二轮复习之充要条件的理解及判定方法(提高篇)

适用学科适用区域知识点教学目标教学重点教学难点

高中数学

适用年级课时时长（分

钟）

高三

人教版60

1、 充分条件与必要条件的定义2、 充分条件与必要条件的判定3、 从集合的观点看充分必要条件

1. 结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2. 理解充要条件，掌握判断充要条件的方法和步骤．

3. 通过充要条件的学习，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力高学生分析问题、解决问题的能力．1、 充分条件与必要条件的判定方法2、 从集合的观点看充分必要条件；3、 充要条件的综合问题的解答1、 充分条件与必要条件的判定方法2、 从集合的观点看充分必要条件；3、 充要条件的综合问题的解答

教学过程

一、高考解读

充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系

本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系

二、复习预习

1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；

2．不含逻辑联结词的命题称为简单命题_；有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若

，则

”的形式；

3．含有逻辑联结词的命题称为__复合命题，复合命题有三种形式且、或、非对一个命题

的全盘否定, 就得到一个新的命题, 记作__p _，读作非__

通常复合命题的否定“或

”的否定为“且”、 “且

”的否定为“或

”、

“全为”的否定是“不全为”、 “都是”的否定为“不都是”等等4．三种复合命题的真值表：（1）“p且q”： 一假即假（2）“p或q”： 一真即真（3）“非p”： 真假相反

三、知识讲解

考点1

(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念当“若p则q”形式的命题为真时，就记作p

q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假

(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语

“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等

考点2

(1)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质

(2)从集合观点看，若A

B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件

(3)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)

四、例题精析

例题1 已知p|1－

|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围

【规范解答】 由题意知命题

若⌐p是⌐q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为p是q的充分不必要条件

p:|1－|≤2－2≤

－1≤2－1≤≤3

－2≤x≤10

q:x2－2x+1－m2≤0

［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0 *

∵p是q的充分不必要条件，∴不等式|1－

|≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集的子集

又∵m>0

∴不等式*的解集为1－m≤x≤1+m∴

，∴m≥9，

∴实数m的取值范围是［9，+∞

【总结与思考】本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了

利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决

例题2 已知数列{an}的前n项Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件

【规范解答】a1=S1=p+q

当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－1(p－1)∵p≠0,p≠1,∴=p

若{an}为等比数列，则=p

∴=p,

∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1这是{an}为等比数列的必要条件

下面证明q=－1是{an}为等比数列的充分条件当q=－1时，∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p－1当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1)∴an=(p－1)pn－1 (p≠0,p≠1)=p为常数

∴q=－1时，数列{an}为等比数列即数列{an}是等比数列的充要条件为q=－1

【总结与思考】以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定

由an=

关系式去寻找an与an+1的比值，但同时要注意充分性的证明

例题3 已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，

证明|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件

【规范解答】证明(1）充分性

由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4

设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0即有

4+b>2a>－(4+b)

又|b|＜44+b>02|a|＜4+b

(2)必要性

由2|a|＜4+b

f(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线

∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根

∵α，β是方程f(x)=0的实根，

∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2

【总结与思考】充要条件的概念及韦达定理的综合考察问题

例题4 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.（1）若x、y都是奇数，则x+y是偶数；（2）若xy=0，则x=0或y=0；

（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.

【规范解答】（1）命题的否定：x、y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题.

原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题.（2）命题的否定：xy=0则x≠0且y≠0，为假命题.原命题的否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题.

（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题.原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题.

【总结与思考】真假命题的判定的考察

例题5 有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.

A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.

如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子

里？

【规范解答】若苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.

若苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内.

同样，若苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.

综上，苹果在B盒内.

【总结与思考】排除法的考察问题

例题6 已知数列{an}、{bn}满足bn=,求证

数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列

【规范解答】证明①必要性

设{an}成等差数列，公差为d,∵{an}成等差数列

从而bn+1－bn=a1+n·d－a1－(n－1)d=d为常数

故{bn}是等差数列，公差为d

②充分性:

设{bn}是等差数列，公差为d′,则bn=(n－1)d′∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ①

bn－1(1+2+…+n－1)=a1+2a2+…+(n－1)an ①－②得nan=

②bn－1

从而得an+1－an=d′为常数，故{an}是等差数列

综上所述，数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列

【总结与思考】充分必要条件的综合考察问题

课程小结

(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念当“若p则q”形式的命题为真时，就记作p

q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假

(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语

“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也

真”等

(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质

(4)从集合观点看，若A

B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件

(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)