2020-2021学年山西省太原市高二上学期期中数学试卷(解析版)

一、选择题（共12小题）.

1．（3分）直线x﹣2y+6＝0的斜率为（ ） A．2

B．﹣2

，

C．

D．﹣

2．（3分）长方体的长、宽、高分别为表面积为（ ） A．3π

B．6π

，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的

C．12π D．24π

3．（3分）已知A（0，0），B（1，1），直线l过点（2，0）且和直线AB平行，则直线l的方程为（ ） A．x﹣y﹣2＝0

B．x+y﹣2＝0

C．2x﹣y﹣4＝0

D．2x+y﹣4＝0

4．（3分）圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线方程是（ ） A．x﹣y＝0

B．x+y＝0

C．x＝0

D．y＝0

5．（3分）已知直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，且a⊂α，b，c⊂β，有下列说法：①a⊥β；②α⊥β；③b∥c．则正确的说法有（ ） A．3个

B．2个

C．1个

D．0个

6．（3分）直线x﹣2y+2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（ ） A．x+2y﹣4＝0

B．2x+y﹣1＝0

C．2x+y﹣3＝0

D．2x+y﹣4＝0

7．（3分）在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为AC，AD的中点，设三棱锥A﹣BCD的体积为V1，四棱锥B﹣CDFE的体积为V2，则V1：V2＝（ ） A．4：3

B．2：1

C．3：2

D．3：1

8．（3分）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（ ）

A．8 B．7 C．2 D．1

9．（3分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（ ）

A．BC⊥平面APC B．BC⊥PC，AP⊥PC C．AP⊥PB，AP⊥PC

D．AP⊥PC，平面APC⊥平面BPC

10．（3分）已知半径为1的圆经过直线x+2y﹣11＝0和直线2x﹣y﹣2＝0的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为（ ） A．4

B．5

C．6

D．7

11．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1的中点为N，则异面直线AB1与CN所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．0

12．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝k（x﹣1）+2和圆x2+y2﹣4x﹣2ay+4a﹣1＝0的位置关系不可能是（ ）

A．①③ B．①④ C．②④ D．②③

二、填空题（共4小题）.

13．（4分）空间直角坐标系中，已知点A（4，1，2），B（2，3，4），则|AB|＝ ．14．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为 ．

15．（4分）已知圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2＝0（m＞0）被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2

，则m＝ ．

，若圆柱的一个底面

16．（4分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为

的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ．

三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知直线l1经过点M（2，1），在两坐标轴上的截距相等且不为0． （1）求直线l1的方程；

（2）若直线l2⊥l1，且过点M，求直线l2的方程．

18．（10分）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC，BD为圆锥底面的两条直径，M为母线PD上一点，连接MA，MO，MC． （1）若M为PD的中点，证明：PB∥平面MAC； （2）若PB∥平面MAC，证明：M为PD的中点．

19．（10分）已知圆C经过点A（0，1），B（2，1），M（3，4）． （1）求圆C的方程；

（2）设点P为直线l：x﹣2y﹣1＝0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为E，F．若∠EPF＝60°，求点P的坐标．

四.（本小题满分10分）说明：请同学们在（20）、（21）两个小题中任选一题作答。 20．（10分）已知圆M：x2+y2﹣2ax+10ay﹣24＝0，圆N：x2+y2+2x+2y﹣8＝0．且圆M上

任意一点关于直线x+y+4＝0的对称点都在圆M上． （1）求圆M的方程；

（2）证明圆M和圆N相交，并求两圆公共弦的长度l．

21．已知两个定点M（﹣2，0），N（1，0），动点P满足|PM|＝2|PN|，设动点P的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）过点N作两条互相垂直的直线l1，l2．若l1与曲线E相交于A，C两点，l2与曲线E相交于B，D两点，求四边形ABCD面积S的最大值．

五.（本小题满分10分）说明：请同学们在（22）、（23）两个小题中任选一题作答。。 22．（10分）如图①，在△ABC中，B＝90°，AC＝5，BC＝3．D，E两点分别在AB，AC上，使得

＝t（0＜t＜1）．现将△ADE沿DE折起（如图②），使得平面

ADE⊥平面BCED．

（1）证明：BD⊥AE；

（2）当t为何值时，三棱锥A﹣BCE的体积V最大？并求出最大值．

23．如图①，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将△AFD沿AF折起（如图②），使得平面ABD⊥平面

ABCF．

（1）判断AD是否与BD垂直，并说明理由．

（2）图②中，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，求AK的取值范围．

参

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置） 1．（3分）直线x﹣2y+6＝0的斜率为（ ） A．2

B．﹣2

C．

D．﹣

解：由x﹣2y+6＝0，得：y＝x+3， 故直线的斜率k＝， 故选：C．

2．（3分）长方体的长、宽、高分别为表面积为（ ） A．3π

B．6π

C．12π

D．24π

，

，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的

解：根据题意，长方体的的8个顶点都在同一球面上，则长方体的对角线的长就是球的直径，

而长方体的长、宽、高分别为即球的半径r＝

，

，

，1，则长方体的对角线长l＝

＝

，

故球的表面积S＝4πr2＝6π， 故选：B．

3．（3分）已知A（0，0），B（1，1），直线l过点（2，0）且和直线AB平行，则直线l的方程为（ ） A．x﹣y﹣2＝0

B．x+y﹣2＝0

C．2x﹣y﹣4＝0

D．2x+y﹣4＝0 ＝1，

解：∵已知A（0，0），B（1，1），∴直线AB的斜率为

∵直线l过点（2，0）且和直线AB平行，故直线l的方程为 y﹣0＝1×（x﹣2），即 x﹣y﹣2＝0， 故选：A．

4．（3分）圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线方程是（ ） A．x﹣y＝0

B．x+y＝0

C．x＝0

D．y＝0

解：根据题意，圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1，其圆心为（1，﹣2），半径r＝1， 对于A，圆心（1，﹣2）到直线x﹣y＝0的距离d＝离，

对于B，圆心（1，﹣2）到直线x+y＝0的距离d＝

＝

＜r，直线与圆相交， ＝

＞r，直线与圆相

对于C，圆心（1，﹣2）到直线x＝0的距离d＝1，直线与圆相切， 对于D，圆心（1，﹣2）到直线y＝0的距离d＝2，直线与圆相离， 故选：C．

5．（3分）已知直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，且a⊂α，b，c⊂β，有下列说法：①a⊥β；②α⊥β；③b∥c．则正确的说法有（ ） A．3个

B．2个

C．1个

D．0个

解：∵直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c， 且a⊂α，b，c⊂β，

对于①，a与β相交、平行或a⊂β，故①错误； 对于②，α与β相交或平行，故②错误； 对于③，b与c相交、平行或异面，故③错误． 故选：D．

6．（3分）直线x﹣2y+2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（ ） A．x+2y﹣4＝0

B．2x+y﹣1＝0

C．2x+y﹣3＝0

D．2x+y﹣4＝0

解：直线x﹣2y+2＝0上的点（﹣2，0）关于直线x＝1对称的点A（4，0）， 直线x﹣2y+2＝0上的点（0，1）关于直线x＝1对称的点B（2，1）， 故直线x﹣2y+2＝0关于直线x＝1对称的直线方程，即直线AB的方程，为即x+2y﹣4＝0， 故选：A．

7．（3分）在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为AC，AD的中点，设三棱锥A﹣BCD的体积为V1，四棱锥B﹣CDFE的体积为V2，则V1：V2＝（ ） A．4：3

B．2：1

C．3：2

D．3：1

＝

，

解：设点B到平面ACD的距离为h，三棱锥A﹣BCD的体积为V1， 在三棱锥A﹣BCD中，∵E，F分别为AC，AD的中点，

∴，则

．

＝，

∴四棱锥B﹣CDEF的体积

则＝．

∴V1：V2＝4：3． 故选：A．

8．（3分）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（ ）

A．8 B．7 C．2 D．1

解：作出不等式对应的平面区域， 由z＝x+2y，得y＝﹣平移直线y＝﹣

，

，由图象可知当直线y＝﹣

经过点A时，直线y＝﹣

的截距最大，此时z最大． 由

，得

，

即A（3，2），

此时z的最大值为z＝3+2×2＝7， 故选：B．

9．（3分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（ ）

A．BC⊥平面APC B．BC⊥PC，AP⊥PC C．AP⊥PB，AP⊥PC

D．AP⊥PC，平面APC⊥平面BPC

解：由BC⊥平面APC，PA⊂平面APC，可得BC⊥PA，故A正确； 由BC⊥PC，AP⊥PC，可得PC为异面直线BC，AP的公垂线，

若AP⊥BC，由CB∩PC＝C，可得PA⊥平面PBC，则PA⊥PB，不一定成立，故B错误；

由AP⊥PB，AP⊥PC，又PB∩PC＝P，可得PA⊥平面PBC，可得BC⊥PA，故C正确；由AP⊥PC，平面APC⊥平面BPC，可得PA⊥平面PBC，可得BC⊥PA，故D正确． 故选：B．

10．（3分）已知半径为1的圆经过直线x+2y﹣11＝0和直线2x﹣y﹣2＝0的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为（ ）

A．4 解：联立

B．5 ，解得

C．6

，即圆经过（3，4），

，

D．7

∵（3，4）到原点的距离为

∴圆心到原点的距离的最大值为5+1＝6． 故选：C．

11．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1的中点为N，则异面直线AB1与CN所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．0

解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，

则A（2，0，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），N（0，0，1），

＝（0，2，2），

＝（0，﹣2，1），

设异面直线AB1与CN所成角为θ， 则cosθ＝

＝

＝

．

∴异面直线AB1与CN所成角的余弦值是故选：A．

．

12．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝k（x﹣1）+2和圆x2+y2﹣4x﹣2ay+4a﹣1＝0的位置关系不可能是（ ）

A．①③ B．①④ C．②④ D．②③

解：由题知，直线y＝k（x﹣1）+2过定点（1，2），且当x，y各自为0时， 直线与x，y轴交点的坐标分别为（0，2﹣k），（1﹣，﹣0）， 圆x2+y2﹣4x﹣2ay+4a﹣1＝0可化为（x﹣2）2+（y﹣a）2＝（a﹣2）2+1， 圆心C为（2，a），半径R＝由图①可知图③，由图②知图④， 所以圆心C到直线的距离d＝

，

，（a＞0）

对①而言有，①图中k＞0，2﹣k＞0，1﹣＜0，得0＜k＜2， a＞

，即a＞，

①图中可知圆与直线相交两点， 有d＝

＜

，在上述条件上恒成立，即d＜R的最小值，

R＝的最小值为1，此时a＝2，代入d＝＜1，

解得0＜1符合条件，∴①可能推出③不可能， 对②而言有k＜0，2﹣k＞0，1﹣＞0，解得k＜0， ②图中圆与直线相交，有d＝R，a＜得R＝

的最小值为，

，得a＜，

即R＞，得d＝＝R＞，

所以|k+2﹣a|＞因为

，

最大值为，

所以解得|k+2﹣a|＞，

①当k+2﹣a＞0时，有k+2﹣a＞0，k+2﹣a＞，解得k＝＝， 不成立，同理当k+2﹣a＜0时，有﹣（k+2﹣a）＞解得a＝所以②不可能． 故选：D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上） 13．（4分）空间直角坐标系中，已知点A（4，1，2），B（2，3，4），则|AB|＝ 2解：空间直角坐标系中，点A（4，1，2），B（2，3，4）， 则|AB|＝故答案为：2

．

＝2

．

．

不成立，

14．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为 2π ．

解：由题意可知几何体是圆锥，底面半径为1，高为所以几何体的侧面积为：故答案为：2π．

＝2π，

，母线为：2．

15．（4分）已知圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2＝0（m＞0）被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2

，则m＝ 1 ．

解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2＝0（m＞0），即（x﹣m）2+（y﹣2）2＝4，其圆心C为（m，2），半径r＝2， x﹣y+3＝0截得的弦长为2若圆C被直线l：

，则圆心到直线l的距离d＝

＝

，

圆心为（m，2），直线l：x﹣y+3＝0，圆心到直线l的距离d＝则有故m＝1， 故答案为：1．

16．（4分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为

＝

，解可得m＝1或﹣3（舍）

＝，

，若圆柱的一个底面

的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为

．

解：如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形， 则四棱锥底面正方形的对角线长为2又侧棱长为

，且垂直相交平分，

，

，由勾股定理得，正四棱锥的高为

由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点， ∴圆柱的上底面半径为底面正方形对角线的，等于由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，等于1， 则该圆柱的体积为：V＝S•h＝π•（故答案为：

．

）2×1＝

． ，

三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知直线l1经过点M（2，1），在两坐标轴上的截距相等且不为0． （1）求直线l1的方程；

（2）若直线l2⊥l1，且过点M，求直线l2的方程． 解：（1）设直线l1的方程为+＝1，即x+y＝a， 将M（2，1）代入直线方程得：a＝3， 则直线l1的方程为：y＝﹣x+3；

（2）由（1）知直线l1的斜率为﹣1， 由l2⊥l1，得直线l2的斜率k＝1， 又直线l2过点M（2，1）， 则直线l2的方程为y﹣1＝x﹣2， 化简得：y＝x﹣1．

18．（10分）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC，BD为圆锥底面的两条直径，M为母线PD上一点，连接MA，MO，MC． （1）若M为PD的中点，证明：PB∥平面MAC； （2）若PB∥平面MAC，证明：M为PD的中点．

【解答】证明：（1）若M为PD的中点，由BD为圆锥底面的直径，有O为BD的中点，

则在△PBD中有MO∥PB，

又MO⊂平面MAC，PB⊄平面MAC， 则有PB∥平面MAC．

（2）若PB∥平面MAC，由PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面MAC＝MO， 可得PB∥MO， 所以在△PBD中，

＝

，

又O为BD的中点，则有DM＝MP， 则M为PD的中点．

19．（10分）已知圆C经过点A（0，1），B（2，1），M（3，4）． （1）求圆C的方程；

（2）设点P为直线l：x﹣2y﹣1＝0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为E，F．若∠EPF＝60°，求点P的坐标．

解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，

则，解得．

∴圆C的方程为x2+y2﹣2x﹣6y+5＝0； （2）设点P（2y+1，y），

由（1）知，圆心C（1，3），半径r＝由已知CE⊥PE，

在Rt△CPE中，有|PC|＝2|CE|，则解得y＝﹣1或y＝

．

，

）． ，

，

，

即有点P的坐标为（﹣1，﹣1）或（

四.（本小题满分10分）说明：请同学们在（20）、（21）两个小题中任选一题作答。 20．（10分）已知圆M：x2+y2﹣2ax+10ay﹣24＝0，圆N：x2+y2+2x+2y﹣8＝0．且圆M上任意一点关于直线x+y+4＝0的对称点都在圆M上． （1）求圆M的方程；

（2）证明圆M和圆N相交，并求两圆公共弦的长度l．

解：（1）圆M：x2+y2﹣2ax+10ay﹣24＝0的圆心M（a，﹣5a）， 因为圆M上任意一点关于直线x+y+4＝0的对称点都在圆M上， 所以直线x+y+4＝0经过M，可得a﹣5a+4＝0，解得a＝1， 则圆M的方程为x2+y2﹣2x+10y﹣24＝0；

（2）证明：因为圆M的圆心M（1，﹣5），半径r1＝5圆N的圆心N（﹣1，﹣1），半径r2＝|MN|＝因为5

﹣

＜2

＜5

＝2+

， ，

，

，

所以圆M和圆N相交． 由

，两式相减可得公共弦的直线方程为x﹣2y+4＝0，

M到直线的距离为d＝＝3，

，

所以（）2＝r12﹣d2＝50﹣45＝5，解得l＝2则两圆公共弦的长度l＝2

，

21．已知两个定点M（﹣2，0），N（1，0），动点P满足|PM|＝2|PN|，设动点P的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）过点N作两条互相垂直的直线l1，l2．若l1与曲线E相交于A，C两点，l2与曲线E相交于B，D两点，求四边形ABCD面积S的最大值． 解：（1）设动点P的坐标为（x，y），

由|PM|＝2|PN|，得（x+2）2+y2＝4[（x﹣1）2+y2]， 化简整理得x2+y2﹣4x＝0，

所以曲线E的轨迹方程为x2+y2﹣4x＝0．

（2）由（1）得曲线E是以E（2，0）为圆心，半径r＝2的圆， 设弦AC，BD的中点分别为K，L，连接EK，EL， 则EK⊥AC，EL⊥BD，即EK＝d1，EL＝d2， 则有d12+d22＝EN2＝1，

又AC2＝4（r2﹣d12）＝4（4﹣d12），BD2＝4（r2﹣d22）＝4（4﹣d22）， 所以S＝×AC×BD＝2

＝2

，

则当d12＝时，四边形ABCD的面积S有最大值7．

五.（本小题满分10分）说明：请同学们在（22）、（23）两个小题中任选一题作答。。 22．（10分）如图①，在△ABC中，B＝90°，AC＝5，BC＝3．D，E两点分别在AB，AC上，使得

＝t（0＜t＜1）．现将△ADE沿DE折起（如图②），使得平面

ADE⊥平面BCED．

（1）证明：BD⊥AE；

（2）当t为何值时，三棱锥A﹣BCE的体积V最大？并求出最大值． 【解答】证明：（1）在图①中，∵

，∴DE∥BC，

又∠B＝90°，∴∠BDE＝∠ADE＝90°，即BD⊥DE，AD⊥DE，

又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，则BD⊥平面ADE， 又AE⊂平面ADE，则BD⊥AE；

解：（2）由（1）知，AD⊥DE，又平面ADE⊥平面BCDE， 平面ADE∩平面BCDE＝DE，则AD⊥平面BCDE， 由

＝t，AC＝5，BC＝3，得AB＝4，AD＝4t，BD＝4﹣4t，

则有V＝＝﹣8t2+8t（0＜t＜1）．

∴当t＝时，三棱锥A﹣BCE的体积V最大，最大值为2．

23．如图①，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将△AFD沿AF折起（如图②），使得平面ABD⊥平面

ABCF．

（1）判断AD是否与BD垂直，并说明理由．

（2）图②中，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，求AK的取值范围． 解：（1）AD与BD不垂直．证明过程如下： 若AD⊥BD，

∵AD⊥DF，BD∩DF＝D，BD、DF⊂平面BDF， ∴AD⊥平面BDF， ∴AD⊥BF，

∵BC⊥AB，平面ABD⊥平面ABCF，平面ABD∩平面ABCF＝AB，BC⊂平面ABCF，∴BC⊥平面ABD， ∴BC⊥AD，

又BF∩BC＝B，BF、BC⊂平面ABCF， ∴AD⊥平面ABCF， ∴AD⊥AB，

在翻折后的△ABD中，这是不可能的， 故AD与BD不垂直．

（2）设AK＝t，CF＝x（0＜x＜1），则DF＝2﹣x，

∵DK⊥AB，平面ABD⊥平面ABCF，平面ABD∩平面ABCF＝AB，DK⊂平面ABD， ∴DK⊥平面ABCF， ∴DK⊥KF，

由勾股定理知，DK2＝1﹣t2，KF2＝1+（2﹣t﹣x）2， ∵DF2＝DK2+KF2，

∴（2﹣x）2＝1﹣t2+1+（2﹣t﹣x）2， 化简整理得，t＝∴＜t＜1，

故AK的取值范围为（，1）．

，在x∈（0，1）上单调递增，