一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。这使他更加困苦不堪。 有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？” 他答道：“试过了。” “不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。” 精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。”说完，就不见了。 这病人跳进了水池，泡在水中。等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。
这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。于是他就此发誓，要戒除一切恶习。他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。
大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。
二、知识点回顾：
1．根式 (1)根式的概念
根式的概念 如果，那么x叫做a的n次方根 当n是奇数时，正数的n次方根是一个，负数的n次方根是一个 当n是偶数时，正数的n次方根有，这两个数互为
nnnnn
(2)两个重要公式．①a＝②(a)＝(注意a必须使a有意义)． 2. 幂的有关概念
①正分数指数幂：＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：＝ ＝ (a＞0，m、n∈N*，且n＞1)． ③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂 ．
y＝ax 图象 a＞1 1 / 18
0＜a＜1 n符号表示 备注 n＞1且n∈N 零的n次方根是零 *a n±a(a>0) 负数没有偶次方根 . . 定义域 值域 R (0，＋∞) 3．指数函数的图象与性质
y＝ax 性 质 a＞1 (1)过定点 (2)当x＞0时， ；x＜0时， (2)当x＞0时，；x＜0时， 0＜a＜1
(3)在R上是 (3)在R上是
4．对数的概念 (1)对数的定义
如果，那么数x叫做以a为底N的对数，
记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)两种常见对数
对数形式 常用对数 自然对数 5．对数的性质、换底公式与运算法则
性质 ①loga1＝，②logaa＝， ③＝。 换底公式 logab＝ (a，b，c均大于零且不等于1) 运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝ ， ②loga＝ ， ③logaMn＝nlogaM(n∈R). 2 / 18 特点 底数为 底数为 记法 lgx lnx . .
6.对数函数的定义、图象与性质
定义 图 象
性 质 (1)定义域： (2)值域： (3)当x＝1时，y＝0，即过定点 (4)当0 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称． (5)在(0，＋∞)上为 函数 (a>0，且a≠1)叫做对数函数 a>1 0 7 31×(－)＋86()320 有理指数幂的化简与求值 214×42＋(32×3)6－2()33； (2) a5 33·254 ba 3； b 3(3) 23a8aba23ab4b2343133b3 ÷(1－2 )×a. a 3 / 18 . . 13(1)原式＝ ()3×1＋22[自主解答] 31114×4＋(3×2)6－ 23231()3＝2＋4×27＝110. 2(2) a5 3 3· 2 54 ba 3 ＝ a33212· b321510＝ a54＝a4a. b 3 (3)令 a3 13＝m， 4 b13＝n， 3 m－8mn2n 则原式＝2)·m 2÷(1－ m＋2mn＋4nmmm－8nm ＝2 2· m＋2mn＋4nm－2n＝ m 3 3 2 m－2nm＋2mn＋4n22m＋2mn＋4nm－2n 22 ＝m＝a. 3 变式训练：计算下列各式 (1) 781－(－)＋[(－2)] 8()31250 3 43＋16 431＋|－| 100 12； (2) 3a92a323÷3 a －73 a； 133 (3)(－3) 81＋()500 12－10(5－2)＋(2－3). －10 2－11－4－3 解：(1)原式＝()－1＋(－2)＋2＋ 5105111143 ＝－1＋＋＋＝. 21681080 9636136(2)原式＝ aa76＝ a973136666＝a0＝1. aa(3)(3)原式＝(－1) 233×(3) 8 231＋()500 12－ ＋1 5－2 10 4 / 18 . . 27＝() 8 23＋(500) 12－10(5＋2)＋1 4 ＝＋105－105－20＋1 9167＝－. 9 考点二 指数函数的图象 画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？ [自主解答] 函数y＝|3x－1|的图象是 由函数y＝3x的图象向下平移一个单位 后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折 到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当0 解：由例2所作图象可知，函数 y＝|3x－1|在[0，＋∞)上为增函 数，在(－∞，0)上为减函数. 1|x＋1| 已知函数y＝(). 3 变式训练： (1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值． 解：(1)法一：由函数解析式可得 1x＋1，x≥－11|x＋1| 3y＝()＝3x＋13，x＜－1. 其图象由两部分组成： ， 5 / 18 . . 向左平移1x1x＋1 一部分是：y＝()(x≥0)1―――→y＝()(x≥－1)； 个单位33向左平移 x＋1 另一部分是：y＝3(x＜0)1―――→y＝3(x＜－1)． 个单位 x 如图所示： 1|x|1x 法二：①由y＝()可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝()的图象，保留x≥0 331x1|x| 的部分，当x<0时，其图象是将y＝()(x≥0)图象关于y轴对折，从而得出y＝()的图象． 331|x|1|x＋1| ②将y＝()向左移动1个单位，即可得y＝()的图象，如图所示． 33(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值． 考点三 已知函数f(x)＝ 指数函数的性质 1ax24x3. ()3(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的取值围． [自主解答] (1)当a＝－1时，f(x)＝ 2 1x24x3， ()3令g(x)＝－x－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 1t 而y＝()在R上单调递减， 3 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)， 递减区间是(－∞，－2)． 6 / 18 . . 1h(x)2 (2)令h(x)＝ax－4x＋3，y＝()，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有 3a>0 12a－16 ＝－14a ，解得a＝1 即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. 1h(x)2 (3)由指数函数的性质知，要使y＝()的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax－4x＋3的值域为R，因此只 3 能有a＝0.因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值围是a＝0. 1 变式训练：已知g(x)＝－(1)＋4()＋5，求该函数的定义域、值域和单调区间． 42 x x 1x1x12x1x 解：由g(x)＝－()＋4()＋5＝－()＋4()＋5. 4222 1x ∴函数的定义域为R，令t＝()(t>0)． 2∴g(t)＝－t＋4t＋5＝－(t－2)＋9. ∵t>0，∴g(t)＝－(t－2)＋9≤9， 等号成立条件是t＝2， 1x 即g(x)≤9，等号成立条件是()＝2， 2 即x＝－1. ∴g(x)的值域是(－∞，9]． 由g(t)＝－(t－2)＋9(t>0)， 1x 而t＝()是减函数， 2 ∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间． 求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间． ∵g(t)在(0,2]上递增， 在[2，＋∞)上递减， 1x 由0 1x 可得x≥－1，由t＝()≥2，可得x≤－1. 2 7 / 18 2 2 2 2 . . ∴g(x)在[－1，＋∞)上递减，在(－∞，－1]上递增． 故g(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是[－1，＋∞)． 考点四 对数式的化简与求值 3[例4](1)计算：lg5(lg8＋lg1 000)＋(lg227 (2)化简：log3·log5[ 3 4 12)＋lg＋lg0.06； 623－ 41log1022－ (33)log322 7log72]； (3)已知：lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，求 x 的值． y [自主解答] (1)原式＝lg5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋(3lg 5)－2 ＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1. 4 (2)原式＝(log327－1)·log5(10－3－2) 31＝(－1)log55＝－. 44 (3)∵lgx＋lgy＝2lg(2x－3y) ∴xy＝(2x－3y)＝4x＋9y－12xy 即4x－13xy＋9y＝0 ∴(4x－9y)(x－y)＝0，即4x＝9y，x＝y(舍去)， ∴ 2 22 2 22 log32x＝y log9 ＝2. 432 变式训练：计算：(1)(log2＋log2)·(log3＋log3)； 3 9 4 8 1111 (2)(lg32＋log416＋6lg)＋lg. 5255 111 解：(1)原式＝(log32＋log32)(log23＋log23) 2233 ＝(log32＋log32)(log23＋log23) 3 ＝log322·log2(3·3) ＝log32·log23 8 / 18 3256. . 355＝·log32··log23＝. 264 1161 (2)原式＝[lg32＋2＋lg()＋lg ] 52511111 ＝[2＋lg(32××)]＝(2＋lg) 564551011＝[2＋(－1)]＝. 55 考点五 对数值的大小比较 [例5]比较下列各组数的大小． 26(1)log3与log5； 35(2)log1.10.7与log1.20.7； (3)已知 log1log1log1b< a< c，比较222的大小关系． b,a,c 2226 [自主解答] (1)∵log3 35 26 ∴log3 (2)法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log0.71.1>log0.71.2. ∴ 1 <， log0.71.1log0.71.2 1 2由换底公式可得log1.10.7 . . (3)∵y＝ log1x为减函数， 2且 log12x b< log1a 而y＝2是增函数， ∴2>2>2. b a c 变式训练：设a、b、c均为正数，且2＝loga 121b1c a，()＝b，()＝log2c，则( ) 22log12A．a ∴a 例6]已知f(x)＝logx(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈[3，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值围． a 1 10 / 18 . . [自主解答] ∵f(x)＝logax， 111 则y＝|f(x)|的图象如右图．由图示，要使x∈[，2]时恒有|f(x)|≤1，只需|f()|≤1，即－1≤loga≤1， 3331－1 即logaa≤loga≤logaa， 3 1－1 亦当a>1时，得a≤≤a，即a≥3； 311－1 当0 综上所述，a的取值围是(0，]∪[3，＋∞)． 3 变式训练：(2010·潍坊二模)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，将y＝f(x)的图象向左平移1个单位， 再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象． (1)求g(x)的定义域； (2)令F(x)＝f(x－1)－g(x)，求F(x)的最大值． 向左平移1个单位纵坐标伸长 解：(1)f(x)＝log2(x＋1)―――――――→y＝log2(x＋2)到原来的―――――― ―2→倍y＝2log2(x＋2)， 即g(x)＝2log2(x＋2)，∴x＋2>0. ∴x>－2.∴定义域为(－2，＋∞)． (2)∵F(x)＝f(x－1)－g(x)＝log2x－2log2(x＋2) ＝log2 x x＋2 2x (x>0)＝log22 x＋4x＋4 11 ＝log2≤log2＝－3， 48x＋＋4x∴当x＝2时，F(x)max＝－3. 考点七 与对数函数有关的综合问题 1－ax 为奇函数，a<0. x－1 [例7](2011·成都模拟)设f(x)＝log(1)求a的值； 121x (2)若对于区间[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>()＋m恒成立，求实数m的取值范围． 2 [自主解答] (1)∵f(－x)＝－f(x)， ∴ 1＋ax ＝－－1－x11－ax ＝x－1 x－1 ， 1－ax1loglog12log2211 / 18 . . ∴ 1＋axx－1 ＝，即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)， －x－11－ax ∴a＝－1或a＝1(舍去)． (2)由(1)可知f(x)＝ x＋1 ＝x－1 2 )， x－1 log12log12(1＋ 1x ∵f(x)>()＋m恒成立，x∈[3,4]， 21x ∴m 令g(x)＝f(x)－()＝ 2 log21x (1＋)－()，x∈[3,4]． x－1212∵函数f(x)＝ log1221x (1＋)与y＝－()在x∈[3,4]上均为增函数，∴g(x)在[3,4]上为增函数， x－12 99 ∴g(x)min＝g(3)＝－，∴m<－. 88 思考： 若f(x)的值域为[1，＋∞)，求x的取值范围． 解：由例题知， f(x)＝ x＋1 x－1 log12又∵f(x)的值域为[1，＋∞) x＋11∴0<≤ x－12∴－3≤x<－1. 即x的取值范围为[－3，－1)． 变式训练：已知函数y＝loga2(x2－2ax－3)在(－∞，－2)上是增函数，求a的取值范围． 解：因为μ(x)＝x－2ax－3在(－∞，a]上是减函数， 在[a，＋∞)上是增函数， 要使y＝loga2(x－2ax－3)在(－∞，－2)上是增函数， 首先必有0 2 2 2 . . μ－2≥0， 即0 1 得a≥－. 4 1 综上，得－≤a<0或0 五、巩固练习： 一、选择题 1．(2011·济南模拟)定义运算a⊗b＝ aba≤ba>b x，则函数f(x)＝1⊗2的图象大致为( ) x a解析：由a⊗b＝ ba≤ba>b 2x得f(x)＝1⊗2＝ 1 x≤0，x>0. 答案：A 11ab2．(2010·辽宁高考)设2＝5＝m，且＋＝2，则m＝( ) abA.10 B．10 C．20 D．100 解析：a＝log2m，b＝log5m，代入已知得logm2＋logm5＝2， 即logm10＝2，所以m＝10. 答案：A 3．(2010·全国卷Ⅰ)设a＝log32，b＝ln2，c＝5，则( ) A．a＜b＜cB．b＜c＜a C．c＜a＜bD．c＜b＜a 1ln 2111解析：a＝log32＝＜ln 2＝b，又c＝52＝＜，a＝log32＞log33＝，因此c＜a＜b. ln 3252 124．若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图所示，其中a，b(a>0且a≠1)为常数，则函数g(x)＝a＋b的大致图象是( ) x 13 / 18 . . 解析：由图可知，函数f(x)＝loga(x＋b)是单调递减函数，所以0 5．(2011·石家庄模拟)已知函数f(x)＝log2(a－2)＋x－2，若f(x)＝0有解，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．[1，＋∞) C．[2，＋∞) D．[4，＋∞) 解析：法一：f(x)＝log2(a－2)＋x－2＝0，得a－2＝2 2 xxxx2－x4xx ，即a－2＝x，令t＝2 2 2 (t>0)，则t－at＋4＝0在t∈(0，＋∞)上有解，令g(t)＝t－at＋4，g(0)＝4>0，故满足 a2>0， 2Δ＝a－16≥0， 得a≥4. 法二：f(x)＝log2(a－2)＋x－2＝0，得a－2＝2二、填空题 6．2723－ xx2－x4x，a＝2＋x≥4. 2 2log231 ×log2＋2lg(3＋5＋3－5)的结果为________． 8 2 解析：原式＝9－3×(－3)＋lg(3＋5＋3－5)＝18＋lg 10＝19. 答案：19 7．函数y＝a(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________． 2 xaa3x2x解析：当a>1时，y＝a在[1,2]上单调递增，故a－a＝，得a＝.当0 调递减，故a－a＝，得a＝.故a＝或. 2222 8．若曲线|y|＝2＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围． x 曲线|y|＝2＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． 答案：[－1,1] 14 / 18 xx. . 三、解答题 9．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]． (1)求a的值； (2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 解：法一：(1)由已知得3 a＋2 ＝18⇒3a＝2⇒a＝log32. (2)此时g(x)＝λ·2x－4x， 设0≤x1 所以g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)>0恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立． 由于2x2＋2x0 0 1>2＋2＝2， 所以实数λ的取值范围是λ≤2. 10．(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值； (2)已知2lg x－y2 ＝lg x＋lg y，求 xy的值． 解：(1)由logam＝2，ana2＝m，loga3＝n得＝3， ∴a2m＋n＝a2m·an＝22 ×3＝12. (2)由已知得lg(x－y2 2 )＝lg(xy)， ∴(x－y2xy，即x2 －6xy＋y2 2 )＝＝0， ∴(x)2 －6·xyy＋1＝0， ∴xy＝3±22. ∵x－y>0，x>0，y>0， ∴x>1，从而xyy＝3＋22， xy＝1＋2. 六、拓展训练: 1、2(2010·安徽高考)设a＝(3)5，b＝ ，则a，b，c的大小关系是( 5(2325)5，c＝(25)5A．a＞c＞b B．a＞b＞c 15 / 18 ) . . C．c＞a＞b D．b＞c＞a 2x2x [规范解答] 构造指数函数y＝()(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b＜c；又y＝()(x∈R) 55 23x3x2x 3与y＝()(x∈R)之间有如下结论：当x＞0时，有()＞()，故 555()5＞ 5225()，∴a＞c，故a＞c＞b. 52、(2010·XX高考)设函数f(x)＝log( ) log1(x),22x,x0,若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是x0.A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) [规范解答] 由题意可得 或a0 a0log2alog1alog(a)loga,1222解之得a>1或－1 16 / 18 . . 当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！） 1．(2011·桐乡模拟)函数y＝ax＋2012＋2012(a>0，a≠1)的图象恒过定点________． 解析：令x＋2012＝0，则x＝－2012，此时y＝a0＋2012＝1＋2012＝2013 ∴恒过定点(－2012,2013)． 答案：(－2012,2013) 2．若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N，则下列各式： ①(logax)＝nlogax；②(logax)＝logax； 11n ③logax＝－loga；④logax＝logax； xnlogaxx－yx＋yn ⑤＝logax；⑥loga＝－loga. nx＋yx－y其中正确的个数有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d的 大小关系是 ( ) A．a n n 17 / 18 . . 1xxx 解析：由指数函数y＝a(a>0且a≠1)的单调性与函数y＝a与y＝()间的关系可知b A．f(b)≤f(c)B．f(b)≥f(c)C．f(b)>f(c)D．大小关系随x的不同而不同 解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)， ∴f(x)的对称轴为直线x＝1， 由此得b＝2. 又f(0)＝3，∴c＝3. ∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x≥0，则3≥2≥1， ∴f(3)≥f(2)． 若x<0，则3<2<1， ∴f(3)>f(2)． ∴f(3)≥f(2)． 5．设m为常数，如果函数y＝lg(mx－4x＋m－3)的值域为R，则m的取值范围是________． 解析：因为函数值域为R，所以mx－4x＋m－3能取到所有大于0的数，即满足 m>0，Δ＝－4 2 2 2 xxxxxxxxxxxxxxxxxx2 －4mm－3≥0 或m＝0.解得0≤m≤4. 答案：[0,4] 1 6．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________. 2解析：∵3<2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝(2)3log3 2111log311log11113＝×(2)＝×(2)＝×＝. 888324 2121 答案： 24 18 / 18 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
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