基于DEA方法的投资组合模型及绩效评价研究

文章编号：1007-9831（2019）07-0011-05

基于DEA方法的投资组合模型及绩效评价研究

方雯，邓雪

（华南理工大学 数学学院，广东 广州 5100）

摘要：前沿面法是研究投资组合效率重要的手段．然而，由于实际金融市场复杂的交易环境，真实投资组合的有效前沿面的解析式往往很难求解．为了解决这个难题，研究了基于DEA方法的投资组合的绩效评价问题以及模型的构建．针对投资组合的绩效问题，构建了3种不同导向的BCC-DEA模型估计投资组合的效率．将DEA交叉效率方法应用到投资组合领域，构建了DEA M-V交叉效率投资组合模型以及Markowitz-DEA M-V交叉效率投资组合模型．这些模型可以为投资者提供更为科学的投资方案和参考依据．

关键词：DEA；投资组合；绩效评价；有效前沿；交叉效率

中图分类号：O29∶F224 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.07.004

A review of portfolio models and performance evaluation based on DEA methodology

FANG Wen，DENG Xue

（School of Mathematics，South China University of Technology，Guangzhou 5100，China）

Abstract：The frontier method is an important tool to evaluate portfolio efficiency．However，due to the complex trading environment of the real financial market，it is often difficult to find analytic formula of the efficient frontier．In order to solve this problem，the portfolio evaluation and the model construction based on DEA methods are studied． Three different oriented BCC-DEA models are constructed to estimate the efficiency of portfolio．The DEA cross- efficiency method is applied to portfolio selection，DEA M-V cross-efficiency portfolio model and Markowitz-DEA M-V cross-efficiency portfolio model are constructed．The above results will provide investors with a more scientific investment suggestions and references．

Key words：DEA；portfolio selection；performance evaluation；efficient portfolio frontier；cross-efficiency method 1952年，Markowitz提出了著名的均值-方差模型，开启了金融投资定量化研究的先河．在金融市场中，投资组合的绩效评价问题是国内外学者的研究热点之一．目前，较为常用的投资组合效率评价方法是基于Shape指数、Treynor指数和Jensen 指数3种经典的评价指数．然而，这３种指数以资产定价模型（CAPM）为基础且需要满足诸多特定的假设，因此在实际应用中具有一定的局限性．另一种重要的评价投资组合效

[2]

率方法是前沿面法，该方法是根据待评价的投资组合与有效前沿面的距离来测算其效率．Morey等提出了

[3]

基于均值-方差框架下的非线性DEA模型评估投资组合的绩效；Jorn等提出了基于均值-方差-偏度的非线性的DEA模型评价投资组合的效率，其中投资组合的方差作为输入指标，均值和峰度作为输出指标．然而，

收稿日期：2019-04-01

基金项目：2016年广东省自然科学基金项目（2016A0303135）；2018年高校基本科研业务费项目（x2lxC2180170）；2018年教育部人 文社科规划基金项目（x2lxY9180090）；2018年广东省软科学研究项目（2018A070712002）

作者简介：方雯（1995-），女，江西赣州人，在读硕士研究生，从事投资组合与风险分析研究．E-mail：1743723218@qq.com 通信作者：邓雪（1974-），女，辽宁沈阳人，教授，博士，从事投资组合与风险分析研究．E-mail：dxue@scut.edu.cn

[1]

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非线性DEA模型存在的缺陷之一是计算复杂性，特别是考虑到金融市场复杂的现实交易环境．因此，诸多学者不断地扩展原有的投资组合绩效评价方法．

[4]

数据包络分析（DEA）作为一种处理多输入多输出问题的非参数线性评价方法，在投资组合领域受到

[5]

了越来越多学者的关注，成为研究现代投资组合理论极具前景的工具．Murthi等提出了效率指数DEPI，

[6]

并应用DEA模型评价带有多种交易费用的投资组合绩效；Branda基于传统的DEA模型提出了效率测试，将投资组合问题当成一种特殊的金融生产过程，旨在以最小的投入获得尽可能大的产出．因此，通常将投资组合的风险偏差测度作为DEA模型的输入指标，收益测度为收益指标来评估投资组合的绩效．在此基础上，文献[7]研究了考虑交易成本的投资组合效率评价问题，并用实例证明了基于大量数据样本的DEA模型构造的前沿面逼近真实投资组合的前沿面．少数学者研究了不确定环境下的模糊投资组合绩效评价模

[8][9]

型．Chen等分别采用3种不同的风险测度研究了基于DEA方法的模糊投资组合绩效评价问题；张鹏等研究了基于可信性理论的均值-半方差模糊投资组合绩效评价问题．

由于DEA技术优良的特性，其理论和应用领域不断地拓展，其中DEA交叉效率方法是重要的分支之一．不少学者将DEA交叉效率方法应用到投资组合领域，成为了现代投资组合理论的重要研究手段和分析

[10][11]

工具．Lim等提出了新的DEA M-V 交叉效率投资组合模型；Mashayekhi等将DEA交叉效率方法纳入到

[12]

原有的Markowitz M-V模型，提出了同时考虑收益、风险和效率的模糊多目标投资组合模型；Essida等提出了基于DEA博弈交叉效率方法的均值-奇异指数投资组合模型；文献[13]研究了基于夏普指数-DEA交叉效率方法的综合模糊投资组合决策模型．

本文对于随机或者模糊环境投资组合模型的绩效评价问题，构建基于DEA方法的３种不同导向的绩效评价模型．将DEA交叉效率方法纳入投资组合优化决策模型，拓展丰富投资组合的理论，同时为决策者提供有效的投资方案．

1 基于DEA方法的投资组合绩效评价模型

1.1 投资组合效率定义

考虑有n种风险资产，ri为第i种风险资产的期望收益率；si2为第i种风险资产的收益率的方差；S=

(s)ijn´n

为协方差矩阵；x=(x1, x2, L, xn)为投资比例向量．

n

ì

ïmax r(x)=årixi

i=1ï

nnï22

ïs.t s(x)=ååxisijxj£s0

（1） i=1j=1í

ïn

ï åxi=1ïi=1ï

î xi³0, i=1, 2, L, n

T

考虑收益导向的均值-方差模型

2

其中：s0为给定的风险水平．

均值-方差框架下真实有效前沿面的解析式定义为 nnæö

r=h(s)=maxçr(x)ååxisijxj=s÷ （2）

xÎWç÷i=1j=1èø

函数（2）对应的曲线见图1，其中：曲线B1CB2为真实的有

效前沿面；B1(r1, s1)，B2(r2, s2)和C(r3, s3)为有效前沿面上的最优投资组合；A(r, s)表示任一投资组合，其效率可以定义为它与有效前沿的相对距离．

根据3种不同的投影方式，得到不同的相对距离，从而有3种不同导向的投资组合效率定义，即

图1 投资组合效率定义

第7期 方雯，等：基于DEA方法的投资组合模型及绩效评价研究 13

PEr=

1-(s-s3)srs，PEs=1，PErs= （3）

1+(r3-r)rr2s其中：PEr为收益导向的效率（相同的风险水平，追求收益的最大化）；PEs为风险导向的效率（相同的收益水平，追求风险的最小化）；PErs为无导向的效率（同时考虑了风险和收益）．

投资组合效率（3）是基于随机环境的均值方差框架下定义的投资组合效率，实际上，不少学者将其拓展到一般的收益-风险投资组合．一般地，风险测度还可以用半方差、下半方差、绝对偏差和风险价值等表征．此外，类似地可拓展到模糊投资组合的绩效评价问题．

1.2 基于DEA方法的投资组合绩效评价模型

在实际的金融市场中，由于复杂的交易环境等因素，真实投资组合的有效前沿面的解析式往往很难求解．文献[7]从理论和实例2个方面证明了结论：在一定条件下，基于DEA方法的前沿面能有效地逼近真实前沿．

假设有N个待评估的投资组合，第j个投资组合的投资比例向量为xj=x1j, x2j, L, xnj

为r=årixi，标准差为s=

j

j

n

()T

，期望收益

j

i=1

ååxijsilxlj．其中，期望收益作为决策单元（待评估的投资组合）的输出，

i=1l=1nn标准差为输入．

基于收益导向测度PEr的BCC-DEA模型为

ìPEr=maxjïN

ïs.t lsj£s0

åjïj=1

ïïN （4） íj0 lr³jråjï

j=1

ï

Nï

ï ålj=1, lj³0, j=1, 2, L, Nïj=1î

基于风险导向测度PEs的BCC-DEA模型为

ìPEs=minqïN

ïs.t lsj£qs0

åjïj=1

ïïN （5） íj0 lr³råjï

j=1

ï

Nï

ï ålj=1, lj³0, j=1, 2, L, Nïj=1î

基于无导向测度PErs的BCC-DEA模型为

ìæs+öæs-öïPErs=min ç1-0÷ç1+0÷

èsøèrøï

ïN

ïs.t åljsj+s+=s0ïj=1

（6） íN

ï lrj-s-=r0

åjïj=1

ï

N

ï+-ï ålj=1, s,s³0, lj³0, j=1, 2, L, N

j=1î

其中：r0，s0分别为待评价投资组合的期望收益和标准差．

模型（4）~（6）是基于均值-方差框架下的BCC-DEA 模型估计投资组合的效率．在此基础上，文献

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[8-9]将其拓展到一般的收益-风险框架下评估模糊投资组合的效率．

2 基于DEA交叉效率的投资组合模型

2.1 DEA M-V交叉效率投资组合模型

文献[10]首次将DEA交叉效率方法应用到投资组合领域，构建了DEA M-V交叉效率投资组合模型．其基本思想为：将每一种待选的股票作为决策单元，选定某些财务报表数据作为DEA交叉效率模型的原始输入输出数据，将测算出的交叉效率得分作为收益测度，交叉效率的协方差矩阵作为模型的风险测度，对股票的表现进行综合评估，进而为投资者的资本分配提供新的依据．具体模型为

nn

ì

ïmin VW=ååwiwjcovei, ej

i=1j=1ï

nïïb

（7） ís.t EW=åwiei³(1-g)EWi=1ï

nï

ï åwi=1, wi³0, i=1, 2, L, nïi=1î

()其中：ei为第i个决策单元的平均交叉效率；covei, ej为第i个决策单元ei和第j个决策单元ej的交叉效

b

率的协方差；g为收益-风险折衷参数；W为投资组合；EW为模型可能达到的最大的收益测度．在求解模型（7）之前，首先应该求解出相应的交叉效率和协方差矩阵，具体细节见文献[10]．

()特别地，可将模型（7）的约束条件åwi=1, wi³0, i=1, 2, L, n替换成基数约束条件

i=1

n

åwi=S, wi={0, 1}

i=1

n

（8）

其中：S为给定的资产的规模种类．这将为投资者在金融市场种类繁多的资产选取方面提供新的思路． 2.2 Markowitz-DEA M-V交叉效率投资组合模型

在文献[10]提出的DEA M-V交叉效率模型的基础上，一些学者进行了拓展．文献[11]提出了一个集成的模糊多目标Markowitz-DEA M-V交叉效率模型，模型为

ìænöïmaxEçåRiwi÷

èi=1øï

ïænöïmins2çåRiwi÷ïèi=1øïn

ïmaxåweii

ïi=1ïnnï （9） íminååwiwjcovei, ej

i=1j=1ïïn

ïs.t åzi£h ïi=1

ï lz£w£uz, zÎ0, 1

{}iiiiiiï

nï

ï åwi=1, wi³0, i=1, 2, L, n

i=1ïïî

n

ænöö2æ模型（9）的前２个目标函数maxEçåRiwi÷，minsçåRiwi÷考虑了模糊投资组合的均值和方差，后２èi=1øèi=1ø

()个目标函数maxåwiei，ååwiwjcovei, ej考虑了交叉效率的均值和方差．它将Markowitz的M-V模型

i=1

nnn

i=1j=1

()和DEA M-V交叉效率投资组合模型进行集成，同时考虑了投资组合的收益、风险和效率，此外还考虑了

第7期 方雯，等：基于DEA方法的投资组合模型及绩效评价研究 15

基数约束和投资比例等约束条件，更加符合实际的投资行为．

3 结束语

本文主要研究了基于DEA方法的投资组合绩效问题和基于DEA交叉效率方法的投资模型构建．针对基于DEA方法的投资组合绩效问题，大部分文献仅考虑了基于BCC-DEA的单输入（单一风险测度）和单输出（单一收益测度）的情形，现实复杂的金融市场往往需要用多种收益风险测度来刻画，因此有必要研究多输入多输出的情形．已有的文献以考虑单期投资组合的绩效问题为主，较少探讨多期动态投资组合绩效问题．这些将是以后研究投资组合绩效评价的拓展方向．同时随着DEA理论的不断丰富和发展，将其与投资组合理论进行有效结合，为现代投资组合提供了重要的研究手段和思路． 参考文献：

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13]

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