考研数学三（微积分）模拟试卷211
(总分68,考试时间90分钟)
1. 选择题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1. 设f(x)=｜sint｜dt，则
A. f(x)=f(x+π)． B. f(x)>f(x+π)． C. f(x)＜f(x+π)．
D. 当x＞0时，f(x)＞f(x+π)；当x＜0时，f(x)＜f(x+π)． 2. 设常数α＞0，I0=，则
A. I0＞I2． B. I0＜I2． C. I0=I2．
D. I0与I2的大小与α的取值有关． 3. 下列反常积分中发散的是 A. ∫e+∞(k＞1)． B. ∫0+∞xdx．
C. ∫-11
D. ∫-11
4. 设f(t)=∫01ln，则f(t)在t=0处
A. 极限不存在． B. 极限存在但不连续． C. 连续但不可导． D. 可导．
2. 填空题
1. 设y=f(x)满足△y=△x +o(△x)，且f(0)=0，则∫01f(x)dx=___________．
2. 设f(x)在[a，b]上连续可导，f(a)=f(b)=0，且∫abf2(x)dx=1，则∫abxf(x)f'(x)dx=___________． 3. 已知f(x)连续，∫01f(x)dx=5，则∫01f(x)[∫x1f(t)dt]dx=___________．
4. 设f(x)具有连续导数，且F(x)=∫0x(x2一t2)f'(t)dt，若当x→0时F'(x)与x2为等价无穷小，则f'(0)=___________．
5. 已知f(x)=，则∫01fxf(x)dx=___________．
6. ∫0+∞x7dx=___________．
7. ∫0+∞=___________．
8. ∫1+∞=___________．
3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. 设a＞0，f(x)在(一∞，+∞)上有连续导数，求极限∫-aa[f(t+a)一f(t一a)]dt．
2. 求∫0φ(x)[φ(x)一t]f(t)dt，其中f(t)为已知的连续函数，φ(x)为已知的可微函数．
设f(x)在(一∞，+∞)连续，在点x=0处可导．且f(0)=0．令
3. 试求A的值，使F(x)在(一∞，+∞)上连续； 4. 求F'(x)并讨论其连续性．
5. 设x∈[0，a]时f(x)连续且f(x)＞0(x∈(0，a])，又满足f(x)=，求f(x)．
6. 求函数f(x)=∫exdt在区间[e，e2]上的最大值．
7. 设曲线y=ax2+bx+c过原点，且当0≤x≤1时，y≥0，并与x轴所围成的图形的面积为，试确定a、b、c的值，使该图形绕x轴旋转一周所得的立体体积最小．
8. 求由直线x=1，x=3与曲线y=xlnx及过该曲线上一点处的切线围成的平面图形的最小面积．
9. 过原点作曲线y=lnx的切线，设切点为x0，且由曲线y=lnx，直线y=0，x=x0所围平面图形的面积与由曲线y=x3，直线y=0，x=a所围平面图形的面积相等，求a的值． 设P(a，b)是曲线y=上的点，且a＜5．
10. 求P点处的切线方程；
11. 由(Ⅰ)中的切线与曲线及x轴，y轴所围成图形绕x轴旋转，把所得旋转体的体积表示成a的函数，并求其最小值． 求下列平面图形的面积：
12. y=x，y=xlnx及x轴所围图形；
13. y=sinx，y=cosx，x=0，x=2π所围图形．
14. 设由曲线y=与直线y=a(其中常数a满足0＜a＜1)以及x=0．x=1围成的平面图形(如图的阴影部分)绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V(a)，求V(a)的最小值与最小值点．
15. 设f(x)为非负连续函数，且满足f(x)∫0xf(x一t)dt=sin4x，求f(x)在[0，]上的平均值．
16. 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且3f(x)dx=f(0)．证明：在(0，1)内至少存在一点c，使f'(c)=0．
17. 设f(x)为连续函数，证明：
18. 设f(x)在[A，B]上连续，A＜a＜b＜B，求证：
设f(x)在(一∞，+∞)上具有连续导数，且f'(0)≠0．令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt． 求证： 19. 若f(x)为奇函数，则F(x)也是奇函数． 20. (0，0)是曲线y=F(x)的拐点．
21. 证明：当x≥0且n为自然数时∫0x(t一t2)sin2ntdt≤．
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