人教版九年级数学上册期中考试知识点总结

第二十一章 一元二次方程 21。2 一元二次方程

知识点一 一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元),并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点：

① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0）。其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项。 知识点三 一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.方程的解的定义是解方程过程中验根的依据. 21。2 降次—-解一元二次方程 21。2。1 配方法

知识点一 直接开平方法解一元二次方程

（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可

2

以直接开平方。一般地，对于形如x=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义

可解得x1=a，x2=a.

（2） 直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p（m≠0)形式的方程，如果p

≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质,即正数

的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有

未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1） 把常数项移到等号的右边；

（2） 方程两边都除以二次项系数(二次项系数不为1）；

（3） 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式; （4） 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21。2.2 公式法

知识点一 公式法解一元二次方程

（1） 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果b2-4ac≥0，那么方

程的两个根为x=

bb24ac2a式，利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.

（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次

方程ax2+bx+c=0(a≠0）的过程。 （3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：

① 方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2—4ac的值；④若b2—4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式

式子b2—4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2—4ac.

△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 一元二次方程 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 根的判别式

，这个公式叫做一元二次方程的求根公

△＜0，方程ax2+bx+c=0（a≠0)无实数根

21。2．3 因式分解法

知识点一 因式分解法解一元二次方程

（1） 把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积，进而

转化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法. （2） 因式分解法的详细步骤：

① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式; ③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 直接开平方平方根的意义 法 配方法 公式法 完全平方公式 配方法 适用范围 形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0) 所有一元二次方程 所有一元二次方程 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。 因式分解法 当ab=0,则a=0或b=0 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则有x1+x2=—p，x1x2=q. 若一元二次方程a2x+bx+c=0（a≠0)有两个实数根x1，x2,则有x1+x2=，b，x1x2=ac a22.3 实际问题与一元二次方程

知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1） 审：是指读懂题目，弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们

之间的等量关系。

（2） 设:是指设元，也就是设出未知数。

（3） 列:就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一

个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4） 解：就是解方程，求出未知数的值。

（5） 验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。

知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x—1，x+1。 三个连续偶数（奇数)：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法:设百位、十位、个位上的数字分别为a，b,c，则这个三位数是100a+10b+c. (2）增长率问题

设初始量为a,终止量为b，平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1x）2=b。 (3）利润问题

利润问题常用的相等关系式有:①总利润=总销售价—总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 (4）图形的面积问题

根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

二次函数知识点归纳及相关典型题

第一部分 基础知识

1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0)，那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数yax2的性质

(1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴。

(2)函数yax2的图像与a的符号关系。

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点。

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2（a0）. 3。二次函数 yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合)y轴的抛物线。 4.二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

2b4acb2h，k。

2a4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①yax2②yax2k③yaxh④yaxhk⑤yax2bxc。

226.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0. 7.顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同。 8。求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb22 （1）公式法：yaxbxcax，∴顶点是

2a4ab4acb2b（，），对称轴是直线x。

2a4a2a2 (2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式,

2得到顶点为(h,k），对称轴是直线xh。

（3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对

称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样。

(2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线yax2bxc的对称轴

bb

，故:①b0时，对称轴为y轴；②0(即a、b同号)时，2aa

b对称轴在y轴左侧;③0(即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。

a是直线x （3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。

c） 当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，：

①c0,抛物线经过原点； ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交

于负半轴.

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 yax2 yax2k yaxh 2开口方向 当a0时 开口向上 当a0时 开口向下 对称轴 顶点坐标 （0，0） (0,k) （h,0） x0（y轴) x0（y轴) xh yaxhk 2xh b 2a（h，k) yax2bxc xb4acb2(，) 2a4a11。用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

(2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

2 12。直线与抛物线的交点

(1）y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0, c)。

（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点（h,

。 ah2bhc）

（3)抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对

应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；

③

第二十三章 旋转 23。1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义

在平面内,把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋

转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素. 知识点二 旋转的性质

旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等;（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点：

（1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋

转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3)图形的大小和形状

都没有发生改变,只改变了图形的位置。 知识点三 利用旋转性质作图

旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键.步骤可分为:

①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）

③截:即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点； ④接:即连接到所连接的各点。 23。2 中心对称

知识点一 中心对称的定义

中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心. 注意以下几点：

中心对称指的是两个图形的位置关系;只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。

知识点二 作一个图形关于某点对称的图形

要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形,关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。

知识点三 中心对称的性质 有以下几点:

（1） 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对

称中心平分； （2） 关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形;

（3） 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等. 知识点四 中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 知识点五 关于原点对称的点的坐标

在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p

（x，y)关于原点对称点为(—x，—y）.