人教版八年级数学(下)教案

16．1分式

16.1.1从分数到分式

一、 教学目标

1． 了解分式、有理式的概念.

2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点

1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入

1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：10，s，200，v.

7a33s2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x千米/时.

轮船顺流航行100千米所用的时间为100小时，逆流航行60千米所用时间60小时，所以

20v100=60. 20v20v20v3. 以上的式子100，60，s，v，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？

20v20vas五、例题讲解

P5例1. 当x为何值时，分式有意义.

[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x的取值范围.

[提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.

(补充)例2. 当m为何值时，分式的值为0？ 2（1）m m11（2） (3) m3mm2m11分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m的[分析] 分式的值为0时，必须同时满足两个条件：○．．解集中的公共部分，就是这类题目的解

六、随堂练习

1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, 7 , 9y, m4, 8y3，1

xx9205y22. 当x取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） x2432xx23. 当x为何值时，分式的值为0？

3x52x5x21x77x（1） （2） (3) x2x5x213x七、课后练习

1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？

- 1 -

(1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.

（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x与y的差于4的商是 .

x212．当x取何值时，分式 无意义？

3x2x1的值为0 3. 当x为何值时，分式 x2x课后反思：

16.1.2分式的基本性质

一、教学目标

1．理解分式的基本性质.

2．会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点

1．重点: 理解分式的基本性质.

2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、例、习题的意图分析

1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.

2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.

教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.

3．P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.

“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5. 四、课堂引入

1531．请同学们考虑：3 与 相等吗？9 与 相等吗？为什么？

420248315932．说出 与 之间变形的过程， 与 之间变形的过程，并说出变形依据？ 4202483．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质. 五、例题讲解

P7例2.填空：

[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变. P11例3．约分：

[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.

- 2 -

P11例4．通分：

[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.

（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

6b， x5a3y， 2m， 7m， 3x。

n6n4y[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变. 解：

xx6b6b2m2m7m7m= ， =，=， = ，

3y3y5a5ann6n6n3x3x=。 4y4y六、随堂练习

1．填空：

2x26a3b23a3(1) 2= (2) = 3x3xx38bx2y2xyb1（3) = (4) = 2acancnxy

2．约分：

4x2yz32(xy)33a2b8m2n（1） （2） （3） （4） 522yx16xyz2mn6abc

3．通分： （1）（3）

a12b和 （2）和

2xy3x22ab35a2b2c113ca和 （4）和 22y1y12ab8bc4．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

x3ya35a(ab)2(1)  (2)  （3) (4) 222m17b13x3ab七、课后练习

1．判断下列约分是否正确： （1）

xy1aca= （2）2= bcbxy2xy（3）

mn=0 mn12x1x1和 （2）和 22223ab7abxxxx2．通分： （1）

3．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号.

- 3 -

（1）

x2y2ab （2）

3xyab

16．2分式的运算

16．2．1分式的乘除(一)

一、教学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算. 二、重点、难点

1．重点：会用分式乘除的法则进行运算. 2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算 . 三、例、习题的意图分析

1．P13本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的容积的高是

vmab大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的，

abnmn倍.引出了分式的乘除法的实际存在的意义，进一步引出P14[观察]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时，不易耽误太多时间.

2．P14例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能约分，应化简到最简.

3．P14例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分. 4．P14例3是应用题，题意也比较容易理解，式子也比较容易列出来，但要注意根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)=a-2a+1四、课堂引入

1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高效率的2

2

2

2

2

vm问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作，

abnab倍. mn[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则.

1． P14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.

3．[提问] P14[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？ 类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论. 五、例题讲解

P14例1.

[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果.

P15例2.

[分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.

P15例.

- 4 -

[分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是500、500，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,

a212

a12因此(a-1)=a-2a+1计算

22c2a2b2n4m2（1） （2）3 （3）y abc2m5n7xx2222

222 （4）-8xy2y (5)a4a1 (6)y6y9(3y)

5xa22a1a24a4y2七、课后练习

计算

1 （2）5b10bc （3）12xy8x2y （1）x2y32xy3ac21a5a22a4bab （5）x2x（4） （6）42(x2y2)x2 (4x)a2b3ab2x1x35(yx)3

16．2．1分式的乘除(二)

一、教学目标：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 二、重点、难点

1．重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 三、例、习题的意图分析

1． P17页例4是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先把除法统一成乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

教材P17例4只把运算统一乘法，而没有把25x-9分解因式,就得出了最后的结果，教师在见解是不要跳步太快，以免学习有困难的学生理解不了，造成新的疑点.

2， P17页例4中没有涉及到符号问题，可运算符号问题、变号法则是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，突破符号问题. 四、课堂引入

计算

（1）yx(y) (2) 3x(3x)(1)

xyx4yy2x2

五、例题讲解

（P17）例4.计算

[分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.

（补充）例.计算

- 5 -

3ab28xy3x(1)3(2)

2xy9ab(4b)3ab28xy4b=3(2) (先把除法统一成乘法运算) 2xy9ab3x3ab28xy4b=32 （判断运算的符号） 2xy9ab3x16b2= （约分到最简分式） 39ax

2x6(x3)(x2) (x3)23x44x4x2x61(x3)(x2)= (先把除法统一成乘法运算) 23x44x4xx32(x3)1(x3)(x2)= (分子、分母中的多项式分解因式) 23x(2x)x3(2) =

2(x3)1(x3)(x2) 2(x3)(x2)x3=

2 x2六、随堂练习

计算

3b2bc2a5c20c362() （2）24(6abc)(1) 31016a2a2b2ab30ab3(xy)29x22xyy2xy42(xy)2 （3） （4）(xyx)yxxy(yx)3x

七、课后练习

计算

3xx2y() (1)8xy66z4y24a26a93aa2(2) 2b3a94b2y24y41126y(3) 22y6y39y

16．2．1分式的乘除(三)

一、教学目标：理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算. 二、重点、难点

1．重点：熟练地进行分式乘方的运算.

- 6 -

2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 三、例、习题的意图分析

1． P17例5第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判

断乘方的结果的符号，在分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除..

2．教材P17例5中象第（1）题这样的分式的乘方运算只有一题，对于初学者来说，练习的量显然少了些，故教师应作适当的补充练习.同样象第（2）题这样的分式的乘除与乘方的混合运算，也应相应的增加几题为好.

分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，强调运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破这个难点. 四、课堂引入

计算下列各题：

a2abba4a（3）()=bb（1）()=

aa3aaa=（ ） (2) ()==（ ） bbbbbaaa=（ ） bbban[提问]由以上计算的结果你能推出()（n为正整数）的结果吗？

b五、例题讲解 （P17）例5.计算

[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除. 六、随堂练习

1．判断下列各式是否成立，并改正.

b32b53b29b2（1）()= （2）( )=222a2a2a4a9x22y38y33x2（3）( )=3 （4）()=223xxbxb9x2．计算

a32ay35x223a2b3()() ) （2）()(1) ( （3）2233y3xy2x2cx2y2x2y3x32)() 5)()()(xy4) （4）(2yxzz (6)(y23x3x2)()3() 2x2y2ay

七、课后练习

计算

2b23(1) (3)

aa22(2) (n1)

bc32c42a4(3)(2)(3)()

cabab

- 7 -

16．2．2分式的加减（一）

一、教学目标：（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算.

（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减. 二、重点、难点

1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 三、例、习题的意图分析

1． P18问题3是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的

11.这样nn3引出分式的加减法的实际背景，问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.

2． P19[观察]是为了让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，让学生自己说出分式的加减法法则.

3．P20例6计算应用分式的加减法法则.第（1）题是同分母的分式减法的运算，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子变号的问题，比较简单，所以要补充分子是多项式的例题，教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号；

第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积，没有涉及分母要因式分解的题型.例6的练习的题量明显不足，题型也过于简单，教师应适当补充一些题，以供学生练习，巩固分式的加减法法则.

（4）P21例7是一道物理的电路题，学生首先要有并联电路总电阻R与各支路电阻R1, R2, „, Rn的关系为1111.若知道这个公式，就比较容易地用含有R1的式子表示R2，列出11RR1R2RnRR11，

R150下面的计算就是异分母的分式加法的运算了，得到12R150，再利用倒数的概念得到R的结果.这道

RR1(R150)题的数学计算并不难，但是物理的知识若不熟悉，就为数学计算设置了难点.鉴于以上分析，教师在讲这道题时要根据学生的物理知识掌握的情况，以及学生的具体掌握异分母的分式加法的运算的情况，可以考虑是否放在例8之后讲.

四、课堂堂引入

1.出示P18问题3、问题4，教师引导学生列出答案.

引语：从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算. 2．下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则吗？ 3. 分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？ 4．请同学们说出五、例题讲解

（P20）例6.计算

[分析] 第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比较简单；第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积.

- 8 -

111,,的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？ 234222xy3xy9xy（补充）例.计算 （1）

x3yx2y2x3y 222222xyxyxy

[分析] 第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式. 解：

x3yx2y2x3y 222222xyxyxy=

(x3y)(x2y)(2x3y) 22xy=

2x2y 22xy==

2(xy)

(xy)(xy)2 xy(2)

11x6 2x362xx9[分析] 第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式. 解：

11x6 2x362xx911x6= x32(x3)(x3)(x3)=

2(x3)(1x)(x3)12

2(x3)(x3)(x26x9)= 2(x3)(x3)(x3)2= 2(x3)(x3)=x3

2x6六、随堂练习

计算

3a2babbam2nn2m （2） nmmnnm5a2b5a2b5a2b163a6b5a6b4a5b7a8b（3） （4） 2a3a9abababab(1)

七、课后练习

- 9 -

计算 (1)

5a6b3b4aa3b223abc3bac3cba2 (2)

3baa2b3a4b 222222ababbab2a2113x(3) 2ab1 (4)

6x4y6x4y4y6x2abba16．2．2分式的加减（二）

一、教学目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 二、重点、难点

1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 三、例、习题的意图分析

1． P21例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

例8只有一道题，训练的力度不够，所以应补充一些练习题，使学生熟练掌握分式的混合运算. 2． P22页练习1：写出第18页问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.

四、课堂引入

1．说出分数混合运算的顺序.

2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 五、例题讲解

（P21）例8.计算

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.

（补充）计算 （1）(x2x14x )xx22xx24x4[分析] 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边.. 解： (x2x14x )22xx2xx4x4x2x1x]=[

x(x2)(x2)2(x4)=[(x2)(x2)x(x1)x] 22(x4)x(x2)x(x2)x24x2xx= (x4)x(x2)2=1

x24x42xyx4yx2（2） xyxyx4y4x2y2

- 10 -

[分析] 这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边.

xyx4yx242解： 42xyxyxyxy2xyx4yx2y2= xyxy(x2y2)(x2y2)x2xy2x2y2= 2(xy)(xy)xy=

2xy(yx)

(xy)(xy)xy xy=六、随堂练习 计算

x24x2ab11(1) ( （2）())()

x22x2xabbaab31221（3）(2)()

a2a4a2a2

七、课后练习 1．计算 (1) (1(2) (yx)(1) xyxya2a1a24a)2

aa22aa24a4a111xy(3) ()

xyzxyyzzx2．计算(

114)2，并求出当a-1的值. a2a2a16．2．3整数指数幂

一、教学目标：

1．知道负整数指数幂an=

1（a≠0，n是正整数）. an2．掌握整数指数幂的运算性质. 3．会用科学计数法表示小于1的数. 二、重点、难点

1．重点：掌握整数指数幂的运算性质. 2．难点：会用科学计数法表示小于1的数.

三、例、习题的意图分析

1． P23思考提出问题，引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质.

- 11 -

2． P24观察是为了引出同底数的幂的乘法：amanamn，这条性质适用于m,n是任意整数的结论,说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质，在整数范围里也都适用.

3． P24例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质，教师不要因为这部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正，以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.

4． P25例10判断下列等式是否正确？是为了类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来.

5．P25最后一段是介绍会用科学计数法表示小于1的数. 用科学计算法表示小于1的数，运用了负整数指数幂的知识. 用科学计数法不仅可以表示小于1的正数，也可以表示一个负数.

6．P26思考提出问题，让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数，从而归纳出：对于一个小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几.

7．P26例11是一个介绍纳米的应用题，使学生做过这道题后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示小于1的数. 四、课堂引入

1．回忆正整数指数幂的运算性质： （1）同底数的幂的乘法：aaa（2）幂的乘方：(a)anmnmnmnmn(m,n是正整数)；

(m,n是正整数)；

n（3）积的乘方：(ab)ab(n是正整数)； （4）同底数的幂的除法：aaamnmnn( a≠0，m,n是正整数，

m＞n)；

anan（5）商的乘方：()n(n是正整数)；

bb2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，a1. 3．你还记得1纳米=10米，即1纳米=

35-9

01米吗？ 910a3a31mnmn4．计算当a≠0时，aa=5=32=2，再假设正整数指数幂的运算性质aaa(a

aaaa1353522≠0，m,n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么aa=a=a.于是得到a=2（a≠0），

a1n就规定负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，a=n（a≠0）.

a五、例题讲解

（P24）例9.计算

[分析] 是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数 指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.

（P25）例10. 判断下列等式是否正确？

[分析] 类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断下列等式是否正确.

（P26）例11.

[分析] 是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于1的数. 六、随堂练习 1.填空

- 12 -

（1）-2=

0

2

（2）(-2)= （3）(-2)=

-3

-3

2 0

（4）2= (5）2= (6）(-2)= 2.计算

(1) (xy) （2）xy ·(xy)

七、课后练习

1. 用科学计数法表示下列各数：

0．000 04， -0. 034, 0.000 000 45, 0. 003 009 2.计算

(1) (3×10)×(4×10) (2) (2×10)÷(10)

-8

3

-32

-33

3-22

2-2

-2

3

(3)(3xy) ÷(xy)

2-2 2-23

16．3分式方程(一)

一、教学目标：

1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.

2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检 验一个数是不是原方程的增根. 二、重点、难点

1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根.

2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根.

三、例、习题的意图分析

1． P31思考提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因. 2．P32的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法.

3． P33思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及P33的归纳出检验增根的方法.

4． P34讨论提出P33的归纳出检验增根的方法的理论根据是什么？

5． 教材P38习题第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数. 这种方程的解必须验根.

四、课堂引入

1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程2．提出本章引言的问题：

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程

x22x31 4610060. 20v20v

- 13 -

像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.

五、例题讲解

（P34）例1.解方程

[分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化 为整式方程，整式方程的解必须验根

这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便. （P34）例2.解方程

[分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根. 六、随堂练习

解方程

32236 （2） 2xx6x1x1x1x142xx（3）21 （4）2

x1x12x1x2(1)七、课后练习

1．解方程

21x7(2) 0 15x1x3x883x234153(3)2220 (4) 

x12x24xxxxx12x9122．X为何值时，代数式的值等于2？

x3x3x(1)

16．3分式方程(二)

一、教学目标：

1．会分析题意找出等量关系.

2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题. 二、重点、难点

1．重点：利用分式方程组解决实际问题.

2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系. 三、例、习题的意图分析

本节的P35例3不同于旧教材的应用题有两点：（1）是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程（2）教材的分析是填空的形式，为学生分析题意、设未知数搭好了平台，有助于学生找出题目中等量关系，列出方程.

P36例4是一道行程问题的应用题也与旧教材的这类题有所不同（1）本题中涉及到的列车平均提速v千米/时，提速前行驶的路程为s千米，

完成. 用字母表示已知数（量）在过去的例题里并不多见，题目的难度也增加了；（2）例题中的分析用填空的形式提示学生用已知量v、s和未知数x，表示提速前列车行驶s千米所用的时间，提速后列车的平

- 14 -

均速度设为未知数x千米/时，以及提速后列车行驶（x+50）千米所用的时间.

这两道例题都设置了带有探究性的分析，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，让学生经过自己的努力，在克服困难后体会如何探究，教师不要替代他们思考，不要过早给出答案.

教材中为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台，给了设未知数、解题思路和解题格式，但教学目标要求学生还是要地分析、解决实际问题，所以教师还要给学生一些问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够地完成任务.特别是题目中的数量关系清晰，教师就放手让学生做，以提高学生分析问解决问题的能力. 四、例题讲解

P35例3

分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.

等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1 P36例4

分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度=是：提速前所用的时间=提速后所用的时间 五、随堂练习

1. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.

2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?

3. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度. 六、课后练习

1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。

2．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的

路程.这题用字母表示已知数（量）.等量关系时间1 ，52，求甲、乙两队单独完成各需多少天？ 33．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多

- 15 -

第十七章 反比例函数

17．1．1反比例函数的意义

一、教学目标

1．使学生理解并掌握反比例函数的概念

2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 二、重、难点

1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解反比例函数的概念 三、例题的意图分析

教材第39页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。

教材第40页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。

补充例1、例2都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。 四、课堂引入

1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？

2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？ 五、例习题分析

例1．见教材P40

分析：因为y是x的反比例函数，所以先设y了待定系数法确定函数解析式。

例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数 （1）y（6）yk，再把x＝2和y＝6代入上式求出常数k，即利用x253x （2）y （3）xy＝21 （4）y （5）y

xx22x313 （7）y＝x－4 xk（k为常数，k≠0）的形式，这里x13x（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是y，分子不是常数，只有（2）、

x分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成y（3）、（5）能写成定义的形式

例2．（补充）当m取什么值时，函数y(m2)x分析：反比例函数y3m2是反比例函数？

k1（k≠0）的另一种表达式是ykx（k≠0），后一种写法中x的次数是－x1，因此m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特别注意不要遗漏k≠0这一条件，也要防止出现3－m2＝1的错误。 解得m＝－2

- 16 -

例3．（补充）已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5

（1） 求y与x的函数关系式

（2） 当x＝－2时，求函数y的值

分析：此题函数y是由y1和y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y1、 y2

与x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k，要用不同的字母表示。 略解：设y1＝k1x（k1≠0），y2k2＝2，则y2xk2k（k2≠0），则yk1x2，代入数值求得k1＝2， xx2，当x＝－2时，y＝－5 x六、随堂练习

1．苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关系式为 2．若函数y(3m)x8m2是反比例函数，则m的取值是 3．矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y与x的函数解析式为 4．已知y与x成反比例，且当x＝－2时，y＝3，则y与x之间的函数关系式是 ， 当x＝－3时，y＝ 5．函数y1中自变量x的取值范围是 x2七、课后练习

已知函数y＝y1＋y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝9，求当x＝－1时y的值

17．1．2反比例函数的图象和性质（1）

一、教学目标

1．会用描点法画反比例函数的图象

2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质

3．体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法 二、重点、难点

1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质

2．难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质 三、例题的意图分析

教材第41页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。

补充例1的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质的简单应用，使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。

补充例2是一道典型题，是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让学生理解并掌握反比例函数解析式yk（k≠0）中k的几何意义。 x四、课堂引入

提出问题：

1．一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y＝kx（k≠0）呢？

- 17 -

2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？ 3．反比例函数的图象是什么样呢? 五、例习题分析

例2．见教材P4，用描点法画图，注意强调：

（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线

（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴

例1．（补充）已知反比例函数y(m1)x限内y随x的变化情况？

分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即ykx（k≠0）自变量x的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k＜0，则m－1＜0，不要忽视这个条件

略解：∵y(m1)xm231m23的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象

是反比例函数 ∴m2－3＝－1，且m－1≠0

又∵图象在第二、四象限 ∴m－1＜0 解得m2且m＜1 则m2

例2．（补充）如图，过反比例函数y1（x＞0）的图x象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（ ）

（A）S1＞S2 （B）S1＝S2

（C）S1＜S2 （D）大小关系不能确定

分析：从反比例函数yk（k≠0）的图象上任一点Px1 ，2（x，y）向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积Sxyk，由此可得S1＝S2 ＝故选B

六、随堂练习

1．已知反比例函数y3k，分别根据下列条件求出字母k的取值范围 x（1）函数图象位于第一、三象限

（2）在第二象限内，y随x的增大而增大 2．函数y＝－ax＋a与ya（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） x - 18 -

3．在平面直角坐标系内，过反比例函数yk（k＞0）的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，x与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为 七、课后练习

1．若函数y(2m1)x与y2．反比例函数y3m的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是 x2，当x＝－2时，y＝ ；当x＜－2时；y的取值范围是 ； x2当x＞－2时；y的取值范围是

a3． 已知反比例函数y(a2)x6，当x0时，y随x的增大而增大，

求函数关系式

17．1．2反比例函数的图象和性质（2）

一、教学目标

1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题

3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法 二、重点、难点

1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题 2．难点：学会从图象上分析、解决问题 三、例题的意图分析

教材第44页的例3一是让学生理解点在图象上的含义，掌握如何用待定系数法去求解析式，复习巩固反比例函数的意义；二是通过函数解析式去分析图象及性质，由“数”到“形”，体会数形结合思想，加深学生对反比例函数图象和性质的理解。

教材第44页的例4是已知函数图象求解析式中的未知系数，并由双曲线的变化趋势分析函数值y随x的变化情况，此过程是由“形”到“数”，目的是为了提高学生从函数图象中获取信息的能力，加深对函数图象及性质的理解。

补充例1目的是引导学生在解有关函数问题时，要数形结合，另外，在分析反比例函数的增减性时，一定要注意强调在哪个象限内。

补充例2是一道有关一次函数和反比例函数的综合题，目的是提高学生的识图能力，并能灵活运用所学知识解决一些较综合的问题。 四、课堂引入

复习上节课所学的内容 1．什么是反比例函数？

2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？ 五、例习题分析

例3．见教材P44

- 19 -

分析：反比例函数yk的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号，因此要先求常数k，x而题中已知图象经过点A（2，6），即表明把A点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k，这样解析式也就确定了。

例4．见教材P44

例1．（补充）若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数yk（k＜0）图象上，x则a、b、c的大小关系怎样？

分析：由k＜0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，因为A、B在第二象限，且－1＞－2，故b＞a＞0；又C在第四象限，则c＜0，所以 b＞a＞0＞c

说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时y随x的增大而增大，就会误认为3最大，则c最大，出现错误。

此题还可以画草图，比较a、b、c的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。

例2． （补充）如图， 一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数yB（1，n）两点

（1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围

分析：因为A点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式ym的图象交于A（－2，1）、x2，又B点在反比例函数的图象上，代入即可求出xn的值，最后再由A、B两点坐标求出一次函数解析式y＝－x－1，

第（2）问根据图象可得x的取值范围x＜－2或0＜x＜1，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。 六、随堂练习

1．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则函数ykb的图象在（ ） x（A）第一、三象限 （B）第二、四象限 （C）第三、四象限 （D）第一、二象限

k212．已知点（－1，y1）、（2，y2）、（π，y3）在双曲线y上，则下列关系式正确的是（ ）

x（A）y1＞y2＞y3 （B）y1＞y3＞y2 （C）y2＞y1＞y3 （D）y3＞y1＞y2 七、课后练习

1．已知反比例函数y2k1的图象在每个象限内函数值y随自变量x的增大而减小，且k的值还x满足92(2k1)≥2k－1，若k为整数，求反比例函数的解析式

2．已知一次函数ykxb的图像与反比例函数y8的x图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2 ， 求（1）一次函数的解析式；

- 20 -

（2）△AOB的面积

17．2实际问题与反比例函数（1）

一、教学目标

1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力 二、重点、难点

1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式 三、例题的意图分析

教材第50页的例1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。

教材第51页的例2是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例1稍复杂些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。

补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息的能力，掌握数形结合的思想方法，以便更好地解决实际问题 四、课堂引入

寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗？ 五、例习题分析

例1．见教材第50页

分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满足基本公式：圆柱的体积 ＝底面积×高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，（3）问则是与（2）相反

例2．见教材第51页

分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系，（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值是多少？

例1．（补充）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）

（1）写出这个函数的解析式； （2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？

分析：题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P与V的解析式，得P96，（3）问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时，是安全V2立方米 3范围。根据反比例函数的图象和性质，P随V的增大而减小，可先求出气压P＝144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于

六、随堂练习

1．京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）

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与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为

2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式

3．一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10时，＝1.43，（1）求与V的函数关系式；（2）求当V＝2时氧气的密度

七、课后练习

1．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）

（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？

（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到

17．2实际问题与反比例函数（2）

一、教学目标

1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2．渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型

二、重点、难点

1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题 三、例题的意图分析

教材第52页的例3和例4都需要用到物理知识，教材在例题前已给出了相关的基本公式，其中的数量关系具有反比例关系，通过对这两个问题的分析和解决，不但能复习巩固反比例函数的有关知识，还能培养学生应用数学的意识

补充例题是一道综合题，有一定难度，需要学生有较强的识图、分析和归纳等方面的能力，此题既有一次函数的知识，又有反比例函数的知识，能进一步深化学生对一次函数和反比例函数知识的理解和掌握，体会数形结合思想的重要作用，同时提高学生灵活运用函数观点去分析和解决实际问题的能力 四、课堂引入

1．小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢？其原理是什么？

2．台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？ 五、例习题分析

例3．见教材第52页

分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力F是自变量动力臂l的反比例函数，当l＝1.5时，代入解析式中求F的值；（2）问要利用反比例函数的性质，l越大F越小，先求出当F＝200时，其相应的l值的大小，从而得出结果。

例4．见教材第53页

2202分析：根据物理公式PR＝U，当电压U一定时，输出功率P是电阻R的反比例函数，则P，

R2

（2）问中是已知自变量R的取值范围，即110≤R≤220，求函数P的取值范围，根据反比例函数的性质，电阻越大则功率越小， 得220≤P≤440

例1．（补充）为了预防疾病，某单位对办公室采用药

- 22 -

熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ,自变量x的取值范为 ； 药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 .

(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，员工才能回到办公室；

(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?

分析：（1）药物燃烧时，由图象可知函数y是x的正比例函数，设yk1x，将点（8，6）代人解析式，求得yk3x，自变量0＜x≤8；药物燃烧后，由图象看出y是x的反比例函数，设y2，用待定

x448 x48，求出x＝30，根据反比例函数的图象与性质知药含量y随时间xx3x中，得x＝4，即当药物燃烧4分4系数法求得y（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先将药含量y＝1.6代入y的增大而减小，求得时间至少要30分钟

（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y＝3时，代入y钟时，药含量达到3毫克；药物燃烧后，药含量由最高6毫克逐渐减少，其间还能达到3毫克，所以当y＝3时，代入y48，得x＝16，持续时间为16－4＝12＞10，因此消毒有效 x六、随堂练习

1．某厂现有800吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（ ） （A）y300300（x＞0） （B）y（x≥0） xx（C）y＝300x（x≥0） （D）y＝300x（x＞0）

2．已知甲、乙两地相s（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a（升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y（升）与汽车的行驶速度v（千米/时）的函数图象大致是（ ）

3．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如图所示：

（1）写出y与S的函数关系式； （2）求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？

七．课后练习

- 23 -

一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3，如果将雨水全部排完需t分钟，排水量为a米3/分，且排水时间为5～10分钟

（1）试写出t与a的函数关系式，并指出a的取值范围； （2）请画出函数图象

（3）根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？

第十八章 勾股定理

18．1 勾股定理（一）

一、教学目标

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点

1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析

例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

CD对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析

例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：a2＋b2=c2。

a分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆b不同的形状，利用面积相等进行证明。

cAB⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正 4×

1ab＋（b－a）2=c2，化简可证。 2⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学

- 24 -

生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：在△ABC中，∠∠A、∠B、∠C的对边为a、b、求证：a2＋b2=c2。

分析：左右两边的正方形边长相个正方形的面积相等。 左边S=4×

baccaaabcaC=90°，c。 等，则两

b1ab＋c2 22

bccaabbcb右边S=（a+b）

左边和右边面积相等，即

14×ab＋c2=（a+b）2

2ab化简可证。 六、课堂练习

1．勾股定理的具体内容是： 。 2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）

A⑴两锐角之间的关系： ；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ；

D⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。

3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2= a2＋c2，则 =90°； 若

CB满足b2＞c2＋a2，则∠B是 角； 若满足b2＜c2＋a2，则∠B是 ADa角。

4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。 bc七、课后练习

E1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

ca⑴c= 。（已知a、b，求c）

B⑵a= 。（已知b、c，求a） Cb⑶b= 。（已知a、c，求b）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。 3、4、5 5、12、13 7、24、25 9、40、41 „„ 19，b、c 32+42=52 52+122=132 72+242=252 92+402=412 „„ 192+b2=c2 3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=103cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。

4．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。 求证：⑴AD2－AB2=BD·CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

A18．1 勾股定理（二）

一、教学目标

- 25 -

DBC1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。 二、重点、难点

1．重点：勾股定理的简单计算。 2．难点：勾股定理的灵活运用。 三、例题的意图分析

例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。

例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。 四、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。 五、例习题分析

例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2, 求b。 ⑶已知c=17,b=8, 求a。

⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三 边。

C 分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。 ⑵求S△ABC。

B A D 分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=

1AB=3cm，则此题可解。 2六、课堂练习 1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。 ⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。 ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第

A为 。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高

- 26 -

三边长

为 ，

CDB面积为 。

2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=43，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。 3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。 七、课后练习 1．填空题

在Rt△ABC，∠C=90°，

⑴如果a=7，c=25，则b= 。

⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。 ⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。 ⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c= 。

A⑹如果b=8，a：c=3：5，则c= 。

2．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC， AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

D18．1 勾股定理（三）

BC一、教学目标

1．会用勾股定理解决简单的实际问题。 2．树立数形结合的思想。 二、重点、难点

1．重点：勾股定理的应用。

2．难点：实际问题向数学问题的转化。 三、例题的意图分析

例1（教材P66页探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。

例2（教材P67页探究2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形

DC三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。

四、课堂引入

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。

五、例习题分析

AB例1（教材P66页探究1）

分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。

例2（教材P67页探究2）

分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。

A⑵ 在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。

C则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。

⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算

DOBBD。

六、课堂练习

1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的

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离地面的高度是 米。

2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。

B

C

A30CBA

2题图 3题图 4题图 3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。 4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可A省工程费用是多少？ 七、课后练习

1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米， BC∠B=60°，则江面的宽度为 。

2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去洞口，则圆形盖半径至少为 米。

3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、QPQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米。

4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两离，钢索AB和AE的长度。

（精确到1米）

BER盖住这个两点，

PQA米，∠B=∠点之间的距

DFC18．1 勾股定理（四）

一、教学目标

1．会用勾股定理解决较综合的问题。 2．树立数形结合的思想。 二、重点、难点

1．重点：勾股定理的综合应用。 2．难点：勾股定理的综合应用。 三、例题的意图分析

例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

例2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。

- 28 -

例3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。

例4（教材P68页探究3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。 四、课堂引入

复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。 五、例习题分析

例1（补充）1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=3， 求线段AB的长。

分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余C角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由ABAC2BC2，分别在两个三角

BDA形中利用勾

股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。

例2（补充）已知：如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，根据题设可知什么？

分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只∠ACB=75°。在学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。让学生充以作其它辅助线吗？为什么？

A小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角题。并指出如何作辅助线？ 解略。

例3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，ACD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中

B示给学生，让学生深入体会。

解：延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=48=43。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE=12=23。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=

C∠A=60°，能直接求得高这条辅助分讨论还可

DB三角形的问

AB=4

DEC，

或延长角应选后要逐层展

11AB·BE-CD·DE=63 22小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四

边形面积转化为三角形面积之差。

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例4（教材P68页探究3）

分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。

变式训练：在数轴上画出表示31,22的点。

六、课堂练习

1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。

2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=23cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。

3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=23，CD⊥AB于D，AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,SABC= 。

4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17， 求S△ABC。 七、课后练习

A则

△

BC1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=3，AB= 。 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a= ，b= 。 3．已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，

求（1）AB的长；（2）S△ABC。 4．在数轴上画出表示－5,25的点

BCAAC=22，

18．2 勾股定理的逆定理（一）

一、教学目标

1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 二、重点、难点

1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。 2．难点：勾股定理的逆定理的证明。 三、例题的意图分析

例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。

例2（P74探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。

例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 四、课堂引入

创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？

⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。

五、例习题分析

例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

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⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。 ⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。 解略。

例2（P74探究）证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 AA1分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。

c⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一bb个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判

aa断一个角是直角。 BCC1B1⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。 证明略。

例3（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）

求证：∠C=90°。 分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。

⑶由于a2+b2= （n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。

六、课堂练习 1．判断题。

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。

⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。

⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

⑷△ABC的三边之比是1：1：2，则△ABC是直角三角形。

2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）

A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。

B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。 C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。

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3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）

A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15

C．a=5，b=3，c=2

D．a：b：c=2：3：4

4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=3，b=22，c=5； ⑵a=5，b=7，c=9； ⑶a=2，b=3，c=7； ⑷a=5，b=26，c=1。

七、课后练习，

1．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。 ⑴如果a3＞0，那么a2＞0；

⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。 2．填空题。

⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。 ⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。

⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是 三角形， 是直角； 若a2＜b2－c2，则∠B是 。

⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c= m2＋n2，则△ABC是 三角形。 3．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵,111,； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41； 345⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ） A．2个 B．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个

4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；

⑶a=2，b=23，c=4； ⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。

18．2 勾股定理的逆定理（二）

一、教学目标

1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点

1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 三、例题的意图分析

例1（P75例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 N四、课堂引入 R

- 32 -

SQPE创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。 五、例习题分析

例1（P75例2）

分析：⑴了解方位角，及方位名词；

⑵依题意画出图形；

⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；

⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。

小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；

⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。 解略。 六、课堂练习 C1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。 2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角BADN形？为什么？

C3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻

E艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？ BA七、课后练习

1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分

A别为 ，此三角形的形状为 。

2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？ 3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸

BC爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找D了一卷米尺，CD测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

18．2 勾股定理的逆定理（三）

BA一、教学目标

1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。 2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。

3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点

1．重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 2．难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 三、例题的意图分析

例1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

例2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅

- 33 -

助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。

例3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。 四、课堂引入

勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。 五、例习题分析

例1（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。 试判断△ABC的形状。

DA分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；

⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

例2（补充）已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

BC求：四边形ABCD的面积。 E分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）； ⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面C积。

例3（补充）已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。

BAD求证：△ABC是直角三角形。

分析：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2

∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD·BD+BD2 =（AD+BD）2=AB2

六、课堂练习

1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ） A．等腰三角形； B．直角三角形；

C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形。 2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：2，试判断△ABC3．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=

D的形状。 AB⊥BC。

313，CD=，AD=3，且44A求：四边形ABCD的面积。

4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD。

求证：△ABC中是直角三角形。 七、课后练习，

1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，面积。

2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。 求证：△ABC是等腰三角形。

3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且AC2=AE2+CE2。

BCAE求△ABC的

BDCBD=DC，

求证：AB2=AE2+CE2。4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC

- 34 -

的形状。

第十九章 平行四边形

19.1.1 平行四边形及其性质(一)

一、

教学目标：

1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．

2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、

重点、难点

1． 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、例题的意图分析

例1是教材P84的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证． 四、课堂引入

1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？

平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“

”来表示．

四边形ABCD是“平行四边形

ABCD”，读作

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”．

①∵AB//DC ,AD//BC ， ∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）．

注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）

2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．

让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？

- 35 -

（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．

（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）

（2）猜想 平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性．

已知：如图ABCD，

求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．

分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．

（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）

证明：连接AC，

∵ AB∥CD，AD∥BC， ∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又 AC＝CA，

∴ △ABC≌△CDA （ASA）． ∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又 ∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴ ∠BAD＝∠BCD． 由此得到：

平行四边形性质1 平行四边形的对边相等． 平行四边形性质2 平行四边形的对角相等． 五、例习题分析

例1（教材P84例1）

例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，

求证：AF=CE．

分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形得出所需要的结论．

证明略． 六、随堂练习 1．填空：

（1）在ABCD中，∠A=50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．

（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度． （3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．

2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DFF为垂足，求证：BE＝DF． 七、课后练习

- 36 -

ABCD是平行四

边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可

⊥AC，E、

1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）． （A）对角相等 （B）对角互补 （C）邻角互补 （D）内角和是360

2．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（ ）． （A）4个 （B）5个 （C）8个 （D）9个

3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．

19.1.1 平行四边形的性质(二)

一、

教学目标：

1． 理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质． 2． 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题． 3． 培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力． 二、

重点、难点

1． 重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用． 2． 难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、例题的意图分析

本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等．例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的．

例2是教材P85的例2，这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算．这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算．在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法． 四、课堂引入 1．复习提问：

（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：

（2）平行四边形的性质：

①具有一般四边形的性质（内角和是360）． ②角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 边：平行四边形的对边相等． 2．【探究】：

请学生在纸上画两个全等的和

ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交

形的边、角关系

于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转180，观察它还

EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？

- 37 -

结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； （2）平行四边形的对角线互相平分． 五、例习题分析

例1（补充） 已知：如图4－21， 求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF． 证明：在

ABCD中，AB∥CD，

∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4．

又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)， ∴ △AOE≌△COF（ASA）．

∴ OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）． ∵ ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）． ∴ AB—AE=CD—CF． 即 BE=FD．

※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．

ABCD的对角

线AC、BD相

交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．

解略

例2（教材P85的例2）已知四边形ABCD是平行四10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长面积．

边形，AB＝以及

ABCD的

分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算

解略（参看教材P85）． 六、随堂练习

1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC，求各边的长

③ 已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长

10，求各边的长

2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm． 3．

ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成5cm，7cm的两条线段，则

- 38 -

的差是

ABCD的周长是__

___cm．

七、课后练习 1．判断对错

（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD． （ ） （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．

3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ．

4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，并算出绿地的面积．

几条笔直的小CD，OC的长，

19.1.2（一） 平行四边形的判定

一、

教学目标：

1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 二、重点、难点

3． 重点：平行四边形的判定方法及应用．

4． 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 三、例题的意图分析

本节课安排了3个例题，例1是教材P87的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理四、课堂引入

1．欣赏图片、提出问题．

展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？

2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你

- 39 -

生的思维能角形拼一个如由．

能帮他想出一些办法来吗？

让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：

（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？ （2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？ （3）你能说出你的做法及其道理吗？

（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？ （5）你还能找出其他方法吗？

从探究中得到：

平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 五、例习题分析

例1（教材P87例3）已知：如图ABCD的对角线AC、E、F是AC上的两点，并且AE=CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形．

分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明． （证明过程参看教材）

问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单．

例2（补充） 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB， 求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′； (2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点． 证明：(1) ∵ A′B′∥BA，C′B′∥BC， ∴ 四边形ABCB′是平行四边形．

∴ ∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)． 同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．

(2) 由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形． ∴ AB＝B′C， AB＝A′C(平行四边形的对边相等)． ∴ B′C＝A′C．

同理 B′A＝C′A， A′B＝C′B．

∴ △ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、 例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由． 解：有6个平行四边形，分别是ABOF，ABCO， DEFO，EFAO．

理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根

别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个同理． 六、随堂练习

1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，

（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，

- 40 -

BD交于点O，

C′A′∥AC．

A′B′的中点． 拼成一个六边

CDEO，据 “两组对边分

BCDO，

四边形ABCD

为平行四边形；

（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．

2．已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF交BD于点O．求证：EO=OF．

3．灵活运用课本例题，如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析

∥BE，EF

发现：

①第4个图形中平行四边形的个数为___ __． （6个） ②第8个图形中平行四边形的个数为___ __． （20个）

七、课后练习

1．（选择）下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ）． （A）对角线互相垂直 （B）对角线相等 （C）对角线互相垂直且相等 （D）对角线互相平分 2．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC， 求证：BE=CF

19.1.2（二） 平行四边形的判定

一、

教学目标：

题． 提高分析问

1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问 3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，题的能力． 二、

重点、难点

1．重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法． 2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用． 三、例题的意图分析

本节课的两个例题都是补充的题目，目的是让学生能掌握平行四边形的第三种判定方法和会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．学生程度好一些的学校，可以适当地自己再补充一些题目，使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明，通过学习，培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力． 四、课堂引入

1．平行四边形的性质； 2．平行四边形的判定方法；

3．【探究】 取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？ 结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

- 41 -

再用两根

五、例习题分析

例1（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC证：BE=DF．

分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明 四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥CB，AD=CD．

∵ E、F分别是AD、BC的中点，

11 ∴ DE∥BF，且DE=AD，BF=BC．

22 ∴ DE=BF．

∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）． ∴ BE=DF．

此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此得清晰的证明思路．

例2（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．

分析：因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需再证明BE=DF，这需要证明△ABE与△CDF全等，由角角边即可．

证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，且AB∥CD． ∴ ∠BAE=∠DCF．

∵ BE⊥AC于E，DF⊥AC于F， ∴ BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°． ∴ △ABE≌△CDF （AAS）． ∴ BE=DF．

∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）． 六、课堂练习

1．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）． （A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D （C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD 2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找出形，并说明理由．

3．已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD求证：四边形AFCE是平行四边形． 七、课后练习 1．判断题：

(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( )

- 42 -

的中点，求

边形的性质形的性质得应使学生获

图中的平行四边的平分线．

(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ( ) (3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ( ) (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ( ) (5)对角线相等的四边形是平行四边形； ( ) (6)对角线互相平分的四边形是平行四边形． ( ) 2．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD．求证：四边形ABEC是平行四边形．

3．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB＝CD．选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．（共有9对）

19.1.2（三） 平行四边形的判定——三角形的中位线

一、

教学目标：

1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．

2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算． 3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．

4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法． 二、

重点、难点

1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．

2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）． 三、例题的意图分析

例1是教材P88的例4，这是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度．

建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2．

例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具． 四、课堂引入

1． 平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？ 2． 你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？

（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．） 3．创设情境

实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的如何切割的？（答案如图）

图中有几个平行四边形？你是如何判断的？ 五、例习题分析

例1（教材P88例4） 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的

1DE∥BC且DE=BC．

2

- 43 -

三角形，你是

中点，求证：

分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．

方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，

1BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，

21且DE=BC．

2（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同） 方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DE=

CD和AF，又且AD=FC．因是平行四边BC且

由△ADE≌△所以四边形所以DE∥BC

1DF，所以DE∥21BC． 2定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 【思考】：

（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？ （2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）

三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半． 〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四全等吗？（让学生口述理由）

例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、

AB、BC、CD、DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形．

分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以

所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．

证明：连结AC（图（2）），△DAG中， ∵ AH=HD，CG=GD，

设法应用三

角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，

G、H分别是个小三角形

1AC（三角形中位线性质）． 21同理EF∥AC，EF=AC．

2∴ HG∥AC，HG=∴ HG∥EF，且HG=EF． ∴ 四边形EFGH是平行四边形．

- 44 -

此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形． 六、课堂练习

1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、是 m，理由是 ． 2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边角形的周长．

3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， （1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm； （2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想． 七、课后练习

1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm．

2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是 cm． 3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求EFGH是平行四边形．

19.2.1 矩形(一)

一、教学目标：

1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系． 2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题． 3．渗透运动联系、从量变到质变的观点． 二、重点、难点

1．重点：矩形的性质．

2．难点：矩形的性质的灵活应用． 三、例题的意图分析

例1是教材P95的例1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法．

四、课堂引入

1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？

2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）

3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．

证：四边形中点，如果△中点所成三结AC和BC，B两点的距离

- 45 -

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．

矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．

【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．

① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？

操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质． 矩形性质1 矩形的四个角都是直角． 矩形性质2 矩形的对角线相等．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有

11AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一个性

22形斜边上的中线等于斜边的一半．

五、例习题分析

例1 （教材P95例1）已知：如图，矩形ABCD的两条对∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．

分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边角线的长度可求．

解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC与BD相等且互相平分． ∴ OA=OB． 又 ∠AOB=60°，

∴ △OAB是等边三角形．

∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．

例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中几何计算题中常用的方法．

质：直角三角

角线相交于点O，相等且互相平分三角形，因此对

角线比AD经常要用到的计算，这是

略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：x282(x4)2，解得x=6． 则 AD=6cm．

（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一

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个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．

例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．

分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形． 证明：∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2． ∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°． ∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE， ∴ △ABE≌△DFA（AAS）． ∴ AF=BE． ∴ EF=EC．

此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．

六、随堂练习 1．（填空）

（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．

（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ． （3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm． 2．（选择）

（1）下列说法错误的是（ ）．

（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等

（C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）． （A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8对 3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数． 七、课后练习 1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（ ）．

(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm 2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数． 3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED． 4．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数．

19.2.1 矩形(二)

一、教学目标：

1．理解并掌握矩形的判定方法．

2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力 二、重点、难点

1．重点：矩形的判定．

2．难点：矩形的判定及性质的综合应用． 三、例题的意图分析

本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．

- 47 -

四、课堂引入

1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？ 2．矩形有哪些性质？

3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？

4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？

通过讨论得到矩形的判定方法．

矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形． 矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．

（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．） 五、例习题分析

例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×） （2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√） （3）四个角都相等的四边形是矩形； （√） （4）对角线相等的四边形是矩形； （×） （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×） （6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√） （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×） （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√) 指出：

（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；

（2）所给四边形添加的条件是三个条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．

例2 （补充）已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．

分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．

解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AO=

11AC，BO=BD． 22∵ AO=BO，

∴ AC=BD． ∴ ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 在Rt△ABC中，

∵ AB=4cm，AC=2AO=8cm， ∴ BC=824243（cm）．

例3 （补充） 已知：如图（1），ABCD的四个内分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．

分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”

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角的平分线出基本图形，来证明．

证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC．

∴ ∠DAB＋∠ABC=180°．

又 AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ， ∴ ∠EAB＋∠ABG=

1×180°=90°． 2∴ ∠AFB=90°．

同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．

∴ 四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）． 六、随堂练习

1．（选择）下列说法正确的是（ ）．

（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 （C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形是矩形 2．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形． 七、课后练习

1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH； ⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理

是： ；

⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如

图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．

19.2.2 菱形（一）

一、教学目的：

1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．

2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积． 3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．

4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想． 二、重点、难点

1．教学重点：菱形的性质1、2．

2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用． 三、例题的意图分析

本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，是为了巩固菱形的性质；例2是教材P98中的例2，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题．此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识． 四、课堂引入

1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？

2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请

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看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子． 五、例习题分析

例1 （补充） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ CB=CD， CA平分∠BCD． ∴ ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE， ∴ △BCE≌△COB（SAS）． ∴ ∠CBE=∠CDE．

∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC ∴ ∠AFD=∠CBE． 例2 （教材P98例2）略 六、随堂练习

1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ． 2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积． 3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱角线的长和面积．

形的对

4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．

七、课后练习

1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．

点，且

2．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．

19.2.2 菱形（二）

一、教学目的：

1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算； 2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力． 二、重点、难点

1．教学重点：菱形的两个判定方法． 2．教学难点：判定方法的证明方法及运用． 三、例题的意图分析

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本节课安排了两个例题，其中例1是教材P99的例3，例2是一道补充的题目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么困难，可以让学生自己去完成．程度好一些的班级，可以选讲例3． 四、课堂引入 1．复习

（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形； （2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等；

性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角； （3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件） 2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？

3．【探究】（教材P99的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？

通过演示，容易得到：

菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直． 通过教材P99下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：

菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形． 五、例习题分析

例1 （教材P99的例3）略

例2（补充）已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形．

证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AE∥FC． ∴ ∠1=∠2．

又 ∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴ △AOE≌△COF． ∴ EO=FO．

∴ 四边形AFCE是平行四边形． 又 EF⊥AC， ∴

AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．

分∠ABC，

※例3（选讲） 已知：如图，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F． 求证：四边形CEHF为菱形．

略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形． 六、随堂练习 1．填空：

（1）对角线互相平分的四边形是 ；

- 51 -

在Rt△BDF

中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．

（2）对角线互相垂直平分的四边形是________； （3）对角线相等且互相平分的四边形是________；

（4）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形． 2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm． 3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。 七、课后练习

1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ）． （A）两条对角线相等 （B）两条对角线互相垂直 （C）两条对角线相等且互相垂直 （D）两条对角线互相垂直平分 2．已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形． 3．做一做：

EF⊥AB，MEBD，DE和

设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15 cm，宽为4 cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点．画出花边图形．

19.2.3 正方形

一、教学目的

1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力． 二、重点、难点

1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系． 2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用． 三、例题的意图分析

本节课安排了三个例题，例1是教材P100的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：

①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？ ②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？

③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？ ④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？

⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

四、课堂引入

1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．

学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的

什么样的四边形是正方形？

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．

- 52 -

关系．问题：

指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： （1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） （2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 2．【问题】正方形有什么性质？

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 五、例习题分析

例1（教材P100的例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成的等腰直角三角形．

已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形． 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC=BD， AC⊥BD，

AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）． ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，

四个全等

并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F． 求证：OE=OF．

分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个故结论可得．

证明：∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）． 又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°． ∴ ∠EAO=∠FDO． ∴ △AEO ≌△DFO． ∴ OE=OF．

例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：四边形PQMN是正方形．

分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得

证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1，

- 53 -

O，E是OB

形的对角线同角或等角三角形全等，

△DAN，证出结论．

∴ PN∥QM，∠PNM=90°． ∵ PQ∥NM，

∴ 四边形PQMN是矩形． ∵ 四边形ABCD是正方形

∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）． ∴ ∠1+∠2=90°．

又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．

∴ △ABM≌△DAN．

∴ AM=DN． 同理 AN=DP． ∴ AM+AN=DN+DP 即 MN=PN．

∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 六、随堂练习

1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____． 2．下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线相等的菱形是正方形；（ ） ②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ） ③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ） ④四条边都相等的四边形是正方形；（ ） ⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）

3． 已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别 为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF． 求证：∠AFE＝∠AEF．

F

A E

B

4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，C D 求∠EAD与∠ECD的度数． 七、课后练习

1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是线上一点，且DE=BF． 求证：EA⊥AF．

2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BCDF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．

3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分CD于F，求证：AE=BE+DF．

CB的延长

于E，

∠DAE交

19．3 梯形（一）

一、教学目标：

1． 探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯

质．

2． 能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析问题能力和计算

能力．

3． 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化

- -

形的性

的思想． 二、重点、难点

1．重点：等腰梯形的性质及其应用．

2．难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用． 三、例题的意图分析

本节课安排了三个例题，例1是教材P107中的例1．它是等腰梯形性质的直接运用．题目比较简单，在教学中，最好让学生分析、讲解、解答．同时也要注意引导学生，在证明△EAD是等腰三角形时，要用到梯形的定义“上下底互相平行（AD∥BC）”这一点．

例2与例3都是补充的题目，例2是一道计算题，例3是一道证明题，其用意一是为了巩固其概念，二是辅助线添加方法的练习，这两个题目的辅助线均是“平移一腰”，老师们在教学或练习中也可以再补充一些其它辅助线添加方法的题目，让学生多了解多见识．（但由于本教材在梯形这一部分知识中，并没有添加辅助线的要求，因此所选的题目不要太难．）通过题目的练习与讲解应让学生知道：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在教学时应让学生注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．

四、课堂引入

1．创设问题情境——引出梯形概念．

【观察】（教材P106中的观察）右图中，有你熟悉的图形吗？么共同的特点？

2．画一画：在下列所给图中的每个三角形中画一条线段， 【思考】（1）怎样画才能得到一个梯形？ （2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？ 梯形 形．

（强调：①梯形与平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由来定义的，而并不是指位置来说的．） （1）一些基本概念（如图）：底、腰、高． （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

底的长短

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯它们有什

3．做—做——探索等腰梯形的性质（引入用轴对称解决问题的思想）．

在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线．

【问题一】 图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴形吗？学生画图并通过观察猜想；

【问题二】 这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？ 结论： ①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．

- 55 -

对称图

②等腰梯形同一底上的两个角相等． ③等腰梯形的两条对角线相等． 五、例习题分析

例1（教材P107的例1）略．

（延长两腰 梯形辅助线添加方法三） 例2（补充）如图，梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．

求CD的长．

分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm． 解（略）．

例3 （补充） 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠ABC， BE⊥AC于E．求证：BE＝CD．

分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，

DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．

证明（略）

另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE可． 六、随堂练习 1．填空

（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ． （2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是 和 ．

（3）等腰梯形 ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．

2．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长． （AD=DC=BC=4，AB=8） 3．求证：等腰梯形两腰上的高相等． 七、课后练习

1．填空：已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角为 ，最小角为 ． 2．已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长和面积． 3．已知：如图，梯形ABCD中，CD//AB，A40，B70． 求证：AD=AB—DC．

4．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE证：AD+BC=DC．（延长DE交CB延长线于点F，由全等可得结

⊥CE，求论） BD平分≌△FDC即法是：平移

则

∠CAB＝形中，便可以于E，因此四边三

角

形

19．3 梯形（二）

- 56 -

一、教学目标：

1．通过探究教学，使学生掌握“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法，及其此判定方法的证明．

2．能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想，数学建模的思想，会用分析法寻求证明题思路，从而进一步培养学生的分析能力和计算能力．

3．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想． 二、重点、难点

1．重点：掌握等腰梯形的判定方法并能运用． 2．难点：等腰梯形判定方法的运用．

三、例题的意图分析

本节课安排的例题与练习较多，可供老师们选用． ．．

例1是教材P108的例2，这是一道计算题，讲解时要让学生注意，已知中并没有给出等腰梯形的条件，它需要先判定梯形ABCD为等腰梯形，然后再用其性质得出结论．

例2、例3、例4都是补充的题目．其中例2是一道文字题，这道题在进行证明时，可采用“平移对角线”或“作高”两种不同的方法，通过讲解例2，可以再次给学生介绍解决梯形问题时辅助线的添加方法．

例3是一道证明等腰梯形的题，它需要先证明其四边形是梯形，即先证出EG∥AB，此时还要由AE，BG延长交于O，说明EG≠AB，才能得出四边形ABGE是梯形．然后再利用同底上的两角相等得出这个梯形是等腰梯形．选讲此题的目的是为了让学生了解和掌握证明一个四边形是等腰梯形的步骤与方法．

例4是一道作图题，新教材P108的练习4就是一道画梯形图的题，此例4与练习4相同．通过此题的讲解与练习，就是要加强学生对梯形概念的理解，并了解梯形作图的一般方法．让学生知道梯形的画图题，也常常是通过分析，找出需要添加的辅助线，先画出三角形或四边形，再根据它们之间的联系画出所要求的梯形．

四、课堂引入

1．复习提问：（1）什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形？ （2）等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？

（3）在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅助线有哪几种？

我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题．

2．【提出问题】：前面所学的特殊四边形的判定基本上是性质的腰梯形同一底上两个角相等的逆命题是什么？ 命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

问：这个命题是否成立？能否加以证明，引导学生写出已知、求证． 启发：能否转化为特殊四边形或三角形，鼓励学生大胆猜想，和求证． 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．

求证：AB=CD．

分析：我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们相等．”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰两个底角，命题就容易证明了．

- 57 -

逆命题．等

所对的边三角形的

证明方法1：过点D作DE∥AB交BC于点F，得到△DEC． ∵AB∥DE， ∴∠B=∠1，

∵∠B=∠C， ∴∠1=∠C． ∴DE＝DC． 又∵AD∥BC， ∴DE＝AB=DC．

证明时，可以仿照性质证明时的分析，来启发学生添加辅助线DE． 证明方法二：用常见的梯形辅助线方AE⊥BC， 过D作DF⊥BC，垂足分别为

证明方法三： 延长BA、CD相交于二）． 图图二

通过证明：验证了命题的正确性，从而得到：等腰梯形判定方法 等腰梯形判定方法 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．

几何表达式：梯形ABCD中，若∠B=∠C，则AB=DC．

法：过点A作E、F（见图一）． 点E（见图

一

【注意】等腰梯形的判定方法：①先判定它是梯形，②再用“两腰相等”“或同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形．

五、例、习题分析 例1（教材P108的例2）

例2（补充） 证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．

已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD． 求证：梯形ABCD是等腰梯形．

分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有两边对应相等，1=∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC． 证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，

又 AD∥BC，∴ 四边形ACED为平行四边形， ∴ DE=AC ． ∵ AC=BD ， ∴ DE=BD ∴ ∠1=∠E ∵ ∠2=∠E ， ∴ ∠1=∠2

又 AC=DB，BC=CE， ∴ ΔABC≌ΔDCB． ∴ AB=CD． ∴ 梯形ABCD是等腰梯形．

说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这能直接引用，但可以为以后解题提供思路．

问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，可证 RtΔABC≌RtΔCAE，得∠1=∠2．

OA=OD ，即个结论虽不来构造等要能证∠

例3（补充） 已知：如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，

BD于G，F是垂足．求证：四边形ABGE是等腰梯形．

分析：先证明OE＝OG，从而说明∠OEG＝45°，得出EG∥AB，延长交于O，显然EG≠AB．得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上

- 58 -

CF⊥BE交由AE，BG的两角相等

得出它为等腰梯形．

例4 （补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积．

分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形．

如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE，然后完成

AECD的画图．

画法：①画ΔABE，使BE=12—4=8cm．

.

②延长BE到C使EC=4cm.

③分别过A、C作AD∥BC ，CD∥AE，AD、CD交于点D． 四边形ABCD就是所求的等腰梯形．

解：梯形ABCD周长＝4＋12＋5×2＝26cm ．

1 S梯形ABCD（412）324cm2．2 答：梯形周长为26cm，面积为24cm2．

六、随堂练习

1．下列说法中正确的是（ ）．

（A）等腰梯形两底角相等 （B）等腰梯形的一组对边相等且平行 （C）等腰梯形同一底上的两个角都等于90度 （D）等腰梯形的四个内角中不可能有直角

2．已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm、8cm，则腰长为_______cm． 3．已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，的各个角的度数．

4．已知，如图，在四边形ABCD中，AB＞DC，∠1=∠2，AC=BD，ABCD是等腰梯形．

（略证 ADCBDCADCBCD，AD=BC，

求证：四边形求这个梯形

ADBACBDABCBA，∴ AB∥DC）

5．已知，如图，E、F分别是梯形ABCD的两底AD、BC的中点，求证：梯形ABCD是等腰梯形． 七、课后练习

1．等腰梯形一底角60，上、下底分别为8，18，则它的腰长为______，面积是_________．

2．梯形两条对角线分别为15，20，高为12，则此梯形面积为_________．

- 59 -

且EF⊥BC，

______，高为

3．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C，AB与CD不平行，AB=CD．求证：四边形ABCD是等腰梯形．

4．如图4.9-9，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CE⊥AB于E，⊥BD于G．求证：CE=

且若AC

1（AB+CD）． 2第二十章数据的分析

20.1数据的代表

20.1.1平均数（第一课时）

一、教学目标：

1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念 2、使学生掌握加权平均数的计算方法

3、通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述一组数据集中趋势的特征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。 二、重点、难点和难点突破的方法： 1、重点：会求加权平均数 2、难点：对“权”的理解 三、例习题意图分析

1、教材P124的问题及讨论栏目在教学中起到的作用。

（1）、这个问题的设计和讨论栏目在此处安排最直接和最重要的目的是想引出权的概念和加权平均数的计算公式。

（2）、这个讨论栏目中的错误解法是初学者常见的思维方式，也是已学者易犯的错误。在这里安排讨论很得当，起揭示思维误区，警示学生、加深认识的作用。

（3）、客观上，教材P124的问题是一个实际问题，它照应了本节的前言——将在实际问题情境中，进一步探讨它们的统计意义，体会它们在解决实际问题中的作用，揭示了统计知识在解决实际问题中的重要作用。

（4）、P125的云朵其实是复习平均数定义，小方块则强调了权意义。 2、教材P125例1的作用如下：

（1）、解决例1要用到加权平均数公式，所以说它最直接、最重要的目的是及时复习巩固公式，并且举例说明了公式用法和解题书写格式，给学生以示范和模仿。

（2）、这里的权没有直接给出数量，而是以比的形式出现，为加深学生对权的意义的理解。

（3）、两个问题中的权数各不相同，直接导致结果有所不同，这既体现了权数在求加权平均数的作用，又反映了应用统计知识解决实际问题时要灵活、体现知识要活学活用。 3、教材P126例2的作用如下：

（1）、这个例题再次将加权平均数的计算公式得以及时巩固，让学生熟悉公式的使用和书写步骤。 （2）、例2与例1的区别主要在于权的形式又有变化，以百分数的形式出现，升华了学生对权的意义的理解。

（3）、它也充分体现了统计知识在实际生活中的广泛应用。 四、课堂引入：

1、若不选择教材中的引入问题，也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例，下举一例可供借鉴参考。 某校初二年级共有4个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下：

班级 1班 2班 42 81 3班 45 82 4班 32 79 - 60 -

参考人数 40 平均成绩 80

求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？下述计算方法是否合理？为什么？

x=

1（79+80+81+82）=80.5 4五、例习题分析：

例1和例2均为计算数据加权平均数型问题，因为是初学尤其之前与平均数计算公式已经作过比较，所以这里应该让学生搞明白问题中是否有权数，即是选择普通的平均数计算还是加权平均数计算，其次若用加权平均数计算，权数又分别是多少？例2的题意理解很重要，一定要让学生体会好这里的几个百分数在总成绩中的作用，它们的作用与权的意义相符，实际上这几个百分数分别表示几项成绩的权。 六、随堂练习： 1、老师在计算学期总平均分的时候按如下标准:作业占100%、测验占30%、期中占35%、期末考试占35%，小关和小兵的成绩如下表： 学生 小关 小兵 作业 80 测验 75 期中考试 期末考试 71 88 76 80 68 90 2、为了鉴定某种灯泡的质量，对其中100只灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表：（单位：小时）

寿命 只数 450 550 600 650 700 15 25 20 10 30 求这些灯泡的平均使用寿命？ 七、课后练习：

1、在一个样本中，2出现了x1次，3出现了x2次，4出现了x3次，5出现了x4次，则这个样本的平均数为 .

2、某人打靶，有a次打中x环，b次打中y环，则这个人平均每次中靶 环。

3、一家公司打算招聘一名部门经理，现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面表现进行评分，笔试占总成绩20%、面试占30%、实习成绩占50%，各项成绩如表所示：

应聘者 甲 乙 笔试 85 面试 83 85 实习 90 92 80 试判断谁会被公司录取，为什么？

20.1数据的代表

20.1.1平均数（第二课时）

一、教学目标：

1、加深对加权平均数的理解

2、会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题 3、会用计算器求加权平均数的值 二、重点、难点和难点的突破方法： 1、重点：根据频数分布表求加权平均数 2、难点：根据频数分布表求加权平均数 三、例习题的意图分析

1、教材P128探究栏目的意图。

（1）、主要是想引出根据频数分布表求加权平均数近似值的计算方法。

（2）、加深了对“权”意义的理解:当利用组中值近似取代替一组数据中的平均值时，频数恰好反映这组数据的轻重程度，即权。

这个探究栏目也可以帮助学生去回忆、复习七年级下的关于频数分布表的一些内容，比如组、组中值

- 61 -

及频数在表中的具体意义。 2、教材P128的思考的意图。

（1）、使学生通过思考这两个问题过程中体会利用统计知识可以解决生活中的许多实际问题 （2）、帮助学生理解表中所表达出来的信息，培养学生分析数据的能力。 3、P129利用计算器计算平均值

这部分篇幅较小，与传统教材那种详细介绍计算器使用方法产生明显对比。一则由于学校中学生使用计算器不同，其操作过程有差别亦不同，再者，各种计算器的使用说明书都有详尽介绍，同时也说明在今后中考趋势仍是不允许使用计算器。所以本节课的重点内容不是利用计算器求加权平均数，但是掌握其使用方法确实可以运算变得简单。统计中一些数据较大、较多的计算也变得容易些了。 四、 课堂引入

采用教材原有的引入问题，设计的几个问题如下：

（1）、请同学读P128探究问题，依据统计表可以读出哪些信息 （2）、这里的组中值指什么，它是怎样确定的？ 部门 人数 每人创得利润 A 1 20 B 1 5 C 2 2.5 D 4 2 E 2 1.5 F 2 1.5 G 5 1.2 （3）、第二组数据的频数5指什么呢？ （4）、如果每组数据在本组

中分布较为均匀，比组数据的平均值和组中值有什么关系。 五、随堂练习

1、某校为了了解学生作课外作业所用时间的情况，对学生作课外作业所用时间进行调查，下表是该校初二某班50名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表

（1）、第二组数据的组中值是多少？ 所用时间t(分钟) 人数 （2）、求该班学生平均每天做数学作业所用时间

0＜t≤10 4 2、某班40名学生身高情况如下图， 请计算该班学生平均身高 0＜≤ 6 20＜t≤20 30＜t≤40 40＜t≤50 50＜t≤60 14 13 9 4

七、课后练习： 1、某公司有15名员工，他们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表

该公司每人所创年利润的平均数是多少万元？

2、下表是截至到2002年费尔兹奖得主获奖时的年龄，根据表格中的信息计算获费尔兹奖得主获奖时的平均年龄？

年龄 频数 - 62 -

28≤X＜30 30≤X＜32 32≤X＜34 34≤X＜36 36≤X＜38 38≤X＜40 40≤X＜42 4 3 8 7 9 11

频数 20 15 12 10 10 18 2 6 3、为调查居民生活环境质量，环保局对所辖的50个居民区进行了噪音（单位：分贝）水平的调查，结果5 4 如下图，求每个小区噪音的平均分贝数。

噪音/分贝

40 50 60 70 80 90

20.1 数据的代表

20.1.2 中位数和众数（第一课时）

一、教学目标

1、认识中位数和众数，并会求出一组数据中的众数和中位数。

2、理解中位数和众数的意义和作用。它们也是数据代表，可以反映一定的数据信息，帮助人们在实际问题中分析并做出决策。

3、会利用中位数、众数分析数据信息做出决策。 二、重点、难点和难点的突破方法：

1、重点：认识中位数、众数这两种数据代表

2、难点：利用中位数、众数分析数据信息做出决策。 三、例习题的意图分析

1、教材P130的例4的意图

（1）、这个问题的研究对象是一个样本，主要是反映了统计学中常用到一种解决问题的方法：对于数据较多的研究对象，我们可以考察总体中的一个样本，然后由样本的研究结论去估计总体的情况。

（2）、这个例题另一个意图是交待了当数据个数为偶数时，中位数的求法和解题步骤。（因为在前面有介绍中位数求法，这里不再重述）

（3）、问题2显然反映学习中位数的意义：它可以估计一个数据占总体的相对位置，说明中位数是统计学中的一个重要的数据代表。 （4）、这个例题再一次体现了统计学知识与实际生活是紧密联系的，所以应鼓励学生学好这部分知识。 2、教材P132例5的意图 （1）、通过例5应使学生明白通常对待销售问题我们要研究的是众数，它代表该型号的产品销售最好，以便给商家合理的建议。

（2）、例5也交待了众数的求法和解题步骤（由于求法在前面已介绍，这里不再重述）

- 63 -

（3）、例5也反映了众数是数据代表的一种。 四、课堂引入

严格的讲教材本节课没有引入的问题，而是在复习和延伸中位数的定义过程中拉开序幕的，本人很同意这种处理方式，教师可以一句话引入新课：前面已经和同学们研究过了平均数的这个数据代表。它在分析数据过程中担当了重要的角色，今天我们来共同研究和认识数据代表中的新成员——中位数和众数，看看它们在分析数据过程中又起到怎样的作用。 五、例习题的分析

教材P130例4，从所给的数据可以看到并没有按照从小到大（或从大到小）的顺序排列。因此，首先应将数据重新排列，通过观察会发现共有12个数据，偶数个可以取中间的两个数据146、148，求其平均值，便可得这组数据的中位数。

教材P132例5，由表中第二行可以查到23.5号鞋的频数最大，因此这组数据的众数可以得到，所提的建议应围绕利于商家获得较大利润提出。 六、随堂练习

1某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的销售金额，统计了这15个人的销售量如下（单位：件）

1800、510、250、250、210、250、210、210、150、210、150、120、120、210、150 求这15个销售员该月销量的中位数和众数。

假设销售部负责人把每位营销员的月销售定额定为320件，你认为合理吗？如果不合理，请你制定一个合理的销售定额并说明理由。

2、某商店3、4月份出售某一品牌各种规格的空调，销售台数如表所示：

规格 1匹 1.2匹 1.5匹 2匹 台数 月份3月 4月 12台 20台 8台 4台 16台 30台 14台 8台 根据表格回答问题：

商店出售的各种规格空调中，众数是多少？

假如你是经理，现要进货，6月份在有限的资金下进货单位将如何决定？ 七、课后练习

1. 数据8、9、9、8、10、8、99、8、10、7、9、9、8的中位数是 ，众数是 2. 一组数据23、27、20、18、X、12，它的中位数是21，则X的值是 . 3. 数据92、96、98、100、X的众数是96，则其中位数和平均数分别是（ ）

A.97、96 B.96、96.4 C.96、97 D.98、97

4. 如果在一组数据中，23、25、28、22出现的次数依次为2、5、3、4次，并且没有其他的数据，则这

组数据的众数和中位数分别是（ ） A.24、25 B.23、24 C.25、25 D.23、25

5. 随机抽取我市一年（按365天计）中的30天平均气温状况如下表： 温度（℃） -8 天数 3 -1 7 15 21 24 30 5 5 7 6 2 2 请你根据上述数据回答问题： （1）.该组数据的中位数是什么？

（2）.若当气温在18℃~25℃为市民“满意温度”，则我市一年中达到市民“满意温度”的大约有多少天？

20.1.2 中位数和众数（第二课时）

一、教学目标：

1、进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表。

2、通过本节课的学习还应了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异。

- -

3、能灵活应用这三个数据代表解决实际问题。 二、重点、难点和突破难点的方法

1、重点：了解平均数、中位数、众数之间的差异。 2、难点：灵活运用这三个数据代表解决问题。

较多的一种量。另外要注意：

平均数计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有的数据信息，但它受极端值的影响较大.

众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量，众数不受极端值的影响，这是它的一个优势，中位数的计算很少也不受极端值的影响.

平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动. 中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势. 三、例习题的意图分析： 教材P133例6的意图

（1）、这是在学习过数据的收集、整理、描述与分析之后涉及到这四个环节的一个例题，从分析和解答过程来看它交待了该如何完整的进行这几个过程，为该怎样综合运用已学的统计知识解决实际问题作了一个标准范例。教师在授课过程中也应注意，对已学知识的巩固复习。

（2）、从分析和解答过程来看，此例题的一个主要意图是区分平均数、众数和中位数这三个数据代表的异同。

（3）、由例题中（2）问和（3）问的不同，导致结果的不同，其目的是告诉学生应该根据题目具体要求来灵活运用三个数据代表解决问题。

（4）、本例题也客观的反映了数学知识对生活实践的指导有重要的意义，也体现了统计知识与生活实践是紧密联系的。 四、课堂引入：

本节课的课堂引入可以通过复习平均数、中位数和众数定义开始，为完成重点、突破难点作好铺垫，没有必要牵强的加入一个生活实例作为引入问题。 五、例习题的分析：

例题6中第一问是在巩固平均数定义、中位数定义和众数的定义。可以引导学生从问题中词语特点分析它们分别指哪个数据代表，教师也可以顺便加一个发散性问题，一般地哪些词语是指平均数、中位数和众数呢？

例题6中的第二问学生一般不易想到，教师要将“较高目标”衡量标准引向三个数据代表身上，这样学生就不难回答了。

第三问要抓住一半左右应与哪个数据代表的意义相符这个问题。即要很好的回答第三问，学生头脑必须很清楚平均数、中位数、众数的特点。 六、随堂练习：

1、在一次环保知识竞赛中，某班50名学生成绩如下表所示： 得分 人数 50 60 70 80 90 100 110 120 2 3 6 14 15 5 4 1 分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数.

2、公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下：（单位：岁） 甲群：13、13、14、15、15、15、16、17、17。 乙群：3、4、4、5、5、6、6、、57。

（1）、甲群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是 。

（2）、乙群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁。其中能较好反映乙群游客年龄特征的是 。 七、课后练习：

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1、某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下： 职员 人数 工资 董事长 1 副董事长 1 董事 2 总经理 1 经理 5 管理员 3 职员 20 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500 （1）、求该公司职员月工资的平均数、中位数、众数？

（2）、假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）

（3）、你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司职工的工资水平？ 2、某公司有15名员工，它们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表示： 部门 人数 A 1 B 1 5 C 2 2.5 D 4 2.1 E 2 1.5 F 2 1.5 G 3 1.2 每人所创20 的年利润 根据表中的信息填空：

（1） 该公司每人所创年利润的平均数是 万元。 （2） 该公司每人所创年利润的中位数是 万元。

（3） 你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创年利润的一般水平？答

20.2 数据的波动 20.2.1极差

一、教学目标：

1、理解极差的定义，知道极差是用来反映数据波动范围的一个量 2、会求一组数据的极差

二、重点、难点和难点的突破方法 1、重点：会求一组数据的极差

2、难点：本节课内容较容易接受，不存在难点。 三、例习题的意图分析 教材P137引例的意图

（1）、主要目的是用来引入极差概念的

（2）、可以说明极差在统计学家族的角色——反映数据波动范围的量 （3）、交待了求一组数据极差的方法。 四、课堂引入：

引入问题可以仍然采用教材上的“乌鲁木齐和广州的气温情”为了更加形象直观一些的反映极差的意义，可以画出温度折线图，这样极差之所以用来反映数据波动范围就不言而喻了。 五、例习题分析

本节课在教材中没有相应的例题，教材P137习题分析 问题1 可由极差计算公式直接得出，由于差值较大，结合本题背景可以说明该村差距较大。问题2 涉及前一个学期统计知识首先应回忆复习已学知识。问题3答案并不唯一，合理即可。 六、随堂练习：

1、一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是 ，一组数据1736、1350、-2114、-1736的极差是 .

2、一组数据3、-1、0、2、X的极差是5，且X为自然数，则X= . 3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（ ）

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A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差

4、一组数据X1、X2„Xn的极差是8，则另一组数据2X1+1、2X2+1„，2Xn+1的极差是（ ） A. 8 B.16 C.9 D.17 七、课后练习：

1、已知样本9.9、10.3、10.3、9.9、10.1，则样本极差是（ ） A. 0.4 B.16 C.0.2 D.无法确定

在一次数学考试中，第一小组14名学生的成绩与全组平均分的差是2、3、-5、10、12、8、2、-1、4、-10、-2、5、5、-5，那么这个小组的平均成绩是（ ） A. 87 B. 83 C. 85 D无法确定

3、已知一组数据2.1、1.9、1.8、X、2.2的平均数为2，则极差是 。

4、若10个数的平均数是3，极差是4，则将这10个数都扩大10倍，则这组数据的平均数是 ，极差是 。

5、某活动小组为使全小组成员的成绩都要达到优秀，打算实施“以优帮困”计划，为此统计了上次测试各成员的成绩（单位：分）

90、95、87、92、63、、82、76、55、100、45、80 计算这组数据的极差，这个极差说明什么问题？

将数据适当分组，做出频率分布表和频数分布直方图。

20.2.2 方差（第一课时）

一. 教学目标：

1. 了解方差的定义和计算公式。

2. 理解方差概念的产生和形成的过程。

3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 二. 重点、难点和难点的突破方法：

1. 重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。 2. 难点：理解方差公式 三. 例习题的意图分析：

1. 教材P138的讨论问题的意图：

（1）.创设问题情境，引起学生的学习兴趣和好奇心。 （2）.为引入方差概念和方差计算公式作铺垫。

（3）.介绍了一种比较直观的衡量数据波动大小的方法——画折线法。

（4）.客观上反映了在解决某些实际问题时，求平均数或求极差等方法的局限性，使学生体会到学习方差的意义和目的。

2. 教材P140例1的设计意图：

（1）.例1放在方差计算公式和利用方差衡量数据波动大小的规律之后，不言而喻其主要目的是及时复习，巩固对方差公式的掌握。

（2）.例1的解题步骤也为学生做了一个示范，学生以后可以模仿例1的格式解决其他类似的实际问题。 四.课堂引入：

除采用教材中的引例外，可以选择一些更时代气息、更有现实意义的引例。例如，通过学生观看2004年奥运会刘翔勇夺110米栏冠军的录像，进而引导教练员根据平时比赛成绩选择参赛队员这样的实际问题上，这样引入自然而又真实，学生也更感兴趣一些。 五. 例题的分析：

教材P140例1在分析过程中应抓住以下几点：

1. 题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么？学生通过思考可以回答出

整齐即波动小，所以要研究两组数据波动大小，这一环节是明确题意。

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2. 在求方差之前先要求哪个统计量，为什么？学生也可以得出先求平均数，因为公式中需要平均值，这

个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。 3. 方差怎样去体现波动大小？

这一问题的提出主要复习巩固方差，反映数据波动大小的规律。 六. 随堂练习：

1. 从甲、乙两种农作物中各抽取1株苗，分别测得它的苗高如下：（单位：cm） 甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8； 乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11； 问：（1）哪种农作物的苗长的比较高？

（2）哪种农作物的苗长得比较整齐？

2. 段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的成绩比较稳定？为什么？ 测试次数 段巍 金志强 1 13 10 2 14 13 3 13 16 4 12 14 5 13 12

七. 课后练习：

1.已知一组数据为2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为 。 2.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下： 甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4 乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7

经过计算，两人射击环数的平均数相同，但S甲 S乙，所以确定 去参加比赛。 3. 甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是（ ） 甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4 乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1

分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？ 4. 小爽和小兵在10次百米跑步练习中成绩如表所示：（单位：秒） 小爽 小兵 10.8 10.9 11.0 10.7 11.1 11.1 10.8 10.8 11.0 11.1 10.7 10.9 10.9 10.8 10.9 10.9 10.8 10.8 11.0 10.9 如果根据这几次成绩选拔一人参加比赛，你会选谁呢？

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