北师大版八年级上册--第一章---勾股定理--经典例题

第一章 勾股定理

一、清新扮靓的规律探究题

例1（成都市）如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，

再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn（n为正整数），那么第8个正方形的面积S8 ＝_______．

【解析】：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般”． 即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得出一 般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题．对于 此题，由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得：

JGFHDAECBIS1121， S2(2)22 S3224 S4(22)28

2照此规律可知：S5416，

n101234观察数1、2、4、8、16易知：12,22,42,82,162，于是可知Sn2 817因此，S822128

二、考查阅读理解能力的材料分析题 例2（临安）阅读下列题目的解题过程：

已知a、b、c为ABC的三边，且满足acbcab，试判断ABC的形状． 解：acbcab222244222244(A)

c2(a2b2)(a2b2)(a2b2) cab222(B)

(C)ABC是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ； （2）错误的原因为： （3）本题正确的结论为： .

【解析】：材料阅读题是近年中考的热点命题，其类型多种多样，本题属于“判断纠错型”题目．集中考查了因式分解、勾股定理等知识．在由acbcab源-于-网-络-收-集

222244得到等式

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c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)没有错，错在将这个等式两边同除了一个可能为零的式子a2b2．若

a2b20，则有(ab)(ab)0，从而得ab，这时，ABC为等腰三角形．因此：

(1)选C．

(2)没有考虑ab0

(3) ABC是直角三角形或等腰三角形 三、渗透新课程理念的图形拼接题

例3（长春）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3．在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．

要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．（请同学们先用铅笔画现草图，确定后再用0.5毫米的黑色签字笔画出正确的图形）

22

示例图 备用图

【解析】：要在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定；要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识．下面四种拼接方法可供参考．

四、极具“热点”的动态探究题

例4（泉州）:如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为60．

⑴求AO与BO的长；

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⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行. 如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米?

【解析】：对于没有学习解直角三角形知识的同学而言，求解此题有一定的难度．但若是利用等边三角形就可以推出的一个性质：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，结合勾股定理求解，还是容易解答的．

⑴RtAOB中,∠O=90,∠α=60 ∴,∠OAB=30，又ＡＢ＝4米， ∴OB1AB2米. 2由勾股定理得：OAAB2OB242221223（米）.

⑵设AC2x,BD3x,在RtCOD中,

OC232x,OD23x,CD4

根据勾股定理:OCODCD ∴232x2222223x42 -

2∴13x1283x0 ∵x0 ∴13x12830

 ∴x831216324 所以， AC=2x= 131316324米.

13源-于-网-络-收-集

即梯子顶端A沿NO下滑了

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勾股定理中的常见题型例析

一、探究开放题

例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……．

（1）记正方形ABCD的边长为a1＝1，依上述方法所作的正方的边长依次为a2，a3，a4，…，an，求出a2，a3，a4的值．

（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长an的表达式．

分析：依次运用勾股定理求出a2，a3，a4，再观察、归纳出一般规律． 解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1． 由勾股定理，得AC＝形

AB2BC22，

2，a3=2，a4= 22．

同理，AE=2，EH= 22．即 a2=

(2) ∵a11(2)0， a22(2)1， a32(2)2， a422(2)3， ∴an(2)n1 n1,n是自然数．

点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用．

二、动手操作题

例2如图2，图（１）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．图（２）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（１）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形； （２）用这个图形证明勾股定理；

（３）假设图（１）中的直角三角形有苦干个，你

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能

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运用图（１）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．

解：（1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．

（2）由于这个梯形的两底分别为a、b，腰为（a+b），所以梯形的面积为

11(ab)(ab)(ab)2．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积221112又可表示为：ababc．

222111122222∴(ab)ababc． ∴abc． 2222（3）所拼图形如图4．

点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。本题通过巧妙构图，然后运用面积之间的关系来验证勾股定理。

三、阅读理解题

例3 已知a，b，c为△ABC的三边且满足a2c－b2c2=a－b4，试判断△ABC的形状．小明同学是这样解答的．

解：∵a2c－b2c2=a－b4， ∴c2a2b2a2b22

4

2

4

a2b2

c2a2b2∴． 订正：∴ △ABC是直角三角形 ．

? 横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程．”请你帮助小明订正此题，好吗？

分析：这类阅读题在展现问题全貌的同时，在关键处留下疑问点，让同学们认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，而让学生在整体理解的基础上给予具体的补缺．因此，本题可作如下订正：

解：∵a2c－b2c2=a－b4， ∴c∴ab2

4

2a2b2a2b2a2b2．

22c22a2b20，∴a2b20或c2a2b2．

22∴ab或cab． ∴ △ABC是等腰三角形或直角三角形 ．

点拨：阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧．解决的关键是抓住疑问点，补全漏洞．

四、方案设计题

例4给你一根长为30cm的木棒，现要你截成三段，做一个直角三角形，怎样截取（允许有余料）？

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请你设计三种方案．

分析：构造直角三角形，可根据勾股定理的逆定理来解决． 解：方案一：分别截取3cm，4cm，5cm； 方案二：分别截取6cm，8cm，10cm； 方案三：分别截取5cm，12cm，13cm．

点拨：本题首先依据勾股定理的逆定理进行分析，设计出方案，然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成．既要思考，又要动手．让学生在这个过程中，体会做数学的快乐．

五、实际应用题

例5如图5，三个正方形形状的土地面积分别是74英亩、116英亩、370英亩，三个正方形恰好围着一个池塘．现要将这560英亩的土地拍卖，如果有人能计算出池塘的面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送，英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗？

分析：巴尔教授解决这个问题时首先发现方形的面积74、116、370相当于池塘的三条方，因而联想到勾股定理，得74=52+72，116=42+102，370=92+172．于是作出图6，运定理的逆定理，问题就得以解决．

解：∵74=52+72，∴AB是两直角边分别的直角三角形的斜边，作出这个直角三角形，ABE．

同理，作Rt△BCF，其中BF=4，FC=10．延长AE、CF交于D，则AD=9，CD=17，而AC2=370=92+172=AD2+CD2，∴△ACD是直角三角形，∠ADC=90°．

∴SABCSADCSAEBSBCFSEDFB=

为5和7得Rt△用勾股三个正边的平

111179751044711． 222点拨：本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形，用构造法解题的思想，有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力．

勾股定理的逆定理典例分析

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例1 如果一个三角形的三边长分别为形是直角三角形

，则这三角

分析： 验证 证明：∵

三边是否符合勾股定量的逆定理

∴

∵∠C＝

说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来．

例2 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝ABCD的面积

，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13求四边形

分析：我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形，所以将四边形分割为两个三角形，只要求出这两个三角形的面积，四边形的面积就等于这两个形的面积和．

三角

解：连结AC

∵∠B＝ ，AB＝3，BC＝4

∴

∴AC＝5

∵

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∴

∴∠ACD＝

说明：求四边形的面积问题转化为两个三角形的面积问题，在此利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形．

例3 如图，已知：CD⊥AB于D，且有

求证：△ACB为直角三角形

分析：根据勾股定理的逆定理，只需证 即可

证明：∵CD⊥AB

∴

又∵

∴

∴△ABC为直角三角形

说明：充分利用勾股定理及其逆定理．

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