜋𝜋3𝜋
，求得2𝑘𝜋+4≤𝑥≤2𝑘𝜋+2
𝜋
5𝜋4
，
可得函数𝑓(𝑥)的减区间为[2𝑘𝜋+4,2𝑘𝜋+(3)在区间[−12,3]上，𝑥+4∈[6,12]，
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋7𝜋
]，𝑘∈𝑍．
𝜋2故当𝑥+4=6时，函数𝑓(𝑥)取得最小值为√2sin=√；
6
2
𝜋𝜋
当2𝑥+4=2 时，函数𝑓(𝑥)取得最大值为√2sin2=√2， 故函数𝑓(𝑥)的值域为[√,√2].
2
21𝜋𝜋𝜋
解析：(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得𝜔，可得函数的解析式．
(2)由题意利用正弦函数的单调性，求出它的减区间．
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(3)由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得结果．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，定义域和值域，属于中档题．
20.答案：解：(1)函数𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠22−√3𝑠𝑖𝑛𝑥−1=𝑐𝑜𝑠𝑥−√3𝑠𝑖𝑛𝑥=2𝑐𝑜𝑠(𝑥+3)的最小正周期为
2𝜋1
𝑥𝜋
=2𝜋，
它的值域为[−2,2]．
(2)若𝛼为第二象限角，且𝑓(𝛼−3)=−5=2𝑐𝑜𝑠(𝛼−3+3)， ∴𝑐𝑜𝑠𝛼=−，𝑠𝑖𝑛𝛼=√1−cos2𝛼=，
55则1+𝑐𝑜𝑠2𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼=2𝑐𝑜𝑠2𝛼−2𝑠𝑖𝑛𝛼cos𝛼=
𝑐𝑜𝑠2𝛼
2𝑐𝑜𝑠2𝛼−1
7
251824+2525
𝜋6𝜋𝜋
34
−
=−．
6
1
解析：(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得它的周期和值域． (2)由题意求出𝑐𝑜𝑠𝛼和𝑠𝑖𝑛𝛼的值，再利用二倍角公式，求得1+𝑐𝑜𝑠2𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼的值． 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，二倍角公式的应用，属于基础题．
𝑐𝑜𝑠2𝛼
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