二维变密度声波波动方程的衍射层析成像

第３尝第２期　１９９４年５月（５—１　０１　ＣＴ理论与应用研究　ＣＴ　Ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　Ｖｄ．３．Ｎｏ．２　眦．１９９４　‘；　、｛　）　一　／ｏ　二维变密度声波波动方程的衍射层析成像’　吴春玲。　①　张霖斌＠　：　。。。。　ｒ二，　弓　币　，　学院岩石圈　＠中国地质大学物撵幕．北京１０００８３　摘要：　本文将二维声波衍射层析成像原理推广到二维变密厦声波波动方程中·　导出了在线源激发条件下．不同观测系统的撼波反传播重建算法，取两个以上不同频率　值可得到密度和体积模量的成像。数值实倒表明．该方涪能得到密度和体积摸量较满意　的成　煳词盟墨塑塾墨　逵　戡　逵　磐’皇蜜．魍　芦承准　勿　蜒毁　Ｄｉｆｒａｃｔｉ０ｎ　Ｔ０ｍ０ｇｒａｐｈｙ　ｆ　Ｔｗｏ．Ｄｉｍｅｎ　０ｎａｌ彩　峻　Ｖａｒｉａｂｌｅ　Ｄｅｎｓｉｔｙ　Ａｃｏｕｓｔｉｃ　Ｗａｖｅ—ｅｑｕａｔｉｏｎ　Ｗｕ　Ｃｈｕｎｌｉｎｇ￣　Ｚｈａｎｇ　Ｌｉｎｂｉｎ￣　①工ｊ￡妇ｐｂ晰Ｒｅｓ瞎ｒｃｈ（Ｋｎ∞。＾恕ｄｅ叻ｒ　Ｏｃｏｌｏ￣　ｎ犯　Ｂ蛳ｇ，１０００３７　＠Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｅｘ　口嘣　ｎ　Ｄｃ￣ａｒｔｍｅｎ１．ｃ　ａ　０ｅｍｏ　ＵｎｉｖｃｒｓｉＷ，蹦　ｎｇ，１０００８３　ＡＢＳＴＲＡＣＴ　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｆｏｒ　ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ　ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ　ｏｆ　ｔｗｏ—ｄｉｍｅ　。ｎａＪ　ａｃｏｕｓ－　ｔｉｃ　ｗａｖｅ－ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｔｏ　２Ｄ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ａｃｏｕｓｔｉｃ　ｗａｖ￣一ｅｑｕａｔｉｏｎ－Ｆｉｌｔｅｒｅｄ　ｂａｃｋ　ｐｒｏｐａｇａ－　ｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｃａｓ％ｏｆ　ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ　ｉｎ　１ｉｎｅ　ｓｏｕｒ￣＠ｓ　ａｒｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ．Ｗｉ　ｃｈ　ｍｏｉ＂Ｅ￣ｔｈａｎ　ｔＷＯ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｆｌ　ｑｕｅｎｃｉ　，ｄｅｎｓｉｔｙ　ａｎｄ　ｂｕｌｋ　ｍｏｄｕｌｕｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｉｍａｇｅｄ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘｍｎｐｌｅｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｓａｔ—　ｉｓｆｌｅｄ　ｉｍａｇｅｓ　Ｃａｎ　ｂｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｔｈｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ￣ａｐｅｒ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ　ｔｏｍｏ￣ｒａｐｈｙ，Ｆｉｌｔｅｒｅｄ　ｂａｃｋ　ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｄｅｎｓｉｙ，Ｂｕｌｔｋ　ｍｏｄｕｌｕｓ．　１．　引　言　波动理论层折成像的精度比射线层析成你精度较高的主要原因是波动理论层析利用了　地震波的振幅、相位和频率等各种信息。在地球物理波动方程层折成像的众多方法中，典型　的方法有衍射层析成像法，这种方法是在Ｂｏｒｎ近似或Ｒｙｔｏｖ近似下导出的重建算法·Ｄｅ－　ｖａｎｅｙ（１９８４）首次将衍射层析成像方法引入地震波动层析成你中．并研究了入射波为平面波　时的滤波反传播算法。Ｗｕ等（１９８７）导出了多震源．多接收器不同观测系统的滤波反传算　·１９９３年８月ｌ１日收到奉文初稿．　维普资讯 http://www.cqvip.com

ＣＴ理论与应用研究　３卷　法。Ｌｏ等（１９８８）对超声资料作了衍射层析实验，并将此方法用于实际地震资料的成像（Ｌｏ等　１９９Ｑ）。他们的工作是基于声波波动方程进行的，并取得了较好的波速成像。　对于多参数衍射层析成像的研究．Ｉ）ｅｖａｎｅｙ（１　９８５）提出了入射波为平面波时，密度和压　缩系数的成像方法，而对于多源、多接收器的衍射层析成像方法的研究成果目前较少。　本文从二维变密度声波波动方程出发．导出了多源、多接收器的滤波反传播重建算法。　这时反演结果与波数（或频率）有关，因此，只要取两个以上的不同波数（或频率）的散射数据　便可反演出密度和体积模量。文中给出了不同观测系统下的滤波反播传算法。最后，本文对　地表观测系统进行数值模拟实验，结果表明，本文方法可得到密度和体积模量较满意的成　像。　２．　成像原理　二维变密度波动方程为ｔ　上Ｐ　ｎ＋等ｎ一一ｄ儿　（ｒ—ｒ｜）　式中，ｐ为密度，Ｋ为体积模量，ｎ为压力ｎ为震源位置，　空间位置．ｍ为圆频率。　若　，Ｋｏ表示背景常数场．则我们定义：　∞（ｒ）＝ｌ—ＫｊＫ（ｒ）　ａ２（ｒ）＝】一户０／Ｐ（ｒ）　定义散射势为　）一　十　·（　）　由Ｂｏｒｎ近似可得到散射场为：　Ｄ（ｒＩ，　）　一Ｊ　（ｒ＿，　（ｒ）　（ｒ，　）ｄ　式中ｒｌ为接收器的位置矢量。ａ（Ｔ，　．）为背景场的Ｇｒｅｅｎ函数，它满足：　去　Ｇ（ｒ，ｒＩ）＋苦Ｇ（儿０　ｒ，ｒ　）＝一ｄ（ｒ—ｒ．）　记波速为　。＝（　０／Ｐ０）｛　且　一，ｏ／ｃｎ　将（３）式代入（ｄ）式并作分部积分有：　Ｄ（ｒｗ·ｒ｜）　一』（　Ｇ（ｒ．’ｒ）Ｇ（ｒ，ｒ－）　型　Ｇ（　）．Ｖａ（ｒｌ，ｒｓ）打　由（５）式解得Ｇｒｅｅｎ函数为：　ｃｒ．ｒ　＝　［　』』：：　坐　气五　，也：］　即：　（２）　（５）　（丁）　维普资讯 http://www.cqvip.com

２期　吴春玲等：二维变密度声诚蛙动方程的衍射层析成像　７　。（ｒ．，）＝　日５　（　Ｉｒ—ｒ＇ｔｃｏ）　利用留数定理，由（７）式得到：　∞一　＝　』：　业　帆　㈣　此处　ｋ一．　匕　对（６）式作ｒＩ，ｒ．的付氏变换：　Ｄ（　㈣＝　ｅｘ　＋。　ｓ）』．．　口１（ｒ）　＋击　·　童ｎｚ（ｒ））ｅｘｐ（一“（　一；）‘ｒ）－　ｒ　（。）　式中，　一（ｋｚ一酵）｛，　＝（ｋ２一础）｛，妇为坐标原点到震源线的垂直距离．　为坐标原点到接　收线的垂直距离．；及　分别为平面波沿接收线及震源线传播方向单位矢量。　令Ｋ—　（；一；）．由等式；　ＩＫ｝　一ｋ（　一；）·　（；一；）　得　砬·　＝驴一－￣ＩＫＩ　ｚ　（１０）　代入（９）式有：　石（　，ｈ）＝　』．［　（ｎ　（ｒ）＋ａ。（ｒ））＋（上　ａ：（　））］·　ｐ（一　Ｋ·ｒ）　ｄ—ｅｘｐ（ｇ￣ｒｄ　＋ｌ＇　）　即：　矾，　）＝　［　Ｋ）　（Ｋ））＋（一　Ｋ））］　…）　令　，　（Ｋ）＝Ⅱ＿（Ｋ）＋。　（Ｋ）　１Ｂ（Ｋ）：一上　啦（Ｋ）　（Ｋ）＋　（Ｋ）＝　石（　．ｋ　！　ｅｘｐ（一　却一ｉｙ．ｄ．）西（　，，　）　（１２）　（１２）式两端作Ｋ的逆付氏变换得滤波反传播算法为：　（ｒ）＋口（ｒ）一　＿＿ＪＪ　ｄ　ｄ　ｆＪ（　Ｊｋ，　ｙ｜　ｅｘｐ（一ｉｖ￣ｄｇ—ｉｙ。ｄｓ）石（　．　）·ｅｘｐ（ｉＫｘ－Ｘ＋ｉＫｚｚ）０　３）　其中，Ｋ＝　（ｉ—ｉ）＝　ｘ＋　ｚｚ。‘，（ｔ）为雅可比矩阵，它由观测时具体的观测系统确定。　由（１３）式可知，反演出的左端有两个变量Ａ（ｒ），Ｂ（ｒ）．因此，我们取不同的两个以上Ｋ　值（或频率）则可分别得到Ａ（ｒ），口（ｒ）。我们假定取Ⅳ个不同频率值，相应地波数值示为Ⅳ　个。记（１３）式右端为Ｃｉ（ｒ），“＝１．…，一）。贝０（１　３）式可用矩阵表示成：　维普资讯 http://www.cqvip.com

８　ＣＴ理论与应用研究　ＷＸ—Ｃ　３卷　（１　４）　式中　。（ｒ）　ｌ　（ｒ）　（ｒ）］　（　）ｊ　用最小二乘法解（１　４）式得到：　Ｘ一（ｗ　）一　Ｖｖ－￣Ｃ　１．”　（　（１５）　ｗ　表示　的转置　一一一一一一｛　Ｚ　ｌ　々ｆ　罔２　计算模型．虚线内为成像区域　图ｌ观测系统表示意图·“ｘ　－表示震源，　０表示接收器，＠表示接收器接收震源讯号　若取两个不同频率，则；　（　）Ｊ　霹—＝可　ｌ一研Ｊ？　Ｆ　（Ｃ￣（　ｒ）７Ｊ　］　Ｆ－　Ｉ　ｆ（¨）１６）　（１７）　解出　（ｒ），口（ｒ），贝！ｌ可得到Ａ　），口（　），由此　啦（Ｋ）一Ｔ　（Ｋ）　。　（Ｋ）＝　（Ｋ）＋１素　丑（　对（１７）式作Ｋ的逆付氏变换，求出ｎ－（ｒ），ａｚ（ｒ），最终　Ⅳ（ｒ）＝Ｋｏ／（１一Ⅱｌ（ｒ））　ｐ（ｒ）＝ｐｏ／（１一ｄ２（ｒ））　（１８）　在（１３）式中，不同的观测系统，Ｊ（１）也不同，我们分别对三种不同的观测系统讨论其滤波反　传播算法。　２．１跨井测量　ｈ＝　一　，　一＾。＋　＝　０，　Ｊ（ｋ　．　为观测井到原点的距离。　ｌ　，＾，）：　土　维普资讯 http://www.cqvip.com

２期　是春玲等　二维变密度声波搜动方程的衍射层折戚像　９　其滤波反传播算法为：　ｔ￣２Ａ（ｒ）＋口（ｒ）＝；　Ｊ一　ｌｅ　ｐ（ｉＫ．ｚ一　Ｄ１０，　ｔ　０ｔ（　２．２　ＶＳＰ观测　。＝毛＋¨，　＝　１＝Ｊ一　ｐ（　饥（　一ｚ　‘　Ｐ，　～　Ｉ　ｋ＝　一　ｄ。＝‰　（　．　）罱声（　，　）·Ｉ　¨＋　０，　Ｊ（ｋｘ．　ｚＩ　，　）＝Ｉ　＋　Ｉ　¨　其滤波反传播算法为：　。　（ｒ）＋Ｂ（ｒ）一　Ｊ一　ｐ［　（　—　）］Ｏ１。ｔ　，　。　，（　，　，　）＝｛ｆ　ｅｘｐ　＝一ｌｎ（　一　）］　（　·　）　（　．ｂ）＝声（ｅ，，ｅ　）ｆ　ｅ。＋　ｆ　２．３普通地表反射地震观测　ｈ＝　＋ｔ，　ｄ．＝　＝０　一一（　＋　）　ｊ　＝　ｌ　其滤波反传播算法：　脚（ｒ）＋Ｂ（　＝　－＿ｌＲｅ』／　ｄ￣，－，ｅｘｐ（池一　）。　ｏ】。，　，　）；甘　ｘｐ（　Ⅳ　一　）。’（　，　）　Ｄ－（　，ｋ）一五（　，　．）Ｉ　一　．　Ｉ　３．　数值实例　我们取的模型为一个３１ｏ　ｉｒｔ×３１０　ｍ的正方形．如图２所示。为了验证我们方法的有效　性，我们仅考虑地面激发，接收情形。地面均匀地排列着３２个炮点和接收点．间隔为１Ｏ　ｉｒｔ，　模型背景场取　一ｌ６００　ｋｇ／ｍ￣，Ｋ　＝２５６×】０８　ｋｇ／ｍ·ｓ，Ｃｏ＝４０００　ｍ，Ｉｓ。模型的中部存在一　个２Ｏ×２０　ｍｚ的异常体。异常体的Ｋ及Ｐ值分别比背景值大１　０　及５　。　图３及图４分别为我们取两个不同颠率值时反演出的啦（ｒ）及口：（ｒ）的立体图．由图我　们可以看出，本文方法能反映出体积模量和密度异常。　当我们利用８个频率值进行成像时，所得的结果如图５．６所示．其成像清晰·分辨率　高。　维普资讯 http://www.cqvip.com

ＣＴ理论与应用研究　３卷　一一　罔３　ａｌ反演结果　图４　ａ２反演结果　一，一　图５　８个额宰ａ　反演结果　图６　８个额宰ａｚ反演结果　４结　论　本文推导了多源，多接收器以及不同观测系统情况下，二维变密度声波方程的衍射层析　成像的滤波反传播重建算法．对衍射层析成像方法提取多参数作了新的尝试。我们对地表激　发，接收时的体积模量及密度成像的数值结果表明，该方法能取得较好的成像，采用多额率　成像能大大地改善成像质量，提高成像的分辨率。该方法能直接推广到ｓＨ波波动方程中。　参考文献　［１］Ｗｕ，Ｒ－Ｓ　ａｎｄ　Ｔｏｋｓｏｚ．　Ｎ，Ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ　ｔｏｒ￣ｏｇｒａ曲ｙ　ａｎｄ　ｒａｕｌｔｉ－ｓｏｕｒｏｃ　ｈｏｌｏｇｒａＰｈｙ　ａｐＮｉｃｓ：ｌ　ｔｏ　ｓｅｉｓｍｉｃ　ｉｍａｇ－　ｉｎｇ．Ｃ，ｅ，ｏｐＭ，ｓ￣ｃｓ，１９８７．５２（１）．１１－－２５　［２］Ｌｏ，　ｒ＇ｏｋｓｃｚ·　Ｍ，　．＆ＨａｎｄＷｕ．Ｒ．Ｓ．，Ｕｌｔｒａｓｏｎｉｃｌａｂｏｒａｔｏｒｙｔｅｓｔｓ　ｏｆ　ｑ　ｐｈｙｓｉ咖ｔｏｍｏｇｒａｐｈｉｃ　ｒｔｃｏｒａｔｒｕｃｔｉｏｎ．Ｃ，ｅ，ｏｐｌａｙｓｉｃａＩ　１９８８，５３（７），９４７—９５６　［３］Ｄｅｖａｎｅｙ，Ａ．Ｊ．．Ｇｅｏｐｌａｙ日ｃａｉ　ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ　ｔＯｎｌＯｇｒａｐｈｙ．ＩＥＥＥ．Ｔｒａｍ．１９８４，ＧＥ一２２．３—１３　Ｌ４２　Ｄｅｖａｎｅｙ，Ａ．Ｊ．，Ｖａｒｉａｂｌ￣ｄｅｎｓｉｔｙ　ａｃｏｕｓｔｉｃｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ。Ｊ、Ａｃｏｕｓ￣．Ｓｏｃ．Ａｍ。１９８５，７８，１２０－－１３０　［５］扬文采．地球物理反演和地震层析成像，地质出版杜，１９８９