中考数学—二次函数总复习练习汇总及答案

第二十六章 二次函数

（一）解题技巧

1. 情景引入

某工厂一种产品现在的年产量是20万件, 计划今后两年增加产量, 如果每年都比上一年的产量增加x倍, 那么两年后的产量y随计划所定的x值而确定, y与x之间的关系应怎么表示?

2. 知识提要

2

(1) 二次函数的概念: 一般地, 形如y=ax+bx+c(a, b, c是常数, a≠0)的函数; (2) 二次函数的图象;

(3) 二次函数平移、开口方向、对称轴、顶点坐标.

b24acb一般地, 我们可以用配方法将抛物线y=ax+bx+c(a≠0)转化成y=a(x+)+

4a2a2

2, a＞0时, 开口向上, a＜0

时, 开口向下, 对称轴是x=－

bb, 顶点坐标是(－, 4acb4a2a2a2);

(4) 用函数观点看一元二次方程; (5) 实际问题与二次函数

3. 案例分析

【案例1】如果函数y=(m－2)xm2m4是二次函数, 求常数m的值.

【思路点拨】该函数是二次函数, 那么m2+m－4=2, 且m－2≠0 解: ∵y=(m－2)xm2

2m4是二次函数

2

∴m+m－4=2, 即m+m－6=0

解这个一元二次方程, 得m1=－3, m2＝2 当m=－3时, m－2=－5≠0, 符合题意 当m=2时, m－2＝0, 不合题意.

∴常数m的值为－3.

【方法点评】涉及二次函数的问题, 按照先看变量x项的次数, 再看变量最高次项系数的步骤去分析. 【案例2】二次函数y=ax2+bx+c的图象向左平移2个单位, 再向上平移3个单位, 得二次函数y=x2－2x+1, 求b和c.

【思路点拨】本题原函数解析式中的一次项系数b, 常数项c是待定的. 解题关键是

需先求抛物线的顶点坐标, 根据两个抛物线的平移情况, 可确定其顶点坐标.

解: ∵y=x2－2x+1=(x－1)2,

∴抛物线y=x2－2x+1的顶点是B(1, 0), 根据题意知: 把抛物线向下平移3个单位,再向右平移2个单位, 就得到抛物线y=x2+bx+c, 这时由顶点B(1, 0)平移到A(3, －3)处, 所以抛物线y=x2+bx+c的顶点是(3, －3).

∵y=x2+bx+c=(x－3)2－3=x2－6x+6. ∴b=－6, c=6.

【方法点评】本题根据抛物线的顶点的移动变化确定函数解析式, 从图象顶点的变化直观地找到解题思路, 体现了数形结合的基本思想, 这是一个基本的解题途径, 也是一条行之有效的坦途.

【案例3】已知二次函数y=

12

x+2x+1. (1) 写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2) 当x为何值时, y随2x的增大而减小? 当x为何值时, y随x的增大而增大? (3) 该函数是有最大值还是最小值? 此时x的值为多少?

【思路点拨】利用公式法求顶点坐标和对称轴.

解: (1) ∵

1＞0, ∴函数图像开口向上. 21

∵－21224＝－2, 121222＝＝－1. 2142∴函数图象的对称轴是直线x=－2, 顶点坐标是(－2, －1). (2) 由(1) 可知: 当x＜－2时, y随x的增大而减小; 当x＞－2时, y随x的增大而增大. (3) 由1＞0知, 该函数有最小值. 由(1)可知当x＝－2时, 函数有最小值－1. 2【方法点评】(1) 求二次函数图象的对称轴、顶点坐标可用配方法和公式法两种方法, 本例运用公式法. (2) 讨论二次函数的性质时, 可先求出其图象对称轴和顶点坐标, 并明确图明的开口方向. 再画出草图, 然后根据草图说明性质, 也可不画草图, 直接说明.

【案例4】如图, 二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P, 与y轴交点为Q, 过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A, 与这个二次函数的图象交于另一点B. 若SΔBPQ＝3SΔAPQ, 求这个二次函数的解析式.

【思路点拨】要求二次函数y=x+bx+c的解析式, 就是要求b、c的值. 考虑到直线与抛物线交于Q、B, Q点坐标为(0, c), 可过B作BC⊥x轴于C, 由SΔBPQ＝3SΔAPQ可得SΔAPB＝4SΔAPQ. 于是BC＝4OQ＝4c. 联立两个解析式不难表示出B的坐标, 由BC＝4c便可得到一个关于b、c的关系式. 又由抛物线的顶点在x轴上, 则可得到另一个关于b、c的关系式, 两式联立便可求b、c的值.

解: 二次函数y=x2+bx+c与y轴的交点Q的坐标为(0, c) 又 直线y=2x+m过点Q,

∴m=c

yx2bxc,x2b,联立 得

y42bc.y2xc.2

又ΔABP与ΔAPQ有相同的一边AP, 过B点作BC⊥x轴于点C. ∴BC=4OQ. 又OQ＝c, 故BC＝4c. 即4－2b+c=4c. ① 又因 y=x2+bx+c与x轴只有一个交点 ∴b2－4c=0 ② 联立①②解得b1=经检验当b1=4, b2=－4. 34时与题意不合, 舍去. 3∴b=－4, c=4. ∴二次函数的解析式为y=x2－4x+4. 【案例5】阅读下列材料, 探究问题.

已知正方形的周长为4a, 面积为S. (1) 求S与a的函数关系式; (2) 画出它的图象, 求出S＝6cm2时, 正方形的周长; (4) 根据函数图象, 求出a取何值时, S≥

1. 4解: (1) ∵正方形的周长为4a, ∴其边长为a. ∴正方形的面积为S＝a. (2) 列表 a S －3 －2 －1 9 4 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … … 2画出图象如图所示 2

(3) 当S=6cm时, a=±6cm, 故正方形的周长为46cm. (4) ∵当a=±∴当a≥11cm时, S=cm2, 且此函数在其取值范围内, S随a的增大而增大. 24111或a≤－时, S≥. 2242

2 请你就上述材料谈谈你的感受, 并与同伴交流从中获利的启迪.

【思路点拨】上述问题是二次函数y=x的实际应用题. 在解题过程中, 由于忽视了对自变量a的取值范围的讨论, 致使整个过程发生错误. 作为几何量, 边长a应是个正数, 即a＞0, 所以图象只是抛物线S=a2的一部分, 且不包

括最低点(0, 0).

正确解法如下:

(1) ∵正方形的周长为4a, ∴其边长为a. ∴正方形的面积S＝a2(a＞0). (2) 列表: a S 1 1 2 4 3 9 … … 画出图象如图所示. 2(3) 当S＝6cm, a=6cm(a＝－6cm不合题意, 舍去). 故正方形的周长为46cm. (4) ∵当a=112cm时, S=cm, 且函数在取值范围内S随a的增大而增大, 24112cm时, S＝cm. 24∴当a≥【方法点评】上述问题是一个实际应用题, 所以注意自变量a的取值范围, 运用图象来解决问题.

（二）探究题

1. 抛物线y=－

121x+x+6与x轴交于A、B两点, 与y轴相交于C点. 22 (1) 求ΔABC的面积;

(2) 已知E点(0, －3), 在第一象限的抛物线上取点D, 连接DE, 使DE被x轴平分,. 试判定四边形ACDE的形状, 并证明你的结论.

3

2. 有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰ΔPQR, PQ＝PR＝5cm, QR＝8cm, 点B、C、Q、R在同一条直线l上, 当C、Q两点重合时, 等腰ΔPQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动, ts后正方形ABCD与等腰Δ

2

PQR重合部分的面积为Scm. 解答下列问题: (1) 当t=3s时, 求S的值;

(2) 当t＝5s时, 求S的值;

(3) 当5s≤t≤8s时, 求S与t的函数关系式,

并求出S的最大值.

3. 如图, 有一座抛物线形拱桥, 在正常水位时水面AB的宽为20m, 水位上升3m时, 水面CD的宽是10m. (1) 建立如图所示的直角坐标系, 求此抛物线的解析式;

(2) 现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地, 已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计). 货

车正以每小时40km的速度开往乙地, 当行驶1h时, 忽然接到紧急通知; 前方连降暴雨, 造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处, 当水位达到桥拱最高点O时, 禁止车辆通行). 试问: 如果货车按原来速度行驶, 能否安全通过此桥? 若能, 请说明理由, 若不能, 要使货车安全通过此桥, 速度应超过每小时多少千米?

4

4. 某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时, 身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的

一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).

在跳某个规定动作时, 正常情况下, 该运动员在空中的最高处距水面10

2m, 入水处距池边的距离为4m, 同时, 3运动员在距水面高度为5m以前, 必须完成规定的翻腾动作, 并调整好入水姿势, 否则就会出现失误. (1) 求这条抛物线的解析式;

(2) 在某次试跳中, 测得运动员在空中的运动路线是(1) 中的抛物线, 且运动员在空中调整好入水姿势时, 距池

边的水平距离为3

3m, 问此次跳水会不会失误? 并通过计算说明理由. 55

综 合 训 练

一、选择题(每小题3分, 满分30分)

1. 已知函数①y=3x－1; ②y=3x2－1; ③y=3x3+2x2; ④y=2x2－2x+1. 其中二次函数的

个数为 2. 3.

A. 1 B. 2 C. 3

2

抛物线y=x+6x+8与y轴的交点坐标是

B. (0, －8) A. (0, 8) C. (0, 6)

二次函数y=－x2－2x+2的顶点坐标, 对称轴分别是

D. 4

D. (－2, 0), (－4, 0) D. (1, 3), x=－1

B. (－1, 3), x=1 C. (－1, 3), x=－1 A. (1, 3), x=1

4. 将抛物线y=2x2如何平移可得到抛物线y=2(x－4)2－1 A. 向左平移4个单位, 再向上平移1个单位 B. 向左平移4个单位, 再向下平移1个单位

C. 向右平移4个单位, 再向上平移1个单位 D. 向右平移4个单位, 再向下平移1个单位

5. 已知二次函数y=x2+mx+n的对称轴为x=－1, 在其图象上有三个点(－3, y1), (－2, y2),

(4, y3), 则

B. y2＞y1＞y3 C. y3＞y1＞y2 D. y3＞y2＞y1 A. y1＞y2＞y3

6. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 下列结论: ①a+b+c＜0; ②a－b+c＞0;

③abc＞0; ④b=2a.

7. 为解决药价虚高给老百姓带来的求医难问题, 国家决定对某药品分两次降价. 若设平

均每次降价的百分率为x, 该药品的原价是m元, 降价后的价格是y元, 则y与x的函 B. y=2m(1+x) 8. 根据下列表格的对应值: 数关系式是 A. y=2m(1－x)

C. y=m(1－x)2

D. y=m(1+x)2

其中正确的结论有 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

x 3.23 3.24 3.25 3.26

－0.06 －0.02 ax2+bx+c 0.03 0.07

2

判断方程ax+bx+c＝0(a≠0, a、b、c为常数)一个解x的范围是

B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 A. 3＜x＜3.23

9. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则在下列各不等式中,

成立的个数是 ①abc＜0 ②a+b+c＜0 ③a+c＜b ④a＜ A. 1

B. 2

cb 2

C. 3 D. 4 10. 关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题:

①当c=0时, 函数的图象经过原点;

②当c＞0且函数的图象开口向下时, 方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根;

4acb ③函数图象最高点的纵坐标是

4a2;

④当b=0时, 函数的图象关于y轴对称.

6

其中正确命题的个数是

B. 2个 A. 1个

二、填空题(每小题3分, 满分18分) 11. 若y=(m+1)xm2C. 3个 D. 4个

2m1是二次函数, 则m= .

12. 写出一个图象开口向下, 对称轴为x=1的一条抛物线的解析式 . 13. 二次函数y=2x+bx+c的顶点坐标是(1, －2), 则b= , c= . 22

14. 已知抛物线y=ax+bx+c与x轴有一个交点, 那么一元二次方程ax+bx+c=0的根的情况是 . 15. 抛物线y=x2－6x+c顶点在x轴上, 则c= .

16. 已知二次函数y=x－2x－3, 则函数值y＜0时, 对应x取值范围是 . 三、解答题(本题满分72分)

17. 分别求出满足条件的二次函数解析式, 并写出开口方向, 对称轴和顶点坐标. (1) 图象经过(－3, 0), (1, 0), (0, 2); (2) 顶点坐标(1, 2), 过(0, 4).

2

18. 已知抛物线y=x－2x－3与x轴交于A、B两点(A在B左侧), 交y轴于c, 求ΔABC的面积.

19. 已知抛物线y=

123x+x－. 2222

(1) 用配方法求出它们的顶点坐标和对称轴;

(2) 若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 求线段AB的长.

20. 某旅社有100张床位, 每床每晚收费10元时, 床位可全部租出. 若每床每晚收费提高2元, 则减少10张床位租

出, 若每床每晚收费再提高2元, 则再减少10张床位租出, 以每次提高2元的这种方法变化下去. 为了投资少

而获利大, 则应确定每床每晚应提高多少元?

7

21. 心理学家发现, 学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x(分)之间满足函数关系: y=－0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30). y值越大, 表示接受能力越强.

(1) x在什么范围内, 学生的接受能力逐步增强? x在什么范围内, 学生的接受能力逐步降低? (2) 第10分钟时, 学生的接受能力是多少? (3) 第几分钟时, 学生的接受能力最强?

22. b为何值时, 一次函数y=5x+b与二次函数y=x2+3x+5的图象有一个交点, 有两个交点, 无交点.

23. 如图所示, 已知抛物线y=x2－ax+a+2与x轴交于A、B两点, 与y轴交于点D(0, 8), 直线DC平行于x轴, 交抛

物线于另一点C. 动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发, 沿C→D运动, 同时, 点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发, 沿A→B运动, 连接PQ、CB. 设点P的运动时间为t秒. (1) 求a的值;

(2) 当t为何值时, PQ平行于y轴;

(3) 当四边形PQBC的面积等于14时, 求t的值.

24. 如图所示, 在直角坐标系中, RtΔAOB的顶点坐标分别为A(0, 2), O(0, 0), B(4, 0), ΔAOB

绕O点按逆时针方向旋转90°得到ΔCOD.

(1) 求C、D两点的坐标;

(2) 求经过C、D、B三点的抛物线的解析式;

(3) 设(2) 中抛物线的顶点为P, AB的中点为M, 试判断ΔPMB是钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形? 并说明理由.

8

探究题答案

1. 解: (1) 当y=0时, －

121x+x+6=0, 即x1=－3, x2=4, ∴A(－3, 0), B(4, 0). 22 ∵当x=0时, y=6, ∴C(0, 6)

∴SΔABC=

11AB²DC=³(4+3)³6=21. 22(2) 四边形ACDE是平行四边形.

理由: 设DE交x轴于点P, 作DM⊥x轴, M是垂足.

首先证: ΔEPO≌ΔDPM, 则DM－EO＝3, ∴点D的纵坐标是3. ∵D在y=－∴3=－

121x+x+6的图象上, 22121x+x+6, ∴x=－2(舍去)或x=3. 22∴D(3, 3). ∴AC=47, ED=47, AE=32, CD=32. ∴AC=DE, AE=DC.

∴四边形ACDE是平行四边形.

2. 解: (1) 作PE⊥QR, E为垂足, 如图所示. ∵PQ=PR, ∴QE=RE= ∴PE=52423.

当t=3s时, QC=3cm, 设PQ与DC交于点G. ∵PE∥DCm, ∴ΔQCG∽ΔQEP. ∴

SSQEP3 4221QR=4. 212732

∵SΔQEP=×4×3=6, ∴S=(cm). ³6=

284(2) 当t=5s时, CR＝3cm, 如图设PR与DC交于G. 由ΔRCG∽ΔREP, 可求出SΔRCG＝∴S=12－

27692

=(cm). 883(t－5)2, 83(8－t)2, 827(m2). 8(3) 当5s≤t≤8s时,. QB=t－5, RC=8－t, 设PQ交AB于点H, 如图, 由ΔQBH∽ΔQEP, 得SΔQBH＝ 由ΔRCG∽ΔREP, 得SΔRCG＝ ∴S=12－

33(t－5)2－(8－t)2. 882 即S＝－t3439171t 489

当t=6. 5s时, S最大, S的最大值为

2

2165cm. 163. (1) 解: 设抛物线的解析式为y=ax, 桥拱最高点O到水面CD的距离为h m,

则D(5, －h), B(10, －h－3).

1,25ah,a∴ 解得25 100ah3,h1.∴抛物线的解析式为y=－

12

x. 25 (2) 水位由CD处涨到点O的时间为: 1÷0.25=4(h), 货车按原来速度行驶的路程为:

40³1+40³4＝200＜280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.

设货车速度提到到x km/h, 当4x+40³1=280时, x=60. ∴要使货车安全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.

4. 解: (1) 在给定的直角坐标系下, 设最高点为A, 入水点为B, 抛物线的解析式为: y=ax+bx+c.

由题意知, O、B两点的坐标依次为(0, 0), (2, －10), 且顶点A的纵坐标为

252a,ac0,63,24acb102 所以 解得b, 或b2, ,34a3c0.4a2bc10.c0.2

2, 3∵抛物线的对称轴在y轴右侧, ∴－又∵抛物线开口向下, ∴a＜0. ∴b＞0, ∴a=－

2510, b=, c=0, 63b＞0, 2a∴抛物线的解析式为: y=－

25210xx. 63338m时, 即x=3－2=时, 555(2) 当运动员在空中距池边的水平距离为3

25810816y=. 353652∴此时运动员距水面的高为: 10－因此, 此次试跳会出现失误.

1614＜5. 3310

综合练习答案

一、选择题 题号

1

2 A

3 C

2

4 D

5 C

6 C

7 C

8 C

9 C

10 C

答案 B 二、填空题

11. 3 12. 如y=－(x－1) 13. －4, 0 14. 有两个相等的实数根 15. 9 16. －1＜x＜3 三、解答题 17. (1) y=

2248x－x+2, 开口向上, 对称轴x＝1. 顶点坐标(－1, ); 333 (2) y=2x2－4x+4, 开口向上, 对称轴x=1, 顶点坐标(1, 2). 18. 6

19. (1) 顶点坐标(－1, －3), 对称轴x=－1; (2) AB＝4.

20. 解: 设该旅社每床每晚提高x元, 旅社获利y元,

则有y=(100－

12

x²10)(10+x)=－5(x－5)+1125, 2当x=5时, y最大, 但x应为偶数, 所以x=4或6.

21. 解: (1) y=－0.1x2+2.6x+43=－0.1(x－13)2+59.9, 所以

当0≤x≤13时, 学生的接受能力逐步增强. 当13≤x≤30时, 学生的接受能力逐步下降.

2

(2) 当x=10时, y=－0.1(10－13)+59.9=59. 第10min时, 学生的接受能力为59.

(3) x=13时, y取得最大值, 所以在第13min时, 学生的接受能力最强. 22. 解: 由方程组y5xbyx23x5, 得x2－2x+5－b=0

又 b2－4ac=(－2)2－4³1³(5－b)=4(b－4). 当 b=4时, b2－4ac=0, 有一个交点; 当 b＞4时, b2－4ac＞0, 有两个交点; 当 b＜4时, b－4ac＜0, 无交点.

23. 解: (1) ∵D(0, 8)在抛物线上, ∴a+2=8, ∴a=6.

(2) 当a=6时, 抛物线解析式为y=x2－6x+8. 当y=8时, x2－6x=0. ∴x1=0, x2=6. ∴C(6, 8). 当y=0时, x2－6x+8=0. ∴x1=2, x2=4. ∴A(2, 0), B(4, 0).

∵CP=2t, AQ=t, ∴P(6－2t, 8), Q(2+t, 0). 由6－2t=2+t, 得t=(3) SPQBC＝

4. 32

1(4－2－t+2t)³8=4t+8. 23. 2由4t+8=14, 得t=∴当t=

3秒时, 四边形PQBC的面积为14. 211

24. (1) 由旋转的性质可知: OC=OA=2, OD＝OB＝2 ∴C、D两点的坐标分别为(－2, 0)、D(0, 4)

2

(2) 设求抛物线的解析式为y=ax+bx+c

1a16a4bc021 根据题意, 得4a2bc0 ∴b1 ∴y=－x2+x+4

2c4c4 (3) 答: ΔPMB是钝角三角形 如果PH是抛物线y=－

12

x+x+4的对称轴, 29) 2 求得M、P点的坐标分别为M(2, 1), P(1,

∴点M在PH的右侧. ∵∠PHB=90°, ∴∠1＞90°.

∵∠PMB＞∠1, ∴∠PMB＞90°.

∴ΔPMB为钝角三角形.

12