测试新版北师大版
一、选择题(本大题共6小题，共24分)
1．下列关于▱ABCD的叙述中，正确的是( )
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形
2．如图1，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形 图1
AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的度数为( )
A．75° B．65° C．55° D．50°
4．如图3，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( ) 12624
A.5 B.5 C.5 D．不确定 图3
图2
3．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE⊥
图4
5．如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是( )
3
A．2.5 B.5 C.2 2 D．2
6．如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为( )
图5
3
A．(2，2 3) B．(2，2－3)
3
C．(2，4－2 3) D．(2，4－2 3) 二、填空题(本大题共6小题，共30分)
7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是________．
8．如图6所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝2 cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC＝________ cm. 图6
坐标为________．
10．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________． 图8
图10
11．如图9所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．
12．如图10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．
三、解答题(共46分)
13．(10分)如图11，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．
图9
图7
9．如图7所示，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的
图11
14．(10分)如图12，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C动身在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．
(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；
(2)当点E，F的运动时刻t为何值时，四边形BEDF为矩形？ 图12
15．(12分)如图13，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)假如四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.
图13
16．(14分)如图14，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折得到△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形(保留作图痕迹，不写作法)；
(3)在(2)的条件下，求∠EAG的度数． 图14
第一章单元测试 1．C 2.D 3.B 4.A 5．B ． 6．C 8．4
7．6 .
9．(2＋2，2)
10．45° .
75
11．12 12.8 13．解：(1)证明：连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC. ∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF， 即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF， ∴四边形BEDF为菱形．
(2)∵正方形ABCD的边长为4， ∴BD＝AC＝4 2.
∵AE＝CF＝2，∴EF＝AC－2 2＝2 2，
11
∴S菱形BEDF＝2BD·EF＝2×4 2×2 2＝8. 14．解：(1)证明：连接DE，EB，BF，FD.
∵两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C动身在线段AC上相对运动，
∴AE＝CF.
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OD＝OB，OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)， ∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
(2)当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝12 cm时，四边形BEDF为矩形．
∵运动时刻为t， ∴AE＝CF＝2t， ∴EF＝20－4t＝12， ∴t＝2；
当点E在OC上，点F在OA上时， EF＝BD＝12 cm，EF＝4t－20＝12， ∴t＝8.
因此，当点E，F的运动时刻t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形． 15．解：(1)证明：∵AD⊥BC，E，F分别是AB，AC的中点，
1
∴在Rt△ABD中，DE＝2AB＝AE，
1
在Rt△ACD中，DF＝2AC＝AF. 又∵AB＝AC，
∴AE＝AF＝DE＝DF， ∴四边形AEDF是菱形．
(2)如图，∵菱形AEDF的周长为12， ∴AE＝3.
设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7， ∴x2＋2xy＋y2＝49.①
由四边形AEDF是菱形得AD⊥EF， ∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，
11
∴(2y)2＋(2x)2＝32， 即x2＋y2＝36.②
把②代入①，可得2xy＝13，
13∴xy＝2，
113
∴菱形AEDF的面积S＝2xy＝4.
16．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°. ∵将△ADE沿AE对折得到△AFE， ∴AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°. 在Rt△ABG和Rt△AFG中， AB＝AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)． AG＝AG，(2)如图所示：
(3)∵△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，
∴∠EAF＝∠EAD，∠GAF＝∠GAB.
∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，
1
∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝2×90°＝45°.
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