Wigner-Ville 分布
Wigner-Ville 分布可以看作是一大类分布的原型，它们和短时傅立叶变换谱有着本质的不同。它首先由Wigner 提出，用于量子力学领域问题的研究，后由Ville 引入到信号分析。因为在计算中，信号需要用到两次，因此Wigner-Ville 分布被称为一种二次型分布。
基本定义及计算
Wigner-Ville 分布可由信号x (t )本身或它的频谱)(ωX 定义为如下两种等价方式
ττ+τ-=ωτω-+∞∞-?d )e 2
1()21(π21)(i t x t x ,t WVD *x , (2.1.1) τθ+ωθ-ω=ωθ+∞∞-?d )e 2
1()21(π21)(i t *x X X ,t WVD . (2.1.2) 其中*表示复数共轭。要证明上面两式是等价的，只需将信号写成它的频谱形式，然后将其代入到(2.1.1)式，即可得到(2.1.2)式。式(2.1.1)中，)2/()2/(*
ττ+-t x t x 称为信号的瞬时相关函数，因此Wigner-Ville 分布实质上是对信号的瞬时相关函数的傅立叶变换，它的结果能够反映信号的时频特征。
例2.1.1 对于信号 )π400sin()(t t x = )10(≤≤t (2.1.3)
其采样频率为1000 Hz 。图2.1.1是其Wigner-Ville 分布，频率轴划分区间数为512。图中清楚显示，该信号在整个时间段上，只含有一个频率为200Hz 的分量。需要说明的是，图中显示的是Wigner-Ville 分布的绝对值，后面所有图中，如果没有特别注明，都默认显示的是绝对值。
图2.1.1 信号(2.1.3)的Wi gn er-Vi ll e 分布 t /s f /H z W i g n e r -V il l e 分布 500
4003002001000 0 0.2 0.4
0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 例2.1.2
)π50π100sin()(2t t t x += )20(≤≤t , (2.1.4)
这是一个线性调频信号。采样频率为500Hz ，图2.1.2是其时域波形和频谱，图2.1.3是其Wigner-Ville 分布，频率轴划分区间数为512。频谱图显示该信号的频率范围在50Hz 至150Hz 之间，但却不能反映频率随时间的变化关系，而Wigner-Ville 分布图则清楚表明该信号的频率是随时间呈线性增加，是个线性调频信号。
图2.1.2 信号(2.1.4)的时域波形和频谱 图2.1.3 信号(2.1.4)的Wi gn er-Vi ll e 分布 f /H z t / s W i g n e r -V il l e 分布 50 100 150 200 250 0 0.5 1 1.5 2 0.2 0.4 0.6 0.8 t / s
(a ) 时域波形 f / H z (b ) 频谱 幅值 幅值 00.51 1.52-0.50 0.51050100150200250 基本性质
Wigner-Ville 分布是一种最基本，也是应用最多的时频分布。熟悉Wigner-Ville 分布的数学性质对于全面了解该分布是十分必要的。下面给出了Wigner-Ville 分布的一些主要性质。
(1) 实值特性Wigner-Ville 分布),(ωt WVD x 总是实值的，即便信号是复数。根据式(2.1.1)，),(ωt WVD x 的共轭复数定义为
ττ-τ+-=ττ+τ-=ωτω--∞∞τω+∞∞-??d )e 21()21(π21d )e 21()21(π21)(i i t x t x t x t x ,t WVD ***
x )(d )e 2
1()21(π21i ω=ττ-τ+=τω-∞∞-?,t WVD t x t x x *, (2.2.1) 因此，),(ωt WVD x 是实值函数。
(2) 时频边缘特性Wigner-Ville 分布),(ωt WVD x 具备如下时频边缘特性。
2
)(d ),(t x t WVD x =?ωω , (2.2.2) 2)(d ),(ωωX t t WVD x =? , (2.2.3)
很显然， )d ()e 21()21( d d )e 21()21(π21d )(i i τδτ-τ+=ωττ-τ+=
ωωτω-τω-t t x t x t x t x ,t WVD **x )(2 t x = , (2.2.4)
类似可证明边缘特性(2.2.3)。
在信号分析中，信号x (t )的瞬时功率定义为信号模值的平方 |x (t )|2，类似地，信号在某一频率的能量强度叫做能量谱密度，它是信号傅立叶变换谱的平方|X (ω)|2。因此，Wigner-Ville 分布的边缘特性表明，该分布关于时间t 和频率ω的积分分别给出了信号x (t )在t 时刻的瞬时功率和在频率ω的能量谱密度。
(3) 能量守恒 Wigner-Ville 分布是一种能量守恒的变换，这可由该变换的时频边缘特性很容易地给出证明。 =ωωωωd )(),(2
X dtd t WVD x , (2.2.5)
(4) 时移和频移不变性 如果()()0i 0e t t x t x t -→ω，则 ),(),(00ωωω--→t t WVD t WVD x x , (2.2.6)
将()0i 0e t t x t -ω代入Wigner-Ville 分布的定义中，可知新信号的Wigner-Ville 分布),(ωt WVD new 可表示为
d ) e 2
1()21(π21 d )e 21()e 21(e π21)()ω(ωi 00i 0)2(i 0)2(i 000??ττ--τ+-=ττ--τ+-=ω-τ-τω-τ-ω-τ+ωt t x t t x t t x t t x ,t WVD **/t /t new ),(00ωω--=t t WVD x , (2.2.7)
该性质表明，当信号在时间轴上移位一时间段时，它的整个
Wigner-Ville 分布也将相应地移位相同的时间量。类似地，如果信号的频谱平移一固定的量，则其分布也将平移相同的量。
(5) 时频伸缩相似性: 如果)(||)(ct x c t x →，则 )/,(),(c ct WVD t WVD x x ωω→ , (2.2.8)
这一性质显然应该成立，否则，如果把信号sin(4πt ) (0<=\"\" 处，那么信号sin(4πt=\"\" 进行压缩得到的信号，那么伸缩相似性的不成立将导致以下后果：在二维时频面上，如果信号sin(2πt=\"\">
(6) 卷积性质 如果信号y (t )是信号x (t )和h (t )的卷积，则y (t )的Wigner-Ville 分布是x (t )和h (t )的Wigner-Ville 分布的时域卷积，即如果?
-=τττd )()()(x t h t y , 则 ?-=τωτωτωd ),(),(),(x h y WVD t WVD t WVD , (2.2.9)
(7) 乘积性质 如果信号y (t )是信号x (t )和h (t )的乘积，则y (t )的Wigner-Ville 分布是x (t )和h (t )的Wigner-Ville 分布的频域卷积，即如果)()()(t x t h t y =, 则
-=τττωωd ),(),(),(t WVD t WVD t WVD x h y , (2.2.10) (8) 有限支撑性质如果信号x (t )是时域有限支撑的，则它的Wigner-Ville 分布也具有同样的时域有限支撑，即如果0)(=t x ，T t >||，则0),(=ωt WVD x ，T t >||。类似地，如果信号x (t )是频域有限支撑的，则它的Wigner-Ville 分布也具有同样的频域有限支撑。
(9) 对线性调频信号分析的良好集中性Wigner-Ville 分布可以精确地反映线性调频信号的频率信息，如t t e t x )2i(0)(β+ω=，则
))((),(0t t WVD x βωωδω+-= . (2.2.11) 交叉干扰项及其抑制
虽然Wigner-Ville 分布具有很多优良的数学性质，遗憾的是，它却不满足可加性。考虑信号
)()()(21t x t x t x += , (2.3.1)
将它代入式(2.1.1)可知，信号x (t )的Wigner-Ville 分布可写为 ),(),(),(),(),(122121ωωωωωt WVD t WVD t WVD t WVD t WVD x x x x x x x +++= , (2.3.2)
其中
ττ+τ-=ωτω-+∞∞-?d )e 2
1()21(π21)(i 2121t x t x ,t WVD *x x , (2.3.3) ττ+τ-=ωτω-+∞∞-?d )e 2
1()21(π21)(i 1212t x t x ,t WVD *x x , (2.3.4) 这两项称为互Wigner-Ville 分布，它们是复值的，并且可看出
),(),(*1
221ωωt WVD t WVD x x x x = , (2.3.5) 因此，),(),(1221ωωt WVD t WVD x x x x +是实值的。这样，式(2.3.2)可简写为
[]),(Re 2),(),(),(2121ωωωωt WVD t WVD t WVD t WVD x x x x x ++=. (2.3.6)
由此可以看出，两个信号和的Wigner-Ville 分布并不是简单的两个信号各自的Wigner-Ville 分布之和，附加项[]
),(Re 221ωt WVD x x 通常称为交叉项。
通过Wigner-Ville 分布的定义也可以直观地解释交叉项是怎么出现的。正如前面所述，信号某时刻的Wigner-Ville 分布是位于该点过去的信号等长度地乘以位于该点未来的信号，然后作傅立叶变换。因此，只要该点的右边部分和左边部分存在重叠，则即使信号在该点的值为零，该点的Wigner-Ville 分布也是非零的。如图2.3.1所示，显然位于t 1和t 2之间的点的Wigner-Ville 分布不会为零，这些非零点就是交叉项在时域的体现。这是在时域的示意，在频域同样如此。
为了更好地说明交叉项，下面给出三个典型信号的Wigner-Ville 分布。
例2.3.1 该信号的时域波形如图2.3.1所示，其中x 1(t )和x 2(t )都是频率为20Hz 的正弦信号，t 1=2秒，t 2=5秒。图2.3.2给出了该信号的Wigner-Ville 分布，可清楚看到中间部分出现了交叉项。
图2.3.2 例2.3.1信号的W i gner -Vil l e 分布 (频率轴划分区间数为512)
例 2.3.2 分析信号)π80sin()π20sin()(t t t x +=(50≤≤t )。图 2.3.3给出了该信号的Wigner-Ville 分布，可清楚看到在25Hz 处出现了交
叉项。用式(2.1.2)，这很容易解释，因为只有当ω＝25 Hz 时，)2/(*θω-X 和)2/(θω+X 才会有非零重叠项。
图2.3.3 例2.3.2信号的W i gner -Vil l e 分布 (频率轴划分区间数为512)
t /s 50 40 30 20 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.2 W i g n e r -V il l e 分布 f /H z 0 1 2 3 4 5 t /s 交叉项 t 1
t 2 W i g n e r -V il l e 分布 0 10
20 30 f /H z 40 50 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0.35 6 0 x 1 x 2 t 1 t 2
图2.3.1 交叉项的示例信号 例2.3.3 分析信号
+=,t t t x 0),π80sin()π20sin()( 5275,20<<≤≤≤≤t t t , (2.3.7) 图2.3.4给出了该信号的Wigner-Ville 分布，可以清楚地看到，该信号的Wigner-Ville 分布在时间轴方向和频率轴方向都出现了交叉项。
图2.3.4 例2.3.3信号的Wigner-Ville 分布 (频率轴划分区间数为
512)
由上面三个算例可以看出，Wigner-Ville 分布的交叉项出现有一定的规律，对简单信号来说，比较容易辨认出图中哪些分量是信号的真实成份，哪些分量是无意义的交叉项。但在实际应用中，信号一般都比较复杂，如果没有一些先验知识，则很难区分出哪些是真实成份，哪些是交叉项。
另外，交叉项有一个很重要的特性，它们的和为零，即 []
0),(Re 221=ωt WVD x x , (2.3.8)
这通过Wigner-Ville 分布的边缘特性可以很容易地证明。很明显，如果交叉项的和是非零的，则在算例1中，对中间部分 0)(d ),(2
=≠?t x t WVD x ωω， (52<<=\"\" p=\"\">
类似地，如果交叉项的和非零，则在算例2中，在ω＝25Hz 处， 0π)50(π)d 50(2
=≠?X t ,t WVD x ， (2.3.10) t /s f /H z W i g n e r -V il l e 分布 0 10 20 30 40 50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 2 4 6
图 2.3.5给出了例 2.3.2信号的Wigner-Ville 分布三维效果图，可以看出交叉项对称地出现了正负值。
图2.3.5 例2.3.2信号的Wi gn er -Vi ll e 分布三维效果图 类似Wigner-Ville 分布的有限支撑性质，互Wigner-Ville 分布),(12ωt WVD x x 也具有
有限支撑性质，性质如下：
在时域，如果)(1t x 在时间区间(t 1, t 2)外都为零，)(2t x 在时间
区间(t 3, t 4)外都为零，则在时间区间()2/)(,2/)(4321t t t t ++外，),(12ωt WVD x x 都为零。
类似地，在频域，如果)(1ωX 在频率区间()21,ωω外都为零，)(2ωX 在频率区间()43,ωω外都为零，则在频率区间()2/)(,2/)(4321ωωωω++外，),(1
2ωt WVD x x 都为零。 互Wigner-Ville 分布),(12ωt WVD x x 的有限支撑性质也同样适用于交叉项。交叉项使
Wigner-Ville 分布在时频域表现出一些和原信号的物理性质相矛盾的结果，从而误导分析。因此如何抑制交叉项是一个值得认真考虑的问题，也是一个挑战性的问题，至今还没有完美的解决方法。下面将简单介绍一种非常基本的，也是现在常用的方法。
考虑到Wigner-Ville 分布是一种高度非局部变换，在计算信号任一时刻的Wigner-Ville 分布时，都要利用信号该时刻过去和未来的数据，并且这些数据在计算中所起的作用都是一样的。一种自然的想法就是对信号进行加窗处理，突出式(2.1.1)中位于0=τ附近的信号特征，而抑制远处的信号的特征，这样计算得到的Wigner-Ville 分布就能够比较正确
W i g n e r -V il l e 分布 -2 -1 0 1 2 -1 -0.5 0.5 1
0 10 20 20 40 50 0
地表示信号在该点的物理性质。时域加窗后的Wigner-Ville 分布也称为伪Wigner-Ville 分布，它的定义如下：
()τ??
τ+??? ??τ-τ=ωτω-∞+∞-?d e 2121π21)(i t x t x h ,t PW *x , (2.3.11) 其中)(τh 是窗函数，常用的窗函数是Gauss 函数
2/2e )(at t h -=, (2.3.12)
加窗后，只有当信号某点的右边部分和左边部分在窗内存在重叠部分，该点的Wigner-Ville 分布才非零，因此伪Wigner-Ville 分布可以很好地抑制在时间轴方向的交叉项，并且，通过控制窗函数的宽度，可以调节交叉项的抑制程度。Gauss 窗函数宽度由参数α调节。
另外，容易推导出，双正弦信号t t A A t x 21j 2j 1e e )(ωω+=的伪Wigner-Ville 分布是
[]
)2()(22)2()(2121e e π21)(a /a /x A A a ,t PW ω-ω-ω-ω-+=ω )2()2)((1221221)e )cos((π22 a //t a
A A ω-ω-ω-ω-ω+ . (2.3.13) 可以看出，如果α的值变小，交叉项会相应地变小，但信号的真实分量也会变小，而且它们随α变小的速率差不多，因此伪Wigner-Ville 分布对频率轴方向的交叉项抑制效果不是很明显。
图2.3.6(a ),(b )给出了信号(2.3.7)的伪Wigner-Ville 分布，窗函数为Gauss 函数。其中图(a )中α=3，对应的窗函数宽度比较窄。图(b )中α=1，对应的窗函数宽度比较宽。可以看出在图(a )中，时间轴方向的交叉项基本上消失了，但在图(b )中，交叉项仍然存在。另外，在两个图中，频率轴方向的交叉项仍然存在，并没有得到很好的抑制，这证实了伪Wigner-Ville 分布对频率轴方向的交叉项抑制效果并不好。
t /s t /s f /H z 伪W i g n e r -Vi l l e 分布 伪W i g n e r -Vi l l e 分布 0
10 20 30 40 50 0 2 4 6 0 2 4 6 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.6 0.7 f /H z 0 10 20
30 40 50 (a) α=3 (b ) α=1
图2.3.6 信号(2.3.7)的伪Wi gn er -Vi ll e 分布 (频率轴划分区间数为512)
通过在时间轴方向加窗，伪Wigner-Ville 分布很好地抑制了时间轴方向的交叉项。自然而然地，人们想到可以通过在频率轴方向加窗来抑制频率轴方向的交叉项。如果同时在频率轴方向和时间轴方向加窗，就可以同时抑制两个方向的交叉项，这种两个方向加窗处理的Wigner-Ville 分布称为平滑伪Wigner-Ville 分布，定义如下： ??+∞∞-τω-+∞∞-ττ+τ--τ=ωd d )e 2
1()21()()(π21)(i s s x s x t s g h ,t SPW *x . (2.3.14) 其中)(t g 是用来在频率轴方向做平滑的窗函数。显然如果)()(t t g δ=，则平滑伪Wigner-Ville 分布退化为伪Wigner-Ville 分布。同样g (t )也可以使用Gauss 函数。
图2.3.7给出了信号(2.3.7)的平滑伪Wigner-Ville 分布 (频率轴划分区间数为512，其余参数为默认参数)，可以看出时间轴和频率轴方向的交叉项都得到了很好的抑制。
值得说明的是，虽然伪Wigner-Ville 分布和平滑伪Wigner-Ville 分布能够一定程度上有效地抑制交叉项，改善结果的可读性，但它们都损失了Wigner-Ville 分布本身所具有的一些优良的数学特性，如它的边缘特性。
图2.3.7 信号(2.3.7)的平滑伪Wi gn er -Vi ll e 分布 (频率轴划分区间数为512)
参 考 文 献
[1]张贤达，保铮，非平稳信号分析与处理，国防工业出版社，北京，2001.
[2]Cohen Leon, Ti me Freq uen cy An al ysi s, P rent i ce Hall , H unt er Col l ege, New Yo rk , 1995
t /s f /H z 平滑伪W i g n e r -V il l e 分布 10 20
30 40 50 0.2 0.4 0.6 0.8 0 2 4 6
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