2019年全国中考数学真题分类汇编：几何综合探究题（压轴）

类型1　类比探究的几何综合题类型2　与图形变换有关的几何综合题类型3　与动点有关的几何综合题类型4　与实际操作有关的几何综合题类型5　其他类型的几何综合题

类型1　类比探究的几何综合题（2019河南）

（2019吉林）

（2019烟台）

（2019广西北部湾）

（2019武汉）在△ABC中，∠ABC＝90°，

ABn，M是BC上一点，连接AMBC(1) 如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN(2) 过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q① 如图2，若n＝1，求证：

CPBMPQBQ② 如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）

（2019襄阳）

（2019常德）

（2019岳阳）

（2019 德州）

（2019 青岛）

23．（本小题满分 10 分）问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张 a b 的

方格纸（a b的方格纸指边长分别为 a，b 的矩形，被分成 a b个边长为 1 的小正方形，其中 a≥2 ， b≥2，且 a，b 为正整数） ．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：

把图①放置在 2 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于 22的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放置方法．

探究二：

把图①放置在 32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在 32的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 2  方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 32 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 2  4＝8种不同的放置方法．

探究三：

把图①放置在 a  2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤， 在 a  2 的方格纸中，共可以找到_________个位置不同的 22方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a  2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_________种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在 a  3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在 a  3 的方格纸中，共可以找到_________个位置不同的 2 2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a  3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_________种不同的放置方法．……

问题解决：

把图①放置在 a  b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：

如图，图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分

别为 a，b ，c （a≥2 ， b≥2 ， c≥2 ，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了 a b c 个棱长为 1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到_________个图⑦这样的几何体．

答案：

（2019 威海）

（2019 台州）

（2019 绍兴）

答案：

（2019 绍兴）

答案：

（2019 嘉兴）

23．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

(1)温故：如图 1，在△ABC中，AD⊥BC 于点D，正方形PQMN 的边QM在BC上，顶点 P，N 分别在AB，

AC上，若 BC6，AD4，求正方形 PQMN的边长．

(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图 2，任意画△

ABC，在AB上任取一点P，画正方形 PQMN，使Q，M在BC边上，N 在△ABC 内，连结BN 并延

长交AC 于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM 交AB于点P，PQ⊥BC 于点Q，得到四边形

PPQMN．小波把线段BN 称为“波利亚线”． (3)推理：证明图2 中的四边形 PQMN是正方形．

(4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线BN 上截取 NENM，连结 EQ，EM(如图 3)．当 tanNBM时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

34 答案：

（2019 南京）

答案：

（2019 连云港）

27．(本题满分14分)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF

的度数；

（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'

处．若正方形ABCD的边长为4 ，AD的中点为S，求P'S的最小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝

5，请直接写出FH的长．2答案：

（2019淄博）

（2019贵港）

（2019齐齐哈尔）

（2019绥化）

（2019黑龙江龙东）

1.

（2019德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）

（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；

（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB=AH：AE=1：2，此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．

解：（1）连接AG，

∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，∴∠GAE=∠CAB=30°，AE=AH，AB=AD，∴A，G，C共线，AB-AE=AD-AH，∴HD=EB，

延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，∴GC⊥MN，∠NGO=∠AGE=30°，

∴=cos30°=，

∵GC=2OG，

∴=，

∵HGND为平行四边形，∴HD=GN，∴HD：GC：EB=1：

：1．

（2）如图2，连接AG，AC，∵△ADC和△AHG都是等腰三角形，∴AD：AC=AH：AG=1：∴∠DAH=∠CAG，∴△DAH∽△CAG，∴HD：GC=AD：AC=1：∵∠DAB=∠HAE=60°，∴∠DAH=∠BAE，

，

，∠DAC=∠HAG=30°，

在△DAH和△BAE中，∴△DAH≌△BAE（SAS）∴HD=EB，∴HD：GC：EB=1：

：1．

（3）有变化．

如图3，连接AG，AC，

∵AD：AB=AH：AE=1：2，∠ADC=∠AHG=90°，∴△ADC∽△AHG，∴AD：AC=AH：AG=1：∵∠DAC=∠HAG，∴∠DAH=∠CAG，∴△DAH∽△CAG，∴HD：GC=AD：AC=1：∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE，

∵DA：AB=HA：AE=1：2，∴△ADH∽△ABE，

∴DH：BE=AD：AB=1：2，∴HD：GC：EB=1：

：2

，，

类型2　与图形变换有关的几何综合题（2019十堰）

（2019山西）

（2019郴州）如图 1，矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 边上的动点（不与 A，B 重合），把△ADE 沿 DE翻折，点 A 的对应

点为 A1 ，延长EA1 交直线 DC 于点 F，再把∠BEF 折叠，使点 B 的 对应点B1 落在 EF 上，折痕EH 交直线 BC 于点 H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；

（2）如图 2，直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴，若点 A1 恰好落在直线 MN 上，试判断△DEF 的形状，并说明理由；（3）如图 3，在（2）的条件下，点 G 为△DEF 内一点，且∠DGF=150°，试探究 DG，EG，FG 的数量关系．

图1 图2 图3

（2019淮安）

（2019吉林）

（2019包头）

（2019自贡）

25.（本题满分12分）

（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.

①线段DB和DG之间的数量关系是 DB=DG ；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.

BEBF2BD（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.

①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1，AB=2，直接写出线段GM的长度.

图1 （2）①BEBF图2 图3

3BD理由如下：在菱形ABCD中，∠ABD=∠CBD=

1∠ABC=30°，由旋转120°可得，∠EDF=∠BDG=120°，∴∠EDF-2∠BDF=∠BDG-∠BDF，即∠FDG=∠BDE.

在△DBG中，∠G=180°-∠BDG-∠DBG=30°，∴∠DBG=∠G=30°，∴BD=DG.

GDFBDE在△BDE和△GDF中BDDG∴△BDE≌△△GDF（ASA），∴BE=GF

DBEDGF∴BE+BF=BF+GF=BG.

过点D作DM⊥BG于点M如图所示：∵BD=DG，∴BG=2BM.在Rt△BMD中，∠DBM=30°，∴BD=2DM，设DM=a，则BD=2a，BM=3a.∴BG=23a，∴

BG23a3BD2a∴BF+BE=3BD.②GM的长度为

192419.理由：∵GFBE1，FC=2DC=4，CM=BC=，∴GM=3333（2019济宁）

（2019 金华）

24.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=14 向旋转90°得到EF。

。点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方

（1）如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD=2DO． （2）已知点G为AF的中点。

①如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长。

②若AD=6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形?若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由。（2019 潍坊）

（2019 台州）

（2019 绍兴）

答案：

（2019宿迁）

类型3　与动点有关的几何综合题（2019广州）（本小题满分14分）

如图11，等边ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），CDE关于DE的轴对称图形为FDE.

（1）当点F在AC上时，求证：DF//AB；

（2）设ACD的面积为S1，ABF的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当B，F，E三点共线时。求AE的长。

（2019 天津）

答案：

（2019 青岛）24．（本小题满分 12 分）

已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥CD， ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂

直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP，EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5） ，解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？

（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ，求 S 与 t 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

答案：

（2019资阳）

（2019绵阳）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD＝4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；

（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；

（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠CAB＝45°，

∴∠FDE＝∠CAB，∠DFE＝∠DAC，∴∠FDE＝∠DFE＝45°，∴∠DEF＝90°，

∴△DEF是等腰直角三角形；（2）设OE＝t，连接OD，∴∠DOE＝∠DAF＝90°，∵∠OED＝∠DFA，∴△DOE∽△DAF，∴∴

t，

，

又∵∠AEF＝∠ADG，∠EAF＝∠DAG，

∴△AEF∽△ADG，∴∴

又∵AE＝OA+OE＝2

，

，+t，

∴，

∴EG＝AE﹣AG＝，

当点H恰好落在线段BC上∠DFH＝∠DFE+∠HFE＝45°+45°＝90°，∴△ADF∽△BFH，∴

∵AF∥CD，∴∴∴解得：t1＝∴EG＝EH＝

（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG＝

，，，

，，t2＝

（舍去），

；

，

∵DE＝EF，∠DEF＝90°，∴∠DEO＝∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK＝OE＝t，∴S

＝

．

（2019苏州）

（2019 威海）

（2019 温州）

答案：

类型4　与实际操作有关的几何综合题

（2019扬州）

类型5　其他类型的几何综合题（2019 安徽）

（2019 成都）

答案：

（2019天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC⊥BD.试证明：AB2+CD2=AD2+BC2;（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE,BG,GE.已知AC=4，AB=5，求CG的长.

（2019咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.理解：

（1）如图1，点A,B,C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD,CD. 探究：

（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB=AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由.运用：

（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD=10，AF=5，求DF的长.

求证：四边形ABCD是等补四边形；

.（2019宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O.（1）填空：点A

AEAF时，tan∠AEF的值是 （填“在”或“不在”）⊙O上；当；

（2）如图1，在△EFH中，当FE=FH时，求证：AD=AE+DH；

（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH=AE+DH；

（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM=FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE=AD时，FN=4，HN=3，求tan∠AEF的值

（2019眉山）如图，正方形ABCD中，AE平分∠CAB,交BC于点E，过点C作CF⊥AE,交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F.

（1）求证：BE＝BF；

（2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF；（3）如图3，连接DG交AC于点M，求D

CGEA

图1

BFA

图2

EBFA

图3

DAE的值.DMCG

D

MEBFCG

解：（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABC＝900， AB＝BC,∴∠EAB+∠AEB＝900，∵AG⊥CF, 又∵∠AEB＝∠CEG,

∴∠BCF+∠CEG＝900，∴∠EAB＝∠BCF .

…………………………………………2分

∠ABE＝∠CBF＝900，

在△ABE和△CBF中，∵AB＝CB, ∠EAB＝∠BCF,

∴ △ABE≌△CBF(ASA) , ∴BE＝BF.

…………………………………………3分

(2) ∵∠CAG＝∠FAG, AG＝AG, ∠AGC＝∠AGF＝900，

∴ △AGC≌△AGF(ASA) , ∴CG＝GF. 又∵∠CBF＝900， ∴GB＝GC＝GF.

…………………………………………4分

…………………………………………………5分

∠GBF＝∠GFB＝900－∠GAF＝900－22.50＝67.50，∴∠DBG＝1800－67.50－450＝67.50，∠GBF＝∠DBG,∴BG平分∠DBF. (3)连接BG

…………………………………………………………6分

∵∠DCG＝900+22.50＝112.50， ∠ABG＝1800－67.50＝112.50，∴∠DCG＝∠ABG, 又∵DC＝AB, CG＝BG, ∴ △DCG≌△ABG(SAS)∴∠CDG＝∠GAB＝22.50, ∴∠CDG＝∠CAE. 又∵∠DCM＝∠ACE＝450, ∴△DCM∽△ACE ∴

AEDMACDC2. …………………………………………………………7分

…………………………………………………………8分…………………………………………………………9分