两点边值问题的有限差分法

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AAAAAAAA 学生实验报告

实验课程名称

偏微分方程数值解 _________________

开课实验室 ___________ 数统学院 ____________________ 学

院 数统年级 2013专业班 信计2班

学生姓名 _________ 学号 ________ 开课时 间 2015至2016学年第 2 学期

总成绩 教师签名

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数学与统计学院制

开课学院、实验室： 数统学院

实验项目 名 称 实验时间：2016年 月 日

实验项目类型 两点边值问题的有限差分法 验证 演示 综合 设计 其他 指导教师 1^7-M-： 曰芳 成 绩 是 .实验目的

通过该实验，要求学生掌握求解两点问题的有限差分法, .实验内容

考虑如下的初值问题:

并能通过计算机语言编程实现。

Lu

d du x —p x ------------ dx dx

du x

dx q

f x , x a, b (1)

其中 p x C1 a,b ,

x ,q a,b

Pmin 0 , q x 0 ,,是给

定常数。

将区间N等分, 1.在第三部分写出问题（

网点x

1)和 （2）的差分格式，并给出该格式的局部截断

2.根据你写出的差分格式, 编写一个有限差分法程序。将所写程序放到第四

部分。

3.给定参数a 0, b 1 , p 3,r 1,q 2 ,

0 ,

1,问题(1)的精确解 ux

x2ex 1 ,

其中将u x

及p 1,r 2,q 3带入方程（1）可得f x。分别取

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N 10,20,40,80,160 ,用所编写的程序计算问题 i 1,...,N 1，网点处精确解记为i

1 l

max u i i Ui

c 0 i N

N

N

0

(1)和⑵。将数值解记为

1,…,N 1。然后计算相应的误差

5 ,

e

/I 2 Nil

h ui Ui2及收敛阶

n e

： e 11，将计算结果填入 I In 2

i

i

第五部分的表格，并对表格中的结果进行解释？ 4.将数值解和精确解画图显示，每种网格上的解画在一张图。 三•实验原理、方法(算法)、步骤 1. 差分格式： LL.i=-1/hA2O 応=A,匕 |] (% 曲汀—):i.「)/2h+w = 2. 局部阶段误差： n (u)=O(hA2) 3. 程序 clear all N=10; a=0;b=1; P=@(x) 1; r=@(x) 2; q=@(x) 3; aIpha=0;beta=1; f=@(x) (4*xA2-2)*exp(x-1); h=(b-a)/N; H=zeros(N-1,N-1);g=zeros(N-1,1); % for i=1 H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h); AAAAAAAA

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H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h));

g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h))*alpha; end for i=2:N-2

H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));

H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1 /2)*h))/h+2*h*q(a+i*h); H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h)); g(i)=2*h*f(a+i*h); end for i=N-1

H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));

H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1 /2)*h))/h+2*h*q(a+i*h); g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i+1 /2)*h)/h-r(a+i*h))*beta; end u=H\\g;

u=[alpha;u;beta]; x=a:h:b;

y=(x.A2).*exp(x-1); plot(x,u); hold on plot(x,y); y=y' z=y-u

四•实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件

Matlab

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五•实验结果及实例分析

N 10 20 40 80 160 eN ||c 0.00104256 0.00026168 0.000061 0.00001636 0.00000409 收敛阶 1.9341 2.0001 1.9993 2.0000 団。 0.00073524 0.00018348 0.00004585 0.00001146 0.00000287 收敛阶 1.4530 2.0000 2.0000 2.0000 N越大只会使绝对误差变小，方法没变，所以收敛阶一致。 图示为：

（绿线为解析解，蓝线为计算解）

N=10

N=20

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■1

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N=40

1 os 0 8 0 7 0.6 05 04 □ 3

a?

a 1

Q

03

04

05

06

07

03

03

N=80

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N=160

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AAAAAAAA教师签名 年 月

日