勾股定理(5年级培优)教师版

有一个角为__直角__的三角形，叫做直角三角形。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）：直角三角形中的两直角边的平方和等于斜边的平方。 若用a、b为表示两条直角边，c表示斜边，则____cab_____。（勾股定理）

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在三角形ABC中，A所对的边为a，B所对的边为b，C所对的边为c，请根据以下条件计算并填空。

（1）C90，a5，b12，则c_________。 （2）B90，a3，b5，则c_________。 【分析】知识点：勾股定理的基本应用。

难度：A 出处：网络

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【解答】（1）C90，斜边为c，c2a2b252122169132，则c13；

（2）B90，斜边为b，bac，则cba53164，

则c4 。

（1）在三角形ABC中，AB45，AC2，则AB2________。 （2）在直角三角形ABC中，AC，AB4，则BC________。

【解答】（1）ABACBC，因为AB45，则ACBC，所以AB8；

（2）AC，则ABBC4。

如下图，在ABC中，ADBC，D为垂足，且BD6，AD6，SABC42。求AC的长度。

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【分析】知识点：勾股定理与三角形面积。

难度：B 出处：网络修改

【解答】BC422614，CD1468，

则ACADCD6810010，所以AC10。

如下图，要在楼梯上铺地毯，需要多少米地毯？

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【解答】543，需要地毯347（米）。

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如下图，在直角三角形ABC中，ACB90，以三角形各边为边在三角形ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，S181，S3225，求S2。

【分析】知识点：正方形面积，勾股定理。

难度：B 出处：网络修改

22【解答】由题可知，S1AC81，S3AB225，

222则S3BCABAC22581144。

如下图，B90，ACD90，四边形ABCD的面积是多少？

【解答】S四边形ABCDSABCSACD，SABC3426，

AC2324252，AC5，CD213252122，CD12， SACD512230，所以S四边形ABCD63036。

在直线l上依次摆放着七个正方形（如下图所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4。请问：

S1S2S3S4__________。

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【分析】知识点：勾股定理。

难度：C 出处：网络

【解答】由图可知，S1S21，S3S43，所以S1S2S3S4134。

已知一个等腰三角形的周长是16厘米，底边上的高是4厘米，求三角形的面积。 【分析】知识点：勾股定理与方程。

难度：C 出处：网络

【解答】利用画图可直观清晰地设出未知数。

设底边长为2x厘米， (8x)2x242

6416xx2x216 6416x16 x3

所以，三角形面积为234212（平方厘米）。

如下图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE长3厘米，AB长8厘米。求图中阴影部分面积。

【解答】因为CE=5，AB=8，则DE=EF=5，CF=4。

设BF长x厘米，（AF=AD） 82x2(x4)2

64x2x28x16 x6

则阴影部分面积为86243230（平方厘米）。

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小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。 【分析】知识点：勾股定理与方程。

难度：C 出处：网络

【解答】通过画图观察，并设未知数计算。

设旗杆高x米， x252(x1)2

x225x22x1 252x1 x12

所以，旗杆高12米。

如下图，在一棵树10米高的B处，有两只猴子。其中一只猴子爬下树走到离树20米远的池塘A处；另外一只猴子爬到树顶D处后直接跃到A处，距离以直线计算。如果两只猴子所经过的距离相等，那么这棵树有多高？

【解答】设BD长x米，则AD长（30x）米，

(x10)2202(30x)2

x220x10040090060xx2 80x400 x5

所以，这棵树高10515（米）。

如下图所示，一艘货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M

处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，货船有无暗礁危险？试说明理由。

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【分析】知识点：勾股定理与航海问题。

直角三角形中，30°角所对直角边的长度等于斜边的一半。

难度：C 出处：网络

【解答】只需求出CD的长度是否大于9，若大于9则无触礁危险。

AB长为240.512（海里），则BC=12海里，BD=6海里，

则CD1261089，所以CD>9 ，故无触礁危险。

【教师备用】

1、如图，在长方形ABCD中，BC=3，AC=5，E为BC的中点，F在AB上，且BF=2AF，则四边形AFEC的面积为__________。

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【解答】4

2、如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是__________。

【解答】12.5

3、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___________。

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【解答】49

下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17 【解答】D

在直角三角形ABC中，A90，ABc，BCa，ACb （1）若c8，a10，则b__________。 （2）若b5，c12，则a__________。 【解答】6 ， 13 。

看图填空（图中的三角形都是直角三角形，四边形都为正方形）

x_________ y_________ z_________ 【解答】x81144225，y16914425，z62557649 。

如图有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了多少米？

【解答】由题可画直观图如下，因为两点之间线段最短，(82)810010，

所以，小鸟至少飞了10米。

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勾股定理

公元前11世纪的《周髀算经》中提到：故折矩，以为句广三，股修四、径修五。既方之。外半卿一矩，环而共盘。得成三、四、五。

三国时期的赵爽注解道：句股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦。案：弦图又可以句股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以句股之差自相乘为中黄实，加差之，亦成弦实。

汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》。其中解释到：短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦。句短其股，股短其弦。

句股各自乘，并，而开方除之，即弦。

中国科学院数学与系统科学研究院的徽标（下图所示）采用的就是赵爽的弦图。2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图。

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