2019年辽宁省朝阳市中考数学试卷(解析版)

2019年辽宁省朝阳市中考数学试卷（解析版）

学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________

一、单选题（共10小题）

1.3的相反数是（ ） A．3

B．﹣3 C． D．﹣

2.如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）

A． B．

C．

D．

3.一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 C．没有实数根

B．有两个相等的实数根 D．无法判断

4.下列调查中，调查方式最适合普查（全面调查）的是（ ） A．对全国初中学生视力情况的调查 B．对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查 C．对一批飞机零部件的合格情况的调查 D．对我市居民节水意识的调查

5.若点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系

是（ ） A．y1＜y2＜y3

B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1

6.关于x，y的二元一次方程组A．4

的解是

C．1

，则m+n的值为（ ）

D．0

B．2

7.把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是（ ）

A．83°

B．57° C．° D．33°

8.为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量，抽取了7名同学进行调查，调查结果如下（单位：

篇/周）：，其中有一个数据不小心被墨迹污损．已知这组数据的平均数为4，那么

这组数据的众数与中位数分别为（ ） A．5，4

B．3，5 C．4，4 D．4，5

9.如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（ ）

A．5

B．6 C．10 D．6

10.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论： ①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③b2﹣4ac＜8a；④5a+b+c＞0． 其中正确结论的个数是（ ）

A．1

B．2 C．3 D．4

二、填空题（共6小题）

11.2019年5月20日，第15届中国国际文化产业博览交易会落下帷幕．短短5天时间，有7800000人次参观数据7800000用科学记数法表示为 ．

12.因式分解：﹣x2+2＝ ﹣ ﹣ ．

13.从点M（﹣1，6），N（，12），E（2，﹣3），F（﹣3，﹣2）中任取一点，所取的点恰好在反比例函数y＝的图象上的概率为 ．

14.不等式组

的解集是 ﹣ ．

15.如图，把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，折痕分别为EF，DG，得到∠BDE＝60°，∠BED＝90°，若DE＝2，则FG的长为 ．

16.如图，直线y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作AB⊥AM，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，An﹣1Bn﹣1Cn﹣1An中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为 ．

三、解答题（共9小题）

17.先化简，再求值：

﹣÷，其中a＝|﹣6|﹣（）1．

﹣

18.佳佳文具店购进A，B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%．已知店主购进A种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600元，且所购进的A种笔袋的数量比B种笔袋多20个．请问：文具店购进A，B两种款式的笔袋各多少个？

19.某校组织学生开展为贫困山区孩子捐书活动，要求捐赠的书籍类别为科普类、文学类、漫画类、哲学故事类、环保类，学校图书管理员对所捐赠的书籍随机抽查了部分进行统计，并对获取的数据进行了整理，根据整理结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．已知所统计的数据中，捐赠的哲学故事类书籍和文学类书籍的数量相同．请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次被抽查的书籍有 册． （2）补全条形统计图．

（3）若此次捐赠的书籍共1200册，请你估计所捐赠的科普类书籍有多少册．

20.有5张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这5张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为 ．

（2）若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率．

21.小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：

≈1.732）

22.如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若BF＝2，DH＝

，求⊙O的半径．

23.网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）． （1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．

（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？

（3）设每天销售该特产的利润为W元，若14＜x≤30，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

24.如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．

（1）如图1，当α＝45°时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）． （2）如图2，当45°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）当α＝360°时，若AB＝4

，请直接写出点O经过的路径长．

25.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式．

（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF＝BF时，求sin∠EBA的值．

（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2019年辽宁省朝阳市中考数学试卷（解析版）

参

一、单选题（共10小题）

1.【分析】 根据相反数的意义，3的相反数即是在3的前面加负号． 【解答】 解：根据相反数的概念及意义可知：3的相反数是﹣3．

故选：B．

【知识点】相反数

2.【分析】 细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【解答】 解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下：

故选：C．

【知识点】简单组合体的三视图

3.【分析】 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【解答】 解：∵△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，

∴方程有两个不相等的两个实数根． 故选：A．

【知识点】根的判别式

4.【分析】 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查

结果比较近似进行判断即可．

【解答】 解：A、对全国初中学生视力情况的调查，适合用抽样调查，A不合题意；

B、对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查，适合用抽样调查，B不合题意； C、对一批飞机零部件的合格情况的调查，适合全面调查，C符合题意； D、对我市居民节水意识的调查，适合用抽样调查，D不合题意； 故选：C．

【知识点】全面调查与抽样调查

5.【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论． 【解答】 解：∵点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，

∴y1＝﹣

＝8，y2＝﹣

＝4，y3＝﹣，

又∵﹣＜4＜8， ∴y3＜y2＜y1． 故选：D．

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征

6.【分析】 把x与y的值代入方程计算求出m与n的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】 解：把

解得：则m+n＝0， 故选：D．

【知识点】二元一次方程组的解

7.【分析】 过点C作CF∥AB，易知CF∥DE，所以可得∠BCF＝∠B，∠FCE＝∠E，根据∠BCE＝∠BCF+∠FCE即可求解．

【解答】 解：过点C作CF∥AB，

∴∠BCF＝∠B＝25°．

又AB∥DE， ∴CF∥DE．

∴∠FCE＝∠E＝90°﹣∠D＝90°﹣58°＝32°． ∴∠BCE＝∠BCF+∠FCE＝25°+32°＝57°．

代入得：，

，

故选：B．

【知识点】直角三角形的性质、平行线的判定

8.【分析】 设被污损的数据为x，根据这组数据的平均数为4求出x的值，再依据众数和中位数的定义求解可得．

【解答】 解：设被污损的数据为x，

则4+x+2+5+5+4+3＝4×7， 解得x＝5，

∴这组数据中出现次数最多的是5，即众数为5篇， 将这7个数据从小到大排列为2、3、4、4、5、5、5， ∴这组数据的中位数为4篇， 故选：A．

【知识点】中位数、算术平均数、众数

9.【分析】 由矩形的性质得到∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，求得OC＝OD，设

DE＝x，OE＝2x，得到OD＝OC＝3x，AC＝6x，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】 解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC， ∴OC＝OD， ∵EO＝2DE，

∴设DE＝x，OE＝2x， ∴OD＝OC＝3x，AC＝6x， ∵CE⊥BD，

∴∠DEC＝∠OEC＝90°， 在Rt△OCE中， ∵OE2+CE2＝OC2，

∴（2x）2+52＝（3x）2， ∵x＞0， ∴DE＝∴CD＝∴AD＝

，AC＝6

＝＝，

＝

， ＝5

，

故选：A．

【知识点】矩形的性质

10.【分析】 根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【解答】 解：①由图象可知：a＞0，c＜0，

∴由于对称轴

＞0，

∴b＜0，

∴abc＞0，故①正确；

②抛物线过（3，0），

∴x＝3，y＝9a+3b+c＝0，故②正确； ③顶点坐标为：（由图象可知：

，＜﹣2，

）

∵a＞0，

∴4ac﹣b2＜﹣8a，

即b2﹣4ac＞8a，故③错误； ④由图象可知：

＞1，a＞0，

∴2a+b＜0， ∵9a+3b+c＝0， ∴c＝﹣9a﹣3b，

∴5a+b+c＝5a+b﹣9a﹣3b＝﹣4a﹣2b＝﹣2（2a+b）＞0，故④正确； 故选：C．

【知识点】二次函数图象与系数的关系

二、填空题（共6小题）

11.【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要

看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】 解：数据7800000用科学记数法表示为7.8×106． 故答案为：7.8×106．

【知识点】科学记数法—表示较大的数

12.【分析】

先提取公因式

，再利用平方差公式分解即可．（x2﹣4）＝

（x+2）（x﹣2）

【解答】 解：﹣x2+2＝

故答案为：

（x+2）（x﹣2）．

【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

13.【分析】

根据反比例函数的性质，找出符合点在函数y＝图象上的点的个数，即可根据概率公式

求解．

【解答】 解：∵k＝6，

﹣1×6＝﹣6≠6，×12＝6，2×（﹣3）＝﹣6≠6，﹣3×（﹣2）＝6，

∴N、F两个点在反比例函数y＝的图象上，故所取的点在反比例函数y＝的图象上的概率是＝． 故答案为．

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、概率公式

14.【分析】 根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题． 【解答】 解：

，

由不等式①，得x≤3， 由不等式②，得x＞﹣2，

故原不等式组的解集是﹣2＜x≤3，

故答案为：﹣2＜x≤3．

【知识点】解一元一次不等式组

15.【分析】 根据折叠的性质得到AF＝BF，AE＝BE，BG＝CG，DC＝DB，根据三角形的中位线定理

得到FG＝

AC，求得∠EBD＝30°，得到DB＝2DE＝4，根据勾股定理得到BE＝＝

＝2

，求得AE＝BE＝2

，DC＝DB＝4，于是得到结论．

【解答】 解：∵把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，

∴AF＝BF，AE＝BE，BG＝CG，DC＝DB，

∴FG＝AC，

∵∠BDE＝60°，∠BED＝90°， ∴∠EBD＝30°， ∴DB＝2DE＝4， ∴BE＝

＝

＝2

，

∴AE＝BE＝2，DC＝DB＝4， ∴AC＝AE+DE+DC＝2+2+4＝6+2∴FG＝AC＝3+

，

，

故答案为：3+．

【知识点】翻折变换（折叠问题）

16.【分析】

根据直线y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，可分别求出OA、OM的长，得出tan∠AMO＝，根据同角的余角相等可得∠OAB＝∠AMO，得出tan∠OAB＝而得出OB＝，进而表示出S1，S2，…，Sn．

【解答】 解：在直线y＝x+1中，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣3；

∴OA＝1，OM＝3， ∴tan∠AMO＝，

∵∠OAB+∠OAM＝90°，∠AMO+∠OAM＝90°， ∴∠OAB＝∠AMO， ∴tan∠OAB＝∴OB＝． ∵∴易得tan∴∴∴

，

，

，

，

，

，

，

，进

同理可得，，…，

＝．

故答案为：．

【知识点】规律型：点的坐标、一次函数图象上点的坐标特征

三、解答题（共9小题）

17.【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．

﹣

•

÷

【解答】 解：原式＝

＝＝＝

﹣﹣，

当a＝|﹣6|﹣（）1＝6﹣2＝4时， 原式＝

＝．

﹣

【知识点】负整数指数幂、分式的化简求值、绝对值

18.【分析】

设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋（x+20）个，根据单价＝总价÷数量结合A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【解答】 解：设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋（x+20）个，

依题意，得：

＝

（1﹣10%），

解得：x＝40，

经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意， ∴x+20＝60．

答：文具店购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个．

【知识点】分式方程的应用

19.【分析】 （1）根据统计图中的数据可以求得本次被抽查的书籍；

（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据可以将条形统计图补充完整； （3）根据统计图中的数据可以计算出所捐赠的科普类书籍有多少册．

【解答】 解：（1）∵捐赠的哲学故事类书籍和文学类书籍的数量相同，

∴本次被抽查的书籍有：（3+9+12）÷（1﹣30%﹣30%）＝60（册）， 故答案为：60；

（2）文学类有60×30%＝18（册），则哲学故事类18册， 补全的条形统计如右图所示； （3）1200×

＝180（册），

答：所捐赠的科普类书籍有180册．

【知识点】用样本估计总体、扇形统计图、全面调查与抽样调查、条形统计图

20.【分析】

（1）直接利用概率公式求解可得；

（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．

【解答】 解：（1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为，

故答案为：； （2）画树状图如下：

由树状图知，共有20种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结

果，

∴两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为

．

【知识点】列表法与树状图法、概率公式、轴对称图形、中心对称图形

21.【分析】

作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，根据坡度的定义分别求出DC、CP，设MF＝ym，根据正切的定义用y分别表示出DF、PE，根据题意列方程，解方程得到答案．

【解答】 解：作DC⊥EP交EP的延长线于C，作DF⊥ME于F，作PH⊥DF于H，

则DC＝PH＝FE，DH＝CP，HF＝PE， 设DC＝3x， ∵tanθ＝，

∴CP＝4x，

由勾股定理得，PD2＝DC2+CP2，即252＝（3x）2+（4x）2， 解得，x＝5，

则DC＝3x＝15，CP＝4x＝20，

∴DH＝CP＝20，PH＝FE＝DC＝15， 设MF＝ym， 则ME＝（y+15）m， 在Rt△MDF中，tan∠MDF＝则DF＝

＝

y，

，

在Rt△MPE中，tan∠MPE＝则PE＝

∵DH＝DF﹣HF， ∴

y﹣

（y+15）＝20，

＝

，

（y+15），

解得，y＝7.5+10，

∴ME＝MF+FE＝7.5+10+15≈39.8， 答：古塔的高度ME约为39.8m．

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题

22.【分析】 （1）证明△DAF≌△DCE，可得∠DFA＝∠DEC，证出∠ADE＝∠DEC＝90°，即OD⊥

DE，DE是⊙O的切线．

（2）连接AH，求出DB＝2DH＝2，在Rt△ADF和Rt△BDF中，可得AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，解方程可求出AD的长．则OA可求出．

【解答】 （1）证明：如图1，连接DF，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，

∴AB﹣BF＝BC﹣BE， 即AF＝CE，

∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠DFA＝∠DEC，

∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DEC＝90° ∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DEC＝90°， ∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接AH，∵AD是⊙O的直径，

∴∠AHD＝∠DFA＝90°， ∴∠DFB＝90°，

∵AD＝AB，DH＝， ∴DB＝2DH＝2，

在Rt△ADF和Rt△BDF中，

∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2， ∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，

∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2， ∴

∴AD＝5．

∴⊙O的半径为．

，

【知识点】切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、菱形的性质

23.【分析】 （1）由图象知，当10＜≤14时，y＝0；当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，0），

（30，320）解方程组即可得到结论； （2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；

（3）当14＜x≤30时，求得函数解析式为W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+80，根据二次函数的性质即可得到结论．

【解答】 解：（1）由图象知，当10＜≤14时，y＝0；

当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，0），（30，320）代入得解得

，

，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+920； 综上所述，y＝

；

（2）（14﹣10）×0＝2560， ∵2560＜3100，

∴x＞14， ∴（x﹣10）（﹣20x+920）＝3100，

解得：x1＝41（不合题意舍去），x2＝15， 答：销售单价x应定为15元；

（3）当14＜x≤30时，W＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+80，

∵﹣20＜0，14＜x≤30，

∴当x＝28时，每天的销售利润最大，最大利润是80元．

【知识点】二次函数的应用、一元二次方程的应用

24.【分析】

（1）由旋转的性质得：AF＝AC，∠AFE＝∠ACB，由正方形的性质得出∠ACB＝∠ACD＝∠FAC＝45°，得出∠ACF＝∠AFC＝67.5°，因此∠DCF═∠EFC＝22.5°，由直角三角形斜边上的中线性质得出OE＝CF＝OC＝OF，同理：OD＝CF，得出OE＝OD＝OC＝OF，证出∠EOC＝2∠EFO＝45°，∠DOF＝2∠DCO＝45°，得出∠DOE＝90°即可； （2）延长EO到点M，使OM＝EO，连接DM、CM、DE，证明△COM≌△FOE（SAS），得出∠MCF＝∠EFC，CM＝EF，由正方形的性质得出AB＝BC＝CD，∠BAC＝∠BCA＝45°，由旋转的性质得出AB＝AE＝EF＝CD，AC＝AF，得出CD＝CM，∠ACF＝∠AFC，证明△ADE≌△CDM（SAS），得出DE＝DM，再证明△COM≌△COD（SAS），得出OM＝OD，即可得出结论；

（3）连接AO，由等腰三角形的性质得出AO⊥CF，∠AOC＝90°，得出点O在以AC为直径的圆上运动，证出点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，求出AC＝

AB＝8，即可得出答案．

【解答】 解：（1）OE＝OD，OE⊥OD；理由如下：

由旋转的性质得：AF＝AC，∠AFE＝∠ACB， ∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝∠ACD＝∠FAC＝45°，

∴∠ACF＝∠AFC＝（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠DCF═∠EFC＝22.5°，

∵∠FEC＝90°，O为CF的中点， ∴OE＝CF＝OC＝OF， 同理：OD＝CF， ∴OE＝OD＝OC＝OF，

∴∠EOC＝2∠EFO＝45°，∠DOF＝2∠DCO＝45°， ∴∠DOE＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴OE⊥OD；

（2）当45°＜α＜90°时，（1）中的结论成立，理由如下：

延长EO到点M，使OM＝EO，连接DM、CM、DE，如图2所示： ∵O为CF的中点， ∴OC＝OF，

在△COM和△FOE中，∴△COM≌△FOE（SAS），

，

∴∠MCF＝∠EFC，CM＝EF， ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD，∠BAC＝∠BCA＝45°， ∵△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF， ∴AB＝AE＝EF＝CD，AC＝AF， ∴CD＝CM，∠ACF＝∠AFC，

∵∠ACF＝∠ACD+∠FCD，∠AFC＝∠AFE+∠CFE，∠ACD＝∠AFE＝45°， ∴∠FCD＝∠CFE＝∠MCF，

∵∠EAC+∠DAE＝45°，∠FAD+∠DAE＝45°， ∴∠EAC＝∠FAD，

在△ACF中，∵∠ACF+∠AFC+∠CAF＝180°， ∴∠DAE+2∠FAD+∠DCM+90°＝180°， ∵∠FAD+∠DAE＝45°， ∴∠FAD+∠DCM＝45°， ∴∠DAE＝∠DCM， 在△ADE和△CDM中，∴△ADE≌△CDM（SAS）， ∴DE＝DM， ∵OE＝OM， ∴OE⊥OD，

在△COM和△COD中，∴△COM≌△COD（SAS）， ∴OM＝OD， ∴OE＝OD，

∴OE＝OD，OE⊥OD；

（3）连接AO，如图3所示： ∵AC＝AF，CO＝OF， ∴AO⊥CF，

∴∠AOC＝90°，

∴点O在以AC为直径的圆上运动，

∵α＝360°，

∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长， ∵AC＝AB＝×4＝8， ∴点O经过的路径长为：πd＝8π．

， ，

【知识点】四边形综合题

25.【分析】

（1）先由直线解析式求出点A、C坐标，再将所求坐标代入二次函数解析式，求解可得； （2）先求出B（1，0），设E（t，﹣2t2﹣4t+6），作EH⊥x轴、FG⊥x轴，知EH∥FG，由EF＝BF知F（+t，

＝

＝

＝，结合BH＝1﹣t可得BG＝BH＝﹣t，据此知

+t），解之得t1＝﹣2，t2＝

+t），从而得出方程﹣2t2﹣4t+6＝（

﹣1，据此得出点E坐标，再进一步求解可得；

（3）分EB为平行四边形的边和EB为平行四边形的对角线两种情况，其中EB为平行

四边形的边时再分点M在对称轴右侧和左侧两种情况分别求解可得．

【解答】 解：（1）在y＝2x+6中，当x＝0时y＝6，当y＝0时x＝﹣3，

∴C（0，6）、A（﹣3，0），

∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c的图象经过A、C两点，

∴解得

，

，

∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6；

（2）令﹣2x2﹣4x+6＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴B（1，0），

∵点E的横坐标为t， ∴E（t，﹣2t2﹣4t+6），

如图，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥x轴于点G，则EH∥FG，

∵EF＝BF， ∴

＝

＝

＝，

∵BH＝1﹣t，

∴BG＝BH＝﹣t， ∴点F的横坐标为+t， ∴F（+t，

+t），

+t），

∴﹣2t2﹣4t+6＝（

∴t2+3t+2＝0，

解得t1＝﹣2，t2＝﹣1，

当t＝﹣2时，﹣2t2﹣4t+6＝6， 当t＝﹣1时，﹣2t2﹣4t+6＝8，

∴E1（﹣2，6），E2（﹣1，8），

当点E的坐标为（﹣2，6）时，在Rt△EBH中，EH＝6，BH＝3， ∴BE＝∴sin∠EBA＝

＝＝

＝

＝3；

＝

，

，

同理，当点E的坐标为（﹣1，8）时，sin∠EBA＝∴sin∠EBA的值为

或

；

（3）∵点N在对称轴上， ∴xN＝

＝﹣1，

①当EB为平行四边形的边时，分两种情况： （Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线， ∵E（﹣2，6），xN＝﹣1，﹣1﹣（﹣2）＝1，B（1，0）， ∴xM＝1+1＝2，

当x＝2时，y＝﹣2×22﹣4×2+6＝﹣10， ∴M（2，﹣10）；

（Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线， ∵xN＝﹣1，B（1，0），1﹣（﹣1）＝2，E（﹣2，6）， ∴xM＝﹣2﹣2＝﹣4，

当x＝﹣4时，y＝﹣2×（﹣4）2﹣4×（﹣4）+6＝﹣10， ∴M（﹣4，﹣10）； ②当EB为平行四边形的对角线时， ∵B（1，0），E（﹣2，6），xN＝﹣1， ∴1+（﹣2）＝﹣1+xM， ∴xM＝0，

当x＝0时，y＝6， ∴M（0，6）；

综上所述，M的坐标为（2，﹣

10）或（﹣4，﹣10）或（0，6）．

【知识点】二次函数综合题