高中数学破题致胜微方法(双曲线几何性质的相关探究)：一、定义法求双曲线的离心率

本内容主要研究定义法求双曲线的离心率.双曲线的几何性质中，离心率问题是重点.

可以利用双曲线方程得基本量代入离心率公式ec求解，也可以利用双曲线第一定义得aec2c2c求解，或者根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a2a|PF1PF2|a、c的关系，进而得到关于e的简单方程，从而解得离心率e.

先看例题：

x2例：双曲线y21的离心率等于___________.

4

整理：

(1)求得a，c的值，直接代入公式e(2)ec ac2c2c a2a|PF1PF2|c a(3)得出a，c的方程，直接计算e

再看两个例题，加深印象

x2y2222

例：过双曲线C:221(a>0,b>0)的一个焦点作圆x+y=a的两条切线,切点分别为A,B.

ab(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为________. 若∠AOB=120°

1

设焦点为 学科，网

F,则根据条件知△FAO中,∠FAO是直角, ,OF=c,OA=a,所以∠FOA=60°即离心率是2.

a1cos60, c2

x2y2例:设F1和F2为双曲线221(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三

ab个顶点,则双曲线的离心率为( )

3 25C. 2A.

B.2 D.3

22222222222

解：数形结合易知PF2POOF24c4bc3c4b,又由于c=a+b, 22

所以有c=4ac=2ae=2,选B.

2

总结：

1.利用双曲线方程得基本量代入离心率公式ec求解. a2.利用双曲线第一定义得e

c2c2c求解. a2a|PF1PF2|3.根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系，进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e. 练习：

x2y21. 已知双曲线21的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )

a5A.314 14 B.

32 4 C.

3 2 D.

4 3

3

x2y22. 双曲线1的离心率为________.

169

3. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为________.

4.下列曲线中离心率为6的是( ) 2x2y2A.1 24x2y2B.1 42x2y2C.1 46x2y2D.1 410

5.设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为( )

1＋2

A.2 C．1＋2 5.

1＋3B.2 D．1＋3

4

1＋3c1

∴e＝a＝3－1＝2.

5

6