一、选择题（本大题共15小题，共30.0分） 1.
下列说法：①线段𝐴𝐵、𝐶𝐷互相垂直平分，则𝐴𝐵是𝐶𝐷的对称轴，𝐶𝐷是𝐴𝐵的对称轴；②如果两条线段相等，那么这两条线段关于直线对称；对称轴是这个角的平分线．其③角是轴对称图形，中错误的有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个 D. 3个
2.
在√9𝑥、√45、√𝑎𝑏
4、√𝑎𝑏、√2
3
中，最简二次根式的个数为( )
A. 1个
B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.
下列各数中，相反数是2020的是( )
A. −1
1
2020 B. 2020
C. −2020 D. 2020
4.
已知𝑚=1+√2，𝑛=1−√2，且(7𝑚2−14𝑚+𝑎)(3𝑛2−6𝑛−7)=8，则𝑎的值等于( )
A. −5
B. 5 C. −9 D. 9
5.
△𝐴𝐵𝐶中，𝑎、𝑏、𝑐分别是∠𝐴、∠𝐵、∠𝐶的对边，如果𝑎2+𝑏2=𝑐2，那么下列结论正确的是(A. 𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑐
B. 𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑎 C. 𝑎𝑡𝑎𝑛𝐴=𝑏
D. 𝑡𝑎𝑛𝐵=𝑏
𝑐
6.
若分式𝑥
𝑥−4值为0，则𝑥的值是( )
A. 𝑥≠0
B. 𝑥≠4 C. 𝑥=0 D. 𝑥=4
7.
下列计算中，正确的是( )
A. √18÷√2=√6 B. (4√2)2=8 C. √(−2)2=−2
D. √3×√2=√6 8.
下列说法：
①无理数都是无限小数； ②√9的算术平方根是3； ③数轴上的点与实数一一对应；
④平方根与立方根等于它本身的数是0和1；
⑤若点𝐴(−2,3)与点𝐵关于𝑥轴对称，则点𝐵的坐标是(−2,−3)． 其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
)
9. 如图，在直角坐标系中，𝑂是原点，已知𝐴(4,3)，𝑃是坐标轴上的一点，若以𝑂、𝐴、𝑃三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点𝑃共有( )个．
A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 3个
10. 如图，𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷，点𝐶在𝐴𝐸上，则图中全等三角形有( )
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
11. 两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是
A. 三个角 B. 两角和一边 C. 两边及夹角 D. 三条边
12. 在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷与边长为2√2的正
方形𝐴𝐸𝐹𝐺，如图所示，𝐴点为两正方形的公共点，小明将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点𝐴旋转，当点𝐵恰好落在线段𝐷𝐺上时，连接𝐵𝐸，请你帮他求出此时𝐵𝐸的长为( )
A. 4 B. √3
C. √5 D. √2+√6
13. 如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=4，若过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝐵𝐷，垂足
为𝐸，则𝐵𝐸的长为( )
A. 2 B. 3 C. 5
9
D. 5
14. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=√61，𝐵𝐶=13，𝐴𝐷、𝐶𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高线与中线，点𝐹是线段𝐶𝐸的
中点，连接𝐷𝐹，若𝐷𝐹⊥𝐶𝐸，则𝐴𝐵=( )
16
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
15. 为了让更多的人接种新冠疫苗，某药厂疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加
工320万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后由于原料短缺，以原速度的一半生产，结果比原计划延期3天完成任务．设五天后每天生产𝑥万支疫苗，则可列方程为( )
A. C.
320−10𝑥
2𝑥3202𝑥
=
320−10𝑥
𝑥
−3 B. D.
320−10𝑥
𝑥3202𝑥
=
320−10𝑥
2𝑥
−3
=
320𝑥
+3 =
320𝑥
−3
二、填空题（本大题共11小题，共33.0分） 16. 实数−27的立方根是______． 17. 计算：√6−2√2=______．
18. 计算(√5+1)(√5−1)的结果等于______ ．
19. 已知分式𝑥2−𝑎2+𝑎−𝑥，若𝑥=3时，分式无意义，则𝑎= ______ ． 20. 方程
𝑥2+1𝑥−1
𝑥+1
3
=𝑥−1的根是______ ．
2
21. 如图△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐶=𝐵𝐶=13，把△𝐴𝐵𝐶放在平面直角坐标系中，且点𝐴、𝐵的坐标分别为(2,0)、
(12,0)，将△𝐴𝐵𝐶沿𝑥轴向左平移，当点𝐶落在直线𝑦=−𝑥+8上时，线段𝐴𝐶扫过的面积为______．
22. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=30°，∠𝐶=45°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷，若𝐴𝐵=8，则𝐶𝐷= ．
23. 如图，△𝐴𝐵𝐶是⊙𝑂的内接正三角形，点𝑂是圆心，点𝐷，𝐸分别在边𝐴𝐶，
𝐴𝐵上，若𝐷𝐴=𝐸𝐵，则∠𝐷𝑂𝐸的度数是______度．
24. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐵=70°，𝐸𝐹是𝐴𝐶边的垂直平分线，垂足为𝐸，交𝐵𝐶于点𝐹，
则∠𝐴𝐹𝐸的度数等于______．
25. √5在两个连续的整数𝑎和𝑏之间(𝑎<𝑏)，那么(𝑏+√2)𝑎=______．
26. 如图，是一副三角板重叠而成的图形，则∠𝐴𝑂𝐷+∠𝐵𝑂𝐶=______°.(△𝐴𝑂𝐶是等腰直角三角板)
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分） 27. 解方程：
①𝑥−4−4−𝑥=1 ②
四、解答题（本大题共4小题，共32.0分）
28. (1)计算：(−2)2−|√2−2|+2𝑐𝑜𝑠45°−(3−𝜋)0； (2)先化简，再求值：
29. 如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点坐标分别为𝐴(1,−3)，𝐵(−2,−3)，𝐶(2,−1)． (1)画出△𝐴𝐵𝐶关于原点𝑂成中心对称的△𝐴1𝐵1𝐶1，并写出点𝐶1的坐标；
(2)以原点𝑂为位似中心，在𝑥轴上方画出△𝐴𝐵𝐶放大2倍后的△𝐴2𝐵2𝐶2，并直接写出点𝐶2的坐标．
2𝑥−1𝑥2−2𝑥+11
3𝑥2−9
3−𝑥1
+
𝑥𝑥−3
=1．
÷(
𝑥2𝑥−1
−𝑥+1)，其中𝑥=√2+1．
30. 小王需要用不超过1小时的时间从𝐴地坐出租车出发去𝐵地．正常情况下(不堵车)，该地出租车
行驶的速度为60千米每小时，收费标准是3千米以内(含3千米)路程收费10元，超过3千米后的路程按每千米1.2元收费；若遇堵车且使其车速在30千米每小时以下，则出租车还要加收堵车费，堵车费标准是3千米以内(含3千米)路程不收堵车费，超过3千米后收取每分钟1.5元的堵车费(时间按整数算，如3.1分钟视为4分钟)，如图，𝐴、𝐵两地之间有两条路线𝐴−𝐷−𝐶−𝐹−𝐵与𝐴−𝐷−𝐸−𝐹−𝐵.已知𝐴𝐶⊥𝐶𝐵，𝐸𝐷⊥𝐴𝐶，垂足为𝐷；𝐸𝐹⊥𝐶𝐵，垂足为𝐹.𝐸𝐹=6千米，𝐹𝐵=5.8千米，𝐴𝐷=𝐷𝐸=24千米．
(1)求证：路线𝐴−𝐷−𝐶−𝐹−𝐵与𝐴−𝐷−𝐸−𝐹−𝐵的路程相等； (2)已知小王选择𝐴−𝐷−𝐶−𝐹−𝐵路线去𝐵地． ①正常情况下，小王到达𝐵地后共需要支付多少车费？
②当出租车行驶到点𝐷处时，发现路线𝐷−𝐶−𝐹−𝐵堵车使车速变为𝑎(0<𝑎<30)千米每小时，于
是小王把路线变为𝐷−𝐸−𝐹−𝐵，在路线𝐷−𝐸上，出租车车速变为3𝑎千米每小时；在路线𝐸−𝐹上，出租车车速变为2𝑎千米每小时；在路线𝐹−𝐵上，出租车车速变为𝑎千米每小时．到达𝐵地后小王正好用了1小时时间，求小王共需要支付的车费．
31. 阅读下列材料
数学课上，老师出示了这样一个问题：
如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷和四边形𝐴𝐵𝐶𝐸，∠𝐵𝐴𝐷=60°，连接𝐵𝐷，𝐵𝐸，𝐵𝐷=𝐵𝐸． 求证：∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐸𝐶；
某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：
小明：“通过观察分析，发现∠𝐴𝐵𝐸与∠𝐸𝐵𝐶存在某种数量关系”； 小强：“通过观察分析，发现图中有等腰三角形”；
小伟：“利用等腰三角形的性质就可以推导出∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐸𝐶”．
…
老师：“将原题中的条件‘𝐵𝐷=𝐵𝐸’与结论‘∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐸𝐶’互换，即若∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐸𝐶，则𝐵𝐷=𝐵𝐸，
其它条件不变，即可得到一个新命题”
…
请回答：
(1)在图中找出与线段𝐵𝐸相关的等腰三角形(找出一个即可)，并说明理由； (2)求证：∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐸𝐶；
(3)若∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐸𝐶，则𝐵𝐷=𝐵𝐸是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案及解析
1.答案：𝐷
解析：
本题考查了轴对称的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图形折叠后可重合．并且注意对称轴一定是直线． 根据轴对称图形的概念求解．
解：①线段𝐴𝐵、𝐶𝐷互相垂直平分，则线段𝐴𝐵所在的直线是线段𝐶𝐷的对称轴，线段𝐶𝐷所在的直线是线段𝐴𝐵的对称轴，故错误；
②两条线段相等，但不一定关于直线对称，错误；
③角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线所在的直线，错误． 错误的个数是3个，故选D．
2.答案：𝐴
解析：解：√9𝑥=3√𝑥，√45=3√5，√√𝑎𝑏是最简二次根式， 故选：𝐴．
根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
𝑎𝑏4
=
2√𝑎𝑏，√
32
=
√6，都不是最简二次根式， 3
3.答案：𝐶
解析：解：∵2020+(−2020)=0， ∴相反数为2020的是：−2020， 故选：𝐶．
根据相反数的概念即可判断．
本题考查了相反数的概念．正确把握相反数的定义是解题的关键．相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
4.答案：𝐶
解析：解：由𝑚=1+√2得𝑚−1=√2， 两边平方，得𝑚2−2𝑚+1=2
即𝑚2−2𝑚=1，同理得𝑛2−2𝑛=1． 又(7𝑚2−14𝑚+𝑎)(3𝑛2−6𝑛−7)=8， 所以(7+𝑎)(3−7)=8， 解得𝑎=−9 故选：𝐶．
观察已知等式可知，两个括号里分别有𝑚2−2𝑚，𝑛2−2𝑛的结构，可由已知𝑚、𝑛的值移项，平方得出𝑚2−2𝑚，𝑛2−2𝑛的值，代入已知等式即可．
本题考查了二次根式的灵活运用，直接将𝑚、𝑛的值代入，可能使运算复杂，可以先求部分代数式的值．
5.答案：𝐵
解析：由于𝑎2+𝑏2=𝑐2，根据勾股定理的逆定理得到△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，且∠𝐶=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项． ∵𝑎2+𝑏2=𝑐2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，且∠𝐶=90°， ∴𝑠𝑖𝑛𝐴=，
𝑐即𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑎， ∴𝐵选项正确． 故选 B．
𝑎
6.答案：𝐶
解析：解：由题意可知：𝑥=0且𝑥−4≠0． 解得𝑥=0且𝑥≠4.观察选项，只有选项C符合题意． 故选：𝐶．
根据分式的值为零的条件即可求出𝑥的值．
本题考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
7.答案：𝐷
解析：解：因为原式=√18÷2=√9=3， 所以𝐴选项错误； 因为原式=16×2=32， 所以𝐵选项错误；
因为原式=√4=2， 所以𝐶选项错误； 因为原式=√3×2=√6， 所以𝐷选项正确． 故选：𝐷．
根据二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简逐一进行计算即可判断．
本题考查了二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简．
8.答案：𝐶
解析：解：①无理数都是无限小数，正确； ②√9的算术平方根是√3，错误； ③数轴上的点与实数一一对应，正确； ④平方根与立方根等于它本身的数是0，错误；
⑤若点𝐴(−2,3)与点𝐵关于𝑥轴对称，则点𝐵的坐标是(−2,−3)，正确． 故选：𝐶．
根据无理数的定义判断①；根据算术平方根的定义判断②；根据实数与数轴的关系判断③；根据平方根与立方根的定义判断④；根据关于𝑥轴对称的点的坐标特点判断⑤．
本题考查了无理数的定义，算术平方根的定义，实数与数轴的关系，平方根与立方根的定义，关于𝑥轴对称的点的坐标特点，都是基础知识，需熟练掌握．
9.答案：𝐶
解析：解：如图所示，以𝑂为圆心，以𝑂𝐴为半径，所作的圆与坐标轴有4个交点；以𝐴为圆心，以𝑂𝐴为半径，所作的圆与坐标轴有2个交点；作𝑂𝐴的垂直平分线，交坐标轴于2个点， 故满足条件的点𝑃有8个．
故选C．
作出图形，然后利用数形结合的思想求解，再根据平面直角坐标系得出点𝑃的个数即可． 本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质的应用，利用数形结合的思想求解更简便．
10.答案：𝐵
解析：解：∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸，
𝐴𝐵=𝐴𝐷
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶中{∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶，
𝐴𝐶=𝐴𝐶∴△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐶=𝐶𝐷；
𝐴𝐵=𝐴𝐷
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐷𝐸中{∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸，
𝐴𝐸=𝐴𝐸∴△𝐷𝐴𝐸≌△𝐵𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐸=𝐸𝐷；
𝐵𝐶=𝐷𝐶
在△𝐵𝐸𝐶和△𝐷𝐸𝐶中{𝐸𝐶=𝐸𝐶，
𝐸𝐵=𝐸𝐷∴△𝐵𝐸𝐶≌△𝐷𝐸𝐶(𝑆𝑆𝑆)， 故选：𝐵．
根据𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐷，且𝐴𝐸、𝐴𝐶为公共边，易证得△𝐷𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐶，△𝐷𝐴𝐸≌△𝐵𝐴𝐸；由以上全等易证得△𝐷𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐸(𝑆𝑆𝑆)，即可得全等三角形的对数．
本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．判定两个三角形全等的一般方法有：𝑆𝑆𝑆、𝑆𝐴𝑆、𝐴𝑆𝐴、𝐴𝐴𝑆、𝐻𝐿．
11.答案：𝐴
解析：解析：判定两三角形全等，就必须有边的参与，因此𝐴选项是错误的． 𝐵选项，运用的是全等三角形判定定理中的𝐴𝐴𝑆或𝐴𝑆𝐴，因此结论正确； 𝐶选项，运用的是全等三角形判定定理中的𝑆𝐴𝑆，因此结论正确； 𝐷选项，运用的是全等三角形判定定理中的𝑆𝑆𝑆，因此结论正确；故选A．
12.答案：𝐷
解析：
本题主要考查的是全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质.过点𝐴作𝐴𝑃⊥𝐵𝐷交𝐵𝐷于点𝑃，根据△𝐷𝐴𝐺≌△𝐵𝐴𝐸得出𝐷𝐺=𝐵𝐸，根据∠𝑃𝐷𝐴=45°，∠𝐴𝑃𝐷=90°，求出𝐴𝑃、𝐷𝑃，利用勾股定理求出𝑃𝐺，再根据𝐷𝐺=𝐷𝑃+𝑃𝐺求出𝐷𝐺，最后根据𝐷𝐺=𝐵𝐸即可得出答案． 解：如图，过点𝐴作𝐴𝑃⊥𝐵𝐷交𝐵𝐷于点𝑃，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷和四边形𝐴𝐸𝐹𝐺为正方形， ∴∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐺𝐴𝐸=90°，
∴∠𝐷𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐺+∠𝐺𝐴𝐸， ∴∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐸， ∴在△𝐷𝐴𝐺和△𝐵𝐴𝐸中，
𝐴𝐷=𝐴𝐵
∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐸, 𝐴𝐸=𝐴𝐺
{
∴△𝐷𝐴𝐺≌△𝐵𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐷𝐺=𝐵𝐸，
∵∠𝑃𝐷𝐴=45°，∠𝐴𝑃𝐷=90°，𝐴𝐷=2， ∴𝐴𝑃=𝐷𝑃=√2，
∵𝐴𝐺=2√2，
∴𝑃𝐺=√𝐴𝐺2−𝑃𝐴2=√6， ∴𝐷𝐺=𝐷𝑃+𝑃𝐺=√2+√6， ∵𝐷𝐺=𝐵𝐸， ∴𝐵𝐸=√2+√6． 故选D．
13.答案：𝐷
解析：解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，𝐴𝐵=3， ∴𝐴𝐵=𝐶𝐷=3，∠𝐵𝐶𝐷=90°， ∵𝐵𝐶=4，
∴𝐵𝐷=√𝐵𝐶2+𝐶𝐷2=5， ∵𝐶𝐸⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=90°𝐴， ∵∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐷𝐵𝐶， ∴△𝐵𝐶𝐸∽△𝐵𝐷𝐶， ∴
𝐵𝐸𝐵𝐶
=
，即4=5， 𝐵𝐷
165
𝐵𝐶𝐵𝐸4
∴𝐵𝐸=
，
故选：𝐷．
由矩形的性质得出𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐷=90°，由勾股定理求得𝐵𝐷，再证明△𝐵𝐶𝐸∽△𝐵𝐷𝐶，由比例线段求得𝐵𝐸．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明三角形相似．
14.答案：𝐴
解析：解：连接𝐷𝐸， ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，点𝐸是𝐴𝐵的中点， ∴𝐴𝐵=2𝐷𝐸，
∵𝐷𝐹⊥𝐶𝐸，点𝐹是线段𝐶𝐸的中点， ∴𝐷𝐸=𝐷𝐶， ∴𝐴𝐵=2𝐶𝐷，
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐷2=𝐴𝐵2−𝐵𝐷2， 在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐷2=𝐴𝐶2−𝐷𝐶2，
∴𝐴𝐵2−𝐵𝐷2=𝐴𝐶2−𝐷𝐶2，即(2𝐶𝐷)2−(13−𝐶𝐷)2=(√61)2−𝐷𝐶2， 解得，𝐶𝐷=5， ∴𝐴𝐵=2𝐶𝐷=10， 故选：𝐴．
连接𝐷𝐸，根据直角三角形的性质得到𝐴𝐵=2𝐷𝐸，根据线段垂直平分线的性质得到𝐷𝐸=𝐷𝐶，得到𝐴𝐵=2𝐶𝐷，根据勾股定理列式计算得到得到答案．
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是𝑎，𝑏，斜边长为𝑐，那么𝑎2+𝑏2=𝑐2．
15.答案：𝐴
解析：解：设五天后每天生产𝑥万支疫苗，则前五天每天生产2𝑥万支疫苗， 依题意得：即
320−10𝑥
2𝑥
320−5×2𝑥
2𝑥320−10𝑥
𝑥
=
320−5×2𝑥
𝑥
−3，
=−3．
故选：𝐴．
设五天后每天生产𝑥万支疫苗，则前五天每天生产2𝑥万支疫苗，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划延期3天完成任务，即可得出关于𝑥的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
16.答案：−3
解析：解：∵(−3)3=−27， ∴实数−27的立方根是−3． 故答案为：−3．
由立方根的定义和乘方的关系容易得出结果．
本题考查了立方根的定义、乘方的意义；熟练掌握立方根的定义是解决问题的关键．
17.答案：√3−√2
解析：解：原式=
√2×√3−√2×√2 √2=√3−√2． 故答案为√3−√2．
利用二次根式的乘法法则把√6变形为√2×√3，2变形为√2×√2，然后用约分即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18.答案：4
解析：解：原式=5−1 =4． 故答案为：4．
直接利用平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.答案：3或−3
解析：解：把𝑥=3代入得：9−𝑎2+𝑎−3， ∵此时分式无意义， ∴9−𝑎2=0或𝑎−3=0， 解得：𝑎=3或−3， 故答案为：3或−3．
把𝑥=3代入分式，根据分式无意义得出关于𝑎的方程，求出即可．
本题考查了分式的加减和分式无意义的条件，能得出关于𝑎的方程是解此题的关键．
4
3
20.答案：𝑥=−1
解析：解：方程的两边同乘(𝑥−1)，得 𝑥2+1=2， 𝑥2=1，
解得𝑥1=1，𝑥2=−1．
检验：把𝑥1=1代入𝑥−1=0，是增根舍去； 把𝑥2=−1代入𝑥−1=−2≠0． 故原方程的根为：𝑥=−1． 故答案为：𝑥=−1．
观察可得最简公分母是(𝑥−1)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 此题主要考查了解分式方程，注意：
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． (2)解分式方程一定注意要验根．
21.答案：132
解析：解：∵𝐴、𝐵的坐标分别为(2,0)、(12,0)，𝐴𝐶=𝐵𝐶=13， ∴𝐶(7,12)，
当𝐶移动到𝐶′(−4,12)时，点𝐶′在𝑦=−𝑥+8上， ∴𝐴𝐶扫过的图形为平行四边形， ∴𝑆=12×11=132； 故答案为132；
𝐴𝐶扫过的图形为平行四边形，平移前𝐶(7,12)，平移后𝐶′(−4,12)即可求解；
本题考查一次函数的图象及性质，直线的运动轨迹；能够准确判断𝐴𝐶的运动轨迹和点𝐶平移前后的坐标是解题的关键．
22.答案：4
解析：试题分析：先利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得𝐴𝐷=2𝐴𝐵=4，再判断出△𝐴𝐶𝐷是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出𝐶𝐷=𝐴𝐷=4． ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐵=30°， ∴𝐴𝐷=2𝐴𝐵=4． ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐶=45°， ∴△𝐴𝐶𝐷是等腰直角三角形， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=4． 故答案为：4．
1
1
23.答案：120
解析：
本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．.连接𝑂𝐴，𝑂𝐵，根据已知条件得到∠𝐴𝑂𝐵=120°，根据等腰三角形的性质得到∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐵𝐴=30°，根据全等三角形的性质得到∠𝐷𝑂𝐴=∠𝐵𝑂𝐸，于是得到结论． 解：连接𝑂𝐴，𝑂𝐵，
∵△𝐴𝐵𝐶是⊙𝑂的内接正三角形， ∴∠𝐴𝑂𝐵=120°， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，
∴∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐵𝐴=30°， ∵∠𝐶𝐴𝐵=60°， ∴∠𝑂𝐴𝐷=30°， ∴∠𝑂𝐴𝐷=∠𝑂𝐵𝐸， ∵𝐴𝐷=𝐵𝐸，
∴△𝑂𝐴𝐷≌△𝑂𝐵𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐷𝑂𝐴=∠𝐵𝑂𝐸，
∴∠𝐷𝑂𝐸=∠𝐷𝑂𝐴+∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝐸+∠𝐵𝑂𝐸=120°， 故答案为：120．
24.答案：50°
解析：解：∵𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐵=70°， ∴∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐵=70°，
∴∠𝐶=180°−∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐵=40°， ∵𝐸𝐹是𝐴𝐶边的垂直平分线， ∴𝐶𝐹=𝐴𝐹，𝐸𝐹⊥𝐴𝐶， ∴∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐶=40°， ∴∠𝐴𝐹𝐸=90°−40°=50°， 故答案为：50°．
根据等腰三角形的性质得到∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐵=70°，根据三角形的内角和得到∠𝐶=180°−∠𝐶𝐴𝐵−∠𝐵=40°，根据线段垂直平分线的性质得到𝐶𝐹=𝐴𝐹，𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，于是得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
25.答案：11+6√2
解析：解：∵4<5<9， ∴2<√5<3， ∴𝑎=2，𝑏=3，
∴(𝑏+√2)𝑎=(3+√2)2=9+6√2+2=11+6√2． 故答案为：11+6√2．
由于4<5<9，那么2<√5<3，从而易求𝑎=2，𝑏=3，进而可求(𝑏+√2)𝑎． 本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
26.答案：180
解析：解：由题意得：∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐷=90°，
∵∠𝐴𝑂𝐷+∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐵𝑂𝐶+∠𝐷𝑂𝐶+∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐶+∠𝐵𝑂𝐷=180°， 故答案为：180．
由题意得出∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐷=90°，可得∠𝐴𝑂𝐷+∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐴𝑂𝐶+∠𝐵𝑂𝐷=180°． 本题考查了等腰直角三角形的性质；弄清各个角之间的关系是解题的关键．
27.答案：解：①去分母得：3−𝑥+1=𝑥−4，
解得：𝑥=4，
经检验𝑥=4是增根，分式方程无解； ②去分母得：3+𝑥2+3𝑥=𝑥2−9， 解得：𝑥=−4，
经检验𝑥=−4是分式方程的解．
解析：两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到𝑥的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
√228.答案：解：(1)原式=1−2+2+2×−1 √42
=
=−
114
1
−2+√2+√2−1 4+2√2；
2𝑥−1
𝑥2
(𝑥−1)2𝑥−1
(2)原式=2÷[𝑥−1−𝑥−2𝑥+1
]
=
2𝑥−12𝑥−1
÷
𝑥2−2𝑥+1𝑥−12𝑥−1𝑥−1=× (𝑥−1)22𝑥−1=𝑥−1，
当𝑥=√2+1时，原式=
1√2+1−11
=
1√2=
√2
． 2
解析：(1)根据有理数的乘方法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则计算即可；
(2)根据分式的混合运算法则把原式化简，根据二次根式的分母有理化法则计算，得到答案． 本题考查的是实数的运算、分式的化简求值，掌握实数的混合运算法则、分式的混合运算法则是解题的关键．
29.答案：解：(1)如图，△𝐴1𝐵1𝐶1，即为所求作．𝐶1(−2,1)．
(2)如图，△𝐴2𝐵2𝐶2，即为所求作．𝐶2(−4,2)．
解析：(1)分别作出𝐴，𝐵，𝐶的对应点𝐴1，𝐵1，𝐶1即可． (2)分别作出𝐴，𝐵，𝐶的对应点𝐴2，𝐵2，𝐶2即可．
本题考查作图−位似变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
30.答案：(1)证明：连接𝐷𝐹，如图所示：
∵𝐴𝐶⊥𝐶𝐵，𝐸𝐷⊥𝐴𝐶，𝐸𝐹⊥𝐶𝐵， ∴𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐸𝐹//𝐶𝐷，
∴∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐶𝐹𝐷，∠𝐸𝐹𝐷=∠𝐶𝐷𝐹， ∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐶𝐹𝐷
在△𝐸𝐹𝐷和△𝐶𝐷𝐹中，{𝐷𝐹=𝐹𝐷，
∠𝐸𝐹𝐷=∠𝐶𝐷𝐹∴△𝐸𝐹𝐷≌△𝐶𝐷𝐹(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐷𝐸=𝐶𝐹，𝐸𝐹=𝐶𝐷，
∴路线𝐴−𝐷−𝐶−𝐹−𝐵与𝐴−𝐷−𝐸−𝐹−𝐵的路程相等； (2)解：①由(1)得：𝐷𝐸=𝐶𝐹，𝐸𝐹=𝐶𝐷，
∵𝐸𝐹=6千米，𝐹𝐵=5.8千米，𝐴𝐷=𝐷𝐸=24千米， ∴𝐴𝐷+𝐷𝐶+𝐶𝐹+𝐹𝐵=24+6+24+5.8=59.8(千米)， ∴路线𝐴−𝐷−𝐶−𝐹−𝐵的路程是59.8千米， ∵10+(59.8−3)×1.2=78.16，
∴正常情况下，小王到达𝐵地后共需要支付78.16元车费； ②由题意得：60+3𝑎+2𝑎+解得：𝑎=28， ∴2𝑎=56，3𝑎=84，
∴在路线𝐷−𝐸上，出租车车速变为84千米每小时； 在路线𝐸−𝐹上，出租车车速变为56千米每小时； 在路线𝐹−𝐵上，出租车车速变为28千米每小时； ∵28<30，56>30，84>30， ∴只有在路线𝐹−𝐵上才有堵车费， ∵
5.828
24
24
6
5.8𝑎
=1，
×60≈12.4(分钟)，
∴78.16+13×1.5=97.66(元)， ∴小王共需要支付97.66元车费．
解析：(1)连接𝐷𝐹，证明△𝐸𝐹𝐷≌△𝐶𝐷𝐹(𝐴𝑆𝐴)，得出𝐷𝐸=𝐶𝐹，𝐸𝐹=𝐶𝐷，即可得出答案； (2)①由(1)得𝐷𝐸=𝐶𝐹，𝐸𝐹=𝐶𝐷，求出𝐴𝐷+𝐷𝐶+𝐶𝐹+𝐹𝐵=24+6+24+5.8=59.8(千米)，得出路线𝐴−𝐷−𝐶−𝐹−𝐵的路程是59.8千米，进而得出答案； ②由题意得60+3𝑎+2𝑎+
24
24
6
5.8𝑎
=1，解得𝑎=28，得出2𝑎=56，3𝑎=84，因此在路线𝐷−𝐸上，出
租车车速变为84千米每小时；在路线𝐸−𝐹上，出租车车速变为56千米每小时；在路线𝐹−𝐵上，出租车车速变为28千米每小时；得出只有在路线𝐹−𝐵上才有堵车费，由28×60≈12.4(分钟)，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、分式方程的应用等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5.8
31.答案：解：(1)△𝐴𝐵𝐸或△𝐵𝐶𝐸是等腰三角形；
理由如下：
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形
∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶
又∵∠𝐵𝐴𝐶=60° ∴△𝐴𝐵𝐷是等边三角形 ∴𝐴𝐵=𝐵𝐷，且𝐵𝐷=𝐵𝐸
∴𝐴𝐵=𝐵𝐸=𝐵𝐶
∴△𝐴𝐵𝐸或△𝐵𝐶𝐸是等腰三角形； (2)∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=60°
∴∠𝐴𝐷𝐶=120°=∠𝐴𝐵𝐶
由(1)可知：𝐴𝐵=𝐵𝐸=𝐵𝐶 ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐵=
180°−∠𝐴𝐵𝐸
2
，∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵𝐶𝐸=
180°−∠𝐸𝐵𝐶
2
∴∠𝐵𝐸𝐴+∠𝐵𝐸𝐶=
180°−∠𝐴𝐵𝐸180°−∠𝐸𝐵𝐶360°−(∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐸𝐵𝐶)360°−∠𝐴𝐵𝐶
+==
2222
=120°
∴∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐷𝐶
(3)成立，理由如下 如图，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形
∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶
又∵∠𝐵𝐴𝐶=60° ∴△𝐴𝐵𝐷是等边三角形
∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐵𝐶
∴点𝐴，点𝐷，点𝐶在以点𝐵为圆心，𝐴𝐵为半径的圆上，
∵∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐸𝐶
∴点𝐴，点𝐷，点𝐶，点𝐸四点共圆，
∵不共线的三点(点𝐴，点𝐷，点𝐶)确定一个圆 ∴点𝐸在以点𝐵为圆心，𝐴𝐵为半径的圆上，
∴𝐵𝐸=𝐵𝐷
(1)由菱形的性质可得𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶，解析：可证△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，可得𝐴𝐵=𝐵𝐸=𝐵𝐶，即可求解；
(2)由平行线的性质可得∠𝐴𝐷𝐶=120°=∠𝐴𝐵𝐶，由等腰三角形的性质可求∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=120°； (3)由𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐵𝐶，𝐴𝐵为半径的圆上，可得点𝐴，点𝐷，点𝐶在以点𝐵为圆心，由∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐸𝐶，可得点𝐴，点𝐷，点𝐶，点𝐸四点共圆，由不共线的三点确定一个圆，可得𝐵𝐷=𝐵𝐸．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆的有关性质，利用四点共圆解决问题是本题的关键．
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