第7卷第1期1991年3黄淮学刊Vol7reNo,1月HUANGHUAIJOURNALMah1991分块矩阵技巧秦建摘国要本文简述了分块拒阵的应用给出了三种不问的方法关键词拒捧行列式分块拒阵:1〕文献〔引进了分块矩阵的广义初等变换的概念设A是一个分块矩阵,i)(对通分块矩阵中任意两行(列)的位置;列)jii)(ii()以一非奇异阵左(右)乘分块矩阵中某一行以矩阵K左(右)乘分块矩阵中茱一行(列)后加到另一行(列)上这是研究分块矩阵的一个重要方法一min本文探讨分块矩阵的应用问题xn(1)设A是一个m,矩阵,不失一般性这样,,:1簇k:《先假定A的左上角有一个k(,T:A、,2{mn})阶的可逆方阵T::以T:为基础,,分A、,成、A:A将分块矩阵:,人的第一行左乘矩阵一AT:一、加到第二行上得AB口l肠一AAx:::一A:::x‘T一A:2其次A:,考虑B中(mmin,:,一k:)一X(n:,n一k:)矩阵A一A::T:l仍假定它的左上角再以这个T为基础,‘::有一个k(l(k(:m王,k一k;})阶的可逆方阵T::,将一A:T:一‘A分块并对其作广义初等变换IT:_C=}}T:}\\一直这样做下去B变成t一、一-0}}一工二—!一’{}I},01由于矩阵C中的Tr前行最终得,:,T:…T都是可逆阵I“:::用T.、一’,T:一,,…T一’分别左乘C的k名I,其中,I、1为k:阶单位矩阵,卜1,2,…收稿日期1900一10一15第1期,秦建国:分块矩阵技巧,值得一提的是从第一步广义初等变换开始就遇到了计算矩阵A::一A::T,:卜’A::的问题说,,如果T的阶数较高:,:,或数字比较大,,这种计算也是相当麻烦的若T因此一般来:·可取T,T:,~T的级数为2因为饥)=则T,一求不(-岛uQ使容易求得就克服〕诸T求逆比较困难的问题,,此方法适用于计算秩序(A)}A}或解方程组AX:b,,或求可逆矩阵PpAQ=偏朴设A二·例‘!2131{卜1、517}打。、求可逆矩阵”Q使P人Q,“U动}}1解.作分块矩阵11105多Q鱼90}0001}还皿匡亘垂}卜I:!\\1!00I}{=T‘A‘‘,A0,,此处T:3}“一1、AA一5:)卜,对M作广义初等变换一r卜卜zlM一:22J.J.了祝t廿汀l心l\\了一A:xT一IAIU了.、‘奋几r工卜0T:‘A12(T、:一‘O):卜~卜A:z一A0:T,一iAI其中=,A::一、.口.、八A::(T2一:目‘}0)一一A::一A:(TI‘o)0={O1A::一(17,l)叮J价Lneul(-J性o1,’61.孟口,办l\\’0理l11,:P=l一52卜(2)4615,我们知道11秩为的mrxn矩阵A,存在m阶的可逆矩阵P与n阶的可逆矩阵Q,使0\\,PAQ几、=一l。扣01:!2〕文献〔利用这一结果和分块矩阵技巧证明了r二任何一个秩为的矩阵C都可分解为一个列满秩矩阵H。与一个行满秩矩阵L之积黄淮学刊(自然科学版)1991年由此,我们可以给出一个化高阶行列式的计算为较低阶的行列式的计算公式,设n阶矩阵A可以分解成两个距阵B与C之和其中,B的行列式容易计算且逆矩阵容易求得,而CAI=一HL,于是有H一LI=l”+CI二”I一l=.BH1!Ll卜rl“二,,‘一LB一’H二这样,就将一个n阶行列式的计算问题转化成了一个阶行列式的计算问题a!aaZ2a:a:+a:1…2a一aZ++11az例自,计算+A1…aa一al+1aa:+1…al2le卜介ral卜2-.Za”a+一1+alaZ+a221…aaZa+佩A一一一+1+1…a+1l+laaZ+1…a刘了刀.念+1卜陈厂Ila议一l勺n:Ul’I)浦.飞口奋奋aa之all+1工口.l卜aI-l1一.卜‘沪L卜协卜月J日月nl令B二1,H:一一La12:几a代入公式,有=}AI((一i)x:}B}l1一L:B一‘H:1=(一;1)11:一L:H:=:)一)一(鑫)(书)1一:一一二仿几何中作辅助线的方法作辅助矩阵,这里主要用到的是将矩阵升《降)阶的方法作为这种方法的一种特殊情况就是将矩阵A扩大为}A哈‘0、IAl叭,这样做的结果虽然使矩阵的秩增大了l这种方法,但常常给我们提供方便主要用来证明关于矩阵的秩xn行列式的等式,不等式。例3秩(I5设A是一个矩阵,求证:一A‘A)一了秩(I一AA)二n一s证明:构造s+n阶矩阵第1期秦建国:分块矩阵技巧!.-AA0,创‘BI一A,I,’秩(B).=秩一A,沙犷厂J,一=秩(.I一’A’‘”‘)1及仁AI一A,二力亡:)_=AB_。u)’袄气.浮1袄}!叭一AA=:I一A,A尹秩(I一AA)+s(2)l)一((2),命题获证三如果讨论的问题有关两个矩阵An,B的相似,等价,合同或A自身的正定性同时又与一个自然数有关例4‘常将分块矩阵技巧与数学归纳法联合使用,设阶实矩阵A的恃征根均为实数n且AA‘=A‘A。试证t存在正交矩阵T使TAT为对角形证明假设:n=1时,命题成立n一1时命题成立,今证时的情形设{。:,nn考虑维欧氏空间V::,…e}为V的一个标准正交基。A,关于此基对应月的线性变换为。:王,。:,:令入是A的特征根单位向量a是A的属于特征根入的特征向量:,:将Q扩充为V的一个标准正交基{aa:。,…a},设a,关于此基的矩阵为B有,且从基。:,…。}到基{a:,a:,…a}的过渡矩阵为T入0:brZ…bl:竹、.B一B1一TATI此处T为阶正交矩阵BB尸n由于=,TAA=,ITATT,ATIT=,TA尹AT=T,A,TT,AT=,BB所以,b::二lb3二=b;=O,于是可设”={l’入,odB、、..得到:B:B;‘二BB,由归纳假设,存在n一1阶的正交矩阵Q,使(下转第74页)黄淮学刊(自妹科学版)1991年d一fd一一d一td.,r+一田Kr亡(18)(18)式与(16)完全相同,;人不过是(15)式中的左端dr‘/dt=d(r一r)/dt因此,(17)式便是在相对运动中普遍成立的算符变换关系式)式便能很容易得出相对运由(17动中点的绝对速度以上,相对速度,牵连速度之间的关系,我们用矩阵代数的方法对相对运动中算符变换关系式进行了讨论如果能在推导欧拉运动学方程欧拉动力学方程或在寻求惯最主轴简正坐标中反复应用矩阵代数的方法值,,不仅能使学生认识到矩阵代数法具有如同微积分一样的基础作用和实用价而且也为他们进一步学习点群和理论物理作好了必要的准备参考CROM文ER,献著〔1〕EJSALETANAH理论力学卢邦正姜存志译高等教育出版社2〕〔纳繁男(2959)小西岳共著力学JOS共立出版株式会社an7年昭和5〔8〕AWIHMATRICE5dTENSORS:nPhysiesWILEyEASTERNLIMITED(1975上接第83页)el林e、、、、1QBQ一::人!取P二T11I、0、OQ‘,,则有J|林引|、人2PA…人今〔1〕王品超考文傲198,高等代数新方法山东教育出版社(1987)〔2〕屠伯埙等高等代数上海科技出版社(
