八上数学复习专题之压轴题(一次函数)(含答案)

一、二条直线的交点问题：

1．如图，平面直角坐标系中，函数y3xb的图象与y轴相交于点B，与函数yx的图象相交于点A，且OB=5． （1）求点A的坐标；

（2）求函数y3xb、yx的图象与x轴所围成的三角形的面积．

4343

2．如图，已知直线l1经过点A（0，﹣1）与点P（2，3），另一条直线l2经过点P，且与y轴交于点B（0，m）．

（1）求直线l1的解析式；

（2）若△APB的面积为3，求m的值．

3. 已知：如图，平面直角坐标系xOy中，B（0，1），OB=OC=OA，A、C分别在x轴的正负半轴上．过

点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E． （1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；

（2）若△OCD与△BDE的面积相等，求点D的坐标．

4. 如图，直线l1的解析式为y4x4，与x轴，y轴分别交于A，B；直线l2与x轴交于点C（2，0）3与y轴交于点D (0,)，两直线交于点P． （1）求点A，B的坐标及直线l2的解析式； （2）求证：△AOB≌△APC；

（3）若将直线l2向右平移m个单位，与x轴，y轴分别交于点C'、D'，使得以点A、B、C'、D'为顶点的图形是轴对称图形，求m的值？

32

二、与等腰三角形结合的问题

1．如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿

路线O→C→B运动． （1）求直线AB的解析式；

（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的

1时，求出这时点P的坐标； 4（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y=﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足(a2)2b30． （1）求直线l2的解析式；

（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP=S△AOB，请求出点P的坐标； （3）已知平行于y轴且位于y轴左侧有一动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点Q的坐标．

3. 在平面直角坐标系中，直线l1的函数关系式为y2xb，直线l2过原点且与直线l1交于点P（﹣1，﹣5）．

（1）试问（﹣1，﹣5）可以看作是怎样的二元一次方程组的解？

（2）设直线l1与直线yx交于点A，求△APO的面积；

（3）在x轴上是否存在点Q，使得△AOQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4. 如图，直线l：yx2与x轴，y轴分別交于点A，B，在y轴上有一点C（0，4），动点M从点A出发以毎秒1个単位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为t秒． （1）求点A的坐标；

（2）请从A，B两题中任选一题作答．

A．求△COM的面积S与时间t之间的函数表达式； B．当△ABM为等腰三角形时，求t的值．

12

5．在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴、y轴分别交于B、A两点，点C在x轴的正半轴，且OB=OC，点D为AC的中点． （1）求直线AC的解析式；

（2）点P从点B出发，沿射线BD以每秒10个单位的速度运动，运动时间为t秒，△APD的面积为S，求S与t的函数关系，并直接写出自变量的取值范围；

（3）在（2）的条件下，连接AP、CP，当△ACP是以PC为腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

三、面积问题：

1. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x﹣1分别与x轴，y轴交于点A，B，将直线l1向上平移3个单位长度，得直线l2．经过点A的直线l3与直线l2交于第一象限的点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，且AD=2CD （1）求直线l3的解析式． （2）连接BC，求△ABC的面积．

2. 如图，直线l1：yx3分别与直线l2:ykxb(k0)、直线l3:yk1xb1(k10)交于A、B两点，直线l1交y轴于点E，直线l2与x轴和y轴分别交于C、D两点，已知点A的纵坐标为的横坐标为1，l2∥l3，OD=1，连BD．

3，B2（1）求直线l3的解析式； （2）求△ABD的面积．

3. 当m，n是正实数，且满足mnmn时，就称点P(m,m)为“完美点”． n（1）若点E为完美点，且横坐标为2，则点E的纵坐标为 ；若点F为完美点，且横坐标为3，则点F的纵坐标为 ；

（2）完美点P在直线 （填直线解析式）上；

（3）如图，已知点A（0，5）与点M都在直线yx5上，点B，C是“完美点”，且点B在直线AM上．若MC=

3，AM= 42，求△MBC的面积．

4. 如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线y=kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B．

（1）求k的值及△AOB的面积；

（2）点C在x轴上，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标；

（3）点M（3，0）在x轴上，若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标．

5. 图（1），在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4交坐标轴于A、B两点，过点C（﹣4，0）作CD⊥AB于D，交y轴于点E． （1）求证：△COE≌△BOA；

（2）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN． ①判断△OMN的形状．并证明；

②当△OCM和△OAN面积相等时，求点N的坐标．

6．在直角坐标系中，点P（a，b）的“变换点”的坐标定义如下：当a≥b时，点P1的坐标为（a，﹣b）；当a＜b时，点P1的坐标为（b，﹣a）．

（1）直接写出点A（5，6）、B（3，2）、C（4，4）的变换点A1、B1、C1的坐标；

（2）P（a，b）为直线y=﹣2x+6上的任一点，当a＜b时，点P（a，b）的变换点在一条直线M上，求点M的函数解析式并写出自变量的取值范围；

（3）直线y=﹣2x+6上所有点的变换点组成一个新的图形L，直线y=kx+1与图形L有两个公共点，求k的取值范围．

答案：

一、 两直线交点问题：

1. 解：（1）由OB=5可得B（0，﹣5），把（0，﹣5）代入y3xb，可得b=﹣5， ∴函数关系式为y=﹣3x﹣5，求两直线的交点坐标得：点A的坐标为（﹣3，4）； （2）设直线AB与y轴交于点C，则点C的坐标为(,0)，CO=

535，所围成的三角形即为△ACO， 3过A作AE⊥x轴于E，由A（﹣3，4）可得AE=4，∴S△ACO=

10． 32. 解：（1）设直线l1的表达式为y=kx+b，k2,b1∴直线l1的函数关系式为：y=2x﹣1． （2）过P作PH⊥y轴于H，则PH=2，∵S△APB=3，∴AB=3，∵A（0，﹣1），∴B（0，2）或（0，﹣4），∴m=2或﹣4．

3. 解：（1）∵OB=OC=OA，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°；∵B（0，1），∴A（1，0）， 设直线AB的解析式为y=kx+b． ∴直线AB的解析式为y=﹣x+1；

（2）∵S△COD=S△BDE，k1,b1∴S△COD+S四边形AODE=S△BDE+S四边形AODE，即S△ACE=S△AOB， ∵点E在线段AB上，∴点E在第一象限，且yE＞0，点E的纵坐标是

1 2∴直线AB的解析式得：=﹣x+1，设直线CE的解析式是：y=mx+n，

1， 3111∴直线CE的解析式为yx，∴D的坐标为(0,)．

333∵C（﹣1，0），E(,)代入得：解得：m,n5. （1）解：当x0时，y4，∴点B的坐标为（0，4）； 当y=0时， 解得：x=﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，0）． 设直线l2的解析式为ykxb，

将C（2，0）、D（0，）代入ykxb，得：k,b∴直线l2的解析式为yx112213343 2343． 2612)． 55（2）证明：连接两直线解析式成方程组，解得点P的坐标为(,∵A（﹣3，0），C（2，0），B（0，4）， ∴AO=3，AC=5，AB=5，AP=3， ∴AO=AP，AB=AC．

在△AOB和△APC中，AOAP,BAOCAP,ABAC， ∴△AOB≌△APC（SAS）． （3）解：连接BC′，如图所示．

3， 233∴点C′的坐标为（m+2，0），点D′的坐标为(0,m)．

42∵平移后直线C′D′的解析式为yxm∵以点A、B、C'、D'为顶点的图形是轴对称图形，

3434∴△ABC′≌△D′BC′， ∴AB=D′B，AC′=D′C′． ∵A（﹣3，0），B（0，4），

53m553542∴D′B=m，AC′=m+5，D′C′=(m2)，∴

5442m5(m2)4解得：m=10．

∴当以点A、B、C'、D'为顶点的图形是轴对称图形时，m的值为10．

二、 与等腰三角形结合问题

1. 解：（1）∵点A的坐标为（0，6），∴设直线AB的解析式为y=kx+6，

∵点C（2，4）在直线AB上，∴2k+6=4，∴k=﹣1，∴直线AB的解析式为y=﹣x+6； （2）由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x+6，令y=0，∴﹣x+6=0，∴x=6， ∴B（6，0），∴S△OBC=12，∵△OPB的面积是△OBC的面积的

1，∴S△OPB=3， 4设P的纵坐标为m，∴S△OPB=3m=3，∴m=1，∵C（2，4），∴直线OC的解析式为y=2x， 当点P在OC上时，x11，∴P(,1)， 2212当点P在BC上时，x=6﹣1=5，∴P（5，1），即：点P(,1)或（5，1）；

（3）∵△OBP是直角三角形，∴∠OPB=90°，

当点P在OC上时，由（2）知，直线OC的解析式为y=2x①，∴直线BP的解析式的比例系数为， ∵B（6，0），∴直线BP的解析式为yx3②， 联立①②，可求得P(,1212612)， 55当点P在BC上时，由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x+6③， ∴直线OP的解析式为y=x④，联立③④解得，可求得P（3，3）， 即：点P的坐标为P(,

2. 解：（1）由条件得a+2=0，b﹣3=0，∴a=﹣2，b=3，∴点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（0，3）．设直线l2的解析式为y=kx+c（k≠0），

612)或（3，3）． 55将A（﹣2，2）、B（0，3）代入y=kx+c，得：k,c3 ∴直线l2的解析式为y121x3． 2（2）∵S△AOP=S△AOB，∴点P到AO的距离与点B到AO的距离相等，且点P位于l1两侧． ①当点P在l1的右侧时，设点P为P1，则P1B∥l1，∴直线P1B的解析式为：y=﹣x+3， 当y=5时，有﹣x+3=5，解得：x=﹣2，∴点P1的坐标为（﹣2，5）； ②当点P在l1的左侧时，设点P为P2，点P2的坐标为（﹣8，5）． 综上所述：点P的坐标为（﹣2，5）或（﹣8，5）． （3）设动直线为x=t，由题可得﹣2＜t＜0，

则点M的坐标为（t，﹣t），点N的坐标为(t,t3)， ∴MNt3．

① 当∠NMQ=90°时，有MN=MQ，t，∴点M的坐标为(,)．∵MQ∥x轴， ∴点Q的坐标为(0,)；

② 当∠MNQ=90°时，有MN=NQ，即t+3=﹣t，t=﹣， ∴点Q的坐标为(0,12326566556512)； 512)． 761212综上所述：点Q的坐标为(0,)或(0,)或(0,)．

557③ 当∠MQN=90°时， 点Q的坐标为(0,

3. 解：（1）∵点P（﹣1，﹣5）在直线l1上，∴﹣2+b=﹣5，∴b=﹣3 ∴直线l1的解析式为y=2x﹣3，设直线l2的解析式为y=kx，则有﹣k=﹣5， ∴k=5，∴直线l2的解析式为y=5x，

y2x3∴（﹣1，﹣5）可以看成二元一次方程组的解．

y5x

（2）A（3，3），∵点P（﹣1，5）在直线y=2x﹣3上，直线PA交y轴于C（0，﹣3）， ∴S△AOP=S△POC+S△AOC=6．

（3）∵A（3，3），∴OA=32，

① 当OA=OQ时，可得Q1（﹣32，0），Q2（32，0）；

②当QA=QO时，Q3（3，0）； ② 当AO=AQ时，Q4（6，0），

综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣32，0）或（3，0）或（32，0）或（6，0）． 4. 解：（1）对于直线AB：yx2， 当x=0时，y=2；当y=0时，x=4，

则A、B两点的坐标分别为A（4，0）、B（0，2）； （2）A、∵C（0，4），A（4，0） ∴OC=OA=4，

当0≤t≤4时，OM=OA﹣AM=4﹣t，S△OCM=×4×（4﹣t）=8﹣2t； 当t＞4时，OM=AM﹣OA=t﹣4，S△OCM=×4×（t﹣4）=2t﹣8；

B、△ABM是等腰三角形，有三种情形：

12

①当BM=AM时，设BM=AM=x，则OM=4﹣x， 在Rt△OBM中，∵OB2+OM2=BM2， ∴22(4x)2x2， ∴x2.5， ∴AM=2.5，

∴t=2.5时，△ABM是等腰三角形．

③ 当AM′=AB25时，即t25时，△ABM是等腰三角形． ③当BM″=BA时，∵OB⊥AM″， ∴OM″=OA=4， ∴AM″=8，

∴t=8时，△ABM是等腰三角形． 综上所述，满足条件的t的值为

5或25或8s． 25. 解：（1）令y=x+6中x=0，则y=6， ∴A（0，6）；

令y=x+6中y=0，则x=﹣6， ∴B（﹣6，0）．

∵点C在x轴的正半轴，且OB=OC， ∴C（6，0）．

设直线AC的解析式为y=kx+b，

将A（0，6）、C（6，0）代入y=kx+b中，得k1,b6 ∴直线AC的解析式为yx6； （2）∵点D为AC的中点， ∴点D的坐标为（3，3）， 设BD的直线解析式为：y=mx+n，

把B（﹣6，0），D（3，3）代入解析式可得：m所以直线BD的解析式为：y∴G（0，2）， ∵A（0，6）， ∴AG=4．

∵直线AC的解析式为yx6②， 联立①②解得，x=3，y=3， ∴D（3，3），

设BP为10t时，P点坐标为（﹣6+3t，t）， 当点P在线段BD上时， △APD的面积S=

1,n2， 31x2①， 31AG×（xD﹣xP）=18﹣6t（0＜t＜3）； 21×4×（﹣6+3t﹣3）=6t﹣18（t＞3） 2当点P在BD的延长线上时， △APD的面积S=

（3）要使△APC是等腰三角形，且以PC为腰，如备用图1，有两种情况： ①AP=PC，

∴点P是线段AC的垂直平分线上， ∵点D是AC的中点，

∴点P和点D重合，不符合题意，

222②AC=PC=62，可得：t(63t6)(62)，

6,t26， 5126所以点P的坐标为(,)，（12，6）．

55可得：t1

三、面积问题

1. 解：（1）由直线l1：y=﹣x﹣1可知：A（﹣1，0），B（0，﹣1），

将直线l1向上平移3个单位长度，得直线l2：y=﹣x+2，设C（m，n），∵AD=2CD， ∴1+m=2n，∵点C在直线l2：y=﹣x+2上，∴n=﹣m+2，

∴C（1，1），设直线l3的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，0）和C（1，1）代入得kb1， 211x． 2211（2）令x=0，则y=，S△ABC=．

2233332. 解：（1）在y=x+3中，令y，则x，∴A(,)，

2222∴直线l3的解析式为y∵OD=1，∴D（0，﹣1），

把点A，D的坐标代入l2：y=kx+b，可得k,b1∴l2:y在y=x+3中，令x=1，则y=4， ∴B（1，4），

∵l2∥l3，∴k1，∴直线l3的解析式为y（2）在y=x+3中，令x=0，则y=3， ∴E（0，3）， ∴DE=3+1=4，

∴S△ABD=DE（|xA|+|xB|）=5．

535x1， 353517x； 33

3.解：（1）把m=2代入m+n=mn得：2+n=2n，解得：n=2，即所以E的纵坐标为1；

把m=3代入m+n=mn得：3+n=3n，解得n（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，

m1， n3m，即2，所以F的纵坐标为2； 2n从图象可知：与x轴的交点坐标为（1，0）A（0，5），得：k=﹣1，b=5， 即直线AB的解析式是y=﹣x+5， 设直线BC的解析式为y=ax+c，

从图象可知：与y轴的交点坐标为（0，﹣1），与x轴的交点坐标为（1，0），得：a=1，c=﹣1， 即直线BC的解析式是y=x﹣1，

m)，m+n=mn且m，n是正实数， nm∴除以n得：1m∴P（m，m﹣1）即“完美点”P在直线y=x﹣1上；故答案为：y=x﹣1；

n∵P(m,

（3）∵直线AB的解析式为：y=﹣x+5，直线BC的解析式为y=x﹣1， ∴B（3，2），

∵一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=﹣x，而直线y=x﹣1与直线y=x平行，直线y=﹣x+5与直线y=﹣x平行， ∴直线AM与直线y=x﹣1垂直，

∵点B是直线y=x﹣1与直线AM的交点， ∴垂足是点B， ∵点C是“完美点”， ∴点C在直线y=x﹣1上， ∴△MBC是直角三角形，

∵B（3，2），A（0，5），∴AB32∵AM42，∴MB2∴BC=1，

∴S△MBC=

21BC×BM=．

224. 解：（1）将点A（2，0）代入直线y=kx+3，得0=2k+3， 解得k33，∴yx3． 221OA•OB=3． 2当x=0时，y=3．∴B（0，3），OB=3．∴A（2，0），OA=2，∴S△AOB=

（2）如图2，

①当AB=BC时，点C与点A（2，0）关于y轴对称，故C（﹣2，0）符合题意；

②当AB=AC时，由A（2，0），B（0，3）得到AB=13，由AC=AC′=13得到C′（13+2，0）、C″（13﹣2，0）．

综上所述，符合条件的点C的坐标是（﹣2，0）或（13+2，0）或（13﹣2，0）；

（3）∵M（3，0）， ∴OM=3， ∴AM=3﹣2=1． 由（1）知，S△AOB=3， ∴S△PBM=S△AOB=3；

①当点P在x轴下方时，S△PBM=S△PBM+S△APM=3， ∴|yP|=3，

∵点P在x轴下方， ∴yP=﹣3．

当y=﹣3时，代入y∴P（4，﹣3）；

②当点P在x轴上方时，S△PBM=S△PBM﹣S△APM=3， ∴|yP|=9，

∵点P在x轴上方， ∴yP=3．

当y=9时，代入y=﹣x+3得，9=﹣x+3， 解得x=﹣4． ∴P（﹣4，9）．

3x3得x=4． 2

5. 解：（1）把x=0代入y把y=0代入y4x4，解得：y=4，∴OB=4， 34x4，解得：x=3，∴OA=3，∵C（﹣4，0），∴OC=4，∴OB=OC， 3∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵∠ACD+∠OEC=90°，∴∠CAD=∠OEC， ∴△COE≌△BOA（AAS）；

（2）①∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠COM+∠AON=90°，∵∠AON+∠BON=90°，∴∠COM=∠BON，∵△COE≌△BOA，∴∠OCM=∠OBN，∴△COM≌△BON（ASA），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∵∠COM+∠MOE=90°，∴∠BON+∠MOE=90°，即∠MON=90°， ∴△MON是等腰直角三角形；

②∵△COM≌△BON，△OCM与△OAN面积相等， ∴△BON与△OAN面积相等，

即△OAN面积是△AOB面积的一半，得yN=2，解得：x=1.5， ∴点N的坐标为（1.5，2）

6. 解：（1）A（5，6）的变换点坐标是（6，﹣5），

B（3，2）的变换点坐标是（3，﹣2）， C（4，4）的变换点坐标是（4，﹣4）；

（2）当a=b时，a=b=2，

∵（2，2）的变换点为（2，﹣2），

∵当a＜b时，点P（a，b）的变换点坐标为（b，﹣a）， ∴x＜2，

∵（0，6）的变换点为（6，0），

∴点P（a，b）的变换点经过（2，﹣2）和（6，0）， 设点M的函数解析式为y=kx+m，k∴y

1,b3 21x3(x2)． 21x3(x2)（3）由题意，新的图形L的函数解析式为y2

2x6(x2)新图形L的拐点坐标为（2，﹣2），画出图形如图所示．

当y=kx+1过点（2，﹣2）时，有﹣2=2k+1， 解得：k3； 211x3平行时，k． 2231k2且k． 22当y=kx+1与y=2x﹣6平行时，k=2； 当y=kx+1与y结合图形可知：直线y=kx+1与图形L有且只有两个公共点时，