二次根式中考真题及详解

二次根式

知识梳理

知识点1.二次根式

重点:掌握二次根式的概念 难点:二次根式有意义的条件 式子a(ａ≥0)叫做二次根式． 例１下列各式１)11,2)5,3)x22,4)4,5)()2,6)1a,7)a22a1， 53其中是二次根式的是_＿___＿＿__（填序号)．

解题思路：运用二次根式的概念，式子a（a≥０)叫做二次根式．

答案：1)、3）、4）、５）、７)

例2若式子1有意义,则x的取值范围是_＿＿＿___. x3解题思路:运用二次根式的概念，式子a（a≥0）注意被开方数的范围,同时注意分母不能为0 答案:x3

例3若y=x5+5x＋2009，则ｘ+y=

x50解题思路：式子a（a≥0)，, x5,y=20０９,则x+y＝2０14

5x0x3有意义的x的取值范围是( ) x4 A、x>3 ﻩﻩB、ｘ≥3 ﻩ C、 x＞4 ﻩD 、x≥3且x≠4

练习１使代数式

2、若x11x(xy)2,则x-y的值为( )

A.－1 B．1 C．2 D.3 答案：1. D ２． Ｃ

知识点 2．最简二次根式 重点：掌握最简二次根式的条件 难点:正确分清是否为最简二次根式

同时满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式(分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式.这样的二次根式叫做最简二次根式.

--

--

a2b2;2)x;3)x2xy;4)27abc，最简二次根式是( ) 5例1．在根式1）

A.1) ２) Ｂ．3) 4) C.１) 3) D．１) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件,答案：C 练习.下列根式中，不是最简二次根式的是( ） ．．Ａ.7

B．3

C.

12ﻩ ﻩD.2

答案：C

知识点３.同类二次根式 重点：掌握同类二次根式的概念 难点:正确分清是否为同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式. 例在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )

Ａ.3和18 Ｂ．3和1 3C.a2b和ab2D.a1和a1 解题思路：∵18=３2,∴3与18不是同类二次根式，A错．

31=, 33∴3与13是同类二次根，∴Ｂ正确．

∵ab2|b|a,a2b=│a│b， ∴C错，而显然，Ｄ错,∴选B．

练习已知最简二次根式ba3b和2ba2是同类二次根式，则ａ=_____＿，ｂ=__＿＿__＿. 答案:a=0 ，ｂ=２

知识点４．二次根式的性质 重点：掌握二次根式的性质

难点:理解和熟练运用二次根式的性质

--

--

a(a0)①(a)2=a(a≥0)；a0(a0) ②a2=│a│=0(a0);

a(a0)例1、若a2b3c40，则abc ．

解题思路：|a2|0,b30,(c4)20，非负数之和为０，则它们分别都为0,则

2a2,b3,c4,abc３

例2、化简：

a1(a3)2的结果为（

）

A、4—2a Ｂ、0 Ｃ、2a—4 D、4

解题思路：由条件则a30,a3,运用（a)２=a(a≥0）则(a3)2a3 答案：Ｃ

例３.如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│ａ-ｂ│+(ab)2 的结果等于( )

ab Ａ．-2b Ｂ.2b C.－２a D.２a

oa(a0)解题思路：运用a2=│ａ│=0(a0);由数轴则ab0 , ab0,则

a(a0)原式=abab=-2b 选A

练习1．已知a<0，那么│a2-2ａ│可化简为（ )

A．－a B．a C.-3a D．３a 2.如图所示,实数a，b在数轴上的位置,化简a2b2(ab)2．

a-1Ob1

3.若4x23y＝0，则2xy= 。 答案:1.C 2. －２b 3.3

知识点5．分母有理化及有理化因式

重点：掌握分母有理化及有理化因式的概念 难点:熟练进行分母有理化,求有理化因式

--

--

把分母中的根号化去，叫做分母有理化;两个含有二次根式的代数式相乘，•若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式. 例观察下列分母有理化的计算:11121,32,43,从计算结

213243果中找出规律，并利用这一规律计算： (111)(20081)=＿___＿________

213220082007解题思路:

(213220082007)(20081) (20081)(20081)

2007 练习 .化简1，甲,乙两位同学的解法如下

32甲:

13232.32(32)(32)132(32)(32)32323232

乙: 对于甲,乙两位同学的解法，正确的判断( )

A．甲,乙的解法都正确 B.甲正确，乙不正确 C.甲,乙都不正确 Ｄ．甲不正确,乙正确 答案：A

知识点6．二次根式的运算 重点:掌握二次根式的运算法则 难点：熟练进行二次根式的运算

（1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式,•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

(３)二次根式的乘除法：二次根式相乘（除),将被开方数相乘（除)，所得的积（商）仍作积（商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.

ab＝a·b(a≥0，b≥0)； bb（b≥0,a>0）． aa--

--

(4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.

例１已知ａ>b>0，a+b=６ab，则ab的值为（ ）

ab Ａ.

21 B.2 C．2 D. 2解题思路：∵a＞b>０，∴(a+b)2=a＋b+2ab=8ab，（=ａ+b－2ab=4ab

∴(ab)24ab1ab2(ab)28ab2,ab2,故选A． 例２先化简，再求值：

15151ab1bba(ab),其中a＝2，b＝2．

解题思路:原式＝aba(ab)b2ab(ab)(ab)2ab(ab)abab

当a=512,ｂ=512时，原式=5.

1例３计算:(32)0134cos30°|12|.

1解题思路：：(32)0134cos30°|12|．

1343212 42323 4

--

2a－b)

2

--

最新考题

中考要求及命题趋势

1、 掌握二次根式的有关知识,包括概念,性质、运算等； ２、熟练地进行二次根式的运算

中考二次根式的有关知识及二次根式的运算仍然会 以填空 、选择和解答题的形式出现，二次根式的概念，性质将是今后中考的一个热点。 应试对策

掌握二次根式的有关知识,包括概念,性质、运算，在运算过程中注意 运算顺序，掌握运算规律,注重二次根式性质的理解和运用。

考查目标一、理解二次根式的概念和性质 例1． (2０0９年梅州市) 如果多项式．所以由已知条件，得

解：由题意得

≥0且

≥0且≥0,∴x=

≥0.

，则

=＿__＿___.

解题思路： 根据二次根式的概念,在a中，必须是非负数，即≥0，可以是单项式，也可以是

3,=2，∴2=5．

例2． （200９龙岩)已知数a,b,若(ab)2＝ｂ-a，则 ( )

A. ａ>b B． a<ｂ C. a≥b D. a≤ｂ

解题思路：此题是二次根式a2的性质的应用,根据其性质，即是指|ａ－ｂ|=b-ａ,根据绝对值的意义,可得a-b≤０，所以有ａ≤b,故选Ｄ. 例3． 当aa成立时，的取值范围是＿___＿__＿___. bbaa解题思路：商的算术平方根的性质成立的条件是≥0,>0，不能与二次根式有意义的条bb件混淆．

解:由≥0和2－>0得０≤＜2． 例4. (20０9年铁岭市)若

解题思路：互为相反数的特点，

互为相反数,则

＿_＿__＿_。

点评:绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数。即：

,

。非负数有一个重要

；

的性质,即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零。即：

；

;

--

--

．

考查目标二、二次根式的化简与计算

例5. 将根号外的ａ移到根号内,得 ( ）

A． ； B. -; C. －; Ｄ． 解题思路：字母从根号外移到根号内,应特别注意其正负情况，是正数则可以平方后直接移到根号内,与根号内的被开方数相乘,是负数则应整理后再做移动.此题隐含了条件<０,所以绝不可直接平方后移动.

解：由已知得<0，所以=－(－)

=-=-.故选B.

例６.计算:

解题思路：

；

考查目标三、在实数范围内分解因式 例7. 在实数范围内分解因式。

（1）

； （2)

解题思路:(1)原式

（２)原式

考查目标四、比较数值

例８． 比较下列数值的大小。

（1)； (2）

解题思路：为了比较两个数的大小,本题要用乘法运算的逆向思维法解决。 解：（1)

由，得

（2）

--

--

由,得 考查目标五、无理数大小比较 例９． （2０0９贺州)解题思路：因为是小于

解：

且最靠近

,即,即

又

的整数部分是____＿____，小数部分是＿_＿＿__＿_。

分成整数部分ａ和小数部分b,其中a

中先求出ａ,再求出ｂ。

是无理数,即无限不循环小数,所以把的整数，而

,

,这样就可以从

是无限不循环小数。

。

的整数部分是2，小数部分是

考查目标六、规律性问题

例10. 观察下列各式及其验证过程:

, 验证:；

验证:

(1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4．

4的变形结果，并进行验证； 15（２)针对上述各式反映的规律,写出用n(n≥２，且ｎ是整数)表示的等式,并给出验证过程. 解题思路:这是一道规律探索题,探索某些特殊的二次根式,可以将根号外面的数直接移到根号内与被开方数相加.通过观察不难发现，这类特殊的二次根式其根号外面的数与根号内的数的分子相同，根号内的数的分母是根号外的数的平方与1的差.其验证过程也给我们提供了解题思路.

解:(1）(2）

;验证略

(n≥2，且是整数).

验证:

．

例11. 已知，则a_________ 解题思路:把已知式的前三项分母有理化后,解出a。

--

--

解:已知式化为

, ，

点评：因到,若把2看成

发展：已知a

).

之前的各项分母有理化后,“环环相扣，前后相消”,仅留２，就好求a了。进一步看，则

。

,则ａ_＿＿___。(答案：

--

--

过关测试

一、选择题：

１. 若在实数范围内有意义，则m的取值范围是( ）。

A. ｍ≥2 B. m>2 Ｃ. m≤２ Ｄ. m＜2

2. 若=３,则x的取值范围是（ ）。

Ａ. x=0 B． －1≤x≤２ Ｃ. x≥2 ≤-1

3． 二次根式

、

、

的大小关系是( )。

A.

<

＜

B．

<< C. ＜< Ｄ． <<

4. 下列式子中,正确的是（ )。

A. （－3）（

+3）＝2 B. 5÷×=5 Ｃ. 2×(

=2

-1 D． (2－

）(2+

)2=-２- 5. 使等式成立的实数ａ的取值范围是( )。

Ａ． a≠３ B． ａ≥

,且a≠3 C. a>３ a≥

6. 下列各组二次根式(a>0）中,属于同类二次根式的是（ )。

A.

C．

７. 当０的结果是（ ）。

A.

--

Ｄ.

D. x --

8. 甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形:

甲：

==；

乙：＝。 其中,( ）。

A. 甲、乙都正确 B． 甲、乙都不正确 Ｃ． 只有甲正确 D. 只有乙正确 9 .下列运算正确的是（ ﻩ) A．273

31B．(π3.14)1 C．2

201D.93

1０． 8化简的结果是( )

Ａ．2 B.22 C.22 D．22 1１．估计813的运算结果应在 2ﻩB．2到3之间ﻩ ﻩＤ.4到5之间 B．x2

C.x2 ﻩD．x2

A．1到2之间 ﻩC.3到４之间

A． x2 二、填空题：

12．若使二次根式x2在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ．．．

1. 已知a、b在数轴上的位置如图所示，-│b-a│的化简结果是＿__＿__。

2 若x≠0,y≠0，则成立的条件是___＿___＿__。

可化为同类二次根式,m可取的值有__＿____。

３. 已知m是小于1０的正整数,且４. 如果xy＝5. 已知x

,x-y=5

-1，那么(ｘ＋1)（x－1)的值为________。

＝１2，x=__＿_____。

６. 若a<－２，的化简结果是________。

--

--

三、解答题 1.计算：

2．计算:（318+

３(.如图所示,实数a,b在数轴上的位置,化简a2b2(ab)2. a-1Ob11+3(3－6）+8。 21155041)32。 2

４.已知x=2＋1，求（

5．对于题目“化简求值:

x1x1）÷的值． x2xx22x1x1112a2+，其中a=”，甲、乙两个学生的解答不同． a2a5 甲的解答是：

11111124922a2(a)a+=+=+－a= 2aaaaaaa5 乙的解答是:

111111122a2(a)+=+=＋a－=a= a2aaaaa5 谁的解答是错误的?为什么？

6. 已知a、b、c均为实数，且化简

。

＝c。

--

--

参 考 答 案

一、选择题1. D 2． B 3. C 4. D 5． Ｃ 6. Ｄ ７． B 8. Ａ 9．B 10.B 1１.C 12.A 二、填空题

1． –b 2. ｘ<0,ｙ<0 3. 7•和1 •4. -４-

三、解答题

1．4 2.2 3．-2b 4．原式＝

5．

6.

11=－

(x1)221111142时，－a=5-=４＞0,(a)=－a正确；

aaa555121114=-5=－4＜０，(a)≠a－,

aa5a55．对于甲的解答，当a＝

而乙的解答，当ａ＝时,a-因此乙的解答是错误的.

6． a<0，b<•０，c≥0， 原式=ｂ

15--