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2021年中考真题二次函数综合题试题解析试卷

来源：爱go旅游网

2021年中考真题二次函数综合题

一．解答题（共60小题）

1．（2021•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+3的图象与y轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；

（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；（3）在（2）的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由．

2．（2021•德州）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：

x y

… …

0 3

1 6

2 7

3 6

4 3

… …

（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：；（2）求抛物线C1的解析式；

（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；

①若直线y=2x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；

②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．

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3．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；

（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．

4．（2021•绵阳）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒√5和2√5个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；

（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；

（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．

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5．（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设

𝑃𝐸𝑂𝐸

=k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．

（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D． ①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；

②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ=（t为大于0的常数），求点M的坐标．

𝑡

6．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．

（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．

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（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点． ①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；

②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y=3x−3交直线l于点F，点G在直线y=x−上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．

13731

7．（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y=2x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．

（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；

（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；

（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．

8．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M（2，−3），

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2√3

抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，2√3）与点C关于y轴对称．（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；

（2）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形ABCO的形状并证明；

（3）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化，请探究S的大小变化并填写表格①～④处的内容；当S的值为②时，求点P的横坐标的值．

直线AC的函数表达

式

①

② 10

S取的一个特殊值满足条件的P点的个

数 4个 3个 2个

③ \\

④

S的可能取值范围

9．（2021•盘锦）如图，抛物线y=−2x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．（1）点F的坐标为；

（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若

𝑃𝑀𝑄𝑁

114

，求点P的坐标；

（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4√2个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG=2时，求点G的运动时间t．

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10．（2021•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；

（2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DG⊥CA于点G，若E为GA的中点，求m的值．

（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，结合函数图象，探究n的取值范围．

11．（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及对称轴；

（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；

（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．

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12．（2021•镇江）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；

（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．

①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.

𝑀𝑁𝑀𝑃

=，D.

3𝑀𝑁𝑀𝑃

√2，所有正确选项的序号是．

③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．

13．（2021•锦州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=4x+1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y=4x2+bx+c与直线y=4x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．

（1）求抛物线的表达式．

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（2）M为抛物线上的动点．

①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；

②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线BD′，当直线BD′与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标．

14．（2021•兴安盟）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于点A（，）

和点B（4，m）．抛物线与x轴的交点分别为H、K（点H在点K的左侧）．点F在线段AB上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥x轴于点P，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接AC，是否存在点F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，过点F作任意直线l，把△CEF沿直线l翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当△CEF的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值．

15．（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；

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（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当坐标及

𝑃𝑀

𝐴𝑀

最大时，求点P的

𝐴𝑀

的最大值；

（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

16．（2021•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=4x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）b＝，c＝．（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．

（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．

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17．（2021•鞍山）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y=2x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．（1）求抛物线的表达式；

（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

18．（2021•）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；

（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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19．（2021•德阳）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；

（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（2021•百色）已知O为坐标原点，直线l：y=−2x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．（1）求证：AD＝CD；

（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；

（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC=3S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

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21．（2021•抚顺）直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．

22．（2021•湘潭）如图，一次函数y=3x−√3图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y=

√32

√33x+bx+c图象过A、B两点．

（1）求二次函数解析式；

（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

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23．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；

（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

24．（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y=3x﹣2交抛物线于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；

（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，

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使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y=2x+2的图象的“等值点”．

（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

（2）设函数y=（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；

（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围． 26．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；

（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；

（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．

27．（2021•梧州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．

（1）求原抛物线对应的函数表达式；

（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；

（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两

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𝑥

条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．

28．（2021•丹东）如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），直线y＝2x+m过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线y＝ax2+4x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．

（1）求抛物线的表达式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA=2，求点E的坐标；

（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N，再以每秒√5个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．

29．（2021•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m）与x轴的正半轴交于点C．

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（1）求a，m的值和点C的坐标；

（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当

𝑃𝐵𝑃𝐴

=时，求点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

30．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+

2𝑚−1𝑚

•x+（m＞0）与x22轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；

（3）设直线y=2x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．

31．（2021•毕节市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．

（1）填空：点A的坐标为，点D的坐标为，抛物线的解析式

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为；

（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m

的值；

（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

32．（2021•大连）已知函数y={（1）当m＝2时，

①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值； ②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．

（2）当m＞0时，作直线x=m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值；

（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值． 33．（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BC，求直线BC的解析式；

（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此

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−2𝑥2+2𝑥+𝑚(𝑥＜𝑚)𝑥−𝑚𝑥+𝑚(𝑥≥𝑚)

，记该函数图象为G．

时AP+PC的最小值；

（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

34．（2021•哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为

直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接PA．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，△APC的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，且OE＝OD，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作PG∥CE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，连接CF，过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q，∠CFG的平分线交x轴于点M，过点M作MH∥CF交FG于点H，过点H作HR⊥CF于点R，若FR+MH＝GQ，求点P的坐标．

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35．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；

（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

−𝑥(𝑥≤0)36．（2021•益阳）已知函数y={2的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内

𝑥(𝑥＞0)的函数图象上．

（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1．

第19页（共201页）

①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；

②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；

（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．

37．（2021•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；

（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

38．（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，

第20页（共201页）

与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．（1）抛物线的解析式为；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

39．（2021•营口）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，AC，BC，其中AC与x轴交于点E，且tan∠OBC＝2．（1）求点C坐标；

（2）点P（m，0）为线段BE上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的直线l与△ABC的边分别交于M，N两点，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设四边形B′NBM的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若S＝3S△ACB′，请直接写出所有满足条件的m值．

第21页（共201页）

40．（2021•黄石）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；

（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）．

41．（2021•雅安）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．

（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；

（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B

第22页（共201页）

出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；

（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．

42．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）和二次函数y=−x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作▱DEGF．（1）填空：k＝，b＝；

（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP=3S▱DEGF，求OD的长．

43．（2021•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．

（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；

（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的

第23页（共201页）

最小值；

（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

44．（2021•贵港）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．（1）求该抛物线的表达式；

（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；

（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP=S△ABD．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

45．（2021•襄阳）如图，直线y=2x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．

（1）求出点A，B的坐标及c的值；

第24页（共201页）

（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S． ①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围； ②结合S与a的函数图象，直接写出S＞8时a的取值范围．

46．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等． ①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，

1𝑀𝐹

1𝑁𝐹

是定值，并求出该定值；

（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．

47．（2021•本溪）如图，抛物线y=−4x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴

第25页（共201页）

交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF=2OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；

（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．

48．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=3x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；

（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于求E点的坐标；

（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．

252

2时，第26页（共201页）

49．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．

50．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．

（1）当m=2时，点A的坐标是，抛物线与y轴交点的坐标是；

（2）若点A在第一象限，且OA=√5，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；

（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值；

（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为

第27页（共201页）

点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．

51．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）是抛物线上一动点．（1）如图1，当m＞0，n＞0，且n＝3m时， ①求点M的坐标； ②若点B（

，y）在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，

B不重合），过点C作CD∥MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，）在对称轴上，当m＞2，n

＞0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为（0，平分∠AFG．

185

），连接GF．若EF+NF＝2MF，求证：射线FE

52．（2021•青海）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．

第28页（共201页）

（1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；

（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ=时，求P点的坐标．

√22

53．（2021•海南）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（﹣1，0）、点C的坐标为（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求△PBC的面积；

（3）如图2，有两动点D、E在△COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： ①当t为何值时，△BDE的面积等于

33109

4；

②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．

第29页（共201页）

．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；

（2）判断△BCE的形状，并说明理由；

（3）如图2，以C为圆心，√2为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

55．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；

（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

第30页（共201页）

56．（2021•鄂州）如图，直线y=−2x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段AB的中点，点Q是线段OA上一动点（不与点O、A重合）．（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；

（2）连接PQ，在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，点O的对应点为点E．若∠OQE＝90°，求线段AQ的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0）的顶点为点C． ①若点C在△PQE内部（不包括边），求a的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点C，使|CQ﹣CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

57．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，−），点B（1，）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；

（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．

第31页（共201页）

①求m的取值范围；

②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜3）的图象交点个数及对应的m的取值范围．

58．（2021•东营）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=−x+2过B、C两点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△AOC∽△ACB；

（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．

212

59．（2021•贺州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．

第32页（共201页）

60．（2021•齐齐哈尔）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上C、D两点之间的距离是；

（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

第33页（共201页）

2021年中考真题二次函数综合题

参与试题解析

一．解答题（共60小题）

【解答】解：（1）令y＝0，则−2x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3， ∴A（6，0），B（0，3），

设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入解析式，得： 36𝑎+6𝑏+𝑐=0{𝑐=3， 4𝑎−2𝑏+𝑐=0𝑎=−4解得：{，

𝑏=1𝑐=3

∴抛物线的解析式为y=−4x2+x+3；

（2）证明：∵在平面直角坐标系xOy中，

第34页（共201页）

∴∠BOA＝∠DOA＝90°，在△BOA和△DOA中， ∠𝐵𝑂𝐴=∠𝐷𝑂𝐴{𝑂𝐴=𝑂𝐴， ∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐷𝐴𝑂

∴△BOA≌△DOA （ASA）， ∴OB＝OD，

（3）存在，理由如下：

如图，过点E作EM⊥y轴于点M， ∵y=−x2+x+3=−（x﹣2）2+4， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2， ∴E点的横坐标是2，即EM＝2， ∵B（0，3）， ∴OB＝OD＝3， ∴BD＝6， ∵A（6，0）， ∴OA＝6，

∴S△ABE＝S△ABD﹣S△DBE=2×6×6−2×6×2＝12，设点P的坐标为（t，−t2+t+3），

连接PA，PB，过点P作PN⊥x轴于点H1，交直线AB于点N，过点B作H2⊥PN于点H2，

∴N（t，−t+3），

∴PN=−4t2+t+3﹣（−2t+3）=−4t2+2t，

∵AH1+BH2＝OA＝6，S△ABP＝S△NBP+S△ANP=PN•BH2+PN•AH1=PN•OA， ∴S△ABP=2×6（−4t2+2t）=−4（t﹣3）2+4， ∵−4＜0，抛物线开口向下，函数有最大值，

271

212121

12141

1414第35页（共201页）

∴当t＝3时，△BPA面积的最大值是∴四边形BEAP的面积最大值为∴当P点坐标是（3，

274

，此时四边形BEAP的面积最大，

+12=4， 4

）时，四边形BEAP面积的最大值是．

2．（2021•德州）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：

x y

… …

0 3

1 6

2 7

3 6

4 3

… …

（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：抛物线的顶点坐标为（2，7）；（2）求抛物线C1的解析式；

（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；

①若直线y=2x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；

第36页（共201页）

【解答】解：（1）∵表中的数据关于（2，7）对称， ∴该抛物线的顶点为（2，7）．

故答案为：抛物线的顶点坐标为（2，7）；

（2）由题意抛物线的解析式为y＝aax2+bx+c，将表中的三对对应值代入得： 𝑎+𝑏+𝑐=6{𝑐=3， 4𝑎+2𝑏+𝑐=7𝑎=−1

解得：{𝑏=4．

𝑐=3

∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4x+3．

（3）①由（1）知：抛物线C1的顶点为（2，7），

∴将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2的顶点为（﹣2，4）．

∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x．由题意得：

𝑦=𝑥+𝑏𝑦=𝑥+𝑏

22{或{， 22

𝑦=−𝑥+4𝑥+3𝑦=−𝑥−4𝑥∴﹣x2+4x+3=2x+b或﹣x2﹣4x=2x+b．即𝑥2−2𝑥+𝑏−3=0或𝑥2+2x+b＝0．

∴(−2)2−4×1×（b﹣3）＝0或(2)2−4×1×b＝0．解得：b=16或b=16．

第37页（共201页）

9781

∵直线y=x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点， ∴

8116

12＜b＜16．

②由题意画出图形如下：过点A作AE⊥x轴于点E，

∵抛物线C2的解析式为y＝﹣x2﹣4x， ∴令y＝0，则＝﹣x2﹣4x＝0，解得：x＝0或x＝﹣4．

∵抛物线C2与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧）， ∴B（﹣4，0），C0，0）． ∴OB＝2．

由①知：抛物线C2的顶点为A（﹣2，4）． ∴AE＝4，OE＝2， ∴BE＝OB﹣OE＝2．

在Rt△ABE中，tan∠ABE=𝐵𝐸=2．

∵点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点， ∴设点P（m，﹣m2﹣4m），则m＜0，﹣m2﹣4m＞0． ∵PD⊥x轴， ∴OD＝﹣m．

设直线AP的解析式为y＝kx+n，则： −2𝑘+𝑛=4{， 𝑘𝑚+𝑛=−𝑚2−4𝑚𝑘=−𝑚−2

解得：{．

𝑛=−2𝑚

第38页（共201页）

𝐴𝐸

∴直线AP的解析式为y＝﹣（m+2）x﹣2m．令x＝0，则y＝﹣2m． ∴Q（0，﹣2m）． ∴OQ＝﹣2m．

在Rt△ODQ中，tan∠QDO=∴tan∠ABE＝tan∠QDO． ∴∠ABE＝∠QDO． ∴AB∥DQ．

3．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；

（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．

𝑂𝑄−2𝑚

==2． 𝑂𝐷−𝑚

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得： 𝑎−𝑏+3=0

{， 9𝑎+3𝑏+3=0𝑎=−1

解得：{．

𝑏=2

∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3． ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点C（1，4）．

（2）设AC交y轴于点F，连接DF，过点C做CE⊥x轴于点E，

第39页（共201页）

∵A（﹣1，0），C（1，4）， ∴OA＝1，OE＝1，CE＝4．

∴OA＝OE，AC=√𝐴𝐸2+𝐶𝐸2=2√5． ∵FO⊥AB，CE⊥AB， ∴FO∥CE，

∴OF=2CE＝2，F为AC的中点． ∵△DAC是以AC为底的等腰三角形， ∴DF⊥AC． ∵FO⊥AD， ∴△AFO∽△FDO． ∴

𝐴𝑂𝑂𝐹12

𝑂𝐹𝑂𝐷2

．

∴=

𝑂𝐷

．

∴OD＝4． ∴D（4，0）．

设直线CD的解析式为y＝kx+m， 𝑘+𝑚=4∴{， 4𝑘+𝑚=0𝑘=−3解得：{．

16𝑚=

∴直线CD的解析式为y=−3𝑥+3． 𝑦=−3𝑥+3∴{，

𝑦=−𝑥+2𝑥+3

第40页（共201页）

416

𝑥2=𝑥1=13．解得：{，{

20𝑦1=4

𝑦2=

∴P（，3

7209

）．

（3）过点P作PH⊥AB于点H，如下图，

则OH=，PH=∵OD＝4，

∴HD＝OD﹣OH=3， ∴PD=√𝑃𝐻2+𝐻𝐷2=

． 920

7320， 9∴PC＝CD﹣PD＝5−9=9．由（2）知：AC＝2√5．

设AF＝x，AE＝y，则CE＝2√5−y． ∵DA＝DC， ∴∠DAB＝∠C．

∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°， ∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°，又∵∠PEF＝∠CAB， ∴∠CEP＝∠AFE． ∴△CEP∽△AFE． ∴

𝑃𝐶𝐴𝐸

20925

𝐸𝐶𝐴𝐹

．

∴

𝑦

2√5−𝑦． 𝑥

第41页（共201页）

∴x=−

929√599𝑦+y=−(𝑦−√5)2+． 201020494

∴当y=√5时，x即AF有最大值． ∵OA＝1，

∴OF的最大值为−1=．

4∵点F在线段AD上，

∴点F的横坐标m的取值范围为﹣1＜m≤．

（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；

（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．

【解答】解：（1）由题意知，交点A坐标为（a，﹣2a），代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解得：a=−√2，

抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+2，

当t＝1秒时，OP=√5，设P的坐标为（x，y）， 𝑥2+𝑦2=(√5)2则{， 𝑦=−2𝑥

第42页（共201页）

𝑥=1𝑥=−1解得{或{（舍去），

𝑦=−2𝑦=2∴P的坐标为（1，﹣2）；

（2）经过t秒后，OP=√5t，OQ＝2√5t，

由（1）方法知，P的坐标为（t，﹣2t），Q的坐标为（2t，﹣4t），

由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为（2t，﹣2t），N的坐标为（t，﹣4t），矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1，然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2，将M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解得：t=，或t＝﹣1（舍），

将N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，解得：t＝1+√3或t＝1−√3（舍）．

所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，时间t的取值范围是：≤t≤1+√3；

2（3）设R（m，n），则R关于原点的对称点为R'（﹣m，﹣n），当点M恰好在抛物线上时，M坐标为（1，﹣1），过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，则R'M=√𝑀𝑆2+𝑅′𝑆2=√(−𝑚−1)2+(−𝑛+1)2，又∵n＝﹣m2﹣2m+2得（m+1）2＝3﹣n，消去m得：R'M=√(𝑚+1)2+(𝑛−1)2 =√(3−𝑛)+(𝑛−1)2 =√𝑛2−3𝑛+4 =√(𝑛−2)2+4，

当n=时，R'M长度的最小值为此时，n＝﹣m2﹣2m+2=，解得：m＝﹣1±

√6， 2

3232√7， 2

37√63

∴点R的坐标是（﹣1±，）．

第43页（共201页）

5．（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC

第44页（共201页）

于点E，设

𝑃𝐸

𝑂𝐸

=k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．

（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D． ①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；

②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ=（t为大于0的常数），求点M的坐标．

𝑡

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3，解得：a＝﹣1，

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H， ∴△PEH∽△OEC， ∴∵

𝑃𝐸𝑂𝐸𝑃𝐸𝑂𝐸

𝑃𝐻𝑂𝐶

，

=k，OC＝3，

∴k=3PH，

设直线BC的解析式为y＝kx+n， ∵B（3，0），C（0，3）， 3𝑘+𝑛=0∴{， 𝑛=3𝑘=−1

解得：{，

𝑛=3

第45页（共201页）

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3）， ∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t， ∴k=3（﹣t2+3t）=−3（t−2）2+4， ∵−3＜0，

∴当t=时，k取得最大值，此时，P（，4

）；

（3）①如图2，过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∴Q（1，0），

∴OQ＝1，BQ＝OB﹣OQ＝3﹣1＝2， ∵点C关于x轴的对称点为点D， ∴D（0，﹣3）， ∵B（3，0）， ∴OB＝OD＝3， ∵∠BOD＝90°，

∴DQ=√𝑂𝑄2+𝑂𝐷2=√12+32=√10， BD=𝑐𝑜𝑠∠𝐷𝐵𝑂=𝑐𝑜𝑠45°=3√2，

∴△BDQ的周长＝BQ+DQ+BD＝2+√10+3√2；在Rt△OBD中，∵∠BOD＝90°，OB＝OD， ∴∠DBO＝∠BDO＝45°， ∵∠BTQ＝90°，

∴△BQT是等腰直角三角形，

∴QT＝BT＝BQ•cos∠DBO＝2•cos45°=√2， ∴DT＝BD﹣BT＝3√2−√2=2√2， ∴tan∠BDQ=𝐷𝑇=

𝑄𝑇

√2𝑂𝐵3

2√2=2；

②设M（0，﹣m），则OM＝m，

BM=√𝑂𝐵2+𝑂𝑀2=√32+𝑚2=√9+𝑚2，

第46页（共201页）

MQ=√𝑂𝑄2+𝑂𝑀2=√1+𝑚2， ∵tan∠BMQ=𝑡， ∴

𝑄𝑇𝑀𝑇

=，

𝑡

∴MT＝t•QT， ∵QT2+MT2＝MQ2，

∴QT2+（t•QT）2＝（√1+𝑚2）2， ∴QT=

√1+𝑚2√1+𝑡

2，MT=

𝑡√1+𝑚2

√1+𝑡

2，

∵cos∠QBT＝cos∠MBO， ∴

𝐵𝑇𝐵𝑄

𝑂𝐵𝐵𝑀6，即𝐵𝑇2

3√𝑚2+9，

∴BT=

√𝑚2+9

，

∵BT+MT＝BM， ∴6√𝑚2+9+

𝑡√1+𝑚2√1+𝑡2=

√9+𝑚2，

整理得，（m2+3）2＝4t2m2， ∵t＞0，m＞0，

∴m2+3＝2tm，即m2﹣2tm+3＝0，

当Δ＝（﹣2t）2﹣4×1×3＝4t2﹣12≥0，即t≥√3时，

2𝑡±√4𝑡2−12m==t±√𝑡2−3， 2∴M（0，√𝑡2−3−t）或（0，−√𝑡2−3−t）．

第47页（共201页）

（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．

（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点． ①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；

②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y=x−交直线l于点F，点G在直线y=3x−3上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．

373第48页（共201页）

【解答】解（1）由题意得， {𝑐=3，−9+3𝑏+𝑐=0， ∴b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+3 ＝﹣（（x﹣1）2+4， ∴P（1，4）．（2）①如图1，

作CE⊥PD于E，

∵C （0，3），B （3，0）， ∴直线BC：y＝﹣x+3，

∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a）， ∴CE＝PE＝DE，

∴△PCD是等腰直角三角形， ∴S1

△PCD=2PD•CE=2×2×1＝1， ∴1

2AB•|3﹣a|＝2，

第49页（共201页）

∴×4•|3﹣a|＝2，

∴a＝2或a＝4．

∴Q（2，1）或（4，﹣1）． ②如图2，

设G（m，m−），

3由AG2＝AQ2得，

（m+1）2+(𝑚−)2=（2+1）2+12，化简，得 5m2+2m﹣16＝0， ∴m1＝﹣2，m2=，

∴G1（﹣2，﹣3），G2（，−），

5851373作QH⊥AB于H， ∵AQ⊥QF， ∴△AHQ∽△QHM， ∴QH2＝AH•HM，即：12＝3•HM， ∴HM=3， ∴M（，0），

371

设直线QM是：y＝kx+b，

第50页（共201页）

∴{7

32𝑘+𝑏=1

，

𝑘+𝑏=0

∴k＝﹣3，b＝7， ∴y＝﹣3x+7， 𝑦=−3𝑥+7由{17得， 𝑦=𝑥−

33x=5，y=−5 ∴F（

145

147

，−）

1478

+2)2+(3−)2=√10， 55575∴G1F=√(G2F=√(

1482972

−)+(−)2=√10． 555557．（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y=2x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．

（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；

（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；

（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．

【解答】解：（1）∵点A、B在抛物线y=2x2上，点A、B的横坐标分别为﹣3、，

第51页（共201页）

∴当x＝﹣3时，y=

4119411168

×（﹣3）2=×9=，当x=时，y=×（）2=×=， 222322993

即点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（，），

作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，作PE⊥x轴于点E，如右图1所示，则AC∥BD∥PE， ∵点P为线段AB的中点， ∴PA＝PB，

由平行线分线段成比例，可得EC＝ED，设点P的坐标为（x，y），则x﹣（﹣3）=∴x=

3+(−3)

−x， 35

2=−6，

982+9同理可得，y=2=36， ∴点P的坐标为（−6，

9736

）；

（2）∵点B在抛物线y=2x2上，点B的横坐标为4， ∴点B的纵坐标为：y=

×42＝8， 21

∴点B的坐标为（4，8）， ∴OD＝4，DB＝8，

作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图2所示， ∵∠AOB＝90°，∠ACO＝90°，∠ODB＝90°，

∴∠AOC+∠BOD＝90°，∠BOD+∠OBD＝90°，∠ACO＝∠ODB， ∴∠AOC＝∠OBD， ∴△AOC∽△OBD， ∴

𝐴𝐶𝑂𝐷

𝐶𝑂𝐷𝐵

，

12设点A的坐标为（a，a），

∴CO＝﹣a，AC=2a2， ∴

12𝑎21

−𝑎8

，

解得a1＝0（舍去），a2＝﹣1，

第52页（共201页）

∴点A的坐标为（﹣1，），

∴中点P的横坐标为：

−1+42

∴线段AB中点P的坐标为（，

317

=，纵坐标为

）；

8+2

174

，

（3）作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图3所示，由（2）知，△AOC∽△OBD， ∴

𝐴𝐶𝑂𝐷

𝐶𝑂𝐷𝐵

，

1212

设点A的坐标为（a，a），点B的坐标为（b，b），

∴

𝑎2−𝑎

12， 𝑏2

𝑏

解得，ab＝﹣4，

∵点P（x，y）是线段AB的中点，

12122

𝑎+𝑏𝑎2+𝑏(𝑎+𝑏)−2𝑎𝑏2𝑎+2𝑏∴x=，y===， 22442

∴a+b＝2x，

(2𝑥)−2×(−4)

∴y==x2+2，

即y关于x的函数解析式是y＝x2+2；（4）当y＝6时，6＝x2+2， ∴x2＝4，

∵OP=√𝑥2+𝑦2=√4+62=2√10，△AOB是直角三角形，点P时斜边AB的中点， ∴AB＝2OP＝4√10，即线段AB的长是4√10．

第53页（共201页）

8．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M（2，−3），抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，2√3）与点C关于y轴对称．（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；

第页（共201页）

2√3

（2）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形ABCO的形状并证明；

直线AC的函数表达

式

① y=−3x+3

②

√3S取的一个特殊值满足条件的P点的个

数

S的可能取值范围

4√36

9√32

4个 3个 2个

③ 0＜S＜\\

9√3 2

④ S＞9√3 2

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2−得：0＝a（4﹣2）2−3，解得：a=6， ∴抛物线解析式为y=

√3√32√3，将A（4，0）代入， 32√36（x﹣2）2−

2√3√322√3=x−x， 363∵点B（2，2√3）与点C关于y轴对称， ∴C（﹣2，2√3），

当x＝﹣2时，y=6（﹣2﹣2）2−3=2√3， ∴点C在该抛物线y=6（x﹣2）2−3上；（2）四边形ABCO是菱形．

第55页（共201页）

√3√32√32√3

证明：∵B（2，2√3），C（﹣2，2√3）， ∴BC∥x轴，BC＝2﹣（﹣2）＝4， ∵A（4，0）， ∴OA＝4， ∴BC＝OA，

∴四边形ABCO是平行四边形， ∵OC=√(−2−0)2+(2√3−0)2=4， ∴OC＝OA，

∴四边形ABCO是菱形．

（3）①设直线AC的函数表达式为y＝kx+b， ∵A（4，0），C（﹣2，2√3）， 4𝑘+𝑏=0∴{， −2𝑘+𝑏=2√3解得：{

𝑘=−

3， 4√3𝑏=3√3√3∴直线AC的函数表达式为y=−3x+3；故答案为：y=−3x+3；

②当点P在直线AC下方的抛物线上时，如图2，

√322√3设P（t，t−3t），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，

√34√34√3则H（t，−

√33t+

4√3）， 3√32√3√3√3∴PH=−3t+3−（t2−3t）=−6t2+3t+3，

6∵满足条件的P点有3个，

∴在直线AC下方的抛物线上只有1个点P，即S△PAC的值最大，

∵S△PAC＝S△PHC+S△PHC=2PH•[4﹣（﹣2）]＝3PH＝3（−6t2+3t+3）=−2（t﹣1）

√34√34√31√3√34√3√3+2，

9√32

9√3∴当t＝1时，S△PAC取得最大值故答案为：

，

9√32

；

第56页（共201页）

③由②知，当0＜S＜9√3时，在直线AC下方的抛物线上有2个点P，满足S△PAC＝S， 2在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P，满足S△PAC＝S， ∴满足条件S△PAC＝S的P点有4个，符合题意．故答案为：0＜S＜2；

④∵满足条件S△PAC＝S的P点只有2个，而在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P，满足S△PAC＝S，

∴在直线AC下方的抛物线上没有点P，满足S△PAC＝S，由②知，当S＞故答案为：S＞9√3时，在直线AC下方的抛物线上没有点P，满足S△PAC＝S，符合题意． 29√3． 29√3

9．（2021•盘锦）如图，抛物线y=−2x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．（1）点F的坐标为（4，2）；

第57页（共201页）

（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若

𝑃𝑀𝑄𝑁

114

，求点P的坐标；

（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4√2个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG=时，求点G的运动时间t．

【解答】解：（1）在抛物线y=−x2+2x+6中，令y＝0，则−2x2+2x+6＝0， ∴x＝﹣2或x＝6， ∴A（﹣2，0），B（6，0），令x＝0，则y＝6， ∴C（0，6），

在直线y＝x﹣2，令y＝0，则x＝2， ∴E（2，0），令x＝0，则y＝﹣2， ∴D（0，﹣2），

设直线BC的解析式为y＝kx+b， 𝑏=6∴{， 6𝑘+𝑏=0𝑘=−1∴{， 𝑏=6∴y＝﹣x+6， 𝑦=−𝑥+6联立{，

𝑦=𝑥−2𝑥=4解得{，

𝑦=2∴F（4，2），

第58页（共201页）

故答案为（4，2）；

（2）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，

∵PM⊥BC，QN⊥BC， ∴∠PMF＝∠QNF， ∴△PMF∽△QNF， ∴∵∴

𝑃𝑀𝑄𝑁𝑃𝑀𝑄𝑁𝑃𝐹𝑄𝐹

===

𝑃𝐹𝑄𝐹114114

，

∵FH∥PG， ∴

𝐹𝑄𝑃𝑄

𝐹𝐻𝑃𝐺

，

∵FH＝2， ∴PG=2， ∴P点纵坐标为∴−x2+2x+6=

12152

，

15， 2∴x＝1或x＝3， ∴P（1，

152

）或P（3，

152

）；

（3）如图2，过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，

第59页（共201页）

由题意得，EG＝4√2t， ∵SE＝SG，

∴EK＝GK=EG＝2√2t，在Rt△SEK中，tan∠SEG=∴SK=√2t，

∵E（2，0），D（0，﹣2）， ∴OE＝OD，

∴△ODE是等腰直角三角形， ∴∠OED＝45°， ∴∠KEH＝∠OED＝45°， ∴△EHL为等腰直角三角形， ∴LK＝SK=√2t，SL=√2SK＝2t， ∴EL＝EK﹣LK=√2t， ∴EH＝LH＝t，

∴OH＝OE+EH＝t+2，SH＝SL+LH＝3t， ∴S（t+2，3t），

∴−（t+2）2+2（t+2）+6＝3t， ∴t＝2或t＝﹣8（舍）， ∴点G的运动时间为2s．

10．（2021•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；

（2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，

第60页（共201页）

2𝑆𝐾1

=， 𝐸𝐾212

DG⊥CA于点G，若E为GA的中点，求m的值．

（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，结合函数图象，探究n的取值范围．

【解答】解：（1）在y＝﹣（x﹣1）2+4中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1或3， ∴A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），

0=3𝑘+𝑏设直线CA的解析式为y＝kx+b，则{，

3=𝑏𝑘=−1解得{，

𝑏=3

∴直线CA的解析式为y＝﹣x+3；

（2）∵直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F， ∴D（m，﹣（m﹣1）2+4），且0＜m＜3，E（m，﹣m+3），F（m，0）， ∴AF＝3﹣m，DE＝﹣（m﹣1）2+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∵A（3，0），C（0，3），

∴∠EAF＝45°，△EAF是等腰直角三角形， ∴AE=√2AF＝3√2−√2m，∠DEG＝∠AEF＝45°， ∴△DEG是等腰直角三角形， ∴DE=√2GE， ∵E为GA的中点， ∴GE＝AE＝3√2−√2m， ∴﹣m2+3m=√2（3√2−√2m），解得m＝2或m＝3，

∵m＝3时，D与A重合，舍去， ∴m＝2；

第61页（共201页）

𝑦=𝑛𝑥+𝑛𝑥=−1𝑥=3−𝑛

（3）由{得{或{，

𝑦=−𝑛2+4𝑛𝑦=−(𝑥−1)2+4𝑦=0①若3﹣n＞﹣1，即n＜4，如图：

∵x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，

∴3﹣n﹣（﹣1）＞3，且﹣n2+4n﹣0＞0，解得0＜n＜1；

②若3﹣n＜﹣1，即n＞4，同理可得： ﹣1﹣（3﹣n）＞3且0﹣（﹣n2+4n）＞0，解得n＞7，

综上所述，n的取值范围是0＜n＜1或n＞7．

（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；

（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．

𝑐=3

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到{，

−1−𝑏+𝑐=0

第62页（共201页）

𝑏=2解得{，

𝑐=3

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，对称轴x=−

（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．

=1． −2

∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3）， ∴D（2，3）， ∵B（3，0），

∴T（，），BD=√(3−2)2+32=√10，

∵∠NPD＝90°，DT＝TB， ∴PT=2BD=2， ∴（1−）2+（m−）2＝（解得m＝1或2， ∴P（1，1）或（1，2）．

（3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．

232√102

）， 2

√10

∵△BMN是等边三角形，

第63页（共201页）

∴∠NMB＝∠NBM＝60°， ∵∠NBT＝90°，

∴∠MBT＝30°，BT=√3BN， ∵∠NMB＝∠MBT+∠BTM＝60°， ∴∠MBT＝∠BTM＝30°， ∴MB＝MT＝MN，

∵∠NBE+∠TBJ＝90°，∠TBJ+∠BTJ＝90°， ∴∠NBE＝∠BTJ， ∵∠BEN＝∠TJB＝90°， ∴△BEN∽△TJB， ∴

𝑇𝐽𝐸𝐵

𝐵𝐽𝐸𝑁

𝐵𝑇𝐵𝑁

√3，

∴BJ=√3t，TJ＝2√3， ∴T（3+√3t，2√3）， ∵NM＝MT， ∴M（

4+√3𝑡2√3+𝑡，）， 22

∵点M在y＝﹣x2+2x+3上， ∴

2√3+𝑡4+√3𝑡24+√3𝑡=−（）+2×+3，

222

整理得，3t2+（4√3+2）t﹣12+4√3=0，解得t＝﹣2√3（舍弃）或∴M（

9−√34√3−1，）． 33

2√3−2， 3

如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．

第页（共201页）

同法可得T（3−√3n，﹣2√3），M（则有

4−√3𝑛2

，𝑛−2√3）， 2

𝑛−2√34−√3𝑛24−√3𝑛=−（）+2×2+3， 22

整理得，3n2+（2﹣4√3）n﹣12﹣4√3=0，解得n=

−2√3−2或2√3（舍弃）， 39+√3−4√3−1∴M（，），

综上所述，满足条件的点M的横坐标为

9−√33

或

9+√33

．

①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.

𝑀𝑁𝑀𝑃

=，D.

3𝑀𝑁𝑀𝑃

√2，所有正确选项的序号是 A，D ．

③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时，求点Q的坐标．

36𝑎−6𝑏+2=0

【解答】解（1）由题意得：{𝑐=2，

𝑏

−2𝑎=−4

第65页（共201页）

解之得：a=，b=，c＝2， ∴y=𝑥2+𝑥+2，

∴当x＝﹣4时，y=6×(−4)2+3×(−4)+2=−3， ∴D（﹣4，−）．

（2）①如图1中，点N，直线l即为所求．

1313

②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．由题意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），

∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y=3x+2，直线BC的解析式为y=−2x+2， ∵MN∥AB，

第66页（共201页）

∴可以假设直线MN的解析式为y=x+t，

3𝑡−721𝑥=𝑦=3𝑥+𝑡11，由{，解得{12𝑡−24𝑦=4𝑥+24𝑦=113𝑡−7212𝑡−24

13∴M（

1111312−6𝑡𝑦=−2𝑥+2𝑥=11由{．解得{， 14+9𝑡

𝑦=3𝑥+𝑡𝑦=1112−6𝑡4+9𝑡

，），

∴N（

1122

，

），

∴Q（

−60−3𝑡

，

21𝑡−2022

），

∵QJ⊥CD，QT⊥MH， ∴QJ=

−60−3𝑡28−3𝑡21𝑡−2024𝑡−4828−3𝑡

+4=，QT=−=， 2222222222∴QJ＝QT，

∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT， ∴△PJQ≌△MTQ（AAS）， ∴PQ＝MQ， ∵∠PQM＝90°，

∴∠PMN＝∠MPQ＝45°， ∵PM＝PN，

∴∠PMN＝∠PNM＝45°， ∴∠MPN＝90°，

∴△PMN是等腰直角三角形， ∴

𝑀𝑁𝑀𝑃

√2，故选项D正确，B，C错误，

∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上， ∴折痕与AB垂直，故选项A正确，故答案为：A，D．

③设P（﹣4，m）．

第67页（共201页）

∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形， ∴△PDQ是等腰直角三角形， ∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+， ∴Q（﹣4+m+，m），即Q（−

32310

+m，m）， 31610410

+m）2+（−+m）+2， 3332

3把Q的坐标代入y=𝑥2+𝑥+2，得到，m=（−整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，解得m=

162

或−（舍弃）， 33163

∴Q（2，），

163

根据对称性可知Q′（﹣10，）也满足条件，

163

综上所述，满足条件的点Q的坐标为（2，）或（﹣10，

163

）．

13．（2021•锦州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=4x+1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．

（1）求抛物线的表达式．（2）M为抛物线上的动点．

①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；

434第68页（共201页）

【解答】解：（1）令x＝0，则y=4x+1＝1， ∴C点坐标为（0，1），令y＝0，则𝑥+1=0，

∴𝑥=−，

∴A点坐标为（−3，0），令x＝6，则y=𝑥+1=

113

411， 24

43∴D点坐标为（6，2），

将C，D两点坐标代入到抛物线解析式中得， 𝑐=1

11， {

9+6𝑏+𝑐=

解得{𝑏=−4，

𝑐=1

∴抛物线的表达式为：y=4𝑥2−4𝑥+1；（2）①设N（n，0），

∵四边形CDMN为平行四边形， ∴由平移与坐标关系可得M（n+6，），

∵点M在抛物线上， ∴(𝑛+6)2−

(𝑛+6)+1=2，

∴n2+9n+4＝0， ∴n=

−9±√65， 2−9+√659−9−√659

，）或（，）； 2222

∴点M的坐标为（

②第一种情况：如图1，当BD′∥x轴时，分别过A，D作x轴的垂线，垂足分别为H，Q，

第69页（共201页）

在直角△ADQ中，AQ＝6+=∴tan∠DAQ=

𝐷𝑄3

=， 𝐴𝑄44

432211，DQ=， 32∴cos∠DAQ=5， ∵∠BAH＝∠DAQ， ∴cos∠BAH=

𝐴𝐻4

=， 𝐴𝐵5∵直线BD与直线BD′关于直线OM对称， ∴∠DBM＝∠D′BM， ∵BD′∥x轴，

∴∠HOB＝∠D′BM＝∠DBM， ∴AB＝AO=， ∴

𝐴𝐻

43=，

516， 1512 53

∴AH=

∴OH＝AH+AO=

令x=−5，则y=4𝑥+1=−5， ∴B点坐标为（−

124，−）， 551

设直线OB的解析式为y＝kx，代入点B得，k=3， ∴直线OB的解析式为y=3x， 𝑦=3𝑥

联立{，

123

𝑦=𝑥−𝑥+1

444𝑥1=

3，{𝑥2=3，解得{

4𝑦2=1𝑦1=94

∴点M的横坐标为3或，

第二种情况，如图2，当BD′∥y轴时，设BD′交x轴于H， ∴∠COB＝∠OBH，

∵直线BD与直线BD′关于直线OM对称，

第70页（共201页）

∴∠CBO＝∠OBH＝∠COB， ∴CB＝CO＝1，过C作CE⊥BH于E， ∴CE∥x轴， ∴∠BCE＝∠CAO， ∵tan∠CAO=

𝐶𝑂3

=， 𝐴𝑂44

∴cos∠CAO=5， ∴cos∠BCE=𝐵𝐶=5， ∴CE=𝐵𝐶=， ∴𝐵𝐸=√𝐵𝐶2−𝐶𝐸2=， ∵CE⊥BH，BH⊥x轴，

∴∠CEH＝∠BHO＝∠COH＝90°， ∴四边形CEHO为矩形， ∴EH＝CO＝1，CE＝OH=， ∴BH＝BE+EH=5， ∴点B的坐标为（，），

535𝐶𝐸

∴直线OB的解析式为y＝2x， 𝑦=2𝑥联立{， 13

𝑦=4𝑥2−4𝑥+1化简得，x211x+4＝0， ∴𝑥=

11±√105， 2∵点M在直线CD下方， ∴x＜6， ∴x=

11−√105， 211−√1052

∴点M的横坐标为，

第71页（共201页）

即点M的横坐标为3或或3

411−√1052

．

14．（2021•兴安盟）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax+bx+6（a≠0）相交于点A（，）

（2）如图1，连接AC，是否存在点F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；

第72页（共201页）

【解答】解：（1）∵直线y＝x+2过点B（4，m）， ∴m＝4+2，解得m＝6， ∴B（4，6），

把点A和B代入抛物线的解析式，得：

115𝑎+𝑏+6={422，

16𝑎+4𝑏+6=6𝑎=2解得{，

𝑏=−8

∴抛物线的解析式为𝑦=2𝑥2−8𝑥+6；（2）存在点F，使△FAC为直角三角形，

设F（n，n+2），直线AB与x轴交于M，则M（﹣2，0），直线AB与y轴交于点N，则N（0，2），

∵FC∥y轴，

∴C（n，2n2﹣8n+6），

∵直线y＝x+2与x轴的交点为M（﹣2，0），与y轴交点为N（0，2）， ∴OM＝ON＝2， ∴∠ONM＝45°， ∵FC∥y轴，

∴∠AFC＝∠ONM＝45°，

若△FAC为直角三角形，则分两种情况讨论：（i）若点A为直角顶点，即∠FAC＝90°，过点A作AD⊥FC于点D，在Rt△FAC中，

第73页（共201页）

∵∠AFC＝45°， ∴AF＝AC， ∴DF＝DC， ∴AD=2FC，

∵n−2=2[(𝑛+2)−(2𝑛2−8𝑛+6)]，化简得：2n2﹣7n+3＝0，

解得：n1＝3，𝑛2=（与A重合舍去）， ∴F（3，5），

（ii）若点C为直角顶点，即∠FCA＝90°，则AC∥x轴，

在Rt△FAC中， ∵∠AFC＝45°， ∴AC＝CF，

∴n−2=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6，化简得：4n2﹣16n+7＝0，解得：𝑛1=，𝑛2=（舍去）， ∴F（，

1127

2121

），

112

综上所述：存在点 F（3，5）或（，（3）设F（c，c+2）， ∵FC∥y轴， ∴C（c，2c2﹣8c+6），

），使△FAC为直角三角形；

第74页（共201页）

在Rt△FEC中， ∵∠AFC＝45

∴EF＝EC＝CF•sin∠AFC=

√22⋅𝐶𝐹，

∴当CF最大时，△FEC的周长最大，

∵CF＝（c+2）﹣（2c2﹣8c+6）＝﹣2c2+9c﹣4=−2(𝑐−4)2+8，又∵﹣2＜0，

∴当𝑐=4时，CF最大即△FEC的周长最大，此时F点坐标为(4，4)，

折叠过程中，当K，F，Q共线，且K和Q在F两侧时，KQ的最大，K和Q在F同侧时，KQ的最小，

∵CF=8−[2×(4)2−8×4+6]=8，由（1）知点K的坐标为（3，0）， ∴KF=√(

√2981729)+(3−)2=， 444949

9917

179949

∴KQ的最大值为CF+KF=8+

49√298，KQ的最小值为CF﹣KF=8−449√2984．

15．（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；

（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当坐标及

𝑃𝑀

𝑃𝑀𝐴𝑀

最大时，求点P的

𝐴𝑀

的最大值；

（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

第75页（共201页）

【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c， 4𝑎−2𝑏+𝑐=0得{36𝑎+6𝑏+𝑐=0， 𝑐=−3𝑎=

4解得{𝑏=−1，

𝑐=−3∴y=x2﹣x﹣3；

（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F， ∴PF∥AE， ∴

𝑀𝑃𝐴𝑀

𝑃𝐹𝐴𝐸

，

设直线BC的解析式为y＝kx+d， 6𝑘+𝑑=0∴{， 𝑑=−3∴{𝑘=

𝑑=−3

2，

∴y=2x﹣3，

设P（t，t﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），

∴PF=t﹣3−t2+t+3=−t2+t， ∵A（﹣2，0）， ∴E（﹣2，﹣4）， ∴AE＝4， ∴

𝑀𝑃𝐴𝑀

2141432=

𝑃𝐹𝐴𝐸

13−𝑡2+𝑡424

=−

916

12319t+8t=−16（t﹣3）2+16， 16

∴当t＝3时，

𝑀𝑃

𝐴𝑀

有最大值，

第76页（共201页）

∴P（3，−

15）； 415

（3）∵P（3，−4），D点在l上，如图2，当∠CBD＝90°时，

过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，

∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°， ∴∠GDB＝∠CBH， ∴△DBG∽△BCH， ∴

𝐷𝐺𝐵𝐻

𝐵𝐺𝐶𝐻

，即=

3𝐵𝐺6

，

∴BG＝6， ∴D（3，6）；

如图3，当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，

∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°， ∴∠CDK＝∠OCB， ∴△OBC∽△KCD， ∴

𝑂𝐵𝐾𝐶

𝑂𝐶𝐾𝐷

，即6

𝐾𝐶

=，

∴KC＝6， ∴D（3，﹣9）；

如图4，当∠BDC＝90°时，

线段BC的中点T（3，−），BC＝3√5，设D（3，m）， ∵DT=2BC， ∴|m+2|=2，

∴m=2−2或m=−2−2，

3√533√53∴D（3，−）或D（3，−2−2）；

第77页（共201页）

33√53

3√53√53

综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，−（3，

3√52

3√53

−）或22−）．

第78页（共201页）

16．（2021•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．（1）b＝ −2 ，c＝ −4 ．

（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．

【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、B（5，0）代入y=4x2+bx+c，

−3𝑏+𝑐=0𝑏=−2，得{4，解得{2515+5𝑏+𝑐=0𝑐=−44第79页（共201页）

故答案为：−，−

1215. 415

（2）∵y=4x2−2x−4=4（x﹣1）2﹣4， ∴该抛物线的顶点坐标为D（1，﹣4）；设直线BD的函数表达式为y＝mx+n， 5𝑚+𝑛=0𝑚=1则{，解得{，

𝑛=−5𝑚+𝑛=−4∴y＝x﹣5．

（3）存在，如图1、图2．

由题意得，M（t﹣6，0），Q（t﹣3，0）， ∴G（t﹣6，t2−t+

7233），H（t﹣3，t﹣8）； 4∵QM•QH＜10，且QH≠0，

3(𝑡−8)＜10

1434

∴{3(8−𝑡)＜10，解得＜t＜3，且t≠8；

|𝑡−8|≠0

∵MG∥HQ，

∴当MG＝HQ时，以G、M、H、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴|t2−2t+4|＝|t﹣8|； 4

由t2−2t+4=t﹣8得，t2﹣18t+65＝0， 4解得，t1＝5，t2＝13（不符合题意，舍去）；由t2−t+

233

=−t+8得，t2﹣10t+1＝0， 41

解得，t1＝5+2√6，t2＝5﹣2√6（不符合题意，舍去），综上所述，t＝5或t＝5+2√6．

（4）由（2）得，抛物线y=4x2−2x−4的对称轴为直线x＝1，过点P作直线x＝1的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，如图3，点Q在y轴左侧，此时点R在点G的上方，当点M的坐标为（﹣6，0）时，点R的位置最高，此时点Q与点A重合，

∵∠PGR＝∠DFP＝90°，∠RPG＝90°﹣∠FPD＝∠PDF， ∴△PRG∽△DPF，

第80页（共201页）

1115

∴

𝑅𝐺𝑃𝐹

𝑃𝐺𝐷𝐹

，

∴RG=

𝑃𝐺⋅𝑃𝐹3×4

==6， 𝐷𝐹2∴R（0，4）；

如图4，为原图象的局部入大图，

当点Q在y轴右侧且在直线x＝1左侧，此时点R的最低位置在点G下方，由△PRG∽△DPF，得，

𝑅𝐺𝑃𝐹

𝑃𝐺𝐷𝐹

，

∴GR=𝐷𝐹；

设点Q的坐标为（r，0）（0＜r＜1），则P（r，﹣2）， ∴GR=

𝑟(1−𝑟)1211121

=−r+r=−（r−）+8， 222221

𝑃𝐺⋅𝑃𝐹

∴当r=2时，GR的最大值为， ∴R（0，−

17）； 8如图5，为原图象的缩小图，

当点Q在直线x＝1右侧，则点R在点G的上方，当点M与点B重合时，点R的位置最高，由△PRG∽△DPF，得，

𝑅𝐺𝑃𝐹

𝑃𝐺𝐷𝐹

，

8×7

∴GR=𝐷𝐹=2=28， ∴R（0，26）， ∴4+

1717137

+26+=， 8841374

𝑃𝐺⋅𝑃𝐹

∴点R运动路径的长为．

第81页（共201页）

第82页（共201页）

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0）， 𝑎−𝑏−3=0∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：{，

9𝑎+3𝑏−3=0𝑎=1

解得：{，

𝑏=−2

∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图，∵D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴D（1，﹣4），

第83页（共201页）

∵AE∥PD交直线l：y=x+2于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），

∴△AEF∽△PDF，设E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），

2又∵△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，S1＝S2， ∴△AEF≌△PDF，

∴AF＝PF，EF＝DF，即点F分别是AP、ED的中点，

又∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），E（e，e+2），D（1，﹣4），

𝑚−1𝑒+1

=22∴由中点坐标公式得：{2， 1

𝑚−2𝑚−3+02𝑒+2−4

221

解得：m1＝0（与“AE∥PD”不符，应舍去），m2=2， ∴t2=，

∴P（，−4），E（，）；

224

（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，则O′（，），OO′＝O′B=

3√2， 25

125

以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM＝90°， ∵O′H=2−1=2，O′M＝OO′=2， ∴MH=√𝑂′𝑀2−𝑂′𝐻2=√(2)2−(2)2=2， ∴t=2+2=

√17313√213√2√173+√17， 2②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M， ∵OB＝OC＝3， ∴⊙O经过点C，

连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，则OM＝OB＝3，OE＝1，

第84页（共201页）

∵∠MEO＝90°，

∴ME=√𝑂𝑀2−𝑂𝐸2=√32−12=2√2， ∴t＝2√2，综上所述，2√2≤t≤

3+√17． 2

第85页（共201页）

（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；

【解答】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得： 0=−1−𝑏+𝑐𝑏=4{，解得{， 5=𝑐𝑐=5∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；

（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：

在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得﹣x2+4x+5＝0，解得x＝5或x＝﹣1， ∴B（5，0），

∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形， ∴∠CBO＝45°，

第86页（共201页）

∵PD⊥x轴，

∴∠BQD＝45°＝∠PQH， ∴△PHQ是等腰直角三角形， ∴PH=

𝑃𝑄， √2∴当PQ最大时，PH最大，

设直线BC解析式为y＝kx+5，将B（5，0）代入得0＝5k+5， ∴k＝﹣1，

∴直线BC解析式为y＝﹣x+5，

设P（m，﹣m2+4m+5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m+5）， ∴PQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m−）2+∵a＝﹣1＜0，

255

∴当m=时，PQ最大为，

225， 4∴m=2时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，

）；

（3）存在，理由如下：

抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2，

设M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5）， ①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：

𝑠+25+0

=𝑠=322∴{2，解得{，

−𝑠+4𝑠+5+𝑡0+5𝑡=−3

=22∴M（3，8），

②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：

第87页（共201页）

𝑠+5∴{2=2+0

−𝑠22𝑠=−3+4𝑠+4+0𝑡+5，解得{，

2𝑡=−21

∴M（﹣3，﹣16），

③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：

𝑠+02+5{2=−𝑠22+4𝑠+5+5𝑡+0，解得{𝑠=7， 2=2𝑡=−11

∴M（7，﹣16）；

综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣第88页（共201页）

16）．

19．（2021•德阳）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；

【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c， 0=1−𝑏+𝑐得到方程组：{，

−3=4+2𝑏+𝑐𝑏=−2解得{，

𝑐=−3

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）作点C关于x轴的对称点C'，则C'（2，3），连接AC'并延长与抛物线交与点P，由图形的对称性可知P为所求的点，

设直线AC'的解析式为y＝mx+n， 0=−𝑚+𝑛由题意得：{，

3=2𝑚+𝑛𝑚=1

解得：{，

𝑛=1

第页（共201页）

∴直线AC'的解析式为y＝x+1，将直线和抛物线的解析式联立得： 𝑦=𝑥+1{， 𝑦=𝑥2−2𝑥−3

𝑥=4𝑥=−1

解得{1（舍去）或{2，

𝑦1=0𝑦2=5∴P（4，5）；（3）存在点M，

过点P作x轴的垂线，由勾股定理得AP=√(4+1)2+52=5√2，

同理可求得AC=√(2+1)2+32=3√2，PC=√(4−2)2+(5+3)2=2√17，

∴AP2+AC2＝PC2，∠PAC＝90°， ∴tan∠APC=𝐴𝑃=5， ∵∠MBN＝∠APC， ∴tan∠MBN＝tan∠APC， ∴

𝑀𝑁𝐵𝑁

𝐴𝐶

=，

设点M（m，m﹣2m﹣3），则解得m=−5或m=−5，

|𝑚2−2𝑚−3||3−𝑚|

=（m≠3），

当m=−5时，m2﹣2m﹣3=(−5)2−2×(−5)−3=−25， ∴M（−，−

82551）， 258

22251

当m=−5，m2﹣2m﹣3=(−5)2−2×(−5)−3=25， ∴M（−5，8

6925

），

∴存在符合条件的点M，M的坐标为（−5，−25），（−5，第90页（共201页）

）．

20．（2021•百色）已知O为坐标原点，直线l：y=−x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．（1）求证：AD＝CD；

（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；

（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC=S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

312

【解答】（1）证明：∵y=−2x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点， ∴A（4，0），C（0，2），由对称得∠ACD＝∠ACB， ∵B（4，2），

∴四边形OABC是矩形， ∴OA∥BC， ∴∠BCA＝∠OAC， ∴∠ACD＝∠OAC， ∴AD＝CD；

（2）解：设OD＝m，由对称可得CE＝BC＝4，AE＝AB＝OC＝2，∠AED＝∠B＝90°， ∴CD＝AD＝4﹣m，

在Rt△OCD中，OD2+OC2＝CD2， ∴m2+22＝（4﹣m）2， ∴m=2，

第91页（共201页）

∴D（，0），

设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为：y＝ax2+bx+c，把B（4，2），C（0，2），D（，0）代入得：

𝑐=2

{16𝑎+4𝑏+𝑐=2， 93𝑎+𝑏+𝑐=042 𝑎=15解得：32．

𝑏=− 15{𝑐=2

∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y=

（3）解：存在，

过点E作EM⊥x轴于M，

8232

x−x+2； 15158

∵ED＝EC﹣CD＝EC﹣AD＝OD=2， ∴S△AED=2AE•DE=2AD•EM， ∴×2×2=2×（4−2）EM，

∴EM=5，

设△PBC中BC边上的高为h， ∵S△PBC=3S△OAE， ∴×OA•EM=2BC•h，

353

2125

∴×

×4×5=2×4h，

第92页（共201页）

∴h＝2，

∵C（0，2），B（4，2）， ∴点P的纵坐标为0或4， ①y＝0时，

8232

x−15x+2＝0， 15

52解得：x1=，x2=； ②y＝4时，解得：x3=

8232

x−15x+2＝4， 15

324+√314−√31，x4=（舍去）， 2232

4+√312

∴存在，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，4）．

21．（2021•抚顺）直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；

【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3），令y＝0，则x＝3， ∴A（3，0），

∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，

第93页（共201页）

9𝑎+6+𝑐=0∴{， 𝑐=3𝑎=−1∴{， 𝑐=3

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设D（m，﹣m2+2m+3）， ∵DE∥y轴交AB于点E， ∴E（m，﹣m+3）， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝45°， ∴AG＝FG， ∵DE＝FG， ∴DE＝AG，

连接GE，延长DE交x轴于点T， ∴四边形FGED是平行四边形， ∵DF⊥AB， ∴EG⊥AB，

∴△AEG为等腰直角三角形， ∴AT＝ET＝GT＝3﹣m， ∴AG＝FG＝6﹣2m，

∴OG＝3﹣（6﹣2m）＝2m﹣3， ∴F点横坐标为2m﹣3， ∴FG＝﹣2m+6，

∴DT＝﹣2m+6+3﹣m＝﹣3m+9， ∴﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，解得m＝2或m＝3（舍）， ∴D（2，3）；

（3）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或x＝﹣1， ∴C（﹣1，0），

设CD的解析式为y＝kx+b，将C（﹣1，0）、D（2，3）代入，

第94页（共201页）

−𝑘+𝑏=0∴{， 2𝑘+𝑏=3𝑘=1∴{， 𝑏=1∴y＝x+1， ∴∠ACM＝45°， ∴CM⊥AM，联立x+1＝﹣x+3，解得x＝1， ∴M（1，2），

∵以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形，

①如图2，图3，当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，

第95页（共201页）

∵H点在抛物线上， ∴H（3，0）或H（0，3），当H（3，0）时，MH＝2√2， ∴KH＝4， ∴K（3，4）

∴HK的中点为（3，2），则MP的中点也为（3，2）， ∴P（5，2）；

当H（0，3）时，MH=√2， ∴KH＝2， ∴K（0，1），

∴HK的中点为（0，2），则MP的中点也为（0，2）， ∴P（﹣1，2），此时HK与y轴重合， ∴P（﹣1，2）不符合题意；

②如图4，图5，当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，

第96页（共201页）

∴H（1+√2，2）或H（1−√2，2），当H（1+√2，2）时，MH=√2， ∴P（1，2+√2）；

当H（1−√2，2）时，MH=√2， ∴P（1，2−√2）；

综上所述：当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，P点坐标为（5，2）或（1，2+√2）或（1，2−√2）．

22．（2021•湘潭）如图，一次函数y=3x−√3图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y=

√32

√33x+bx+c图象过A、B两点．

（1）求二次函数解析式；

第97页（共201页）

【解答】解：（1）在y=

√33x−√3中，令x＝0得y=−√3，令y＝0得x＝3，

∴A（3，0），B（0，−√3），

∵二次函数y=3x2+bx+c图象过A、B两点， 0=3√3+3𝑏+𝑐∴{，解得{𝑏=−3， −√3=𝑐𝑐=−√3∴二次函数解析式为y=3x2−3x−√3；（2）存在，理由如下：

2√3由二次函数y=x−x−√3可得其对称轴为直线x=3√3=1，

332×3√32

√3√32√32√32√3设P（1，m），Q（n，

√322√3n−n−√3），而B（0，−√3），

∵C与B关于直线x＝1对称， ∴C（2，−√3），

①当BC、PQ为对角线时，如图：

0+21+𝑛

=22此时BC的中点即是PQ的中点，即{， √32√3−√3−√3𝑚+3𝑛2−3𝑛−√3=22第98页（共201页）

解得{𝑚=−3，

𝑛=1

∴当P（1，−3），Q（1，−3）时，四边形BQCP是平行四边形，由P（1，−

2√34

），B（0，−√3），C（2，−√3）可得PB2==PC2， 332√34√32√3∴PB＝PC，

∴四边形BQCP是菱形， ∴此时Q（1，−

4√3）； 3②BP、CQ为对角线时，如图：

0+12+𝑛

=22同理BP、CQ中点重合，可得{， √32√3−√3+𝑚−√3+3𝑛2−3𝑛−√3=22𝑚=0

解得{，

𝑛=−1

∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，由P（1，0），B（0，−√3），C（2，−√3）可得BC2＝4＝PC2， ∴四边形BCPQ是菱形， ∴此时Q（﹣1，0）；

③以BQ、CP为对角线，如图：

第99页（共201页）

0+𝑛2+1

=22BQ、CP中点重合，可得{， √322√3−√3+3𝑛−3𝑛−√3−√3+𝑚=22𝑚=0

解得{，

𝑛=3

∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，由P（1，0），B（0，−√3），C（2，−√3）可得BC2＝4＝PC2， ∴四边形BCQP是菱形， ∴此时Q（3，0）；

综上所述，Q的坐标为：（1，−

4√3）或（﹣1，0）或（3，0）． 323．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；

【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）， ∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，

将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，

第100页（共201页）

∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得y＝3， ∴C（0，3），

设直线AC的解析式为y＝mx+n， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， −3𝑚+𝑛=0∴{， 𝑛=3𝑚=1

解得：{，

𝑛=3

∴直线AC的解析式为y＝x+3，

设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），

∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+2）2+4， ∵﹣1＜0，

∴当m=−时，PE有最大值，

∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠ACO＝45°， ∵PD⊥AB， ∴∠ADP＝90°， ∴∠ADP＝∠AOC， ∴PD∥OC，

∴∠PEF＝∠ACO＝45°， ∵PF⊥AC，

∴△PEF是等腰直角三角形， ∴PF＝EF=2PE， ∴S△PEF=2PF•EF=4PE2，

∴当m=−2时，S△PEF最大值=4×（）2=；

√2（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，

第101页（共201页）

如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中， 𝑃𝐺𝑄=∠𝐴𝑂𝐶{∠𝑃𝑄𝐺=∠𝐴𝐶𝑂， 𝑃𝑄=𝐴𝐶

∴△PQG≌△ACO（AAS）， ∴PG＝AO＝3，

∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，

∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）； ②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴M（−，），

∵点Q在对称轴上，

∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（−）＝﹣3， ∴x＝﹣2，此时y＝3， ∴P（﹣2，3）；

综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．

2第102页（共201页）

（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；

（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

第103页（共201页）

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得： 𝑎−𝑏−3=0{， 9𝑎+3𝑏−3=0𝑎=1

解得：{，

𝑏=−2

∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．

（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，

设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E （m，𝑚−2），

∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（−3m+2）＝﹣m2+3m+1， 𝑦=𝑥2−2𝑥−3联立方程组：{， 2

𝑦=𝑥−2

328

𝑥2=−3𝑥1=3

解得：{，{，

20𝑦1=0

𝑦2=−9∵点B坐标为（3，0）， ∴点C的坐标为（−，−

101

320）， 91

∴BD+CF＝3+|−3|=3， ∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC =2PE•BD+2PE•CF =2PE（BD+CF） =2（﹣m2+3m+1）•

103

=−3（𝑚−3）2+27，（其中−3＜m＜3），

第104页（共201页）

125

∵−＜0，

∴这个二次函数有最大值．当m=时，S△PBC的最大值为

4312527

53．

（3）如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H， ∴∠OGM＝∠OHN＝90°，

∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON， ∴OM＝ON，∠MON＝90°， ∵∠GOH＝90°， ∴∠MOG＝∠NOH，在△OGM与△OHN中， ∠𝑂𝐺𝑀=∠𝑂𝐻𝑁=90°{∠𝑀𝑂𝐺=∠𝑁𝑂𝐻， 𝑂𝑀=𝑂𝑁

∴△OGM≌△OHN（AAS）， ∴GM＝NH，OG＝OH，

𝑛−2=𝑡∴{32

，

𝑛=−𝑡+2𝑡+3

𝑡2=2𝑡1=0

解得：{，{，

15𝑛1=3

𝑛2=

4M1（0，﹣3），M2 (，−

215)， 423

如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H， ∴∠OGM＝∠OHN＝90°，

∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON， ∴OM＝ON，∠MON＝90°， ∵∠GOH＝90°， ∴∠MOG＝∠NOH，在△OGM与△OHN中，

第105页（共201页）

∠𝑂𝐺𝑀=∠𝑂𝐻𝑁=90°{∠𝑀𝑂𝐺=∠𝑁𝑂𝐻， 𝑂𝑀=𝑂𝑁

∴△OGM≌△OHN（AAS）， ∴GM＝NH，OG＝OH， ∴{

𝑡=−3𝑛+2

，

−𝑡+2𝑡+3=−𝑛解得：t1=∴M3(

1−√971+√97，t2=， 441−√9721+3√971+√9721−3√97，)，M4 (，)； 48481

1−√9721+3√97，)，M4 48综上所述，点M的坐标为M1（0，﹣3），M2 (2，−4)，M3((

1+√9721−3√97，)． 48

第106页（共201页）

（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

（2）设函数y=（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；

（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立， ∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x，解得：x1＝0，x2＝2，

∴函数y＝x2﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；（2）在函数y=（x＞0）中，令x=，解得：x=√3， ∴A（√3，√3），

在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，解得：x=b， ∴B（b，b），

23𝑥3𝑥3𝑥1

∵BC⊥x轴， ∴C（b，0），

第107页（共201页）

∴BC=12|b|，

∵△ABC的面积为3， ∴1

×1

|b|×|√3−1

22b|＝3，

当b＜0时，b2﹣2√3𝑏−24＝0，解得b＝﹣2√3，

当0≤b＜2√3时，b2﹣2√3𝑏+24＝0， ∵Δ＝（﹣2√3）2﹣4×1×24＝﹣84＜0， ∴方程b2﹣2√3𝑏+24＝0没有实数根，当b≥2√3时，b2﹣2√3𝑏−24＝0，解得：b＝4√3，

综上所述，b的值为﹣2√3或4√3；（3）令x＝x2﹣2，解得：x1＝﹣1，x2＝2，

∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），

①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣2），

W1：y＝x2﹣2（x≥m），

W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），令x＝（x﹣2m）2﹣2，

整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0， ∵W2的图象上不存在“等值点”， ∴Δ＜0，

∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0， ∴m＜−9

8，

②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2）， ③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”， ④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，

第108页（共201页）

1）或（2，

综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＜−或﹣1＜m＜2．

26．（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；

（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；

（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．

【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5， ∴点（2，4）不在抛物线上；

（2）抛物线y＝x﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（化简得（

𝑚+12

8𝑚+12

，4(2𝑚+3)−[−(𝑚+1)]2

），

，

−𝑚2+6𝑚+11

），

顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，而

−𝑚2+6𝑚+11

=−（m﹣3）2+5，

∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为：（2，5）；

（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得： −1=−𝑘+𝑏𝑘=2

{，解得{， 7=3𝑘+𝑏𝑏=1∴直线EF的解析式为y＝2x+1，

𝑦=2𝑥+1𝑥=2𝑥=𝑚+1由{得：{或{，

𝑦=5𝑦=2𝑚+3𝑦=𝑥2−(𝑚+1)𝑥+2𝑚+3

∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在线段EF上，

∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，

∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5）， ∴此时抛物线顶点横坐标x顶点=

𝑚+11𝑚+13𝑚+11+1＜−或x＞或x=2=1．顶点=顶点=22222第109页（共201页）

（1）求原抛物线对应的函数表达式；

（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；

（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3）， 𝑐=3∴{， 1−𝑏+𝑐=0𝑏=4∴{ 𝑐=3

∴原来抛物线的解析式为y＝x2+4x+3．

（2）∵A（﹣1，0），D（3，﹣1），

∴点A向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到D， ∵原来抛物线的顶点C（﹣2，﹣1），

∴点C向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到E， ∴E（2，﹣2），

第110页（共201页）

∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣2＝x2﹣4x+2， ∴G（0，2），

∵点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，

∴观察图形可知，满足条件的点F在过点G平行CE的直线上， ∵直线CE的解析式为y=−x−， ∴直线GF的解析式为y=−4x+2，

𝑦=𝑥2+4𝑥+3𝑥=−𝑥=−44（舍弃）由{，解得{或{， 133𝑦=3𝑦=−𝑥+2𝑦=4161

432∴F（﹣4，3），

∴FG=√42+12=√17，CE=√42+12=√17， ∴FG＝CE， ∵FG∥EC，

∴四边形ECFG是平行四边形，

由平移的性质可知当F′（4，1）时，四边形CEF′G是平行四边形，但是对于新抛物线y＝x2﹣4x+2，x＝4时，y＝2≠1， ∴满足条件的点F 的坐标为（﹣4，3）．

（3）设经过点K的直线为y=−4x+b，在第二象限与原来抛物线交于点J， ∵JM＝EC=√17，MN=√17， ∴JN＝2√17，

𝑦=𝑥2+4𝑥+3由{，消去y得到，4x2+17x+12﹣4b＝0， 1

𝑦=−4𝑥+𝑏∴x1+x2=−

，x1x2＝3﹣b， 41

∵|x1﹣x2|＝2√17， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝68， ∴（

174

）2﹣4（3﹣b）＝68，

∴b=，

第111页（共201页）

927

∴K（0，

927

）．

28．（2021•丹东）如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），直线y＝2x+m过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线y＝ax2+

x+c经过点A、C、D，连接AB、AC． 4

（1）求抛物线的表达式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA=2，求点E的坐标；

【解答】解：（1）∵直线y＝2x+m过点B（﹣5，4），交y轴于点C， ∴﹣4＝2×（﹣5）+m，解得：m＝6，

第112页（共201页）

∴C（0，6），

将A（﹣8，0）、C（0，6）代入𝑦=𝑎𝑥2+4𝑥+𝑐， 0=𝑎−22+𝑐得：{，

𝑐=6解得：{𝑎=4，

𝑐=6

∴抛物线的表达式为𝑦=𝑥2+

1411

𝑥+6； 41

（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，

理由如下：∵点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），点C（0，6），

∴AB2＝（﹣8+5）2+（0+4）2＝25，AC2＝（﹣8+0）2+（0﹣6）2＝100，BC2＝（﹣5+0）

+（﹣4﹣6）2＝125，

∴AC2+AB2＝BC2，

∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°；（3）由（2）知AB＝5，AC＝10， ∴tan∠BCA=𝐴𝐶=2=tan∠ECA， ∴∠BCA＝∠ECA，

如图1，延长BA至F，使AF＝AB，连接CF，则点B、F关于点A对称，

𝐴𝐵

∴F（﹣11，4），

∵∠BAC＝∠FAC＝90°，AF＝AB，AC＝AC， ∴△FAC≌△BAC（SAS）， ∴∠BCA＝∠FCA，

∴点E为直线CF与抛物线的交点，设直线CF的解析式为y＝kx+b，

第113页（共201页）

2−11𝑘+𝑏=4

则{，解得：𝑘=11， 𝑏=6

∴直线CF的解析式为𝑦=

𝑥+6， 11𝑦=𝑥+6

11联立方程组{， 1112𝑦=𝑥+𝑥+6

44113𝑥=−11𝑥=0

解得：{或{（舍去），

500𝑦=6𝑦=121113500

故点E坐标为（−11，）；

121

（4）过N作MN⊥BC于M，过F作FM'⊥BC交AC于N'，连接FN，则FN＝BN，

∵AB＝5，BC=√125=5√5， ∴sin∠BCA=∴MN=

𝐴𝐵√5𝑀𝑁

==， 𝐵𝐶5𝑁𝐶𝑁𝐶，又CO＝6， √5𝐵𝑁𝑁𝐶𝐶𝑂

++=BN+MN+6＝FN+MN+6≥FM'+6， 11√5∴点P运动时间t=

当F、N、M三点共线时，t最小， ∵AC＝10，BC=5√5， ∴sin∠ABC=

𝐴𝐶2√5𝐹′𝑀==， 𝐵𝐶5𝐵𝐹∴FM'=4√5，

∴点P运动时间t的最小值为4√5+6，

由直线BC的表达式y＝2x+6得点D坐标为（﹣3，0）， ∵FD=√(−11+3)2+42=4√5，

∴点D与点M'重合，则点N（即N'）为直线FD与直线AC的交点，

第114页（共201页）

由点A（﹣8，0）和C（0，6）得直线AC的表达式为𝑦=𝑥+6，由点F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直线FD的表达式为𝑦=−𝑥−， 𝑥=−6𝑦=𝑥+6

43，联立方程组{，解得：{13𝑦=

2𝑦=−𝑥−

23234∴此时N坐标为（﹣6，）．

29．（2021•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m）与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，m的值和点C的坐标；

（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当

𝑃𝐵𝑃𝐴

=时，求点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）， ∴5＝﹣20a， ∴a=−4，

∴抛物线的解析式为y=−4（x﹣3）（x+6），

令y＝0，则−4（x﹣3）（x+6）＝0，解得x＝3或﹣6， ∴C（3，0），

当x＝﹣5时，y=−4×（﹣8）×1＝2， ∴B（﹣5，2）， ∴m＝2．

第115页（共201页）

（2）设P（t，0），则有√(𝑡+5)2+22√(𝑡+1)2+52=，

整理得，21t2+242t+621＝0，解得t=−

2723

或−， 7327

经检验t=−7或−3是方程的解，

∴满足条件的点P坐标为（−7，0）或（−3，0）．

（3）存在．连接AB，设AB的中点为T． ①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件． ∵A（﹣1，5），B（﹣5，2），TA＝TB， ∴T（﹣3，），

∵C（3，0），

∴直线CT的解析式为y=−

x+， 12411

𝑥=−3𝑦=−𝑥+𝑥=3124由{，解得{（即点C）或{， 135𝑦=0

𝑦=−4(𝑥−3)(𝑥+6)𝑦=

9∴M（−3，），

②CM′∥AB时，满足条件， ∵直线AB的解析式为y=4x+4， ∴直线CM′的解析式为y=4x−4，

𝑦=4𝑥−4𝑥=3𝑥=−9由{，解得{（即点C）或{， 1𝑦=0𝑦=−9

𝑦=−4(𝑥−3)(𝑥+6)∴M′（﹣9，﹣9），

综上所述，满足条件的点M的横坐标为−3或﹣9．

第116页（共201页）

30．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+

2𝑚−1𝑚

•x+（m＞0）与x22轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；

（3）设直线y=x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣1，0）， ∴OA＝1， ∵OC＝2OA， ∴OC＝2，

第117页（共201页）

∴C的坐标为（0，2），

将点C代入抛物线y=−2x2+2•x+2（m＞0），得

𝑚2

𝑚−1

𝑚

=2，即m＝4，

∴抛物线对应的函数表达式为y=−2x2+2x+2；（2）如图，过P作PH∥y轴，交BC于H，

由（1）知，抛物线对应的函数表达式为y=−2x2+2x+2，m＝4， ∴B、C坐标分别为B（4，0）、C（0，2），设直线BC解析式为y＝kx+n，

1𝑛=2𝑘=−则{，解得{2， 4𝑘+𝑛=0𝑛=2

∴直线BC的解析式为y=−x+2，

设点P的坐标为（m，−2m2+2m+2）（0＜m＜4），则H（m，−2m+2）， ∴PH=−2m2+2m+2﹣（−2m+2） =−2m2+2m =−2（m2﹣4m） =−（m﹣2）2+2， ∵S△PBC＝S△CPH+S△BPH， ∴S△PBC=2PH•|xB﹣xC| =2[−2（m﹣2）2+2]×4 ＝﹣（m﹣2）2+4，

∴当m＝2时，△PBC的面积最大，此时点P（2，3）；（3）存在，理由如下：

第118页（共201页）

2131

131

11121

∵直线y=x+b与抛物线交于B（m，0）， ∴直线BG的解析式为y=x−m①， ∵抛物线的表达式为y=−2x2+2•x+2②，

𝑥=−2𝑥=𝑚

1联立①②解得，{或{𝑦=0， 𝑦=−𝑚−1

∴G的坐标为（﹣2，−2m﹣1），

𝑚−1

𝑚

21212∵抛物线y=−x2+∴点F的横坐标为①若BG为边，

12𝑚−1𝑚𝑚−1

•x+的对称轴为直线x=， 2222

𝑚−1

，

不妨设E在x轴上方，如图，过点E作EH⊥x轴于H，

设E的坐标为（t，−t2+∵∠GBF＝90°， ∴∠OBG＝∠BEH， ∴tan∠OBG＝tan∠BEH=∴

𝑚−𝑡

1𝑚−1𝑚−𝑡2+𝑡+2221

2𝑚−1𝑚

•t+）， 22𝐻𝐵1=， 𝐸𝐻2=，

解得：t＝3或m（舍）， ∴E的坐标为（3，2m﹣6），由平移性质，

得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标， ∵EF∥BG且EF＝BG，

第119页（共201页）

∴E横坐标向左平移m+2个单位，

得：到F的横坐标为3﹣（m+2）＝﹣m+1， ∴

𝑚−12

=−m+1，

解得m＝1，

∴E（3，﹣4），F（0，−2），

这说明E不在x轴上方，而在x轴下方； ②若BG为对角线，设BG的中点为M，由中点坐标公式得𝑥𝑀=∴M的坐标为（

𝑚−22

𝑦+𝑦𝑥𝐵+𝑥𝐺，𝑦𝑀=𝐵𝐺， 22141211

，−𝑚−），

∵矩形对角线BG、EF互相平分， ∴M也是EF的中点， ∴E的横坐标为∴E的坐标为（

𝑚−322𝑚−3

，，

𝑚2+2𝑚−3

），

∵∠BEG＝90°， ∴EM=𝐵𝐺，

𝑚−3𝑚−22𝑚2+2𝑚−3𝑚1211√∴(−)+(++)=√(𝑚+2)2+(𝑚+1)2，

22842221

2整理得：16+（m2+4m+1）²＝20（m+2）²，变形得：16+[（m+2）²﹣3]＝20（m+2）²，换元，令t＝（m+2）²，得：t²﹣26t+25＝0，解得：t＝1或25， ∴（m+2）²＝1或25， ∵m＞0， ∴m＝3，

即E的坐标为（0，），

F的坐标为（1，﹣4），

第120页（共201页）

综上，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4）或E（3，﹣4），F（0，−

）． 231．（2021•毕节市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．

（1）填空：点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（2，﹣1），抛物线的解析式为 y＝x2﹣4x+3 ；

（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m

的值；

（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2， ∴b＝﹣4， ∴y＝x2﹣4x+c，

∵点B（3，0）是抛物线与x轴的交点， ∴9﹣12+c＝0， ∴c＝3， ∴y＝x2﹣4x+3，令y＝0，x2﹣4x+3＝0， ∴x＝3或x＝1， ∴A（1，0），

第121页（共201页）

∵D是抛物线的顶点， ∴D（2，﹣1），

故答案为（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；（2）当m+2＜2时，即m＜0，此时当x＝m+2时，y有最小值，则（m+2）2﹣4（m+2）+3=，解得m=±2， ∴m=−2；

当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值，则m2﹣4m+3=4，解得m=或m=， ∴m=；

当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为﹣1，与题意不符；综上所述：m的值为或−；

27272125

（3）存在，理由如下： A（1，0），C（0，3），

∴AC=√10，AC的中点为E（，），

设P（2，t），

∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形， ∴PE=2AC，

∴√(2−)2+(𝑡−)2=∴t＝2或t＝1，

∴P（2，2）或P（2，1），

∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（2，2）或（2，1）． 32．（2021•大连）已知函数y={

−2𝑥2+2𝑥+𝑚(𝑥＜𝑚)𝑥−𝑚𝑥+𝑚(𝑥≥𝑚)

1232√102，

，记该函数图象为G．

第122页（共201页）

（1）当m＝2时，

①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值； ②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．

（2）当m＞0时，作直线x=2m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值；

（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值． −𝑥2+𝑥+2(𝑥＜2)

2【解答】解：（1）当m＝2时，y={2，

𝑥−2𝑥+2(𝑥≥2)①∵M（4，n）在该函数图象上， ∴n＝42﹣2×4+2＝10；

1211121

②当0≤x＜2时，y=−x+x+2=−（x−）+2，

22228

∵−＜0，

∴当x=2时，y有最大值是2，

2当x＝2时，y＝22﹣2×2+2＝2， ∵2＜2，

∴当0≤x≤2时，函数G的最大值是2；

（2）分两种情况：

①如图1，当Q在x轴上方时，由题意得：OP=2m，

第123页（共201页）

∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝90°， ∴△POQ是等腰直角三角形， ∴OP＝PQ，

∴m=−⋅(𝑚)2+⋅m+m，

12121122解得：m1＝0，m2＝6， ∵m＞0， ∴m＝6；

②当Q在x轴下方时，同理得：m=

1111

⋅(𝑚)2−⋅𝑚−m 2222解得：m1＝0，m2＝14， ∵m＞0， ∴m＝14；

综上，m的值是6或14；

第124页（共201页）

（3）分两种情况：

①如图2，当0≤m≤3时，过点C作CD⊥y轴于D，

当x＝0时，y＝m， ∴OB＝m， ∵CD＝m， ∴CD＝OB， ∵AB⊥BC，

∴∠ABC＝∠ABO+∠CBD＝90°， ∵∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCD， ∵∠AOB＝∠CDB＝90°， ∴△ABO≌△BCD（ASA）， ∴OA＝BD，

当x＜m时，y＝0，即−2x2+2x+m＝0， x2﹣x﹣2m＝0，解得：x1=∴OA=

1−√1+8𝑚1+√1+8𝑚，x2=， 2221

√1+8𝑚−1，且−8≤m≤3，

∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c， ∴OD＝c=−3a，

第125页（共201页）

∴BD＝m﹣OD＝m+a， ∵OA＝BD， ∴

√1+8𝑚−111−√1+8𝑚=m+3⋅， 22

3解得：m1＝0（此时，A，B，C三点重合，舍），m2=9； ②当m＜0时，如图3，过点C作CD⊥y轴于D，

同理得：OA＝BD，

当x≥m时，y＝0，则x2﹣mx+m＝0，

𝑚+√𝑚2−4𝑚𝑚−√𝑚2−4𝑚解得：x1=，m2=（舍）， 22𝑚+√𝑚2−4𝑚∴OA==a，

2∴

𝑚+√𝑚2−4𝑚2

=c﹣m=−a﹣m，

13解得：m1＝0，m2=−21；综上，m的值是

209

或−21．

33．（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BC，求直线BC的解析式；

第126页（共201页）

（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；

𝑎−𝑏+4=0

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到{，

16𝑎+4𝑏+4=0𝑎=−1解得{，

𝑏=3∴y＝﹣x2+3x+4；

（2）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4），

设BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（4，0），C（0，4）， 𝑏=4∴{， 4𝑘+𝑏=0𝑘=−1∴{， 𝑏=4

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．

（3）如图1中，

第127页（共201页）

由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x=对称，

连接BC交直线x=于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长=√42+42=4√2，此时P（，）．

232

（4）如图2中，存在．

观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或﹣4，

对于抛物线y＝﹣x2+3x+4，当y＝4时，x2﹣3x＝0，解得x＝0或3，

第128页（共201页）

∴N1（3，4）．

当y＝﹣4时，x2﹣3x﹣8＝0，解得x=∴N2（

3±√41， 23+√413−√41，﹣4），N3（，﹣4）， 22

3+√413−√41，﹣4）或（，﹣4）． 22

综上所述，满足条件的点N的坐标为（3，4）或（

直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接PA．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，△APC的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；

100𝑎+10𝑏=0

【解答】解：（1）把A（10，0），B（，6）代入y＝ax+bx，得到{25， 5

𝑎+𝑏=62425

𝑎=−25解得{，

16𝑏=5∴抛物线的解析式为y=−25x2+5x．

第129页（共201页）

816

（2）∵直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D， ∴C（2，0），D（0，﹣4）， ∵A（10，0）， ∴OA＝10，OC＝2， ∴AC＝8，

由题意P（t，2t﹣4），

∴S=2•PT•AC=2×8×（2t﹣4）＝8t﹣16．

（3）如图2中，过点P作PT⊥CG于T，交CF于W，过点F作FJ⊥MH交MH的延长线于J，连接JQ．

∵PT⊥CG，

∴∠PTC＝∠ODC＝90°， ∴OD∥PT， ∴∠ODC＝∠CPT，

∴tan∠CPT＝tan∠ODC=𝑂𝐷=4=2， ∵HR⊥RF，FJ⊥MJ，MH∥CF， ∴RH⊥MJ，

∴∠FRH＝∠RHJ＝∠FJH＝90°， ∴四边形RFJH是矩形，

第130页（共201页）

𝑂𝐶21

∴RF＝HJ，

∵RF+HM＝MH+HJ＝MJ＝GQ，MJ∥GQ， ∴四边形MJQG是平行四边形， ∴JQ＝GM，∠JQG＝∠GMJ， ∵MF平分∠CFG， ∴∠CFM＝∠MFG， ∵CF∥MH， ∴∠FMH＝∠CFM， ∴∠FMH＝∠MFH， ∴FH＝HM，

∵∠MGH＝∠FJH＝90°，∠MHG＝∠FHJ， ∴△MHG≌△FHJ（AAS）， ∴MG＝FJ＝JQ，∠GMH＝∠HFJ， ∴∠JFQ＝∠JQF，∠GFJ＝∠GQJ， ∴∠GFQ＝∠GQF， ∵CF∥GQ，PT∥FG，

∴∠WPF＝∠GFQ，∠WFP＝∠GQF， ∴∠WPF＝∠WFP， ∴WP＝WF，

∵D，E关于x轴对称， ∴∠ECO＝∠DCO＝∠PCG， ∵EC∥PG， ∴∠PGC＝∠ECO， ∴∠PCG＝∠PGC， ∴PC＝PG， ∵PT⊥CG， ∴CT＝TG， ∵WT∥FG， ∴CW＝WF， ∴WP＝WC＝WF，

第131页（共201页）

∴∠CPF＝90°， ∴∠LCP+∠PLC＝90°，

∵∠ODC+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠LCP， ∴∠PLC＝∠ODC， ∴tan∠PLC＝tan∠ODC=， ∵B（，6），

2∴OL=∴L（

529+12=， 22292

，0），

∴直线PB的解析式为y=−2x+4，由{

𝑦=2𝑥−4

29，解得{

𝑦=−2𝑥+492

𝑥=29

𝑦=5

，

∴P（，5）．

35．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；

第132页（共201页）

【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2， ∴A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8， ∴C（0，﹣8）；

（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∵A（﹣4，0），C（0，﹣8）， −4𝑘+𝑏=0∴{， 𝑏=−8𝑘=−2

解得：{，

𝑏=−8

∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，

∵直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D， ∴E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8）， ∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m，设DE交x轴于点F，则F（m，0）， ∴OF＝﹣m，

∴AF＝m﹣（﹣4）＝m+4，DF＝2m+8， ∵OD⊥AC，EF⊥OA，

∴∠ODA＝∠OFD＝∠DFA＝∠AOC＝90°， ∴∠DOF+∠COD＝∠OCD+∠COD＝90°，

第133页（共201页）

∴∠DOF＝∠OCD， ∴△ACO∽△DOF， ∴

𝑂𝐴𝑂𝐶

𝐷𝐹𝑂𝐹

，

∴OC•DF＝OA•OF， ∴8（2m+8）＝4（﹣m），解得：m=−5， ∴DE＝﹣m2﹣4m＝﹣（−（3）存在，

如图2，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，

∵以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，

∴分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线， ①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，

∴N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N（﹣1，﹣6）， CN=√(−1−0)2+(−6+8)2=√5， ∴CM＝PN=√5，

∴M1（0，﹣8+√5），M2（0，﹣8−√5）； ②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a）， ∴（﹣1﹣0）2+（﹣6﹣a+8）2＝a2，解得：a=4， ∴M3（0，−4），

③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8）， ∵N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上， ∴b＝﹣2×1﹣8＝﹣10， ∴M4（0，﹣12），

综上所述，点M的坐标为：M1（0，﹣8+√5），M2（0，﹣8−√5），M3（0，−4），M4（0，﹣12）．

第134页（共201页）

16216

）﹣4×（−）=； 55255

−𝑥(𝑥≤0)

36．（2021•益阳）已知函数y={2的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内

𝑥(𝑥＞0)的函数图象上．

（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1． ①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；

②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；

第135页（共201页）

【解答】解：（1）①∵y={由y1＝x12＝4， ∴x1＝2（负值舍），由y2＝﹣x2＝4， ∴x2＝﹣4，

②∵|x2|＝|x1|且x2＜x1．x1＞0， ∴x2＜0且x1＝﹣x2， ∴y1＝x12，y2＝﹣x2＝x1，

∴w＝y1﹣y2＝x12﹣x1＝（x1−2）2−4， ∴当x1=2时，w有最小值为−4，

（2）如图，设直线AQ'交y轴于点M（0，b），连接QQ'，

−𝑥(𝑥≤0)

，由x2＜x1且y2＝y1＝4时，

𝑥2(𝑥＞0)

第136页（共201页）

∵AQ⊥x轴， ∴AQ∥y轴， ∴∠AP'M＝∠P'AQ， ∵点Q与Q'关于AP'对称， ∴AQ＝AQ'，AP'⊥QQ'， ∴∠P'AQ＝∠P'AQ'， ∴∠AP'M＝∠P'AQ'， ∴AM＝P'M，

∵点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上． ∴x1＞0，y1＝x12＞0， ∴x1=√𝑦1， ∵AP⊥y轴，

∴P点的坐标为（0，y1），AP＝x1=√𝑦1， ∵点P与P'关于x轴对称， ∴点P'的坐标为（0，﹣y1）， ∴PM＝|y1﹣b|，AM＝P'M＝|y1+b|， ∵在Rt△APM中，由勾股定理得：（√𝑦1）2+|y1﹣b|2＝|y1+b|2，化简得：y1﹣4by1＝0， ∵y1＞0， ∴b=4，

∴直线AQ'与y轴交于一定点M，坐标为（0，）．

（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；

（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；

第137页（共201页）

若不存在，请说明理由．

9𝑎−2×3+𝑐=0

【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2x+c中，得：{，

𝑐=−3𝑎=1解得{，

𝑐=−3

∴抛物线的函数关系为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x=−2𝑎=1，故设点P（1，m），设点Q（x，0），

当以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形时，

点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B，同样P（Q）向右平移3个单位向上平移3个单位得到点Q（P），则1±3＝x且m±3＝0， 𝑚=−3𝑚=3解得{或{，

𝑥=4𝑥=−2

故点P、Q的坐标分别为（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）；

（3）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），

又y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4）， ∵C（0，﹣3）、B（3，0）、D（1，﹣4），

第138页（共201页）

𝑏

∴BD2＝22+42＝20，CD2＝12+12，BC2＝32+32， ∴BD2＝CD2+BC2，

∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝90°，

设点M的坐标（m，0），则点G的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），根据题意知：∠AMG＝∠BCD＝90°，

∴要使以A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，需要满足条件：①当m＜﹣1时，此时有：

−1−𝑚𝑚2−2𝑚−3

𝐴𝑀𝑀𝐺

𝐵𝐶𝐶𝐷

或𝐴𝑀𝑀𝐺

𝐶𝐷𝐵𝐶

，

3√2−1−𝑚√2或2=， 𝑚−2𝑚−33√2√2解得：𝑚1=3，m2＝﹣1或m1＝0，m2＝﹣1，都不符合m＜﹣1，所以m＜﹣1时无解； ②当﹣1＜m≤3时，此时有：

3𝑚+1−(𝑚2−2𝑚−3)

3√2√2或𝑚+1−(𝑚2−2𝑚−3)

√2， 3√2解得：𝑚1=，m2＝﹣1（不符合要求，舍去）或m1＝0，m2＝﹣1（不符合要求，舍去）， ∴M（，0）或M（0，0），

3√2𝑚+1√2③当m＞3时，此时有：2=或=，

𝑚−2𝑚−33√2√2𝑚2−2𝑚−3

𝑚+1

解得：𝑚1=

，𝑚2=−1（不符合要求，舍去）或m1＝6，m2＝﹣1（不符要求，舍去）， 3103

∴点M（6，0）或M（，0），

答：存在点M，使得A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，点M的坐标为：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（

103

，0）．

38．（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．（1）抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3 ；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；

第139页（共201页）

【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，0）、B（1，0）， −9−3𝑏+𝑐=0∴{， −1+𝑏+𝑐=0𝑏=−2解得{，

𝑐=3

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）．

∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴OA＝OC＝3，AC＝3√2， ∵AC∥直线m， ∴△ACH的面积是定值， ∵S四边形AECH＝S△AEC+S△ACH，

∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，

第140页（共201页）

∵S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC=（m+）2+∵−2＜0，

33227， 81113×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）−×3×3=−2222∴m=−时，△AEC的面积最大， ∴E（−，

（3）存在．如图2中，因为点Q在抛物线上 EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为±

32）．

，

对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当y=∴Q1（−2，

151

151531

时，﹣x2﹣2x+3=，解得x=−（舍弃）或−， 4422）．

−2±√31， 2当y=−4时，﹣x2﹣2x+3=−4，解得x=∴Q2（

−2−√312

，−4），Q3（

−2+√3115

，−4）． 2

11524

−2−√31−2+√311515

，−）或（，−）．

4422

综上所述，满足条件的点Q坐标为（−，）或（

第141页（共201页）

【解答】解：（1）∵抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0）， 𝑐=−2∴{， 12+2𝑏+𝑐=0𝑏=−5解得{，

𝑐=−2

∴抛物线的解析式为y＝3x2﹣5x﹣2，如图1中，设BC交y轴于D． ∵tan∠OBD＝2=𝑂𝐵，OB＝2， ∴OD＝4， ∴D（0，4），

𝑏=4设直线BD的解析式为y＝kx+b，则有{，

2𝑘+𝑏=0𝑘=−2解得{，

𝑏=4

∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+4，

𝑦=−2𝑥+4𝑥=2𝑥=−1由{，解得{（即点B）或{，

𝑦=0𝑦=6𝑦=3𝑥2−5𝑥−2

第142页（共201页）

𝑂𝐷

∴C（﹣1，6）．

（2）∵A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣1，6），

∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，直线AC的解析式为y＝﹣8x﹣2， ∴E（−，0），

当0＜m＜2时，∵P（m，0）， ∴M（m，﹣2m+4），N（m，m﹣2）， ∴MN＝﹣2m+4﹣m+2＝﹣3m+6， ∴S=•BB′•MN=

×2（2﹣m）×（﹣3m+6）＝3m2﹣12m+12． 214当−4＜m≤0时，如图2中，∵P（m，0）， ∴M（m，﹣2m+4），N（m，﹣8m﹣2）， ∴MN＝﹣2m+4+8m+2＝6m+6， ∴S=•BB′•MN=

×2（2﹣m）×（6m+6）＝﹣6m2+6m+12． 21

−6𝑚2+6𝑚+12(−＜𝑚≤0)

4综上所述，S={．

3𝑚−12𝑚+12(0＜𝑚＜2)

（3）∵直线AC交x轴于E（−4，0），B′（2m﹣2），当﹣6m2+6m+12＝3×2×|2m﹣2+4|×8，解得m=

−3±√315±√19或（都不符合题意舍弃）， 22

当3m2﹣12m+12＝3×2×|2m﹣2+4|×8，

解得m＝1或11（舍弃）或﹣2+√7或﹣2−√7（舍弃），综上所述，满足条件的m的值为1或﹣2+√7．

第143页（共201页）

40．（2021•黄石）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；

（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）．

第144页（共201页）

−2𝑏𝑥=−=3，解得{𝑎=−1，【解答】解：（1）由题意得：{2𝑎𝑏=−3𝑏=−3

故抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣3；（2）∵△DEF是等腰直角三角形，故DE＝DF且∠EDF＝90°，

故设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m，故点F（3+m，m），则△DEF的面积=EF•m=

×2m•m＝m2， 2将点F的坐标代入抛物线表达式得：m＝﹣（m+3）2+6（m+3）﹣3，解得m＝﹣3（舍去）或2，则△DEF的面积＝m2＝4；

（3）∵y＝﹣x2+6x﹣3＝﹣（x﹣3）2+6， ∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣3的顶点为（3，6）．设点Q的坐标为（p，q）（q≤6）， ∵点Q在抛物线y＝﹣x2+6x﹣3上， ∴q＝﹣p2+6p﹣3

则PQ2＝（p﹣3）2+（q﹣t）2＝p2﹣6p+9+q2﹣2tq+t2，将q＝﹣p2+6p﹣3代入上式得： PQ2＝q2﹣（2t+1）q+t2+6． ∵二次项系数为1＞0， ∴PQ2有最小值，当t＞2时，2

2𝑡+1

＞6，

第145页（共201页）

∴q＝6时，PQ2最小，即PQ最小． ≤36﹣12t﹣6+t2+6＝t2﹣12t+36＝（t﹣6）2， 𝑡−6(𝑡≥6)

∴PQ＝|t﹣6|={． 11

6−𝑡(＜𝑡＜6)

2当t≤2时，

2∴q=

2𝑡+1

≤6，

2𝑡+12

时，PQ最小，即PQ最小． 223−4𝑡

， 4√23−4𝑡． 2

∴PQ2=

∴PQ的最小值为

𝑡−6(𝑡≥6)

11 6−𝑡(＜𝑡＜6)．综上所述PQ的最小值=2 √23−4𝑡11 (𝑡≤)2{241．（2021•雅安）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．

（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；

（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；

（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．

【解答】解：（1）把点A（1，0）代入y＝x2+2bx﹣3b得：1+2b﹣3b＝0，解得：b＝1，

∴二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3．

第146页（共201页）

（2）如图1，对函数y＝x2+2x﹣3，

当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1， ∴C（0，﹣3），B（﹣3，0），A（1，0）， ∴AB＝4，OB＝OC＝3，BC＝3√2，过点Q作QN⊥AB于点N， ∴sin∠NBQ＝sin∠OBC， ∴

𝑁𝑄𝑄𝐵

𝑂𝐶𝐵𝐶

，

设运动时间为t，则：BQ＝t，AP＝2t， ∴BP＝4﹣2t，∴NQ=2𝑡，

∴S△BPQ=2⋅𝐵𝑃⋅𝑁𝑄=2(4−2𝑡)⋅2𝑡=−2(𝑡−1)2+2， ∴当t＝1时，△BPQ面积的最大值为

√2． 2

√2√2√2√2𝑁𝑄𝑡

33√2，

（3）①∵二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象开口向上，

∴当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴没有交点或只有1个交点时，x≥1总有y≥0成立（如图2）；

此时△≤0，即（2b）2﹣4（﹣3b）≤0，解得﹣3≤b≤0；

②当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴有2个交点时， Δ＝（2b）2﹣4（﹣3b）＞0，可得b＞0或b＜﹣3，

设此时两交点为（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝﹣2b，x1•x2＝﹣3b，

要使x≥1的任意实数x，都有y≥0，需x1≤1，x2≤1，即x1﹣1≤0，x2﹣1≤0（如图3）， ∴（x1﹣1）+（x2﹣1）≤0且（x1﹣1）（x2﹣1）≥0， •∴﹣2b﹣2≤0且﹣3b﹣（﹣2b）+1≥0，解得﹣1≤b≤1， ∴此时0＜b≤1，

总上所述，对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，则﹣3≤b≤1．

第147页（共201页）

341

4 ，b＝ 1 ；

（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP=3S▱DEGF，求OD的长．

【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过A（4，3）， ∴3＝4k，

第148页（共201页）

∴k=，

∵二次函数y=−x2+bx+3的图象经过点A（4，3）， ∴3=−4×42+4b+3， ∴b＝1，

故答案为：，1．

431

434

（2）如图1中，过点E作EP⊥DF于P，连接EF．

∵四边形DEGF是平行四边形， ∴∠G＝∠EDF ∵∠EGF＝∠EFD， ∴∠EFD＝∠EDF， ∴EF＝ED， ∵EP⊥DF， ∴PD＝PF， ∵D（t，t），

∴OD＝AE=4t， ∵AC⊥AB， ∴∠OAC＝90°， ∴tan∠AOC=4，

第149页（共201页）

∵OA=√32+42=5， ∴AC＝OA•tan∠AOC=

15325，OC＝AC×=， 4∴EC＝AC﹣AE=4−4t， ∵tan∠ACO=3， ∴点E的纵坐标为3﹣t， ∵F（t，−4t2+t+3），PF＝PD， ∴

−𝑡2+𝑡+3+𝑡445

=3﹣t，

解得t=

15−√17715+√177或（舍弃）． 22

15−√177． 2

∴满足条件的t的值为

（3）如图2中，因为点D在线段AB上，S△DFP=3S▱DEGF，所以DP＝2PE，观察图象可知，点D只能在第一象限，

设PF交AB于J， ∵AC⊥AB，PF⊥AB， ∴PJ∥AE，

∴DJ：AJ＝DP：PE＝2， ∵D（t，t），F（t，−4t2+t+3），

第150页（共201页）

∴OD=t，DF=−t2+t+3−t=−t2+t+3， ∴DJ=DF=−∵OA＝5， ∴t−

3239339

t+t+−t2+t+=5， 2020040103532391339t+t+，AJ=DJ=−t2+t+， 2020524040105

414341414整理得9t2﹣59t+92＝0，

解得t=9或4（4不合题意舍弃）， ∴OD=t=

4115

． 3623

（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；

（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；

【解答】解：（1）由点A的坐标知，OA＝2， ∵OC＝2OA＝4，故点C的坐标为（0，4），

第151页（共201页）

4𝑎−2𝑏+𝑐=0𝑎=−

2将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：{16𝑎+4𝑏+𝑐=0，解得{，

𝑏=1

𝑐=4𝑐=4故抛物线的表达式为y=−2x2+x+4；

0=4𝑚+𝑛𝑚=−1

将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：{，解得{，

𝑛=4𝑛=4故直线BC的表达式为y＝﹣x+4；

（2）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，

设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，

理由：由函数的对称性知，AF＝BF，则AF+FC＝BF+FC＝BC为最小，

当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，故点F（1，3），由点B、C的坐标知，OB＝OC＝4，则BC=√2BO＝4√2，

即点F的坐标为（1，3）、FA+FC的最小值为4√2；

（3）存在，理由：

设点P的坐标为（m，−2m2+m+4）、点Q的坐标为（t，﹣t+4）， ①当点Q在点P的左侧时，

如图2，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，

第152页（共201页）

由题意得：∠PEQ＝90°， ∴∠PEN+∠QEM＝90°， ∵∠EQM+∠QEM＝90°， ∴∠PEN＝∠EQM， ∴∠QME＝∠ENP＝90°， ∴△QME∽△ENP， ∴

𝑃𝑁𝑀𝐸

𝐸𝑁𝑄𝑀12=

=tan∠EPQ＝tan∠OCA=𝑂𝐶=4=2， 𝑄𝐸

𝑃𝐸

𝑂𝐴21

则PN=−m2+m+4，ME＝1﹣t，EN＝m﹣1，QM＝﹣t+4， ∴

−𝑚2+𝑚+4

1−𝑡

12=

𝑚−1−𝑡+4

=，

解得m＝±√13（舍去负值），当m=√13时，−m2+m+4=故点P的坐标为（√13，

22√13−5， 22√13−52

）．

②当点Q在点P的右侧时，

第153页（共201页）

分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M，则MQ＝t﹣1，ME＝t﹣4，NE=−m2+m+4、PN＝m﹣1，同理可得：△QME∽△ENP， ∴即

𝑀𝑄𝐸𝑁

12𝑃𝑁𝑡−1

𝑀𝐸

𝐸𝑄

−𝑚2+𝑚+4

𝑃𝐸𝑡−4

=tan∠PQE＝2，

=2，

𝑚−1

解得m=±√7（舍去负值），故m=√7，

故点P的坐标为（√7，故点P的坐标为（√7，

2√7+1）， 2

2√7+12√13−5）或（√13，）． 22

（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；

（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP=S△ABD．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

32第1页（共201页）

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1， ∴−2𝑎=−1， ∴b＝2a，

∵点C的坐标为（0，2）， ∴c＝2，

∴抛物线的解析式为y＝ax2+2ax+2， ∵点A（﹣3，0）在抛物线上， ∴9a﹣6a+2＝0， ∴a=−， ∴b＝2a=−3，

∴抛物线的解析式为y=−x2−x+2；

（2）Ⅰ、当点D在x轴上方时，如图1，记BD与AC的交点为点E， ∵∠ABD＝∠BAC， ∴AE＝BE，

∵直线x＝﹣1垂直平分AB， ∴点E在直线x＝﹣1上， ∵点A（﹣3，0），C（0，2）， ∴直线AC的解析式为y=3x+2，当x＝﹣1时，y=3，

第155页（共201页）

𝑏

23432

∴点E（﹣1，），

∵点A（﹣3，0）点B关于x＝﹣1对称， ∴B（1，0），

∴直线BD的解析式为y=−x+，即直线l的解析式为y=−3x+3；

Ⅱ、当点D在x轴下方时，如图2， ∵∠ABD＝∠BAC， ∴BD∥AC，

由Ⅰ知，直线AC的解析式为y=x+2， ∴直线BD的解析式为y=x−，即直线l的解析式为y=x−；

综上，直线l的解析式为y=−3x+3或y=3x−3；

（3）由（2）知，直线BD的解析式为y=3x−3①， ∵抛物线的解析式为y=−3x2−3x+2②， 𝑥=1𝑥=−4

10， ∴{或{

𝑦=0𝑦=−

23232323232

22323∴D（﹣4，−

1323

10）， 31

∴S△ABD=2AB•|yD|=2×4×3=3， ∵S△BDP=S△ABD， ∴S△BDP=2×3=10， ∵点P在y轴左侧的抛物线上， ∴设P（m，−3m2−3m+2）（m＜0），过P作y轴的平行线交直线BD于F，

420

第156页（共201页）

∴F（m，m−），

3∴PF＝|−3m2−3m+2﹣（m−3）|＝|m2+2m−3|，

11228

∴S△BDP=PF•（xB﹣xD）=×|m+2m−|×5＝10，

22334

∴m＝﹣5或m＝2（舍）或m＝﹣1或m＝﹣2， ∴P（﹣5，﹣8）或（﹣1，）或（﹣2，2）．

第157页（共201页）

45．（2021•襄阳）如图，直线y=2x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．

（1）求出点A，B的坐标及c的值；

【解答】解：（1）∵直线y=2x+1与x，y轴分别交于点B，A， ∴点A（0，1），点B（﹣2，0）， ∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A， ∴c＝1；

（2）∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a， ∴对称轴为直线x＝1，

当a＞0，3≤x≤4时，y随x的增大而增大， ∴当x＝4时，y有最大值， ∴9a+1﹣a＝a+2，

第158页（共201页）

解得：a=；

当a＜0，3≤x≤4时，y随x的增大而减小， ∴当x＝3时，y有最大值， ∴4a+1﹣a＝a+2，

解得：a=2（不合题意舍去），综上所述：a=；

（3）①当a＜0时，则1﹣a＞1，如图1，过点P作PN⊥y轴于N，

∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a， ∴点P坐标为（1，1﹣a），

∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣1＝﹣a， ∵AM⊥AP，PN⊥y轴，

∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，

∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°， ∴∠PAN＝∠AMO， ∴△AOM≌△PNA（AAS）， ∴OM＝AN＝﹣a， ∴BM＝2﹣a，

∴S=2×（2﹣a）（1﹣a）=2a2−2a+1；当a＞0，1﹣a＞0时，即0＜a＜1，如图2，过点P作PN⊥y轴于N，

第159页（共201页）

∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣（1﹣a）＝a，同理可得△AOM≌△PNA， ∴OM＝AN＝a， ∴BM＝2﹣a，

∴S=2×（2﹣a）（1﹣a）=2a2−2a+1；当a＞0，﹣1＜1﹣a＜0时，即1＜a＜2，如图3，过点P作PN⊥y轴于N，

∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，同理可得△AOM≌△PNA， ∴OM＝AN＝a， ∴BM＝2﹣a，

∴S=2×（2﹣a）（a﹣1）=−2a2+2a﹣1；当a＝2时，点B与点M重合，不合题意，当a＞0，1﹣a＜﹣1时，即a＞2，如图4，过点P作PN⊥y轴于N，

第160页（共201页）

113

∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，同理可得△AOM≌△PNA， ∴OM＝AN＝a， ∴BM＝a﹣2， ∴S=

113×（a﹣2）（a﹣1）=a2−a+1； 222132

𝑎−𝑎+1(𝑎＜1且𝑎≠0) 22 13

综上所述：S=−𝑎2+𝑎−1(1＜𝑎＜2)．

2 2 1𝑎2−3𝑎+1(𝑎＞2){22②当1＜a＜2时，S=−2a2+2a﹣1=−2（a−2）2+8≤8， ∴当1＜a＜2时，不存在a的值使S＞8；当a＜1且a≠0时，S=2a2−2a+1＞8， ∴（a−

3−√23+√2）（a−）＞0， 221

131311

∴a＜3−√23+√2或a＞（不合题意舍去）； 221

当a＞2时，S=2a2−2a+1＞8， ∴（a−

3−√23+√2）（a−）＞0， 22∴a＜3−√23+√2（不合题意舍去）或a＞， 223−√23+√2且a≠0或a＞． 22综上所述：a＜46．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x

第161页（共201页）

轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；

②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，

1𝑀𝐹

1𝑁𝐹

是定值，并求出该定值；

（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．

【解答】解：（1）∵顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）， ∴B（2，﹣1）， ∴A（4，0），

将点O、点A、点B代入抛物线y＝ax2+bx+c，

𝑐=0𝑎=4得到{4𝑎+2𝑏+𝑐=−1，解得{𝑏=−1，

16𝑎+4𝑏+𝑐=0𝑐=0

∴y=x2﹣x；

（2）①设F（2，m），G（x，y）， ∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y+2|， ∴（y+2）2＝y2+4y+4， ∵y=4x2﹣x，

∴（y+2）2＝y2+4y+4＝y2+x2﹣4x+4＝y2+（x﹣2）2，

第162页（共201页）

141

∴G到直线y＝﹣2的距离与点（2，0）和G点的距离相等，

∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等； ∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离相等， ∴（x﹣2）2+(𝑚−4𝑥2+𝑥)2=(4𝑥2−𝑥+2)2，整理得，m（m−2x2+2x）＝0， ∵距离总相等， ∴m＝0， ∴F（2，0）；

②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M（xM，yM），N（xN，yN）， 𝑦=𝑘𝑥−2𝑘联立{，整理得x2﹣（4+4k）x+8k＝0， 12

𝑦=4𝑥−𝑥∴xM+xN＝4+4k，xM•xN＝8k， ∴yM+yN＝4k2，yM•yN＝﹣4k2，

∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等， ∴∴

1𝑀𝐹1𝑀𝐹

1𝑁𝐹1𝑁𝐹

12+𝑦𝑀

12+𝑦𝑁

4+𝑦𝑁+𝑦𝑀

4+2(𝑦𝑁+𝑦𝑀)+𝑦𝑀⋅𝑦𝑁

4+4𝑘24+2(4𝑘2)−4𝑘2

=1，

=1是定值；

（3）作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'，连接C'B'交x轴、y轴分别于点P、Q， ∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，

∴四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB， ∵点C（3，m）是该抛物线上的一点 ∴C（3，−4）， ∵B（2，﹣1），

∴B'（﹣2，﹣1），C'（3，），

∴直线B'C'的解析为y=20x−10， ∴Q（0，−10），P（，0）．

第163页（共201页）

47．（2021•本溪）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF=OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；

（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．

234【解答】解：（1）由题意得：{−4−𝑏+𝑐=0，解得{𝑏=4，

𝑐=3𝑐=3故抛物线的表达式为y=−4x2+4x+3；

（2）对于y=−4x2+4x+3，令y=−4x2+4x+3＝0，解得x＝4或﹣1，故点A的坐标为（4，0），则PF＝2，

由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y=−4x+3，

第1页（共201页）

3939

设点P的坐标为（x，−x2+x+3），则点E（x，−x+3），

则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（−x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO=

×3×1， 23

4943412349434解得x＝1或3，

故点P的坐标为（1，）或（3，3）；

（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x=，故点Q的坐标为（，n），

当∠ABQ为直角时，如图2﹣1，

设BQ交x轴于点H，

由直线AB的表达式知，tan∠BAO=4，则tan∠BHO=3，故设直线BQ的表达式为y=3x+t，该直线过点B（0，3），故t＝3，则直线BQ的表达式为y=3x+3，当x=时，y=x+3＝5，即n＝5；

②当∠BQA为直角时，

过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，

24344

第165页（共201页）

∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°， ∴∠BQN＝∠MAQ， ∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，即

𝐵𝑁𝑁𝑄

𝑀𝑄𝑀𝐴

，则

𝑛−3

32=

4−𝑛

32，

解得n=

3±2√6； 2③当∠BAQ为直角时，同理可得，n=−

10； 3综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，故点Q纵坐标n的取值范围为−3＜n＜10

3−2√63+2√6或＜n＜5． 22

48．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=3x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；

（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于求E点的坐标；

（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．

252

时，第166页（共201页）

【解答】解：（1）对于y=−x+3，令y=−x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3）， ∵抛物线y=3x2+bx+c经过坐标原点，故c＝0，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=故抛物线的表达式为y=3x2﹣2x；

则抛物线的对称轴为x＝3，当x＝3时，y=x2﹣2x＝﹣3，则点M的坐标为（3，﹣3）；

（2）如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H，

×36+6b，解得b＝﹣2， 31

1212

设点E的坐标为（x，x2﹣2x），则点H（x，−2x+3），

则△EAB的面积＝S△EHB+S△EHA=2×EH×OA=2×6×（−2x+3−3x2+2x）=2，解得x＝1或，

第167页（共201页）

111125

故点E的坐标为（1，−）或（，−

537

35）； 12

（3）∵直线AB向下平移后过点M（3，﹣3），故直线CM的表达式为y=−（x﹣3）﹣3=−x−，令y=−2x−2=0，解得x＝﹣3，故点C（﹣3，0）；

过点D作DH⊥CM于点H，

21232

∵直线CM的表达式为y=−2x−2，故tan∠MCD=2，则sin∠MCD=则DH＝CDsin∠MCD＝（2+3）×

1=√5， √51

1， √5由点D、M的坐标得，DM=√(2−3)2+(0+3)2=√10，则sin∠HMD=𝑀𝐷=

𝐷𝐻

=2， √10√5√2故∠HMD＝45°＝∠DMC＝∠ADM﹣∠ACM＝45°， ∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．

（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．

第168页（共201页）

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0），B（﹣3，0）， 𝑎+𝑏+3=0∴{， 9𝑎−3𝑏+3=0𝑎=−1解得{，

𝑏=−2

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）令x＝0，y＝3，

∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形， ∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3， ∴抛物线对称轴为：x＝﹣1， ∵EN∥y轴， ∴△BEN∽△BCO， ∴

𝐵𝑁𝐵𝑂23

𝐸𝑁𝐶𝑂

，

∴=

𝐸𝑁3

，

∴EN＝2，

①若△PQE∽△OBC，如图所示，过点P作PH⊥ED垂足为H， ∴∠PEH＝45°， ∴∠PHE＝90°， ∴∠HPE＝∠PEH＝45°， ∴PH＝HE，

∴设点P坐标（x，﹣x﹣1+2），

∴代入关系式得，﹣x﹣1+2＝﹣x2﹣2x+3，

第169页（共201页）

整理得，x2+x﹣2＝0，解得，x1＝﹣2，x2＝1（舍）， ∴点P坐标为（﹣2，3），

②若△PEQ∽△OCB，如图所示，设P（x，2），

代入关系式得，2＝﹣x2﹣2x+3，整理得，x2+2x﹣1＝0，

解得，𝑥1=−1−√2，𝑥2=−1+√2（舍）， ∴点P的坐标为（﹣1−√2，2），

综上所述点P的坐标为（﹣1−√2，2）或（﹣2，3）．

50．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．

（1）当m=2时，点A的坐标是（，1），抛物线与y轴交点的坐标是（0，）；

2第170页（共201页）

（2）若点A在第一象限，且OA=√5，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；

（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值；

（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．

【解答】解：（1）当m=时，y＝2（x−）2+1， ∴顶点A（，1），

212令x＝0，得y=2，

∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，），

故答案为：（，1），（0，）；

（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA=√5， ∴m2+（2m）2＝（√5）2，且m＞0，解得：m＝1，

∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x＜1时，函数值y随x的增大而减小；（3）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3， ∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时， ①当m＜0时，2（2m﹣m）2+2m＝3，解得：m=

−1+√71+√7（舍）或m=−， 22第171页（共201页）

②当m＞0时，2（m﹣m）2+2m＝3，解得：m=2，

综上所述，m的值为或−

1+√7； 23

（4）如图1，当m＞0时，∵P（4，2）、Q（4，2﹣2m）， ∴M（m，2），N（m，2﹣2m），

抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，

∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，

∴x＝m+√1−𝑚 或 x＝m−√1−𝑚（不合题意，应舍去）， ∴B（m+√1−𝑚，2），C（m，2m），根据题意，得2m＝m+√1−𝑚，解得：m=

√5−12或m=

−√5−1（不合题意，应舍去）； 2若点B在PM边上，点C在NQ边上，则2﹣2m＝m+√1−𝑚，解得：m=

11±√13， 1811+√13不符合题意，舍去， 18经检验，m=∴m=

11−√13， 18若点B在PQ边上，点C在NQ边上，则4＝2﹣2m，

解得：m＝﹣1＜0，不合题意，舍去；当m＜0时，如图2，

若点B在NQ边上，点C在PM边上，则2﹣2m＝2（x﹣m）2+2m，

∴x＝m+√1−2𝑚或x＝m−√1−2𝑚（舍去）， ∴|m+√1−2𝑚|＝2，

当m+√1−2𝑚=2时，得m2﹣2m+3＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴该方程无解；

第172页（共201页）

当m+√1−2𝑚=−2时，得m2+6m+3＝0，解得：m＝﹣3−√6或m＝﹣3+√6，

∵当m＝﹣3+√6时，|m+√1−2𝑚|＝2√6−4≠2，不符合题意，舍去， ∴m＝﹣3−√6；

若点B在NQ边上，点C在MN边上，则|m+√1−2𝑚|＝|2m|，

∴m+√1−2𝑚=−2m或m+√1−2𝑚=2m， ∵m＜0， ∴m=−

√10+19或m＝﹣1−√2，

√10+1经验证，m=−

9或m＝﹣1−√2，均不符合题意；

若点B在PQ边上，点C在PM边上，

显然点B到y轴的距离为4，点C到x轴的距离为2，不符合题意；综上所述，m的值为

√5−111−√13或或﹣3−√6． 218

第173页（共201页）

，y）在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，

＞0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为（0，平分∠AFG．

185

），连接GF．若EF+NF＝2MF，求证：射线FE

【解答】解（1）①∵点M（m，n）在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴n＝﹣m2+4m（Ⅰ）， ∵n＝3m（Ⅱ），联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，{

𝑚=0𝑚=1

（舍去）或{， 𝑛=0𝑛=3

第174页（共201页）

∴M（1，3）；

②OD＝MC，理由：如图1，∵点B（∴y＝﹣（∴B（

，y）在该抛物线y＝﹣x2+4x上，

）2+4×4=16，

4），

，1516

由①知，M（1，3），

∴直线BM的解析式为y=−x+令y＝0，则−x+∴x＝5，

延长MB交x轴于P， ∴P（5，0）， ∴OP＝5， ∵M（1，3），

∴PM=√(5−1)2+(0−3)2=5＝OP， ∴∠POM＝∠PMO， ∵CD∥MO，

∴∠PDC＝∠POM，∠PCD＝∠PMO， ∴∠PDC＝∠PCD， ∴PD＝PC，

∴PO﹣PD＝PM﹣PC， ∴OD＝MC；

（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴E（2，），

3415

=0， 43415， 4令y＝0，则﹣x2+4x＝0， ∴x＝0或x＝4， ∴A（4，0），

第175页（共201页）

∵AN⊥x轴， ∴点N的横坐标为4，

由图知，NF＝EF+EM+MN，MF＝EF+EM， ∵EF+NF＝2MF，

∴EF+EF+EM+MN＝2（EF+EM）， ∴MN＝EM，

过点M作HM⊥x轴于H， ∴MH是梯形EKAN的中位线， ∴M的横坐标为3， ∵点M在抛物线上，

∴点M的纵坐标为﹣32+4×3＝3， ∴M（3，3）， ∵点E（2，），

∴直线EF的解析式为y=3x+1，令y＝0，则x+1＝0，

∴x=−2， ∴F（−2，0）， ∴OF=，

∵令y＝0，则y＝1，

记直线EF与y轴的交点为L， ∴L（0，1）， ∴OL＝1， ∵G（0，

1853

），

∴OG=5，

∴LG＝OG﹣OL=5，

根据勾股定理得，FG=√𝑂𝐹2+𝑂𝐺2=√(2)2+(5)2=10，

第176页（共201页）

31839

过点L作LQ⊥FG于Q， ∴S△FLG=2FG•LQ=2LG•OF，

133×𝐿𝐺⋅𝑂𝐹

∴LQ=𝐹𝐺=5392=1＝OL，

1011

∵OL⊥FA，LQ⊥FG， ∴FE平分∠AFG，即射线FE平分∠AFG．

52．（2021•青海）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；

（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ=2时，求P点的坐标．

√2第177页（共201页）

【解答】解：（1）当x＝0，y＝0+2＝2，当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣2，

∴A（﹣2，0），B（0，2），

把A（﹣2，0），C（1，0），B（0，2）代入抛物线解析式， 4𝑎−2𝑏+𝑐=0得{𝑎+𝑏+𝑐=0， 𝑐=2𝑎=−1解得{𝑏=−1，

𝑐=2

∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）方法一：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2，即﹣x2﹣2x+2＞2，

当函数y＝﹣x2﹣2x+2＝2时，解得x＝0或x＝﹣2，

由图象知，当﹣2＜x＜0时函数值大于2，

∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；方法二：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2，即﹣x2﹣x+2＞x+2，

观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值， ∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，作PQ⊥AB于Q， ①如图1，当P在AB上方时，在Rt△OAB中，

第178页（共201页）

∵OA＝OB＝2， ∴∠OAB＝45°，

∴∠PDQ＝∠ADE＝45°，

在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°， ∴PQ＝DQ=2， ∴PD=√𝑃𝑄2+𝐷𝑄2=1，

设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2）， ∴PD＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，即﹣x2﹣2x＝1，解得x＝﹣1，

∴此时P点的坐标为（﹣1，2）， ②如图2，当P点在A点左侧时，同理①可得PD＝1，

设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2）， ∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，即x2+2x＝1，解得x＝±√2−1，

由图象知此时P点在第三象限， ∴x=−√2−1，

∴此时P点的坐标为（−√2−1，−√2）， ③如图3，当P点在B点右侧时，在Rt△OAB中， ∵OA＝OB＝2， ∴∠OAB＝45°，

∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°，

在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°， ∴PQ＝DQ=2， ∴PD=√𝑃𝑄2+𝐷𝑄2=1，

设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），

第179页（共201页）

√2√2

∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，即x2+2x＝1，解得x＝±√2−1，

由图象知此时P点在第一象限， ∴x=√2−1，

∴此时P点的坐标为（√2−1，√2），

综上，P点的坐标为（﹣1，2）或（−√2−1，−√2）或（√2−1，√2）．

53．（2021•海南）已知抛物线y＝ax2+4x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（﹣1，0）、点C的坐标为（0，3）．

第180页（共201页）

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求△PBC的面积；

3310

；

②在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点， ∴{𝑎−4+𝑐=0， 𝑐=3

3𝑎=−解得{4， 𝑐=3

∴该抛物线的函数表达式为y=−4x2+4x+3；（2）∵抛物线y=−4x2+4x+3=−4（x−2）2+16， ∴抛物线的顶点P的坐标为（，23

7516

），

∵y=−x2+x+3，令y＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，

∴B点的坐标为（4，0），OB＝4，如图，连接OP，

494第181页（共201页）

则S△PBC＝S△OPC+S△OPB﹣S△OBC， =2•OC•|xp|+2•OB•|yp|−2•OB•OC =2×3×2+2×4×16−2×4×3 =4+8−6 =8，

∴△PBC的面积为

458

459

751

；

（3）①∵在△OBC中，BC＜OC+OB，

∴当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动， ∵OC＝3，OB＝4，

∴在Rt△OBC中，BC=√𝑂𝐵2+𝑂𝐶2=5， ∴0＜t≤5，

当运动时间为t秒时，BE＝t，如图，

过点E作EN⊥x轴，垂足为N，

则△BEN∽△BCO，

第182页（共201页）

∴

𝐵𝑁𝐵𝑂

45𝐸𝑁𝐶𝑂

𝐵𝐸𝐵𝐶35=，

𝑡

∴BN=t，EN=t，

∴点E的坐标为（4−t，t），

下面分两种情形讨论：

Ⅰ、当点D在线段CO上运动时，0＜t＜3，此时CD＝t，点D的坐标为（0，3﹣t）， ∴S△BDE＝S△BOC﹣S△CDE﹣S△BOD =2BO•CO−2CD•|xE|−2OB•OD

=2×4×3−2×t×（4−5t）−2×4×（3﹣t） =5t2，

当S△BDE=10时，t2=10，

解得t1=−∴t=

√33√332（舍去），t2=

√332＜3，

2；

Ⅱ、如图，当点D在线段OB上运动时，3≤t≤5，BD＝7﹣t，

∴S△BDE=2BD•EN， =2×（7﹣t）×5t =−10t2+10t，当S△BDE=10时，

第183页（共201页）

321

−

322133t+t=， 1010107+√57−√5，t=＜3， 422解得t3=

又∵3≤t≤5， ∴t=

7+√5， 2√33综上所述，当t=2或t=

7+√533

时，S； △BDE=210103

②当点D在线段OC上，根据平行四边的性质得，F坐标为（，136

），

当点D在线段OB上，根据平行四边的性质，F坐标为（3，3）．综上所述：F坐标为（

103

，

136

）或（3，3）．

（2）判断△BCE的形状，并说明理由；

（3）如图2，以C为圆心，√2为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+2EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8）， ∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8， ∵与y轴交于点C（0，6）， ∴把点C（0，6）代入得：a=−2， ∴该抛物线的表达式为y=−2x2+2x+6；

第184页（共201页）

（2）△BCE是直角三角形．理由如下： ∵抛物线与x轴分别交于A、B两点， ∴令y＝0，则−2（x﹣2）2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6， ∴A（﹣2，0），B（6，0），

∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80， ∴BE2＝BC2+CE2， ∴∠BCE＝90°， ∴△BCE是直角三角形；

（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为

√21

2√290．理由如下： 2

如图，在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，

2则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径， ∴

𝐶𝐹𝐶𝑃

𝐶𝑃𝐶𝐸

=，

又∵∠FCP＝∠PCE， ∴△FCP∽△PCE， ∴

𝐶𝐹𝐶𝑃

𝐹𝑃𝑃𝐸

=，即FP=EP，

12∴BF＝BP+EP，

由“两点之间，线段最短”可得： BF的长即BP+2EP为最小值． ∵CF=4CE，E（2，8）， ∴由比例性质，易得F（，

1131

132

），

√290∴BF=√(6−2)2+(0−2)2=

2．

第185页（共201页）

55．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，

第186页（共201页）

9𝑎+3𝑏+3=0∴{， 𝑎−𝑏+3=0𝑎=−1

解得：{，

𝑏=2

∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3， ∴C（0，3），

∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值， ∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．

如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点． ∵AP＝BP，

∴△PBC周长的最小值是：PB+PC+BC＝AC+BC． ∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3）， ∴AC＝3√2，BC=√10．

∴△PBC周长的最小值是：3√2+√10．抛物线对称轴为直线x=−2×(−1)=1，

设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（3，0），C（0，3）代入，得： 3𝑘+𝑐=0{， 𝑐=3

𝑘=−1

解得：{，

𝑐=3

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， ∴P（1，2）；（3）存在．设P（1，t），

∵A（3，0），C（0，3），则AC2＝32+32＝18， AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4， PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10， ∵四边形ACPQ是菱形，

∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线， ①当以AP为对角线时，则CP＝CA，如图2，

第187页（共201页）

∴t2﹣6t+10＝18，解得：t＝3±√17，

∴P1（1，3−√17），P2（1，3+√17）， ∴Q1（4，−√17），Q2（4，√17）， ②以AC为对角线时，则PC＝AP，如图3， ∴t2﹣6t+10＝t2+4，解得：t＝1，

∴P3（1，1），Q3（2，2），

③当以CP为对角线时，则AP＝AC，如图4， ∴t2+4＝18，解得：t＝±√14，

∴P4（1，√14），Q4（﹣2，3+√14）， P5（1，−√14），Q5（﹣2，3−√14），

综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q1（4，−√17），Q2（4，√17），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+√14），Q5（﹣2，3−√14）．

第188页（共201页）

56．（2021•鄂州）如图，直线y=−x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段AB的中点，点Q是线段OA上一动点（不与点O、A重合）．（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；

（2）连接PQ，在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，点O的对应点为点E．若∠OQE＝90°，求线段AQ的长；

第1页（共201页）

（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0）的顶点为点C． ①若点C在△PQE内部（不包括边），求a的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点C，使|CQ﹣CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y=−x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A， ∴点A（0，6），点B（4，0）， ∵点P是线段AB中点， ∴点P（2，3）；

（2）过点P作PF⊥OA于F，

∵将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，∠OQE＝90°， ∴∠OQP=2∠OQE＝45°，OQ＝QE， ∴QF＝PF， ∵点P（2，3）， ∴QF＝PF＝2，OF＝3， ∴OQ＝5， ∵点A（0，6）， ∴AO＝6， ∴AQ＝6﹣5＝1，

第190页（共201页）

即AQ的长为1；

（3）①y＝a（x2﹣2ax+a2）+a+1＝a（x﹣a）2+a+1，

∴顶点C的坐标为（a，a+1）， ∴点C是直线y＝x+1（x≠0）上一点， ∵∠OQE＝90°，OQ＝5， ∴当y＝5时，x＝4，

又∵点P（2，3）在直线y＝x+1上，

∴当点C在△PQE内部（不含边）时，a的取值范围是2＜a＜4； ②存在点C使|CQ﹣CE|最大，

理由如下：∵OQ＝QE＝5，∠OQE＝90°， ∴点E（5，5），

如图3，作点E关于直线y＝x+1的对称点E'（4，6），连接QE'交直线y＝x+1于点C，此时|CQ﹣CE|最大，

设直线QC的解析式为y＝kx+5， ∴6＝4k+5， ∴k=4，

∴直线QC的解析式为y=4x+5，

第191页（共201页）

联立方程组可得{

𝑦=𝑥+1𝑦=𝑥+5

14，

𝑥=3解得：{， 19

𝑦=3∴点C坐标为(

1619，3)． 357．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，−4），点B（1，）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；

（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小． ①求m的取值范围；

②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．

【解答】解：（1）将A（0，−4），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：

−4=𝑐{， 1

=1+𝑏+𝑐4𝑏=1

7，解得{

𝑐=−4∴y＝x2+x−4．

（2）∵y＝x2+x−4=（x+2）2﹣2，

第192页（共201页）

∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−． ∴当x=−时，y取最小值为﹣2， ∵2﹣（−2）＞−2−（﹣2）， ∴当x＝2时，y取最大值22+2−=

417． 41

1212（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，

当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大， ∴﹣3m+1＞0满足题意，解得m＜3． ②∵0＜PQ≤7， ∴0＜﹣3m+1≤7，解得﹣2≤m＜，

如图，当x=−2时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，

1131

m增大过程中，−2＜m＜3，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，

第193页（共201页）

直线x=关于抛物线对称轴直线x=−对称后直线为x=−， ∴−＜m＜−时，PQ与图象有2个交点，

4312131243

当﹣2≤m≤−3时，PQ与图象有1个交点，

第194页（共201页）

综上所述，﹣2≤m≤−或−≤m＜时，PQ与图象交点个数为1，−＜m＜−时，PQ与图象有2个交点．

58．（2021•东营）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=−2x+2过B、C两点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△AOC∽△ACB；

24312134312

【解答】解：（1）∵直线y=−x+2过B、C两点，当x＝0时，代入y=−2x+2，得y＝2，即C（0，2），当y＝0时，代入y=−2x+2，得x＝4，即B（4，0），把B（4，0），C（0，2）分别代入y=−x2+bx+c， −8+4𝑏+𝑐=0得{， 𝑐=2解得{𝑏=2，

𝑐=2

∴抛物线的解析式为y=−x2+x+2；

（2）∵抛物线y=−2x2+2x+2与x轴交于点A， ∴−2x2+2x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴点A的坐标为（﹣1，0）， ∴AO＝1，AB＝5，

第195页（共201页）

211

123

123213

在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2， ∴AC=√5， ∴∵∴

𝐴𝑂𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴𝐵𝐴𝑂𝐴𝐶

===

1√5=

√5， 5

√5， 5𝐴𝐶𝐴𝐵

，

又∵∠OAC＝∠CAB， ∴△AOC∽△ACB；

（3）设点D的坐标为（x，−2x2+2x+2），则点E的坐标为（x，−2x+2）， ∴DE=−2x2+2x+2﹣（−2x+2） =−x2+x+2+x﹣2 =−2x2+2x， ∵−＜0，

∴当x＝2时，线段DE的长度最大，此时，点D的坐标为（2，3）， ∵C（0，2），M（3，2）， ∴点C和点M关于对称轴对称，

连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，

连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，2）， ∴CD=√𝐶𝐹2+𝐷𝐹2=√5， ∵PD+PM＝PC+PD＝CD， ∴PD+PM的最小值为√5．

211232121

第196页（共201页）

59．（2021•贺州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．

（1）求该抛物线的函数表达式；

【解答】解：（1）抛物线过A（﹣1，0），对称轴为x＝2， ∴{

0=(−1)2+𝑏×(−1)+𝑐−2×1=2

𝑏

，

𝑏=−4解得{，

𝑐=−5

∴抛物线表达式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）过点C作CE⊥x轴于点E，

第197页（共201页）

∵∠CAB＝45°， ∴AE＝CE，

设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc＝xc+1， ∴C（xc，xc+1），代入y＝x2﹣4x﹣5得，

2xc+1=𝑥𝑐−4xc﹣5，

解得xc＝﹣1（舍去），xc＝6， ∴yc＝7，

∴点C的坐标是（6，7）；

（3）由（2）得C的坐标是（6，7）， ∵对称轴x＝2，

∴点D的坐标是（﹣2，7）， ∴CD＝8，

∵CD与x轴平行，点P在x轴下方，设△PCD以CD为底边的高为h，则h＝|yp|+7，

∴当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大， ∵1≤xp≤a，1≤a≤5，

①当1≤a＜2时，1≤xp≤2，此时y＝x2﹣4x﹣5在1≤xp≤a上y随x的增大而减小， ∴|yp|max＝|a2﹣4a﹣5|＝5+4a﹣a2， ∴h＝|yp|+7＝12+4a﹣a2， ∴△PCD的最大面积为： Smax=

×CD×h=×8×（12+4a﹣a2）＝48+16a﹣4a2； 22②当2≤a≤5时，此时y＝x2﹣4x﹣5的对称轴x＝2含于1≤xp＜a内， ∴|yp|max＝|22﹣4×2﹣5|＝9， ∴h＝9+7＝16，

∴△PCD的最大面积为Smax=2×CD×h=2×8×16＝，综上所述：当1≤a≤2时，△PCD的最大面积为48+16a﹣4a2；当2≤a≤5时，△PCD的最大面积为．

第198页（共201页）

60．（2021•齐齐哈尔）综合与探究

（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 2√2 ；

【解答】解：（1）∵OA＝1， ∴A（﹣1，0），又∵对称轴为x＝2， ∴B（5，0），

将A，B代入解析式得： 0=𝑎−2+𝑐{， 0=25𝑎+10+𝑐𝑎=−2解得{，

5𝑐=

∴𝑦=−2𝑥2+2𝑥+2；

（2）由（1）得：C（0，），D（2，），

∴CD=√(2−2)2+(2−0)2=2√2，

第199页（共201页）

故答案为2√2；

（3）∵B（5，0），C（0，），

∴直线BC的解析式为：𝑦=−2𝑥+2，设E（x，−2𝑥2+2𝑥+2），作EF∥y轴交BC于点F，则F（x，−𝑥+），

∴EF=−𝑥2+2𝑥+−（−𝑥+）=−𝑥(𝑥−5)， ∴𝑆△𝐵𝐶𝐸=

21115

×(𝑥𝐵−𝑥𝐶)×𝐸𝐹=×5×[−𝑥(𝑥−5)]=−𝑥(𝑥−5)， 222412516

125212521212521

当x=时，S△BCE有最大值为；

（4）设P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，），

若BC为矩形的对角线，由中点坐标公式得：{解得：{

𝑚=3𝑛=2−𝑦

5+0=2+𝑚0+

， 5

=𝑦+𝑛2，

又∵∠BPC＝90°， ∴PC2+PB2＝BC2，

即：22+(2−𝑦)2+32+𝑦2=52+(2)2，

第200页（共201页）

解得y＝4或y=−， ∴n=−或n＝4，

∴Q（3，−2）或Q（3，4），若BP为矩形得对角线，

5+2=0+𝑚由中点坐标公式得{， 5

0+𝑦=+𝑛

2𝑚=7

5，解得{

𝑛=𝑦−

233232又∵∠BCP＝90°， BC2+CP2＝BP2，

即：52+()2+22+(−𝑦)2=32+𝑦2，解得y=

13， 25252∴Q（7，4），

若BQ为矩形的对角线，

5+𝑚=2+0由中点坐标公式得{5，

0+𝑛=𝑦+2𝑚=−3

解得：{5，

𝑛=𝑦+2又∵∠BCQ＝90°， ∴BC2+CQ2＝BQ2，

即：52+(2)2+𝑚2+(2−𝑛)2=(5−𝑚)2+𝑛2，解得n=−， ∴Q（﹣3，−2），

综上，点Q的坐标为（3，−）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，−）．

2727725

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