正多边形的内切圆和外接圆的一些性质

２０　中等数学　＝　＝　＝　＝　删　＝　：　正多边形的内切圆和外接圆的一些性质　马俊华　（江苏省无锡市第一中学，２１４０３１）　图　１问题的求解　解法１：当点Ｐ位置变化时，ｄ　＋ｄ；＋ｄ；　是定值；ｄ　＋ｄ　＋ｄ；不是定值．　题目　Ｐ是正△Ａ　Ａ　Ａ　的内切圆ｏＯ　如图１，△ＡｌＡｚＡ　＾．　上任一点，Ｐ到Ａ　Ａ　、Ａ　Ａ，、Ａ，Ａ　的距离分　与ｏ　Ｄ内切于点Ｄ、　别为ｄ　、ｄ　、ｄ，．问：当点Ｐ位置变化时，　Ｅ、，，不妨设Ｐ是劣　ｄ　＋ｄｉ＋　是否为定值？ｄｊ＋ｄ　＋ｄ；是否　／　、　彻，上任意一点，ＰＰ．　为定值？说明理由［　．　上Ａ１　Ａ２，ＰＰ２上Ａ２Ａ３，　‘　Ｅ　本文给出不同于原解答的两种解法．　ＰＰ　上Ａ　Ａ．，垂足分别　图ｌ　收稿日期：２００６—１２—２５　为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．则　解法２：如图３，设　Ｄ　Ｐ　Ｃ　即　＋ＰＢ　：ＡＢ　．　△ＰＡＢ的内切圆分别　从而。△ＰＡＢ为直角三角形，ＢＣ等于直　与　、船切于点　、　Ａ　角三角形斜边上的高．故　Ⅳ．记　２ＢＣ：　≤　：ＡＢ．　（２）将　＝，，（　＋Ｙ＋ｚ）两边加上　，得　２　＝（　＋，，）（，，＋　），　即２ＡＱ・８Ｑ＝ＰＡ・胎＝２．　贝０　Ｓ　＝￣／ｐ（Ｐ—ｎ）（Ｐ一６）（Ｐ—ｃ）　故ＡＱ・８Ｑ＝１．　＝　参考文献：　１　［１］罗增儒．成题改编——增加解题的层次（Ｊ）．中等数　＝音ｓ长方彤Ａ眈Ｄ＝１．　学，２００５（６）．　［２］罗增儒．成题改编——引申（Ｊ）．中等数学，加０５（８）．　故ｘｙｚ（　＋Ｙ＋ｚ）＝１．　［３］罗增儒．成题改编——移植转换（Ｊ）．中等数学。２ＯＯ５　又　４・ＰＢ＝（Ｙ＋ｚ）（　＋＇，）　（１Ｏ）．　＝　＋ｙ（　＋Ｙ＋　）　［４］罗增儒．中学数学课例分析（Ｍ）．西安：陕西师范大学　≥２￣／ｘｙｚ（　＋Ｙ＋ｚ）＝２．　出版社，２００１．　于是，当　＝ｙ（　＋Ｙ＋　）时，　・船取最小　［５］罗增儒．数学奥林匹克高中训练题（５４）（Ｊ）．中等数　学，２００２（１）．　值２．　［６］文锐，罗增儒．谈我们提供的一道高中联赛试题　（１）将　＝Ｙ（　＋ｙ＋ｚ）两边同乘以２　（Ｊ）．中学数学（苏州），ｌ９９３（５）．　后加上　＋ｚ　，得　［７］罗增儒．竞赛好题的再思考（Ｊ）．中等数学，ｌ９９７（５）．　［８］罗增儒．续谈２００１年中国西部数学奥林匹克（Ｊ）．中　（　＋　）　＝（Ｙ＋　）　＋（　＋ｙ）　，　学数学教学参考，２Ｏ０２（Ｉ１）．　维普资讯 http://www.cqvip.com

２ＯＯ７年第ｌ２期　ｄｌ＝ＰＰｌ，ｄ２＝ＰＰ２，ｄ３＝ＰＰ３．　２１　Ａ。Ａ　、Ａ　Ａ　、Ａ　Ａ。的方程分别是　√３　—Ｙ＋２＝０，Ｙ＝一１，４３ｘ＋Ｙ一２＝０．　设ＰＰ　与ＤＦ交于点Ｑ，则ＰＱ＿ｌ－　．　易知Ｐ、Ｑ、Ｄ、Ｐ。和Ｐ、Ｑ、Ｆ、Ｐ３分别四　设Ｐ（ｃｏｓ　０，ｓｉｎ　），则　点共圆．　因此，　Ｑ＝　Ｐ　＝　啪　＝　ＰＤＰ。＝　只　。．　同理，　尸ＱＰ　＝　ＰＰ。Ｑ．　所以，△尸ＱＰ。∽△ＰＰ３　Ｑ．　鹾＝嚣御　ＰＰ３￣ＰＰ。．　在正ＩＸ　Ａ。ＤＦ中，　ＰＱ＋ＰＰ　＋ＰＰ３　＝　＝　Ａ。Ａ　＝　故ＰＰ２＝ＰＱ＋ＱＰ２＝２ｅＯ＋ＰＰｌ＋ＰＰ３　＝２￣／ＰＰｌ。ＰＰ３＋ＰＰｌ＋　３，　即ｄ２一ｄｌ—ｄ３＝２￣／ｄｌ　ｄ３．　两边平方得　ｄ　＋ｄ；＋ｄ；＝２ｄｌｄ２＋２ｄ２ｄ３＋２ｄｌｄ３．　又ｄｌ＋ｄ２＋ｄ３＝　０（０是ｉＴ．／￣ａｌ　Ａ２Ａ３　的边长），则　ｄ２１＋　＋蠢＋２ｄｌ　ｄ２＋２ｄ２ｄ３＋２ｄｌ　ｄ３＝丢０２．　因此，　＋　＋　＝音ａ２（定值）．　设Ａ．Ｅ与ｏ　０交于点Ｇ，当点Ｐ分别在　点Ｄ、Ｇ处时，计算ｄ：＋　＋ｄ；的值分别是　４４。、　。．因此，当点Ｐ位置变化时，　ｄ　＋ｄ：＋ｄ；不是定值．　解法２：如图２，　Ａ　‘ｙ　以圆心０为原点、　过０与边Ａ　Ａ　平行　～　的直线为　轴，建立　．／＼＼Ｊ　＼　平面直角坐标系．　Ｐ２　Ｅ　不妨设ｏ　０的　半径为１，则直线　图２　ｄ　＋ｄ；＋ｄ；　：ｆ、　叟＝２　叟±　　＋Ｉ，　ｓｉｎ　０＋１１ｚ＋　（　）　＝　［３ｃ０ｓ２　＋（ｓｉｎ　０—２）　］＋（ｓｉｎ　０＋１）　：罢（定值）．　ｄ　＋ｄ：＋ｄ；不是定值的解法同解法１．　２问题的引申　将该题适当引申，不难得到下列结论．　结论１　Ｐ是正／Ｘａ。Ａ２Ａ３的内切圆ｏＯ　上任一点，　。上Ａ。Ａ２、ＰＰ２＿ｌ－Ａ２Ａ３、ＰＰ３＿ｌ－　Ａ　Ａ。，垂足分别为Ｐ。、Ｐ　、Ｐ３．当点Ｐ位置变　化时，△Ｐ　Ｐ２Ｐ　的面积为定值．　证明：由解法１可知　ｄｌｄｚ＋　ｄｚｄ３＋ｄ－ｄｓ＝　ａ２（ｆ￣ｆｆｉ）．　故ｓ△ＰＩ尸２尸３＝ｓ△ＰＩ　＋ｓ　＋ｓ　ｄｌｄ２ｓｉｎ　１２０￣＋　１　ｄ：　２ｄ３ｓｉｎ　１２０ｏ＋　寺ｄ３ｄｌ　ｓｉｎ　１２０ｏ　＝　ａ２（定值）．　结论２　Ｐ是正／Ｘａ。Ａ２Ａ３的内切圆ｏＯ　上任一点，当点Ｐ位置变化时，Ｐ到三个顶　点Ａ。、Ａ　、Ａ，的距离的平方和为定值．　证明：在解法２中，设Ｐ（ｃ０ｓ　０，ｓｉｎ　）、　Ａ。（０，２）、Ａ　（一√３，一１）、Ａ　（√３，一１）．贝０　＋　；＋　；　：ｃ０ｓ２０＋（ｓｉｎ　０—２）　＋（ｃ０８　０＋￣，　）　＋　（ｓｉｎ　＋１）２＋（ｏ０ｓ　０—√ｊ）２＋（ｓｉｎ　０＋１）２　＝１５（定值）．　维普资讯 http://www.cqvip.com 结论３　Ｐ是正△　１　２　，的内切圆Ｏ０　上任一点，当点Ｐ位置变化时，Ｉ　ＰＡ　＋ＰＡ：　＋ＰＡ　Ｉ为定值．　证明：Ｉ　ＰＡｌ＋ＰＡ２＋ＰＡ３　Ｉ　３　３　．　．　　．　．＝』∑（ｏａ　一　）』＝』∑ＯＡ　一３０Ｐ』　＝１０—３０ＰＩ＝３Ｉ　ＯＰＩ（定值）．　结论４　Ｐ是正△　２　的外接圆Ｏ　０　上任一点，点Ｐ到　。　、Ａ　，、　，　。的距离　分别为ｄ。、ｄ：、ｄ　．当点Ｐ位置变化时，　ｄ　＋ｄ；＋　为定值．　结论５　Ｐ是正△　，的外接圆Ｏ０　上任一点，当点Ｐ位置变化时，Ｐ到三个顶　点　。、　：、　的距离的平方和为定值．　结论６　Ｐ是正△　。　：　，的外接圆　０　上任一点，当点Ｐ位置变化时，Ｉ　ＰＡ。＋ＰＡ：　＋ＰＡ　Ｉ为定值．　注：结论４、５的证明类似于解法２，结论　６的证明类似于结论３．　３问题的推广　将上述问题推广到正多边形，可以得到　正多边形的内切圆和外接圆的六个性质．　性质１　Ｐ是正多边形　。　…　的内　切圆Ｏ　０上任一点，ｄ。，ｄ　，…，ｄ　分别表示　点Ｐ到边　。　，　，，…，　。所在直线的　距离，当点Ｐ位置变化时，　．／／ｄ　为定值．　证明：如图３，以　ｌ，　正多边形　…　的中心０为原点、　一　所在的直线为　ｊ　轴建立平面直角　坐标系．　设正多边形　图。　。Ａ：…　的外接圆半径为ｌ，　＝ａ，则　中等数学　Ａ　（ｃｏｓ（ｋ一１）Ｏｔ，ｓｉｎ（ｋ一１）Ｏｔ），　＋ｌ（ｃｏｓ　ｋａ，ｓｉｎ　ｋａ）（ｋ＝１，２，…，ｎ）．　当ｋ＝ｎ时，点　＋。与点　。重合．　直线　＋。的斜率为　ｓｉｎ　ｋａ—ｓｉｎ（ｋ一１）Ｏｔ　万　Ａ＋（ｋ一１）Ｏｔ．ｋａ一（ｋ一１）Ｏｔ　ｅｏ６—————　——一　ｓｍ—————　——　ｎ　嘶　ｃｏｓ（２ｋ一１）号　ｓｉｎ（２ｋ一１）昙　所以，直线　…的方程为　ｃｏｓ（２ｋ一１）昙　’，一ｓｉｎ　ｋａ：一————————　（　一（璐ｋａ），　ｓｉｎ（２ｋ一１）要　即　ｃｏｓ（２ｋ一１）２＋ｙｓｉｎ（２ｋ一１）号一ｃ‘）ｓ号：０．　可以验证，当有某些直线的斜率不存在　时，它们的方程也满足上式．　设正多边形　。　…　的内切圆半径为　ｒ，Ｐ（／＂（３０８　０，ｒｓｉｎ　）为内切圆上的任一点．则　∞　’　点Ｐ到边　所在直线的距离为　，Ｉ　ｒ￣（２ｋ一１）号‘ｃｏｓ　＋ｒｓｍ（２ｋ—１）号‘ｓｉｎ　Ｏ一嘶号Ｉ　√　（２　一１）号＋Ｍ（ｚｋ—１）号　：ｒ｛１一ｃＯＳ［０一（２ｋ一１）昙］｝．　故∑ｄ　＝∑ｒ　ｃ０ｓ２［　一（２后一１）号］一　∑２ｒ　ｃｏｓ［０一（２后一１）　］＋∑ｒ　：，ｚ　一　２ｒ。∑ｃｏｓ［Ｏ一（２后一１）　Ｏｔ］＋Ｗ。　１　２１　２　＝　＋　１ｃ０ｓ［２　一（２ｋ一１）＆］一　维普资讯 http://www.cqvip.com

２０Ｏ７年第１２期　２ｒ２奎ｃ０ｓ［　一（２ｋ一１）号］＋ｗ２．　ｌ　＝　（　＋ｒ　）（与　无关的常数）・　ｎ　又∑ｃｏｓ［２０一（２ｋ一１）口］　＝１　所以，∑ＰＡ　为定值．　＝１　性质３　Ｐ是正多边形Ａ。Ａ　…Ａ　的内　告————　—一　切圆ｏ　０上任一点，当点Ｐ位置变化时，　］ｓＩｉ￣（２ｏ一２　）一ｓｉｎ［２０一（２．ｊ｝一２）４］　一　２ｓｉｎ（一口）　：　一　ｌ奎ＰＡ　ｌ为定值．　证明：设∑ＯＡ　＝ａ，将正多边形　＝１　２ｓｉｎ（一口）　：一‘　０．　同理，∑ｃｏｓ［０一（２ｋ一１）导］　２ｓｉｎ（一　）・ＣＯＳ［　一（２ｋ一１）鲁］　一　Ａ。Ａ　…Ａ　绕点０旋转　，则　ＤＡ１．　ＯＡ１　ＤＡ２　ＤＡ３　…　ＤＡ　兰　一台１　一　２ｓｉｎ（一要）（一　）　由于正多边形位置没变，只是各顶点的　编号顺序改变，则相应的各向量之和仍是ａ．　这样，ａ旋转后仍得ａ，因此，ａ只能是０．　！　＝　２＝　二（墨二　２　一台１　２ｓｉｎ（一昙）（一　）　：　故ｌ　Ｅ　ＰＡ小：ｌ奎（ｏ４　一卯）ｌ　＝（　二　２＝　：０．　２ｓｉｎ（一号）　所以，∑ｄ　＝吾ｗ　．　性质２　Ｐ是正多边形Ａ，Ａ，…Ａ　的内　ｌ∑ＯＡ　一，　ｌ＝　Ｉ　ＯＰ　Ｉ（定值）．　性质４　Ｐ是正多边形Ａ。Ａ　…Ａ　的外　接圆ｏ　０上任一点，ｄ。，ｄ　，…，ｄ　分别表示　点Ｐ到边Ａ。Ａ　，Ａ　Ａ，，…，Ａ　Ａ。所在直线的　切圆ｏ　Ｄ上任一点，当点Ｐ位置变化时，　距离，当点Ｐ位置变化时，∑ｄ　为定值．　＝１　∑ＰＡ　为定值．　＝１　性质５　Ｐ是正多边形Ａ。Ａ　…Ａ　的外　接圆ｏ　Ｄ上任一点，当点Ｐ位置变化时，　证明：由性质１的证明过程及平面上两　点问距离公式可得　：［ｃ０ｓ（　一１）ａ—ｒｃ０ｓ　］　＋［ｓｎｉ（ｋ一１）ａ—ｒｓｉｎ　］　∑ＰＡ　为定值．　＝１　＝ｌ＋ｒ　一２ｒｅｏｓ　・Ｃ０８（ｋ一１）ａ一２ｒｓｉｎ　・　（　一１）口　性质６　Ｐ是正多边形Ａ。Ａ　…Ａ　的外　接圆ｏ　Ｄ上任一点，当点Ｐ位置变化时，　＝１＋ｒ　一２ｒｅｏｓ［０一（ｋ一１）４］．　■　ｎ　则∑ＰＡ　＝１　＝奎ＰＡ　ｌ为定值．　注：性质４、５、６的证明分别类似于性质　１、２、３．　∑｛１＋ｒ　一２ｒｃｏｓ［０一（．ｊ｝一１）３４｝　＝１　参考文献：　［１］问题第１６３７题［Ｊ］．数学通报，２００６（１ｏ）．　１　＝ｎ（１＋ｒ２）一２ｒ∑ｃｏｓ［０一（ｋ一１）４　３　＝