高考数学压轴专题最新备战高考《复数》图文答案

一、选择题

1．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A．第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】

由题意得e2icos2isin2，得到复数在复平面内对应的点(cos2,sin2)，即可作出解答. 【详解】

由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，

∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈

，

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，

∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】

本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.

uuuvuuuv2．如图所示，在复平面内，OP对应的复数是1－i，将OP向左平移一个单位后得到uuuuv，则P0对应的复数为( ) O0P0

A．1－i C．－1－i 【答案】D 【解析】 【分析】

B．1－2i D．－i

P要求P0对应的复数，根据题意，只需知道OP0，而OP0OO0O0P0，从而可求0对应的复数 【详解】

uuuvuuuvuuuuvuuuuvuuuuvuuuvuuuuv1因为O0P0OP，OO0对应的复数是－，

所以P0对应的复数，

uuuv即OP对应的复数是11ii，故选D. 0【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．

3．设i为虚数单位，z2A．1 【答案】D 【解析】 【分析】

计算出z，进而计算z即可. 【详解】

3i，则|z|（ ） 1iC．2

D．B．10

10 2z23i1i3i3i313i22, 1i2221i1i221013. z222【点睛】

本题考查复数的除法运算及模的求法，考查计算能力．

4．若复数zA．2 【答案】C 【解析】 【分析】

根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可. 【详解】

2i（i为虚数单位），则|z|（ ） 1iB．3

C．5 D．5

z22(1i)ii12i，|z|12225.故选C. 1i(1i)(1i)【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.

5．已知i是虚数单位，则A．1-2i

3i=（ ） 1iC．2+i

D．1+2i

B．2-i

【答案】D 【解析】

试题分析：根据题意，由于考点：复数的运算

点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．

3i3i1i24i12i，故可知选D. 1i1i1i2

6．在复平面内复数83i、45i对应的点分别为A、B，若复数z对应的点C为线段

AB的中点，z为复数z的共轭复数，则zz的值为（ ）

A．61 B．13 C．20 【答案】C 【解析】

由题意知点则

、

的坐标为

、,选C.

，则点

的坐标为

，从而

D．10

，

7．a为正实数，i为虚数单位，A．2 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

B．3

ai2，则a=（ ） iC．2

D．1

Q|ai|2a212a3Qa0,a3，选B. i

8．若复数zA．1 【答案】A 【解析】 【分析】

由z·i30可判定z·i3为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】

ai，且z·i30，则实数a的值等于（ ） 1iB．-1

C．

1 2D．1 2Qzaiai1ia1a1i， 1i1i1i23所以z·ia1i3a1i42a1ia12，

因为z·i30，所以z·i3为实数，3a10 2i10,符合题意，故选A. 可得a1，a1时,z?【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

9．已知复数z满足A．1 【答案】D 【解析】 【分析】

按照复数的运算法则先求出z，再写出z，进而求出z. 【详解】

1iz2i（其中z为z的共轭复数），则z的值为( ) 1iB．2

C．3 D．5 1i(1i)22iQi， 1i(1i)(1i)21i2iz2iiz2izi(2i)12i， 1iiz12i|z|(1)2225.

故选：D 【点睛】

本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.

10．复数z满足z(2i)36i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（ ） A．3 【答案】D 【解析】 【分析】

首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可. 【详解】

B．3i

C．3i

D．3

由题意可得：z36i36i2i115i13i， 2i552i2i据此可知，复数z的虚部为3. 本题选择D选项. 【点睛】

复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．

11．已知复数z＝A．

3i，则|z|＝( ) 2(13i)B．

1 41 2C．1 D．2

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：因为z=13i(3i)3i3i|z|，因此＝ 224(13i)223i2i(3i)

12．已知i是虚数单位，则复数z（ ） A．第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】

先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 【详解】 解：∵z∴zB．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2i的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为42i2i42i32i2i， 42i42i42i10532i， 10532，），所在的象限为第一象限． 105∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（故选：A．

点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i,(a,b,c.dR). 其次要熟悉复数相关基本概念，

如复数abi(a,bR)的实部为a、虚部为b、模为a2b2、对应点为(a,b)、共轭为

abi.

13．复数A．第一象限 【答案】C 【解析】 【分析】

利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数【详解】

，

的共轭复数为

对应坐标是【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

，

的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 .

的共轭复数对应的点位于

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

在第三象限，故选C.

i20203i14．若z，则z在复平面内对应点位于( )

1iA．第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】

化简得到z2i，得到答案. 【详解】

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

i20203i13i13i1i42iz2i，对应的点在第一象限.

1i1i21i1i故选：A. 【点睛】

本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.

15．欧拉公式eixcosxisinx（i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将e2i表示的复数记为z，则z(12i)的值为（ ） A．2i 【答案】A 【解析】 【分析】

iB．2i C．2i D．2i

根据欧拉公式求出ze2cos【详解】

i2isin2i，再计算z(12i)的值.

∵ze2cos2isin2i，

∴z(12i)i(12i)2i. 故选：A. 【点睛】

此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z.

16．已知复数z在复平面内对应点是1,2，i为虚数单位，则A．1i 【答案】D 【解析】

B．1i

C．1

3i 2

z2（ ） z13D．1i

2

z232i31i ，选D. z12i2

5的共轭复数是( ) i2A．2i B．2i 【答案】C 【解析】 【分析】

17．复数【详解】

C．2i D．2i

先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.

552i，所以复数的共轭复数是2i，选C. i2i2【点睛】

因为

本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.

18．已知复数z满足(1i)z2i，i为虚数单位，则z等于 A．1i 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得z【详解】

由1iz2i，可得z故选B. 【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，复数的模，属于中档题.

B．1i

C．

11i 22D．

11i 222，根据复数的除法运算即可. 1i22(1i)1i， 1i2

i319．复数（i为虚数单位）的共轭复数是 （ ）

2i121i 55【答案】C 【解析】

A．B．

21i 33C．21i 55D．

21i 33i3i(2i1)2i2121i，则共轭复数为：i． 试题分析：由题；

2i1(2i1)(2i1)55555考点：复数的运算及共轭复数的概念.

20．复数z满足|zi||z3i|，则|z|( ) A．恒等于1

C．最小值为1，无最大值 【答案】C 【解析】 【分析】

设复数zxyi，其中x，yR，由题意求出y1，再计算|z|的值． 【详解】

解：设复数zxyi，其中x，yR， 由|zi||z3i|，得|x(y1)i||x(y3)i|，

B．最大值为1，无最小值 D．无最大值，也无最小值

x2(y1)2x2(y3)2，

解得y1；

|z|x2y2x21…1，

即|z|有最小值为1，没有最大值． 故选：C． 【点睛】

本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．