２０１８年第８期（上） 中学数学研究 １９ ２０ １ ８年全国Ｉ卷理科数学第１ ９题溯源与探究 广东省华南师范大学附属中学汕尾学校（５１６６００） 刘光明 ２０１８年全国ｌ卷理科数学第ｌ９题解析几何试题虽说平 ＝— Ｘｏ １ （ｚ一１），直线ＭＡ的方程为 ＝ （ ～２）， Ｚｎ— Ｙｏ １），可得３ｘｏ－４’淡但却蕴含着知识的本质，经过试题的多解与拓展，从椭圆 特殊情况到横纵向的探究，发现对于一般的二次曲线同样具 由 因为 有相似性质，并且它们的逆命题也是成立的．本文试图通过８ 个结论的推理论证和阐述，挖掘其中的通性通法，最后因探 究而引发了数学核心素养背景下圆锥曲线的一些教学思考． １试题呈现与多解 试题呈现（２０１８年全国１卷理科数学第１９题）设椭圆 Ｃｒ： ＋Ｙ。＝１的右焦点为Ｆ，过Ｆ的直线ｆ与Ｃ交于 Ａ，Ｂ两点，点Ｍ的坐标为（２，０）． （１）当ｆ与ｚ轴垂直时，求直线 Ｍ的方程； （２）设０为坐标原点，证明：／ＯＭＡ＝ＺＯＭＢ． 解（１）（略解）当ｊ与 轴垂直时，可得点Ａ ｆ１，士 １， 又Ｍ（２，０），故直线ＡＭ的方程为 土 一２：０． （２）方法１（应用韦达定理）①当直线ｆ的斜率为０ 时，ＺＯＭＡ＝／ＯＭＢ＝０显然成立．⑦当直线线ｚ的斜 率不为０时，由题意可设直线线２的方程为 ＝ｍｙ＋１， 点Ａ（ ， ），Ｂ Ｘ２￣ｙ２），由｛【 ＋Ｘ＝ｍｙ＋ ＝１１， ．消去 可得 （ｍ。＋２）ｖ ＋２ｍｙ一１＝０，△＝（２ｍ ）。＋４（ｍ。＋２）＞０， 根据韦达定理可得 一—一—ｍ２＋２ ２ｍ——，Ｙ ｉＹ １＋十。Ｙ ２＝， ＹｉＹ２＝Ｙｉ一 一 （１）【 Ｊ 由题意直线ＭＡ，ＭＢ的斜率一定存在，且惫ＭＡ＝ ，ｋＭＢ＝ 即 Ｍ ＋ 邶＝ ＋ ＝ ２ ｍｙｌ ｙ２－－面（ｙ丽ｌ＋Ｙ２）（２） 将（１）式代人（２）式可得 Ｍ ＋ｋＭＢ：！ 二盎：０ ｍ‘ Ｙ ｌ ２一 ｍ （ｙａ 十 ２ Ｊ十ｌ ， 因此ｋＭＡ＝－－ｋＭＢ，于是ＡＯＭＡ＝ＺＯＭＢ． 方法２（同一法）：根据椭圆的对称性，要证ＺＯＭＡ＝ ＸＯＭＢ，只需要证点Ａ关于Ｘ轴的对称点Ａ“在直线 ＭＢ上即可，因此只需证明直线ＭＡ 与直线ＡＦ的交 点Ｂ在椭圆上即可．不妨设Ａ（ｘｏ，Ｙｏ）为第一象限点，则 点Ａ关于Ｘ轴的对称点Ａ ｘｏ，一 ｏ），直线 Ｆ的方程为 （３２—ｘｏ－３４＂］ ／２＋（ ）。 （３ｘｏ一４）。＋２一ｚ３ ２（２ｘｏ一３） ２（２ｘｏ一３、 ２（２ｘｏ一３）２ 故直线Ｍ 与直线ＡＦ的交点Ｂ（ 三，２—ｘｏ －３），故 方法３（几何法，利用 椭圆的第二定义）：点Ｍ为 ｆｉｅｆ ～ ＼ Ｐ 椭圆准线 ＝２与Ｘ轴 ０ ｔ 的交点，分别过点Ａ＜Ｂ ＼＼Ｑ 分别作准线 ＝２的垂 线，垂足分别为点Ｐ，Ｑ，如 图１ 图１，根琚 唰日勺弟一疋５Ｌ（｛１Ｉｆｊ 上仕葸一息到焦息 的距离与到准线的距离的比等于离心率ｅ．）可得 苗 又ＡＰ／／ＦＭ／／ＢＱ，故ＡＯＭＡ＝ ＺＭＡＰ，ＺＯＭＢ：ＺＭＢＱ，而ＡＦ＝ＰＭ即而ＭＱ＝ 丽，ＰＭ在ＲｔＡＡＰＩＶＩ，ＲｔＡＢＱＭ中ｔａｎＡＭＡＰ＝ ＰＭ，， ｔａｎＡＭＢＱ＝丽ＱＭ，故ｔａｎ ＭＡＰ＝ ，ｔａｎＺＭＢＱ＝ ｅ面Ｃ２Ｍ，可得ｔａｎＺＭＡＰ＝ｔａｎＺＭＢＱ，所以ｔａｎＡＯＭＡ＝ ＵＭＢ． 评析试题在给定椭圆方程的基础上，研究过焦点的直 线与椭圆的位置关系，通过定点Ｍ、直线与椭圆的交点，两者 建立关系，即可通过解析法将等角的几何性质转化为代数方 程，也可以通过三角相似解决与椭圆有关的几何问题，为不 同基础和能力的考生搭建思维平台，也使解析几何的思想方 法在解答过程中得以展示．试题通过直线和椭圆的几何性质 建立几何元素之间的关系，营造数形结合的环境． ２试题背景溯源 历年来，全国卷的解析几何问题都牵动着一线数学教师 ２０ 中学数学研究 Ａ（ ， ），Ｂ（ ， ），由 背 ２０１８年第８期（上） ＋ ＝１， 消去 可得 的心，也是最容易受到狂热挖掘的素材之一．２０１８年全国１ 卷文理解析几何虽题目的呈现的曲线不同，但考查的核心知 识点一致，细细查找不难发现其根源，具体摘抄如下： 背景１［ 】人教Ａ版选修４．４教材第３４页习题２．２第２ 题，摘抄如下：已知椭圆 ＋ ＝１上点Ｂ，Ｂ 的连线垂 【Ｘ＝ｍｙ＋ｔ， （６。ｍ。＋ａ２）ｙ＋ｂ２ｔ。一ａ２ｂ。＝０，又Ｎ（ｔ，０）为椭 景 。＋２ｂ。Ｍ ｍｔ圆内的点，故直ｌ线与椭圆必相交于两个不同点，由韦达定理 可得 Ｙ ＋Ｙ。：一—十。一ｂ２ ｍ ２＋ａ２，ｙａ， Ｙ ＝ 直于长轴，椭圆上除了点Ｂ，Ｂ 外任意一点，与Ｂ，Ｂ 连线分 文 胁 献 ＝ （ Ｊ３） 别与 轴交于Ｐ，Ｑ两点，０椭圆中心，求证：ＩＯＰｌｌｏＱｌ为定 值为ａ ． 又 Ｍ ＝ Ｘｌ一等，ｋ邶＝ ，则 Ｘ２一等 背景２（２０１５年全国１卷理科第２０题１在直角坐标系 ｘＯｙ中，曲线 ：Ｙ＝ 与直线ｆ：Ｙ＝ｋｘ＋ａ（ａ＞０）交于 Ｍ，Ⅳ两点．（１）当ｋ＝０时，分别求曲线Ｃ在点Ｍ和Ⅳ处 的切线方程；（２）Ｙ轴上是否存在点Ｐ，使得当ｋ变动时，总 有 ０Ｐ ＝／ＯＰＮ？说明理由． 背景３（２０１３年陕西高考理科第２０题）设抛物线 ：Ｙ ＝８ｘ，若点Ｂ（一１，０），设不垂直于 轴的直线ｆ与 有两个不同的交点Ｐ’Ｑ，若 轴是／ＰＢＱ的角平分线，则 １过定点（１，０），反之也成立． ｂ＞０）的一对“伴侣点”．过Ｍ作与坐标轴不平行的直线ｌ 与椭圆相交于 ，Ｂ两点，则直线ＡⅣ和直线ＢＮ与 轴成 等角． 从上述的４个背景可以发现无论是期刊文章还是高考 试题，更甚至是课本习题都对试题考查核心知识和思想方法 进行了深入的挖掘，因此在平时的教学过程中必须要重视课 本之源，关注学科前沿领域之水．固本清源，水到渠成． 考题因探究而精彩，数学中的许多发现常常都是通过类 比、归纳、猜想和证明的基本思路进行．作为全国卷的考题更 是汇聚我国数学工作者的智慧结晶，无论横向探究还是纵向 挖掘都值得用心雕琢． ３纵向探究 结论１设椭圆Ｃ： ２ ＋ Ｙ＝１（２ 。＞ｂ＞０）内一点 Ｎ（ｔ，ｏ），点Ｍ的坐标为（ ，ｏ）．过Ｎ的直线ｆ与椭圆交与 Ａ，Ｂ，贝４ ＯＭＡ＝ ０ＭＢ． ２ ２ 结论２设椭圆Ｃ： ＋ Ｙ＝１（ｂ＞。＞０）内一点 Ｎ（Ｏ㈡，点Ｍ的坐标为ｆ０，譬］．过Ｊｖ的直线ｆ与椭圆交与 ，Ｂ，则 ０ＭＡ＝ ０ＭＢ． 下面主要证明结论１，结论２的证明可以仿造进行，不再 赘述． 证明根据已知，不妨设直线ｆ的方程为ｚ＝ｍｙ＋￡， Ｍ ＋ Ｂ 理 Ｘ１ Ｘ ２三一 Ｘ午ｌ 竺ｌ 十 Ｘ２ Ｊ十Ｉ Ｊ ２ ＋ 指 ２—ｒｎｙ 。＋ 一Ｔａ２）（ ＋ 。） ｌ｛ Ｘ１Ｘ２ｊ 一 ｌ Ｘ Ｘｌ十 ）２＿＿十Ｉ ＝＿ｕｌ ’ （３）式代入分子得 已 ２ｍ 知＞ ＋（ 一了ａ２）（一 ） ：（ ２（ ：二竺 ：０６ ｍ０＋ａ２ ． 故ｋＭＡ＋ ＾ 口＝０，于是ＺＯＭＡ＝ＺＯＭＢ ４横向探究 结论３如图２，圆０的 直径 所在射线上两点 Ｍ，Ｊｖ其中Ⅳ在圆内，且满足 Ｄ ＯＣ。＝ＯＭ．ＯＮ，过点Ⅳ的 直线交圆０与Ａ，Ｂ两点，则 图２ ０ＭＡ＝ ０ＭＢ． 证明 由题意在圆０中，ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ， 为 ＯＣ ＝ＯＭ．ＯＮ，Ｐ）￣ＤＡ ＯＡ。＝ＯＭ．ＯＮ，即 ＮＯＯＡ＝ ， 因为ＺＮＯＡ＝ＺＡＯＭ，所以ＡＮＯＡ一△ （）Ｍ 所 以ＡＯＡＮ：ＺＯＭＡ．同理可得ＺＯＢＮ＝ＺＯＭＢ．因 为ＯＡ＝ＯＢ，所以ＺＯＢＮ＝ＡＯＡＮ 所以ＺＯＭＡ＝ ＯＭＢ． 结论３可以经过射影变换可 ｆ 。 似的性质·以得到椭圆、抛物线和双曲线中类 — Ｉ＿ １ 结论４如图３，设抛物线ｙ２： 、、 ２ｐｘ，若点Ｎ（ｎ，０），点Ｍ（一ｎ，Ｏ）． 过Ⅳ的直线与抛物线交与Ａ，Ｂ， 图 则ＺＯＭＡ： ０＾ Ｂ． 证明根据已知。不妨设直线 ２的方程为Ｘ ＝ ｍｙ＋ ，Ａ（ １， １），Ｂ（ ２，ｙ２），由 ２０１８年第８期（上） 中学数学研究 ２ｌ ，｛【 ２Ｐ 消去 可得ｙ２—２ｐｔ 一２ｐｎ：０， ｔ：一 ，ｆ ｊＬ 直线 日的方程为 ： 一 ：ｌ】Ｌ ｆ＼ 一 ｌ １，ｎ Ｘ ｍｙ＋ｔ， ２ｋａ。ｂ。一２ｍｔｂ。＝０又ｍ≠０，ｂ＞０，因此忌ｎ。＋ｍｔ＝０， 又Ｎ（ｔ，０）为抛物线内的点，故直线２与抛物线必 相交于两个不同点，由韦达定理可得Ｙ ＋ｙ２＝ ／ ｎ 、 于是直线ＡＢ恒过定点ｆ ，０１． 依据类比可推理得到抛物线和双曲线也是有类似结论７ 的结论，故可以概括得到结论８． 结论８设Ｍ是二次曲线ｒ对称轴上的一个定点，Ａ Ｂ 为该二次曲线ｒ上的两个动点，且满足Ａ（ ＭＡ－４－ｋＭＢ）－４－ ２ｐｔ，Ｙ１ ２：一２ｐ礼，又 ＭＡ： ｋＭＡ＋ ＭＢ： ＋ Ｂ＝ ， ＭＢ ———型；一，贝０ ± 塑代入整理可得， ，生 （Ｘ１十佗Ｊ【Ｘ２十ｎ Ｊ ，故 Ａ＋ Ｍ日＝ ２ｔ（－ ２ｐｎ ）＋丽２ｎ．２ｐｔ＝０，于是ＺＯＭＡ＝ ＯＭＢ． ２ ２ 结论５设双曲线Ｅ： 一 ｙ＝１（。，ｂ＞０），平面内一 点Ⅳ（ｔ，０）（￡＞０），点Ｍ的坐标为ｆ＿ａＬ，０ １．过Ｎ的直线ｆ 与双曲线右分支交与Ａ，Ｂ，则ＡＯＭＡ＝ＡＯＭＢ． 通过圆、抛物线的推理论证，可以运用同样的逻辑推理 方法和通性通法得到双曲线类似结论的证明，有兴趣的读者 可以尝试，在此不作过多论证．至此，二次曲线中相似性质都 得到了证明，故可总结得到更统一的结论５． 结论５设Ｍ是二次曲线ｒ对称轴上的一个定点，Ａ，Ｂ 为该二次曲线ｒ上的两个动点，且满足直线ＡＢ过定点，则 存在 ， ，ｔ∈ 使得）ｋ（ｋＭＡ＋ｋＭＢ）＋ＦｔｋＭＡｋＭＢ＝ｔ． 结论５中，如果取特殊值 ＝１， ＝ｔ＝０，则得到结论 １、结论２、结论３、结论４和结论５等性质成立．证明推理过 程，请感兴趣的读者自行完成． ５逆向探究 ，”２ ．２ 结论７已知椭圆Ｃ： －４－ １（。＞ｂ＞０），点 Ｍ（ｍ，０）（ｍ≠０），直线ＭＡ，ＭＢ与椭圆分别相交于 ，Ｂ 两点，且满足ＡＯＭＡ＝／ＯＭＢ，若直线ＡＢ斜率存在，则 直线ＡＢ恒过定点ｆ＼、ｍ Ａａ，０１／ ． 证明 由已知，不妨设直线ＡＢ的方程为Ｙ＝ ｋｘ＋ｔ，Ａ（ｘｌ， １），Ｂ（ｘ２， ２），由｛ｎ 。ｂ【ｆ 一． 一 。 消去 Ｙ＝ｋｘ＋ｔ， Ｙ可得（ｂ ＋ａ２ 。）ｚ。＋２ａ。ｋｔｘ－４－ａ２ｔ。一ａ２ｂ。：０，根 据已知直线ＭＡ，ＭＢ与椭圆分别相交于 ，Ｂ两点， 故直线ＡＢ必与椭圆相交，即△＞０，由韦达定理 可得ｚ ＋ｚ ＝一 兰 ， ｚ。＝ ，又 Ｍ ＝— 一， ＭＢ＝— 一，则 ＭＡ＋ Ｂ： 三 ，因为ＺＯＭＡ：ｌＯＭＢ，所以 ｋＭＡ－ｆ－ｋＭＢ＝０，于是有ｘ２ｙｌ＋ｘｌｙ２一ｍ（ｙｌ＋ｙ￣）＝２ｋｘ￣ｘ２Ａ－ （ｔ—ｍｋ）（Ｘｌ＋Ｘ２）一２ｍｒ＝０，将根与系数关系代入整理得 ２ｋ（ａ。ｔ。一ａ２ｂ。）一２ｋｔ（ｔ—ｍｋ）ａ。一２ｍｔ（ｂ。＋ａ２ｋ ）＝０，所以 ｐｋＭＡｋＭＢ＝ （其中 ， ，ｔ为定值），若直线ＡＢ斜率存在， 则直线ＡＢ过定点． ６教学与备考启示 （１）深入挖掘课本教材，关注知识的通性通法．圆锥曲线 教学过程中都会感觉到思维的方式还是比较统一，但学生的 排斥和畏难心理会给学习带来巨大的阻碍．因此，在圆锥曲 线教学中需要深入挖掘教材，引入数学文化，让课堂丰富精 彩．解题教学中，需要舍得花时间引领学生审题，逐个条件 “翻译”成数学知识．渗透转化思想，采取联想和类比的方法， 多角度引导学生去选取解法，深入挖掘课本习题，借助变式 教学传递通性通法． （２）深入思考，分析，培育运算素养．运算能力的生 成是学生个体的数学知识、思想、方法、解题经验、情感意识 自然内化不断升华的活动过程，是建立在记忆能力、观察能 力、理解能力、表述能力等基础上的，各种思维能力的联系、 比较是运算能力生成的关键，更是确定解决问题的前提＿３］＿ 在圆锥曲线甚至是每一节数学课中都大胆地给时间让学生 自主去经历和体验运算程序，日积月累地突破计算难点，培 养计算自信心．当然教师也要在课堂中做好良好的示范，耐 心指导学生计算困难的解决办法．通过课堂运算，切实培养 运算素养． （３）基于建构主义学习理论在教学中开展类比、猜想探 究教学，引导学生关注“前概念”与“科学概念”之间的关系， 通过推理论证培育学生合情推理和逻辑推理能力．圆锥曲线 具备代数与几何的双重性质，是培养学生数形结合思想和思 维灵活性的良好契机，故此需要重视挖掘知识间的横向和纵 向联系． 参考文献 ［１］吕伟泉主编．普通高中课程标准试验教科书（Ａ版）选修４－４［Ｍ１．人 民教育出版社．２００７（１）：３４． ［２］邹生书．圆锥曲线“伴侣点”的一个和谐性质［ＪＪ．中学数学教 学。２００９（２）：４０． ［３］曹一鸣等．基于学生核心素养的数学学科能力研究［Ｍ］北京：北京 师范大学出版社，２０１７．
