在时间序列理论当中， 涉及到向量时间序列的主要有两部分内容， 一部分是多元动态系 统，另一部分是向量自回归模型的估计和检验。 在本章当中，我们主要讨论一些有关向量随 机过程的基本概念。
§ 10.1向量自回归导论
仍然利用小写字母表示随机变量或者观测的实现，只是现在讨论 的动态交互作用。一个 p阶向量自回归模型可以表示为 VAR( p):
Yt =c+①+①2
nx1维随机向量之间
丫微+…+①pYtq + & t
其中Q，…①p是n> E(&s&t) 0, s技 其中Q是n x n阶正定矩阵。 可以利用分量形式将上述方程组的第一个方程表示为: y1t =C1 , ¥iyi, tl ) ，I(2)y2,t」■…■ in yn,t J (2) —:;(2) 11 y1,t _2 V 12 y2, t _2 (2) 、 1n yn, t _2 -I1p)y1,t^ • W2p)y2,7 •••• • *p)yn,tT • ；1t 由此可见，在VAR(p)模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量的 回归形式。一个显著的不同是，每个方程的残差项之间可能是相关的。 利用滞后算子形式，可以将 VAR(p)模型表示成为： p阶自 [I n —①1 L 一①2 L2 -…一①p Lp] yt =C + & t 其中滞后算子多项式的兀素可以表示成为： L) 二 • _ \"(1)L .，十⑵ L2 一…_ -ELP ij ( L) ij ij L ij L ij L 其中 ％ =1, i = j , % =0, i。j 定义10.1如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过 程。此时下述变量与初始时间 t无关： E(yt)和£(yty；4) 命题10.1如果一个向量过程满足 VAR( p)模型，则有： (1) 该过程的均值向量可以表示成为： =[ I n _中2 -叫]C + (2) VAR( p)模型可以表示成为中心化形式： (yt 一 卜)=① 1 (yj 一 口 * ①2(yti 一 口 +…* ①p(ytT 一 类似于高阶差分方程情形， 我们也可以将向量 VAR( p)模型表示成为VAR(1)过程。定义: --y t - 叮 y—次 ytq [A *2 *3… 6 1 Tp In 0 0… 0 0 1 wt] 0 0 s q = a ,F = 0 In 0… 0 0 ，Vt = ■ ■ 3 - ■ a 0 0 0… 则向量VAR( p)模型可以表示成为 VAR(1)过程: t =F tn vt In 0 - 0 - 与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，也可以将 的形式。为此，定义更高阶的向量： Mp>1 =(yt — R,yt VAR(p)表示成为VAR(1) 」一 R,… 1 ，y t_p4 —巨)' Vnp>1 =( & ,0,…,0)' 寺1 0 3 中2中3…中1中p- 0 In 3 In 0 …0 …0 3 0 0 S 网「 F 4 p —np 0 3 0 0 0 …In 0 定义10.2如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过 程。此时下 § 10.2向量过程的自协方差和收敛结果 与标量过程类似，我们继续讨论向量过程的自协方差函数及其性质。 10.2.1 j阶自相关矩阵 对一个协方差平稳的 n维向量过程，j阶自协方差定义为下面的 rj nxn维矩阵： =E[(y t 一小)(y4 — M)] 则自协方差函数 我们需要注意的是， 对于标量过程而言，如果该过程是协方差平稳的， 具有对称性，即Yj =Y_j。但是对向量平稳过程而言， 却有：rj # r_j。例如，矩阵rj的(1,2) 位置元素是cov(y1t, y214),而矩阵r土的(1,2)位置元素是cov( y1t, y2T)，没有理由认为 这两者之间是相关的，因为 y1对以前出现在y2的变化产生的反应可能与 y2对以前出现在 y〔的变化的反应完全不同。 但是，正确的关系式是： r； =r _j 为了推导出这个公式，注意到协方差平稳性意味着时刻 r j= t可以替代为任意的t + j，则有: E[(y f v )(y^^-i) ]=E[(y 山)(y — 刃'] 对上式进行转置运算，得到： rj =E[(t - )( y y韦 一 1 = r_, 10.2.1向量MA(q)过程 对一个协方差平稳的 n维向量 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容