小波变换及其应用_续三_李世雄

现代数学讲座

小波变换及其应用(续三)

李世雄　(安徽大学数学系　合肥　230039)

󰀁

两维正交小波基　在许多实际问题中,经常会遇到多维的信号(如图像等),因此只有一维小波

基是不够的。不难证明(见[1])若󰀁(t)与󰀁(t)是小波标准正交基的尺度函数与母函数,󰀁jm(x)=22󰀁(2jx-m),󰀁

j

jm

(x)=22󰀁(2jx-m),则{󰀁jn(x)󰀁jm(y),󰀁jn(x)󰀁

∞

∞

j

jm

(y),󰀁jn(x)󰀁jm(y)}j,m,n󰀁z构成

两维平方可积函数空间(即满足标准正交基(见图12(a)(b))

∫∫

-∞-∞

󰀁f(x,y)󰀁dxdy<∞的全体函数所构成的线性空间)的一组

2

图12

(六)离散小波变换的应用举例(1)消除信号中的噪音

信号在生成和传输过程不可避免地会混入各种噪音。在混有噪音的信号中如何消除噪音求得真实的信号,是信号加工处理的一项重要任务。含噪音的信号f(t)可表示成如下的形式。

f(t)=s(t)+n(t)这里s(t)是真实信号,n(t)为噪声。当s(t)主要是由低频成份组成的平稳的信号,而噪声n(t)则主要由高频组成时,利用傅里叶变换在频率域上可将信号与噪音基本分开而达到去噪的目的。但当信号包含突变部份时(如图13(a),t=t1,t2处),其频谱必然包含高频成份,因而在频率域上就难以发挥作用。但小波变换由于它在时间域与频率域上均有局部性,因此它可同时在时、频域中对信号进行分析处理,从而有效地区分信号中的突变部份和噪音(见图13d).

(2)图像数据压缩

一张图像经模数转换离散化以后的数据量是非常巨大的。以黑白图像为例,首先要将它分解成由小正方形构成的像素。为了使图像具有较清晰的分辨率,一张图片需分成像素的个数应为105-10的数量级,而每一个像素的灰度根据人眼的分辨能力,通常分为10个等级,若采用二进制10

76

2

2

≈2,因此每一像素需用一个7位二进制数来表示其灰度,所以一张黑白图片离散化后的数据量为7×105～7×106。若是彩色图片,则数据量还要增加好几倍。如此巨大数量的数据在传输、存储、加

󰀁收稿日期:2001-01-02第6卷第2期　　　　　　　　　　　　李世雄:小波变换及其应用(续三)　　　　　　　　　　　　　　51

图13

工处理等方面都会引起巨大的困难。但由于图像数据实际上包含着大量冗长而无关紧要的信息,因此在保持图像一定的清晰度或分辨率的前提下,完全有可能大量的压缩或删除数据中无关紧要的多余无用的部份,这就是图像数据压缩的任务。这一问题由于在实际应用中的重要性,有不少学者在这方面进行了研究,有的成果在应用中已取得了较好的效果。由于小波变换在空间(时间)域与频率域上均有局部性,因此是处理图像数据压缩比较理想的工具,利用它已得到一些压缩图像数据的新方法,效果很好。图14(a)(b)(c)(d)显示用小波变换方法压缩的效果。关于这方面的理论与方法可参看([1][5])。

图14(a)　原始图像　　　　　　图14(b)　30倍压缩图像

上面,我们仅举两个简单例子来说明小波变换在信号分析处理方面的应用,有兴趣的读者可进一步参阅参考资料。特别是Mathwork公司推出的数学软件MATLAB对小波变换已有专门的工高等数学研究　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Vol.6,No.252STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSJun.,2003

简讯

王元《华罗庚》获首届“吴大猷科学普及著作奖”金签奖

由吴大猷学术基金会主办,《中国时报・开卷周报》、《科学月刊》、《科学时报》共同协办的首届“吴大猷科学普及著作奖“评选揭晓,王元《华罗庚》和杨玉龄、罗时成《肝癌圣战》同获金签奖,另评

出银签奖3本以及佳作奖15本。

这一奖项是首度由两岸三地与海外华文世界携手评选的科普杰出著作奖。本届评选历时一年多,分由两岸同步进行预选、初选和决选,从140多本两岸三地十年内出版的中文自然科学普及著作中选出20本入围角逐金签奖、银签奖。评选标准是“信、达、趣”,藉此选出“内容丰富正确、表达清楚、可吸引读者、可读性高、深具启发性”的科普著作。著译作品都可参评,但金签奖只颁给原创作品。

本次评选还具有极高透明度:入围著作、评委名单都早在媒体公布,评委中包括杨振宁、李政道、李远哲三位诺贝尔奖得主,大陆方面则有王绶、甘子剑、巴德年、吴新智、叶铭汉等多位院士。这样动员华文学界最高层资源,是希望科学家关注科普出版,并帮助出版界监督匡正科普读物中的错误。

在首届颁奖典礼上著名科学家杨振宁亲自为《华罗庚》一书作者王元院士颁奖。该书是王元科普创作的代表作,作者从1985年开始搜集材料,花了八九年时间才定稿。王元大学毕业后分配到中科院数学所即师从华罗庚,从此风风雨雨30多年,自己也成长为一代著名数学家。他1980年当选为中国科学院士,现任中科院数学所研究员。

(据《文汇读书周报》报道)

具箱Wavelet及详细的帮助说明,为广大读者学习掌握运用小波变换提供了极大的方便[5]。小波变换除去信号分析,图像处理等应用部门外在数学许多分支,如函数论、偏微分方程、数值计算等方向都有着重要的应用。读者可参考[1]、[4]。

参考文献

[1]李世雄.小波变换及其应用.北京:高等教育出版社.1997。

[2]Daubechies.I.TenLecturesonWaveletPhiladelphia.PennsylvaniaSocietyforIndustrialandAppl.Math.1992.

[3]Daubechies.I.DifferentPerspectivesonWavelets.Pro.ofSym.inAppl.Math.Vol.47.1993.

[4]Meyer.Y.Wavelets.Algorithms&Applications.SIAM.Philadelphia.1993.

[5]胡昌华等.基于MATLAB的系统分析与设计——小波分析.西安:西安电子科技出版社,1999。

(上接第48页)中疑难关键部分的学习有巨大帮助,衷心感谢您们的辛勤劳动,感谢这本你们智慧与汗水结晶的《高等数学研究》。同时我希望今后杂志中能多介绍一些华罗庚、陈省身等大师的数学思想,如此将对学生更深地领悟高等数学的内涵,起到更大的作用。