一、最大公约数的性质：
1、两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数，
即：如果（a，b）=d,c d,那么c a，c b 。
2、两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定互质， 即：如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）=1。 二、最小公倍数的性质：
1、两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，即：若（a，b）=d，[a,b]=m,则dm=ab，d m。
2、如果一个数C能同时被两个自然数a，b整除，那么C一定能被这两个数的最小公倍数整除。
精选例题
【例1】：两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知
其中一个自然数是18，求另一个自然数。
思路点拨：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两
个自然数的乘积。
标准答案：解：另一个自然数是（6×72）÷18=24。
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活学巧用
1、两个自然数的最大公约数是4，最小公倍数数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
2、某个自然数与36的最大公约数是12，与36的最小公倍数是180，这个自然数是多少？
3、两个数的乘积是2430，最小公倍数是270，求这两个数的最大公约数？
【例2】：甲、乙两数的最大公约数是6，最小公倍数是144，且
其中较大的数与较小的数不是倍数关系，求甲、乙的和。
思路点拨：由知识点最小公倍数等于最大公约数乘以两互质数的乘
积，可知：两个互质数乘积是144÷6=24，可知24=1×24，
2
24=3×8，又因甲、乙两数不是倍数关系，所以甲、乙两数
中较大数为6×8=48，较小数为6×3=18，则甲+乙=48+18=66。
标准答案：解：144÷6=24 24=3×8 6×3=18 6×8=48 18+48=66
活学巧用
1、两个整数的最小公倍数是72，最大公约数是6，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？
2、已知两个数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？
3、已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
3
【例3】：两个自然数的和是432，它们的最大公约数是36，求这两个数？
思路点拨：如果这两个自然数都缩小36倍后互质，则这两个自然
数的和变成432÷36=12，可知：12=1+11=5+7，所以可得 原来的这两个自然数为1×36=36,11×36=396或 5×36=180,7×36=252。
标准答案：
解：432÷36=12 12=1+11=5+7 1×36=36,11×36=396或 5×36=180,7×36=252。 答：这两个数为36，396或180，252。
活学巧用
1、两个自然数的和是150，它们的最大公约数是10，求这两个数。
2、已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，且小数不能整除大数，求这两个数分别是多少？
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3、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个数的和为77，求这两个数。
【例4】：两个自然数的差是2，它们的最大公约数与最小公倍数之和是86，求这两个数。
思路点拨：设这两个数分别为a、b，（a，b）=d，由于d a，d b，
那么d （a-b）。由2=1×2，可知，（a，b）=1或（a，b）=2，即[a,b]=86-1=85或[a,b]=86-2=84。当最大公约数为2时，都缩小2倍后，此时两自然数的差是2÷2=1，最大公约数是2÷2=1，最小公倍数是84÷2=42，因为42=6×7，符合条件，所以这两个自然数是6×2=12和7×2=14。
标准答案：2=1×2
1与85，,5和17的差都不等于2，所以此时无解。 ②（a，b）=2 [a,b]=86-2=84 84÷2=42 42=6×7 a=6×2=12 b=7×2=14 答：这两个数是12和14
①（a，b）=1 [a，b] =86-1=85 85=1×85=5×17
活学巧用
1、已知两个自然数的差是3，它们的最大公约数与最小公倍数之和为219，求这两个数。
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2、已知两个自然数的差是2，它们的最小公倍数与最大公约数之差是58，求这两个数。
3、已知2个自然数的差为11，它们的最大公约数与最小公倍数的积为1452，求这两个数。
【例5】：有一个数，若加上4，就能被4整除；若把它减去5，
就能被5整除；若把这个数乘6，就能被6整除；若把这个数除以7，就能被7整除。问这个数最小是多少？
思路点拨：从这个数加上4，能被4整除，说明这个数不加上4， 也
能被4整除；这个数减去5，能被5整除，说明这个数不减去5，也能被5整除；6的倍数都能被6整除，所以这个条件是多于的；这个数除以7能被7整除，说明这个数能被7×7=49整除。综合条件可知，这个数能被4，5，49整除。
标准答案：7×7=49 4×5×49=980
答：这个数最下是980。
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活学巧用
1、一个三位数，减去7后，差是7的倍数；加上8后，和是8的倍数；且这个三位数还是9的倍数，这个三位数是多少？
2、某数减去4后所得的差，既是9和10的倍数，同时又是15的倍数，则这个数最小是多少？
3、用1至9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数？
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