概率论与数理统计期末考试题及答案

模拟试题一

一、 填空题（每空3分，共45分)

1、已知P（A) = 0。92， P（B） = 0。93, P(B｜A） = 0。85， 则P(A｜B) = .

P（ A∪B） = 。

12、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为9，A发生且B不发生的概率与B

发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为: ;

3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：

；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；

4、已知随机变量X的密度函数为：

Aex,(x)1/4,0,x00x2x2

， 则常数A= , 分布函数F（x)= ， 概率

P{0.5X1} ；

5、设随机变量X~ B(2,p）、Y～ B(1，p），若P{X1}5/9，则p = ,若

X与Y独立，则Z=max(X,Y）的分布律: ；

6、设

X~B(200,0.01),Y~P(4),

且X与Y相互独立，则D（2X—3Y）= ，

COV(2X—3Y， X)= ；

7、设X1,X2,,X5是总体X~N(0,1)的简单随机样本，则当k 时,

k(X1X2)XXX232425Y~t(3)

;

8、设总体X~U(0,)0为未知参数，X1,X2,则的矩估计量为: 。

1nXXi,Xnni1为其样本,为样本均值,

9、设样本X1,X2,,X9来自正态总体N(a,1.44),计算得样本观察值x10，求参数a的置信度为95%的置信区间： ；

二、 计算题（35分）

1、 (12分）设连续型随机变量X的密度函数为：

1x,(x)20,0x2其它

求：1)P{|2X1|2}；2)YX的密度函数Y(y)；3）E(2X1)；

22、(12分）设随机变量(X,Y）的密度函数为

(x,y)1/4,0,|y|x,0x2,其他

1） 求边缘密度函数X(x),Y(y)；

2） 问X与Y是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y的密度函数Z(z)；

3、（11分）设总体X的概率密度函数为：

x1e,(x)0x0x0,0

X1,X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本。 1） 求参数的极大似然估计量ˆ;

2） 验证估计量ˆ是否是参数的无偏估计量。

三、 应用题（20分)

1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4,1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？

2．(10分)环境保护条例，在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含量X服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量，得如下数据：

0。530‰,0。542‰，0。510‰，0.495‰，0。515‰

能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05）？

附表：

u0.9751.96,u0.951.65,t0.975(4)2.776,t0.95(4)2.132,t0.975(5)2.571,t0.95(4)2.015

答 案（模拟试题一)

四、 填空题（每空3分，共45分）

1、0.8286 ， 0.988 ;

2、 2/3 ；

16C12C64112C126!663、12，12；

1xx02e,1x,0x224x21,310.5eP{0.5X1}4、 1/2, F（x)= ， 42；

5、p = 1/3 ， Z=max(X,Y)的分布律： Z 0 1 2

P 8/27 16/27 3/27；

6、D（2X-3Y)= 43。92 ， COV(2X—3Y， X)= 3。96 ；

7、当k

32 时,

Yk(X1X2)XXX232425~t(3)

;

8、的矩估计量为：2X。

9、 ［9。216，10。784] ;

五、 计算题(35分）

1、解 1)

2）

3)

2、解：1）

P{|2X1|2}P{0.5X1.5}916

12y(X(y)X(y)),y0Y(y)0,y014,0y40,其它

E(2X1)2EX1243153

x,y)dy1dy,2X(x)(xx40xx2,0x20,其它0,其它

21dx,4Y(y)(x,y)dx|y|0,|y|21|y|2(2|y|),4其它其它0,

2）显然，(x,y)X(x)Y(y)，所以X与Y不独立。

又因为EY=0，EXY=0，所以,COV(X，Y)=0，因此X与Y不相关。

3）

Z(z)(x,zx)dx21zdx,240,0z4其它1z,280,0z4其它

3、解1)

L(x1,x2,,xn,)ei1n1xi1nei1xin

nxlnL(x1,x2,,xn,)nln

dlnLnnx20 令d

解出：ˆX 2)EˆEXEX

ˆ 是的无偏估计量.

六、 应用题（20分）

1、(10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2.现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？

解:设事件A1,A2,A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10，1/5，1/10和2/5,事件B表示“迟到”，

已知概率P{B|Ai},i1,2,3,4分别等于1/4，1/3,1/2，0

则

P{B)P(Ai)P(B|Ai)i14

23120

P(A1|B)P(A1)P(B|A1)9P(B)23

，

P(A2)P(B|A2)8P(B)23 P(A3)P(B|A3)6P(B)23

P(A2|B)P(A3|B)，

P(A4)P(B|A4)0P(B)

P(A4|B)由概率判断他乘火车的可能性最大.

2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰，假定

2N(a,)。现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数有害物质含量X服从正态分布

据：

0。530‰，0.542‰，0。510‰，0.495‰,0.515‰

能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定（0.05）?

解：H0:a0.5(‰），H1:a0.5

拒绝域为：

x0.55t0.95(4)}s

0{

计算x0.5184,s0.018

x0.552.2857t0.95(4)s

t，

所以，拒绝H0,说明有害物质含量超过了规定.

附表:

u0.9751.96,u0.951.65,t0.975(4)2.776,t0.95(4)2.132,t0.975(5)2.571,t0.95(4)2.015