三种原油加工成三种汽油的问题

三种原油加工成三种汽油的问题

题目：

炼油厂将A、B、C三种原料加工成甲乙丙三种汽油。一桶原油加工成汽油的费用为4元，每天至多能加工汽油14，000桶。原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含量，及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、硫含量由下表给出。问如何安排生产计划，在满足需求的条件下使利润最大？

一般来说，作广告可以增加销售，估计一天向一种汽油投入一元广告费，可以使这种汽油日销量增加10桶。问如何安排生产计划和广告计划使利润最大？ 原油类别 买入价（元/桶） 买入量（桶/辛烷值（％） 硫含量（％） 天） A B C 汽油类别 卖出价（元/需求量（桶/辛烷值（％） 硫含量（％） 桶） 甲 乙 丙 一．

70 60 50 天） 3000 2000 1000 ≥10 ≥8 ≥6 ≤1.0 ≤1 ≤1.0 45 35 25 ≤5000 ≤5000 ≤5000 12 6 8 0.5 2.0 3.0 问题重述

已知某炼油厂原材料和产品的价格，辛烷值，含量及数量的约束条件，要求在一定的加工费用下求出如何购进原材料，如何分配原材料才能使这个工厂的利润最大。

(1)由上表给出，如何安排生产计划，使利润最大？ (2)投入广告后，如何安排生产和广告计划使利润最大？

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二．符号说明

f(x)：未投入广告前的最大利润； F(x)：投入广告后的最大利润； M：卖出汽油获得的总收入； N：买入原油需要的总费用； P：原油加工成汽油的总费用； Q：投入的总的广告费；

A1、A2、A3：分别是由A类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的桶数； B1、B2、B3：分别是由B类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的桶数； C1、C2、C3：分别是由C类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的桶数； X1、X2、X3：分别是投入到甲、乙、丙三种汽油上的广告费用。

三． 建立模型及模型的求解

（1）未投入广告前

卖出汽油获得的总收入：M=70（A1+B1+C1）+60（A2+B2+C2）+50（A3+B3+C3）。

买入原油需要的总费用：N=45（A1+A2+A3）+35（B1+B2+B3）+25（C1+C2+C3）。

原油加工成汽油的总费用：P=4（A1+A2+A3+ B1+B2+B3+ C1+C2+C3）。

约束条件：

1. 由题知每天至多能加工汽油14，000桶，故： A1+A2+A3+B1+B2+B3+ C1+C2+C3<=14000。

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2. 规定每天每种原油最多买入5000桶，故： A1+A2+A3<=5000； B1+B2+B3<=5000； C1+C2+C3<=5000。

3. 关于需求量分为两种情况：(1)产量大于需求量；(2)产量等于需求量。 对于第一种情况，约束条件为： A1+B1+C1>3000； A2+B2+C2>2000； A3+B3+C3>1000。

对于第二种情况，约束条件为： A1+B1+C1=3000； A2+B2+C2=2000； A3+B3+C3=1000。

4. 生产出三种汽油对辛烷值有如下要求： 12A1+6B1+8C1>=10(A1+B1+C1)； 12A2+6B2+8C2>=8(A2+B2+C2)； 12A3+6B3+8C3>=10(A3+B3+C3)。

5. 生产出三种汽油对硫含量有如下要求： 0.5A1+2B1+3C1<=A1+B1+C1； 0.5A2+2B2+3C2<= A2+B2+C2；

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0.5A3+2B3+3C3<= A3+B3+C3。

目标函数：未投入广告前的最大利润=卖出汽油获得的总收入-买入原油需要的总费用-原油加工成汽油的总费用;

即f(x)=M-N-P=70（A1+B1+C1）+60（A2+B2+C2）+50（A3+B3+C3）-45（A1+A2+A3）+35（B1+B2+B3）+25（C1+C2+C3）-4（A1+A2+A3+ B1+B2+B3+ C1+C2+C3）= 21A1+11A2+A3+ 31B1+21B2+11B3+ 41C1+31C2+21C3

☉用lingo对模型求解,结果如下：

(1)投入广告前产量大于需求量时的最大利润为：142500。

此时每天的生产计划为：由A类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为3000、1333、666；由B类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为：1500、667、333；不由C类原油加工成甲、乙、丙三种汽油。

(2)投入广告前产量等于需求量时的最大利润为：110000。

此时每天的生产计划为：由A类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为2400、1600、800；不由B类原油加工成甲、乙、丙三种汽油；由C类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为600、400、200。

（2）投入广告后

投入的总的广告费：Q=X1+X2+X3。 此时约束条件3发生改变： 产量大于需求量时的约束条件为： A1+B1+C1>3000+10X1； A2+B2+C2>2000+10X2；

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A3+B3+C3>1000+10X3。

产量等于需求量时的约束条件为： A1+B1+C1=3000+10X1； A2+B2+C2=2000+10X2； A3+B3+C3=1000+10X3。

目标函数：投入广告后的最大利润=卖出汽油获得的总收入-买入原油需要的总费用-原油加工成汽油的总费用-投入的总的广告费;

即F(x)=M-N-P-Q=70（A1+B1+C1）+60（A2+B2+C2）+50（A3+B3+C3）-45（A1+A2+A3）+35（B1+B2+B3）+25（C1+C2+C3）-4（A1+A2+A3+ B1+B2+B3+ C1+C2+C3

）

-X1+X2+X3=

21A1+11A2+A3+31B1+21B2+11B3+

41C1+31C2+21C3 -X1+X2+X3

☉用lingo对模型求解，结果如下：

(1)投入广告后产量大于需求量时的最大利润为：142500。

此时每天的生产计划为：由A类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为3000、1333、667；由B类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为1500、667、333；不由C类原油加工成甲、乙、丙三种汽油。 不投入广告到甲、乙、丙三种汽油上。

(2)投入广告后产量等于需求量时的最大利润为：142350

此时每天的生产计划为：由A类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为3000、1333、667；由B类原油加工成甲、乙、丙三种汽油的量为1500、667、333；不由C类原油加工成甲、乙、丙三种汽油。

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分别投入到甲、乙、丙三种汽油上的广告费用为150、0、0。

四． 结果分析

由上可见，投入广告前最大利润为：110000。投入广告后最大利润为：142350。故投入广告后能为工厂增加更多利润。而且为了达到最大利润，投入广告前不由B类原油加工成甲、乙、丙三种汽油，不由C类原油加工成甲、乙、丙三种汽油，即可以不用某种原油。

刘春燕 何珊 张凡

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