蒲丰投针试验和π

蒲丰投针试验与π

学科：《数学史》 作者： *** 班级：07级数本班 学号：********

蒲丰投针试验和

作者：*** 班级：07级数本班 学号：******

摘要：

“圆周率”是指一个圆的周长与其直径的比值。古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。公元1777年，法国数学家、自然科学家蒲丰利用很多次随机投针试验算出的近似值，引起广泛关注，这也是最早的几何概率问题，并且蒲丰本人对这个实验给予了证明。计算的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。

关键字：

 蒲丰 蒲丰投针试验 几何概率

因为任何两个圆都相似，故所有圆的周长和它的直径的比都等于同一常数，我们把这一常数叫“圆周率”。国际上，人们习惯地把圆周率用符号π表示。1600年，英国的威廉·奥托兰特首先使用

表示圆周率，他的理由是，因为是希腊文圆周的第一个字母，奥托兰特用它来表示圆周长，而是希腊文直径的第

表示圆周率，但在推算圆周率的过程中，人们常用直径为1的圆，即令1，这样就等于一个字母，奥托兰特用它来表示直径，根据圆周率的定义，理应用

了。1706年英国的琼斯首先改用表示圆周率，后来被数学家广泛接受，一直沿用至今。

古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。回顾历史，人类对的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”1874年勒让德证明了π和π

都

是无理数，即不能用两个整数的比表示．1882年德国数学家林德曼证明了π是超越数，即不可能是一个整系数代数方程的根，尽管如此，自古至今，很多人都在用各种方法求π的近似值。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的

道路。在对的近似值的大量试验中，有一个著名的蒲丰投针试验。

蒲丰（George-Louis Leclerc de Buffon, 1707.9.7-1788.4.16），法国数学家、自然科学家。1707年9月7日生于蒙巴尔；1788年4月16日卒于巴黎。蒲丰10岁时在第戎耶稣会学院读书，16岁主修法学，21岁到昂热转修数学，并开始研究自然科学，特别是植物学。1733年当选为法国科学院院士，1739年任巴黎皇家植物园园长，1753年进

入法兰西学院。1771年接受法王路易十五的爵封。是个不可多得的人才。

公元 1777 年的一天，蒲丰的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。蒲丰事先在白纸上画好了一条条等距离的平行线，然后将纸铺在桌上，又拿出一些质量均匀、长度等于平行线间距离一半的小针，请客人把针一根根随便扔到纸上，蒲丰则在一旁计数。

纸上是一条条等距离的平行线，小针的长度是平行线间距离的一半，蒲丰记录投针次数以及针与直线相交的次数。结果，共投了2122次，其中与任一平行线相交的有704次．蒲丰又做了一个简单的除法2212÷704≈3.142，最后他宣布，这就是圆周率π的近似值，还说投的次数越多越精确。

蒲丰上述试验可归结为下面的数学问题：平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0) ，向平面任意投一枚长为l(0l a 2a xlsin 2 o  x

图（一） 图（二）

解：以x表示针的中点与最近一条平行线间的距离，又以表示针与此直线间的

a ，0 ，由这两式可以确定x平面2l上的一个矩形.这时为了针与平行线相交，其充要条件是 xsin ，由这个

2  x 夹角（见图一），易知有 0x不等式表示的区域A是如图（二）中阴影部分.由等可能性知 PASAS0lsind2l2 aa2如果l、a为为已知，则以值代入上式即可计算得PA之值.反过来，如果已知PA的值，择业可以利用上式去求，而关于PA的值，可以利用频率去近似它.如果投针N次，其中针与平行线相交n次，则频率为

当 lna 时，就有  ，也就是蒲丰试验的情形.

N22lNn，于是.

anN历史上有一些学者曾亲自做过这个试验，下表记录了他们的试验结果（把a折算为单位长，直线距离l1) 试验者 年份 投掷次数 相交次数 针长 得到的近似值 Wolf Smith De Fox Lazzerini Reina 1850 1855 1860 1884 1901 1925 5000 3204 600 1030 3408 2520 2532 1218 382 4 1808 859 0.8 0.6 1.0 0.75 0.83 0.19 3.1596 3.15 3.137 3.1595 3.1415929 3.1795

由于这一结果与有关，所以蒲丰用投针实验来求的近似值．这说明可以用随机数学的方法来解决确定性数学的问题，这一思想方法被称为蒙特卡罗（Monte Carlo）方法．它最初产生于20世纪 40年代，现已经在许多学科中普遍使用，而且成效极大． 解决蒲丰投针问题的关键，在于将原问题转化为几何概率问题．这种处理方法在大量的求无限样本空间上某一事件的概率问题中经常用到。

尝试如下实验：把一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰好等于平行线间的距离d，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔，圆圈都将和平行线有两个交点，因此如果圆圈扔下的次数为n，那么相交的交点总数m2n.现在将圆圈拉直变成一条长为d的铁丝直线，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多并且相等时，两者与平行线组交点的总数也是一样的. 那么 m2n 当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与铁丝的长度l成正比，因而有 mkl , 其中k是比例系数.

下面求出k的值.我们知道当ld时，m2n,即2nkd，所以 k于是 m2ln2ln ,从而 （蒲丰公式） ddm2n , d当l是d的一半的时候，n mrdd=2r

圆的半径为 r

这是蒲丰投针试验的一种新的诠释，同样得到了蒲丰投针试验计算的近似值的公式，我们把它叫做蒲丰公式。

蒲丰实投针试验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的的近似值。 蒲丰投针问题的重要性在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。计算的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。与用其它的方法来求得的近似值相比，这是独特而具有重大意义的。

参考文献：

朱家生编著.数学史.北京：高等教育出版社，2004.7

魏宗舒等编.概率论与数理统计教程—第二版.北京：高等教育出版社，2008.4