2024届山东省聊城市九年级数学第一学期期末考试试题含解析

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1．已知二次函数y(k2)x2x1的图象与x轴只有一个交点，则这个交点的坐标为 （ ） 2A．（0，－1）

B．（0，1）

C．（－1，0）

D．（1，0）

2．已知x1，x2是一元二次方程x22x0的两个实数根，下列结论错误的是（ ） A．x1x2

B．x212x10

C．x1x22 D．x1x22

3．关于x的方程(a5)x24x10有实数根，则a满足（ ）

A．a1 B．a1且a5 C．a1且a5 D．a5

4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD=48°，则∠DCA的大小为（ ）

A．48 B．42 C．45 D．24

5．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，当﹣3≤x≤2时，则函数值y的最小值为（ ） A．﹣15

B．﹣5

C．1

D．3

6．如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（

A．③—④—①—② B．②—①—④—③ C．④—①—②—③ D．④—①—③—② 7．已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（―1，―3），则代数式mn+1有（ ） A．最小值―3 B．最小值3 C．最大值―3 D．最大值3 8．已知反比例函数y

k

x

的图象经过点（1，2），则k的值为（ ） ）

A．0.5 B．1 C．2 D．4

9．下列事件中，是随机事件的是（ ） A．任意画两个圆，这两个圆是等圆 C．直径所对的圆周角为直角 10．如图，

B．⊙O的半径为5，OP＝3，点P在⊙O外 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆

成立，那么这个条件可以是

，如果增加一个条件就能使结论

A． B． C． D．

11．如图，在平面直角坐标系中，若反比例函数yk2)，则k的值为（ ） (k0)过点(2，x

A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4

12．如图，BD是⊙O的直径，圆周角∠A = 30，则∠CBD的度数是（ ）

A．30 B．45 C．60 D．80

二、填空题（每题4分，共24分）

13．如图，在⊙O中，分别将弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是__________________．

14．如图，分别以正三角形的 3 个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱 洛三角形．若正三角形边长为 3 cm，则该莱洛三角形的周长为_______cm．

15．如图，AB是O的直径，PB是O的切线，PA交O于点C，PA4cm，PB3cm，则BC______．

16．如图所示，小明在探究活动“测旗杆高度”中，发现旗杆的影子恰好落在地面和教室的墙壁上，测得CD4m，

DB2m，而且此时测得1m高的杆的影子长2m，则旗杆AC的高度约为__________m．

17．如图所示的两个四边形相似，则的度数是 ．

18．如图是反比例函数y

k

在第二象限内的图像，若图中的矩形OABC的面积为2，则k=________． x

三、解答题（共78分）

19．（8分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

已知平面上两点A、B，则所有符合尼斯发现，称阿氏圆.

PAk(k0且k1)的点P会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗PB阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

（问题）如图1，在平面直角坐标中，在x轴，y轴上分别有点Cm,0,D0,n，点P是平面内一动点，且OPr，设

OPk，求PCkPD的最小值. OD

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM:OPOP:ODk； 第二步：证明kPDPM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)：

解：在OD上取点M，使得OM:OPOP:ODk， 又

PODMOP,POMDOP.

任务：

1将以上解答过程补充完整. 2如图2，在Rt请直接写出ADABC中，ACB90,AC4,BC3,D为ABC内一动点，满足CD2，利用1中的结论，

2BD的最小值. 3

20．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为0,2.

1以点B为位似中心，在y轴的左侧将

ABC放大得到A1BC1，使得A1BC1的面积是ABC面积的4倍，在网

格中画出图形，并直接写出点A、C所对应的点A1、C1的坐标.

2在网格中，画出

21．（8分）解方程

2（1）(3x2)25

ABC绕原点O顺时针旋转90的△A2B2C2.

（2）x27x100 22．（10分）请回答下列问题． （1）计算：120182cos3021260tan601

13（2）解方程：x23x20

23．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若⊙O的半径为3cm，∠C＝30°，求图中阴影部分的面积．

24．（10分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强一国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕，小明晋级了总决赛.比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目. 第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A1, A2, A3, A4表示）； 第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用B1,B2,B3表示） （1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果

（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率． 25．（12分）根据学习函数的经验，探究函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4（b＜0）的图象和性质： （1）下表给出了部分x，y的取值；

﹣x L 3 y L 3 0 ﹣1 0 3 0 ﹣1 0 3 L ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 L 由上表可知，a＝ ，b＝ ；

（2）用你喜欢的方式在坐标系中画出函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4的图象； （3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质；

（4）若方程x2+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解，请直接写出m的取值范围．

26．如图，在RtABC中，C90，B30．

1用直尺和圆规作

O，使圆心O在BC边，且O经过A，B两点上(不写作法，保留作图痕迹)；

2连接AO，求证：AO平分CAB．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分） 1、C

【分析】根据△＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点列出方程，解方程求出k，再根据二次函数的图象和性质解答．

【题目详解】∵二次函数y(k2)x2x1的图象与x轴只有一个交点， ∴k20，2-4(k2)10， 解得：k3，

∴二次函数yx2x1=(x1)， 当y0时，x-1，

2222故选C． 【题目点拨】

本题考查的是抛物线与x轴的交点，掌握当△＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点是解题的关键． 2、C

【分析】由题意根据解一元二次方程的概念和根与系数的关系对选项逐次判断即可. 【题目详解】解：∵△=22-4×1×0=4＞0， ∴x1x2，选项A不符合题意；

∵x1是一元二次方程x22x0的实数根，

2∴x12x10，选项B不符合题意；

∵x1，x2是一元二次方程x22x0的两个实数根，

∴x1x22，x1x20，选项D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 【题目点拨】

本题考查解一元二次方程和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键． 3、A

【分析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围． 【题目详解】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-

1； 4当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根， 所以a的取值范围为a≥1． 故选A． 【题目点拨】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 4、B

【题目详解】解：连接BD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=90°−∠BAD=42°， ∴∠DCA=∠ABD=42°故选B 5、A

【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，然后在根据二次函数的性质和x的取值范围，即可解答本题． 【题目详解】∵二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3， ∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，

∴当﹣3≤x≤2时，x＝2时，该函数取得最小值，此时y＝﹣15，故选：A． 【题目点拨】

本题考查二次函数的最值，解题的关键是将二次函数的一般式利用配方法化成顶点式，求最值时要注意自变量的取值范围. 6、B

【分析】根据一天中影子的长短和方向判断即可.

【题目详解】众所周知，影子方向的变化是上午时朝向西边，中午时朝向北边，下午时朝向东边； 影子长短的变化是由长变短再变长，结合方向和长短的变化即可得出答案 故选B 【题目点拨】

本题主要考查影子的方向和长短变化，掌握影子的方向和长短的变化规律是解题的关键. 7、A

【解题分析】把点（-1，-3）代入y＝x2＋mx＋n得n=-4+m，再代入mn+1进行配方即可. 【题目详解】∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3）， ∴-3=1-m+n， ∴n=-4+m，

代入mn+1，得mn+1=m2-4m+1=(m-2)2-3. ∴代数式mn+1有最小值-3. 故选A. 【题目点拨】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数mn+1的解析式化成顶点式是解题的关键． 8、C

【解题分析】将（1，1）代入解析式中即可. 【题目详解】解：将点（1，1）代入解析式得，

2k， 1k＝1． 故选：C． 【题目点拨】

此题考查的是求反比例系数解析式,掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解决此题的关键. 9、A

【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，根据定义即可判断． 【题目详解】A．任意画两个圆，这两个圆是等圆，属于随机事件，符合题意； B．⊙O的半径为5，OP=3，点P在⊙O外，属于不可能事件，不合题意； C．直径所对的圆周角为直角，属于必然事件，不合题意；

D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，属于必然事件，不合题意； 故选：A． 【题目点拨】

本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 10、D

【解题分析】求出∠DAE=∠BAC，根据选项条件判定三角形相似后，可得对应边成比例，再把比例式化为等积式后即可判断．

【题目详解】解：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE， ∴∠DAE=∠BAC，

A、∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠C， ∴△ADE∽△ACB， ∴∴

，

，

故本选项错误； B、∵

，∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ACB， ∴∴

故本选项错误； C、∵

，∠DAE=∠BAC， ，

，

∴△ADE∽△ACB， ∴∴

故本选项错误； D、∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC， ∴∴

故本选项正确； 故选：D． 【题目点拨】

本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，比例式化等积式，特别要注意确定好对应边，不要找错了． 11、C

，

，

，

，

，

2)代入y＝求解即可. 【解题分析】把(2，【题目详解】

反比例函数y＝kxk2， k0过点2，xk=22=4，

故选：C． 【题目点拨】

本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 12、C

【解题分析】由BD为⊙O的直径，可证∠BCD=90°，又由圆周角定理知，∠D=∠A=30°，即可求∠CBD． 【题目详解】解：如图，连接CD，

∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD=90°， ∴∠D=∠A=30°， -∠D=60°∴∠CBD=90°． 故选C． 【题目点拨】

本题利用了直径所对的圆周角是直角和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

二、填空题（每题4分，共24分） 13、163 【分析】作OH⊥AB，延长OH交

O于E，反向延长OH交CD于G，交O于F，连接OA、OB、OC、OD，根

据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形面积公式即可得解．

【题目详解】如图，作OH⊥AB，垂足为H，延长OH交OA、OB、OC、OD，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=4，

O于E，反向延长OH交CD于G，交O于F，连接

∵弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，

4=2，OG=GF=×4=2，即OH=OG， ∴OH=HE=×又∵OB=OD，

∴Rt△OHB≌Rt△OGD， ∴HB=GD，

同理，可得AH=CG= HB=GD

1212∴AB=CD 又∵AB∥CD

∴四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△OHA中，由勾股定理得： AH=OA2OH2422223 ∴AB=43 ∴四边形ABCD的面积=AB×GH=434=163． 故答案为：163 ． 【题目点拨】

本题考查圆中折叠的对称性及平行四边形的证明，关键是作辅助线，本题也可通过边、角关系证出四边形ABCD是矩形． 14、3

【分析】直接利用弧长公式计算即可． 【题目详解】解：该莱洛三角形的周长=3×故答案为：3. 【题目点拨】

本题考查了弧长公式：l=603=3. 180nR（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了等边三角形的性质． 18015、37 4【分析】因PB是

O的切线，利用勾股定理即可得到AB的值，AB是O的直径，则△ABC是直角三角形，可证

得△ABC∽△APB，利用相似的性质即可得出BC的结果． 【题目详解】解：∵PB是∴∠ABP=90°

∵PA4cm，PB3cm ∴AB2+BP2=AP2 ∴AB=7 ∵AB是

O的切线

O的直径

∴∠ACB=90° 在△ABC和△APB中

BAPBAP ACBABP∴△ABC∽△APB ∴

BCAB BPAPBC7 3437 4∴

∴BC故答案为：

37 4【题目点拨】

本题主要考查的是圆的性质以及相似三角形的性质和判定，掌握以上几点是解此题的关键． 16、1

【分析】作BE⊥AC于E，可得矩形CDBE，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AE的长度，加上CE的长度即为旗杆的高度

【题目详解】解：作BE⊥AC于E，

∵BD⊥CD于D，AC⊥CD于C， ∴四边形CDBE为矩形， ∴BE=CD=1m，CE=BD=2m，

∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似， ∴

AE1AE1， ，即42BE2解得AE=2（m），

∴AC=AE+EC=2+2=1（m）． 故答案为：1． 【题目点拨】

本题考查相似三角形的应用；作出相应辅助线得到矩形是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定．

17、．

【解题分析】由两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，即可求得∠A的度数，又由四边形的内角和等于360°，即可求得∠α的度数．

【题目详解】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，

∴∠A=∠A′=138°，

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，

-60°-138°-75°==87°∴∠α=360°-∠A-∠B-∠C =360°． 故答案为87°． 【题目点拨】

此题考查了相似多边形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等定理的应用． 18、-1

【解题分析】解：因为反比例函数y

kk

1，又反比例函数的图象y，且矩形OABC的面积为1，所以|k|=1，即k=±

xx

在第二象限内，k＜0，所以k=﹣1．故答案为﹣1．

三、解答题（共78分） 19、（1）m2k2r2.（2）

410. 3【分析】 ⑴ 将PC+kPD转化成PC+MP，当PC+kPD最小，即PC+MP最小，图中可以看出当C、P、M共线最小，利用勾股定理求出即可；

⑵ 根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C对应O,D对应P，A对应C，B对应M，当

22222441022D在AB上时ADBD为最小值，所以ADBD=ACCD = 4

33333【题目详解】解1MP:PDk,MPkPD，

PCkPDPCMP，当PCkPD取最小值时，PCMP有最小值，即C,P,M三点共线时有最小值，利用

勾股定理得CMOC2OM2m2krm2k2r2.

22AD2BD的最小值为410， 33提示：

24ACm4，CDkr，

332244102ADBD的最小值为4.

333【题目点拨】

此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键. 20、（1）见解析，点A1的坐标为6,1，点C1的坐标为4,3；（2）见解析.

【分析】（1）根据位似图形的性质：位似图形面积的比等于相似比的平方，即可得出相似比，画出图形；根据格点即可写出坐标；

（2）根据图形的旋转的性质：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，画出图形即可.

【题目详解】1 A1BC1如图所示:

点A1的坐标为6,1，点C1的坐标为4,3

2△ABC222如图所示.

【题目点拨】

此题主要考查位似图形以及图形旋转的性质，熟练掌握，即可解题. 21、（1）x1=1 x2=7（2）x1=2 x2=5 3【分析】（1）根据直接开平方法即可求解（2）根据因式分解法即可进行求解. 【题目详解】解方程

2（1）(3x2)25

3x+2=5或 3x+2=－5 x1=1 x2=7 3（2）x27x100 (x－2）（x－5）=0 x－2=0或x－5=0 x1=2 x2=5

22、（1）-4；（2）x1317317. ，x222【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，再计算乘方，再进行二次根式的运算即可； （2）用公式法解方程即可. 【题目详解】解：（1）原式= 1236(13)2321 2(13)(13)= 13232333 =-4；

（2）(3)41(2)=17

2∴x1317317，x2， 22【题目点拨】

本题考查了特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算、一元二次方程的解法，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.

23、（1）见解析；（1）（3π﹣93）cm1 4【分析】（1）由等腰三角形的性质证出∠ODB＝∠C．得出OD∥AC．由已知条件证出DE⊥OD，即可得出结论； （1）由垂径定理求出OF，由勾股定理得出DF，求出BD，得出△BOD的面积，再求出扇形BOD的面积，即可得出结果．

【题目详解】（1）连接OD，如图1所示： ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C．

∴∠ODB＝∠C． ∴OD∥AC． ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线．

（1）过O作OF⊥BD于F，如图1所示： ∵∠C＝30°，AB＝AC，OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB＝∠C＝30°， ∴∠BOD＝110°，

在Rt△DFO中，∠FDO＝30°， ∴OF＝

31OD＝cm， 2233cm， 2∴DF＝0D20F2＝∴BD＝1DF＝33cm， ∴S△BOD＝

393111BD×OF＝×cm， ×33×＝224212032S扇形BOD＝＝3πcm1，

360∴S阴＝S扇形BOD﹣S△BOD＝＝（3π﹣93）cm1． 4

【题目点拨】

本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、三角形和扇形面积的计算等知识；熟练掌握切线的判定，由垂径定理和勾股定理求出OF和DF是解决问题（1）的关键． 24、（1）见解析（2）

1 6【分析】（1）利用列表法展示所有12种等可能的结果数；

（2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【题目详解】（1）使用列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果 二 一 B1 B2 B3 A1 A2 A1B1 A2B1 A3B1 A1B2 A1B3 A2B3 A2B2 A3B2 A4B2 A3 A4 A3B3 A4B3 A4B1 （2）小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的概率为P【题目点拨】

21 126此题考查概率公式与列表法，解题关键在于利用列表法 列出所有结果 25、（1）﹣1，﹣1；（1）详见解析；（3）函数关于x＝1对称；（4）0＜m＜1．

【分析】（1）将点（0，0）、（1，3）代入函数y＝x1+ax﹣4|x+b|+4，得到关于a、b的一元二次方程，解方程组即可求得；

（1）描点法画图即可；

（3）根据图象即可得到函数关于x＝1对称；

（4）结合图象找，当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝1，y＝3；则当0＜m＜1时，方程x1+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解．

【题目详解】解：（1）将点（0，0）、（1，3）代入函数y＝x1+ax﹣4|x+b|+4（b＜0），得解得a＝﹣1，b＝﹣1， 故答案为﹣1，﹣1； （1）画出函数图象如图：

4b40 ，

1a41b43

（3）该函数的一条性质：函数关于x＝1对称；

（4）∵方程x1+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解

∴二次函数y=x1+ax﹣4|x+b|+4的图像与一次函数y＝x+m至少有三个交点， 根据一次函数图像的变化趋势，

∴当0＜m＜1时，方程x1+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解， 故答案为0＜m＜1． 【题目点拨】

本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 26、 (1)作图见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）作线段AB的垂直平分线即可，线段AB的垂直平分与BC的交点即是圆心O；

（2）由线段垂直平分线的性质可得∠OAB=∠B=30°，，从而可求∠CAO=30°，由角平分线的定义可知AO平分∠CAB．

【题目详解】（1）解：如图，⊙O为所作；

（2）证明：∵OA=OB， ， ∴∠OAB=∠B=30°﹣∠B=60°， 而∠CAB=90°

， ∴∠CAO=∠BAO=30°

∴OC平分∠CAB． 【题目点拨】

本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握线段垂直平分线的作法及性质是解答本题的关键.