河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2018年春期高中二年级期中质量评估

数学试题（理）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知为虚数单位，复数A. 的共轭复数为C.

，则以下为真命题的是（ ）

B. 的虚部为

D. 在复平面内对应的点在第一象限

【答案】D 【解析】应的点为

,故选D.

，

，

（ ）

,的共轭复数为

,的虚部为,

,在复平面内对

2. 设，，都是正数，则三个数

A. 都大于2 B. 至少有一个大于2

C. 至少有一个不小于2 D. 至少有一个不大于2 【答案】C

【解析】分析：利用均值不等式，求解详解：由题意则当且仅当所以

时，等号是成立的，

中至少有一个不小于，故选C． 都是正数，

，

，即可得到结论．

点睛：本题主要考查了均值不等式的应用，其中解答中构造均值不等式的条件是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力． 3. 当在 - 上变化时，导函数

的符号变化如下表： 1 0 +

4 0 -

则函数

的图像大致形状为（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】分析：根据上表中导函数的取值，得到函数的单调性，即可选出图象． 详解：由上表可知， 当当所以函数

时，

时，

，所以函数

在

在

单调递减；

，所以函数单调递增，

如选项C所示，故选C．

点睛：本题主要考查了函数的导数与函数图象的关系，正确理解导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 4. 直线

与曲线

相切于点

，则的值为（ ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 由直线 则点由5. 已知函数A.

B.

C. -2或满足直线

，则

与曲线

的方程，即

，则在

D. -2

相切于点

，即，解得

，

，故选A．

处取得极大值10，则的值为（ ）

【答案】B

【解析】分析：由函数得方程组详解：由函数因为函数

在

，求得

，根据函数

的值，进而得到的值．

，可得

处取得极大值，

在处取得极大值，

，即可求解

，

则经验证，当所以

，即

时，

，故选B．

，解得或，

时取得极小值，不符合题意（舍去）

点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用，其中利用题设条件，列出方程组是解答的关键，其中对力．

6. 利用数学归纳法证明不等式边增加了（ ） A. 1项 B. 项 C. 【答案】D

【解析】试题分析：数为

考点：数学归纳法 7. 若曲线

与曲线

在交点

处由公切线，则

（ ）

时左面为

，

时左面为

，所以增加的项

项 D. 项

（

，

）的过程中，由

变到

时，左

的值进行验证是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能

A. -1 B. 0 C. 2 D. 1 【答案】D

【解析】分析：由曲线根据点

在曲线

上，求得，得，得与曲线，解得，即交点为代入曲线

， ， ，得

，所以

，故选D．

处的公切线，建立方程求解是解答的

与曲线

在交点

出有公切线，根据斜率相等，求解

，

，进而求得的值，即可求解．

，则，则在交点

，

出有公切线，

，

详解：由曲线由曲线因为曲线所以又由将

点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 8. 若函数

（

）有最大值-4，则的值是（ ）

A. 1 B. -1 C. 4 D. -4 【答案】B

【解析】分析：由函数得当

时，函数

，得，要使得函数有最大值，则，进而得函数的单调性，

取得最大值，即可求解． ，则

，

， 在在

上单调递增， 上单调递减，

，

详解：由函数要使得函数则当当所以当解得

有最大值，则时，时，

，函数，函数

时，函数，故选B．

取得最大值，即

点睛：本题主要考查了导数在函数问题中的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的最值等知识点的综合运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 9. 函数A.

B.

在

上有最小值，则实数的范围是（ ） C.

D.

【答案】C

【解析】分析：由函数

，得

，得到函数的单调性，再由

，令

，解得

或

，结合函数的图象，即可求解实数的取值范围； 详解：由函数当当又由要使得函数

时，，令

在，得时，，所以，即

，所以在区间

在区间单调递减，

或

， ，

单调递增，

，解得

上有最小值，

，故选C．

结合函数的图象可得，实数的取值范围是

点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中利用导数研究函数的单调性和极值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．

10. 将正奇数1,3,5,7，…排成五列（如下表），按此表的排列规律，2019所在的位置是（ ）

A. 第一列 B. 第二列 C. 第三列 D. 第四列 【答案】C

【解析】分析：由题意，得数字

是第

个奇数，又由数表可知，每行个数字，得第

个奇数位于第

行的第2个数，即可判定，得到结论． 详解：由题意，令

，解得

，即数字

，

是第

个奇数，

又由数表可知，每行个数字，则则第

个奇数位于第

行的第2个数，所以位于第三列，故选C．

点睛：本题主要考查了归纳推理和数列知识的应用，其中认真审题，读懂题意是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 11. 设定义在A. C. 【答案】A

【解析】分析：由题意的所以函数

在

，设

，则

，即可得到结果． 满足

，

，

上的函数 B. D.

的导函数

满足

，则（ ）

上为单调递增函数，由上的函数， ，则

， 的导函数

详解：由定义在则设所以函数则

在，即，即

上为单调递增函数，

，所以

，故选A．

点睛：本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中根据题意构造新函数，利用导数得到新函数的单调性，利用单调性比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 12. 一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退

2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令

表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记A. C. 【答案】D

【解析】分析：由题意，按“前进步，然后再后退步”的步骤，发现机器人每秒为周期的移动方式，解出相应的数值，根据规律推导，即可得到结果．

详解：由题意可知，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进步，然后再后退步的规律移动，所以机器人的移动方式具有以秒为周期的移动方式，且每秒前进个单位， 所以由所以由所以

是不正确，故选D． 是正确的；

，

，

是正确的；

，

，

B.

D.

,则下列结论中错误的是（ ）

点睛：本题主要考查了数列的实际应用问题，其中解答中得到机器人的移动方式具有以秒为周期，且每秒前进个单位的移动规律是解答的关键，同时注意数轴上点的移动规律“左减右加”，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.

__________．

【答案】

【解析】分析：先根据定积分的几何意义求出，再根据定积分计算出 的值，即可求解结果．

详解：因为表示以为圆心，以为半径的圆的四分之一，

所以，

所以．

点睛：本题主要考查了定积分的几何意义及微积分基本定理的应用，其中熟记定积分的几何意义和微积分基本

定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

14. 我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值面体内任一点到其四个面的距离之和为定值__________． 【答案】

，得棱长为a的正四面体内任一点，类比上述结论，在棱长为的正四

【解析】类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值到其四个面的距离之和为定值，

如图，不妨设O为正四面体ABCD外接球球心，F为CD中点，E为A在平面BCD上的射影 ，由棱长为a可以得到BF＝＝

a，BO＝AO＝

a－OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO＝BE＋OE，把数据代入得到OE

a＝

a

2

2

2

a，所以棱长为a的正四面体内任一点到各个面的距离之和为4×

（

∪[1，＋∞)

在

），若函数

在

15. 已知函数【答案】

上为单调函数，则的取值范围是__________．

【解析】分析：求出原函数的导数，由函数分类参数引入新函数，即可求解． 详解：由函数因为函数即设因为函数解得

在或， 在或

上单调递增，所以，即实数的取值范围是

，得

上为单调函数，所以在

上恒成立，且

上为单调函数，得到时，或恒成立，

， 时，，

或

恒成立，

或．

，

点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，以及函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．

16. 定义：如果函数称函数

在区间

在区间上存在，（），满足是区间

，，则

上市一个双中值函数，已知函数上的双中值函数，则实数的取

值范围是__________． 【答案】

，即方程

在区间

上有两个解，利用二

【解析】分析：根据题意得到次函数的性质即可求出的取值范围． 详解：因为因为函数所以区间所以方程令则

，所以是区间上存在

在区间

，

上的双中值函数，

满足

上有两个不相等的解， ， ，解得

，

，所以实数的取值范围是．

是区

点睛：本题主要考查了函数的解得个数问题的应用，考查了导数在函数中的综合应用，把函数间

上的双中值函数，方程

在区间

上有两个不相等的解是解答关键，着重考查了转化与化归

思想，及函数与方程思想与推理与论证能力，试题有一定难度，属于中档试题．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知是虚数单位，复数满足（1）求

；

.

（2）若复数的虚部为2，且是实数，求. 【答案】(1)；(2)

.

，利用复数的除法运算，求解复数，进而求得复数的模；

【解析】分析：（1）根据题意

（2）设,由是实数，求解的值，即可求解复数．

详解：（1）（2）设则

,

．

,

是实数∴∴

．

．

点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数相等、复数的模等问题，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 18. 设点在曲线

上，从原点向

移动，如果直线

，曲线

及直线

所围成的两个阴影部分的

面积分别记为，，如图所示. （1）当（2）当

时，求点的坐标； 有最小值时，求点的坐标.

【答案】(1)；(2).

，利用

，求得

【解析】分析：（1）设点的横坐标为，得点的坐标，利用定积分求解的值，即可求得点的坐标． （2）由（1）可求当

，化简后，为的函数，再利用导数求得

的最小值．

详解：（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），

直线OP的方程为y=tx

S1=∫0t（tx﹣x2）dx=

，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=

，

因为S1=S2，，所以（2）S=S1+S2=

′

2

，点P的坐标为

2

S=t﹣2，令S'=0得t﹣2=0，t=

因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0 所以，当t=时，S1＋S2有最小值，P点的坐标为

．

点睛：本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 19. 已知函数

在

与

时都取得极值.

（1）求，的值与函数（2）若对

的单调区间；

恒成立，求的取值范围.

.

，由

，

求得

的值，得到函数

的解析式，

，不等式

【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】分析：（1）由

，求得

利用导数即可求解函数的单调区间． （2）由题意，设详解：（1）由

，

，

随着变化时， 的变化情况如下表：

得

，分

和

两种情况分类讨论，即可求解实数的取值范围．

所以函数（2）当

极大值 极小值 的递增区间是

，

与,递减区间是；

时，由（1）知在，得

上的最大值为

上的最大值为

所以只需要当所以只需要所以

时，由（1）知

在

，解得

综上所述，的取值范围为

点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及恒成立问题的奇迹诶，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处

的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用． 20. 已知数列

，

，…，

，为该数列的前项和.

（1）计算，，，；

（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)

【解析】试题分析：

；(2)答案见解析.

(1)由题中所给的条件计算可得：(2)由题意归纳推理猜想试题解析：

（1）

．

；

，然后利用数学归纳法证得该结论成立即可.

（2）猜想

用数学归纳法证明如下：

①当

时，

，

，猜想成立；

② 假设当时，猜想成立，即，

当时，

故当

时，猜想成立．

，

都成立．

由①②可知，对于任意的

21. 已知函数（1）证明（2）如果

； 对

.

恒成立，求的范围.

.

，又由

，求得

，即可证得，可分

和

；

两种情况分类讨论，即可求

【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】分析：（1）由题意，求得由题意知解的取值范围． 详解：（1）证明：

故

由题意知设

，则，

符合题意

即

不合题意，

综上，的取值范围为

． ，

恒成立，设

恒成立，

， 单调递减，

点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中利用导数求函数的单调性与最值(极值)，是解决函数的恒成立与有解问题常考点，同时注意数形结合思想的应用． 22. 已知函数（1）求函数（2）设函数

（为自然对数的底数）.

的单调区间；

，存在实数，

，使得

成立，求实数的取值范围.

.

【答案】(1)f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；(2)

【解析】分析：（1）确定函数的定义域，求到数，利用导数的正负，即可求解函数的单调区间； （2）假设存在

，使得

成立，则

，分类讨论求最值，即可求实数的

取值范围．

详解：(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－， ∴当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，

∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．

(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，则2[φ(x)]min<[φ(x)]max. ∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝

，

∴.

①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1； ②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0； ③当0若t∈(t,1]，φ′(x)>0，φ(x)在(t,1)上单调递增，∴2φ(t)}．(*)

在[0,1]上单调递减，

≤，∴不等式(*)无解．

由(1)知，g(t)＝2·故≤2·

≤2，而≤

综上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪(3－，＋∞)，使得命题成立．

点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，利用导数求解函数的最值及其应用，本题解答中把使得

成立，转化为

是解答的难点，

着重考查了分类讨论的数学思想，及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．