例 1.1-1 试判断下列信号是否为周期信号。若是,确定其周期。 (1) f1(t)=sin 2t+cos 3t (2) f2(t)=cos 2t+sinπt
解 我们知道,如果两个周期信号x(t)和y(t)的周期具有公倍数,则它们的和信号 f(t)=x(t)+y(t)
仍然是一个周期信号, 其周期是x(t)和y(t)周期的最小公倍数。 (1) 因为sin 2t是一个周期信号,其角频率ω1和周期T1为
2rad/s,T211s
1
3rad/s,T22222s233(2) 同理,可先求得f2(t)中两个周期信号cos2t和sinπt的周期分别为
T1sT22s例 1.3-1 已知信号f(t)的波形如图1.3-6(a)所示,试画出f(1-2t)的波形。
f (t)f (t+1)
11
-2-1012t-101t
-1-1
(a)(b)
f (-t+1)f (1-2t) 111
12
-102t101t-1
2-1
(c)(d)例 1.4 –1 试化简下列各信号的表达式。
例 1.4 – 2 计算下列各式:
1
例1.5-8 某离散系统框图如图1.5 - 8所示。试写出描述该系统输入输出关系的差分方程。 b1 x(k-1)x(k-2)x (k)f (k)+DD+y(t)
-b0 -a1-a0
解 系统框图中有两个移位器,故系统是二阶系统。采用与连续系统中由框图列写微分方程相类似的方法,在左边移位器的输入端引入辅助函数x(k),则该移位器的输出为x(k-1),右边移位器的输出为x(k-2)。 写出左边加法器的输出 x(k)f(k)a1x(k1)a0x(k2)
x(k)a1x(k1)a0x(k2)f(k)y(k)b1x(k1)b0x(k2)
第二章
1.描述某线性非时变连续系统的微分方程为y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t),已知系统的初始条件是
2
y(0)=y′(0)=0,输入激励f(t)=e-tu(t),试求全响应y(t)。 解 在求得该方程的齐次解和特解,它们分别是 yh(t)=c1e-t+c2e-2t yp(t)=te-t 因此,完全解是
y(t)=c1e-t+c2e-2t+te-t 由初始条件y(0)=y′(0)=0,有 y(0)=c1+c2=0
y′(0)=-c1-2c2+1=0 解得c1=-1,c2=1,所以,全响应为 y(t)=(-e-t+e-2t+te-t)·u(t)
2.试用阶跃函数表示图所示的延时脉冲信号和方波信号。 w3(t) w2(t)w1(t)3
12 1 1 0t02t03t0tt012345t0t02t03t04t05t0-1
(a)(b)(c)
解 w1(t)=u(t-t0)-2u(t-2t0)+u(t-3t0)
w2(t)=u(t)-u(t-1)+u(t-2)-u(t-3)+u(t-4)-u(t-5)
w3(t)=u(t)+u(t-t0)+u(t-2t0)-u(t-3t0)-u(t-4t0)-u(t-5t0) 3.已知某线性非时变系统的动态方程式为 d2y(t)dy(t)32y(t)2f(t)3f(t)(t0)2 dtdt试求系统的冲激响应h(t)。 解 由原方程可得 d2y(t)dy(t)32y(t)2(t)3(t)(t0) dt2dt 考虑到该动态方程的特征方程为λ2+3λ+2=0,特征根λ1=-1,λ2=-2,因此设 h(t)Aetu(t)e2t(t)式中A、B为待定系数,将h(t)代入原方程式,解得A=1,B=1。因此,系统的冲激响应为
h(t)etu(t)e2t(t)
4.已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为
y″(t)+5y′(t)+4y(t)=2f′(t)+3f(t)t≥0 试求系统的冲激响应h(t)。
解 冲激响应h(t)满足动态方程式 h″(t)+5h′(t)+4h(t)=2δ′(t)+3δ(t)t≥0 由于动态方程式右边最高次为δ′(t),故方程左边的最高次h″(t)中必含有δ′(t),故设
h″(t)=Aδ′(t)+Bδ(t)+Cu(t) 因而有
h′(t)=Aδ(t)+Bu(t) h(t)=Au(t)
将h″(t),h′(t)与h(t)分别代入原动态方程式可解得 A=2,B=-7,C=27
3
12121 12cc312c22 231
g(t)(ete2t1)u(t) 226. 已知某线性非时变(LTI)系统数学模型为 d2dy(t)3y(t)2y(t)f(t) dt2dt 输入激励f(t)=e-t u(t),且已知h(0)=0,h′(0)=1。试用卷积积分法求系统的零状态响应yf(t)。
解 系统的特征方程为λ2+3λ+2,特征根为λ1=-1,λ2=-2。又因为n>m,因此,设
h(t)=(c1e-t+c2e-2t)u(t)
由h(0)=0,h′(0)=1,解得c1=1,c2=-1。因此,系统的冲激响应 h(t)=(e-t-e-2t)u(t)
由于激励f(t)=e-t u(t)和冲激响应h(t)均为因果函数,因此,在t>0时,有
t yf(t)f(t)h(t)e(e(t)e2(t)d0
ttt2t ededtete2t(et1)00
(tetete2t)u(t)
因此,零状态响应
yf(t)=(te-t-e-t+e-2t)u(t)
因此可得
h(0+)=A=2,h′(0+)=B=-7,h″(0+)=27 5.若描述系统的微分方程为
y″(t)+3y′(t)+2y(t)= 1/2 f′(t)+2f(t) 试求系统的阶跃响应。
解 系统的特征根为λ1=-1,λ2=-2,由式(2―49) 知,其阶跃响应
g(t)=(c1e-t+c2e-2t+1)u(t)
它的一阶,二阶导数(考虑到冲激函数的抽样性质)分别为 g′(t)=(c1+c2+1)δ(t)+(-c1e-t-2c2e-2t)u(t)
g″(t)=(c1+c2+1)δ′(t)+(-c1-2c2)δ(t)+(c1e-t+4c2e-2t)u(t)
将f(t)=u(t),y(t)=g(t),及其导数g′(t)和g″(t)代入系统的微分方程,稍加整理得 (c1+c2+1)δ′(t)+(2c1+c2+3)δ(t)+2u(t)= 1/2δ(t)+2u(t) 由系统对应相等有 3cc10c 4
7.
已知f1(t)=e-3t u(t),
f2(t)=e-5t u(t),试计算两信号的卷积f1(t)*f2(t)。 解 根据卷积积分的定义,可得
f1(t)f2(t)f1()f2(t)d
e3u()e5(t)u(t)d e3e5(t)d
1(e3te5t)
2 1(e3te5t)u(t
2)8.已知 10tT f(t)0t0,tT,h(t)t0tT0t0,tT 分别如图2.29(a),(b)所示。试用图解法求两信号的卷积y(t)=f(t)*h(t)。 f ()h()
11
0T2T3T0T2T3T
(a)(b) h(t-)h(t-)h(t-) (0<t<T)
1(t<0)11(T<t<2T) t-2Tt0T2T3Tt-2T0tT2T3Tt-2T0T2T3T(c)(d)t
(e)
h(t-)h(t-)y(t) (2T<t<3T)(t>3T) 32112t
0T2T3T0T2T3Tt0T2T3Ttt-2T2T ( f )t-2T(g)(h) 综合各段结果,有 0(t0)
1t2(0tT
y(t)f(t)h(t)2)Tt1t2(Tt2T)
2 1t2Tt3T3(2Tt3T 22)
0(t3T)
5
6
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