信号典型例题

例 1.1-1 试判断下列信号是否为周期信号。若是，确定其周期。 (1) f1(t)=sin 2t+cos 3t (2) f2(t)=cos 2t+sinπt

解 我们知道，如果两个周期信号x(t)和y(t)的周期具有公倍数，则它们的和信号 f(t)=x(t)+y(t)

仍然是一个周期信号， 其周期是x(t)和y(t)周期的最小公倍数。 (1) 因为sin 2t是一个周期信号，其角频率ω1和周期T1为

2rad/s,T211s

1

3rad/s,T22222s233(2) 同理，可先求得f2(t)中两个周期信号cos2t和sinπt的周期分别为

T1sT22s例 1.3-1 已知信号f(t)的波形如图1.3-6(a)所示，试画出f(1-2t)的波形。

f (t)f (t＋1)

11

－2－1012t－101t

－1－1

(a)(b)

f (－t＋1)f (1－2t) 111

12

－102t101t－1

2－1

(c)(d)例 1.4 –1 试化简下列各信号的表达式。

例 1.4 – 2 计算下列各式：

1

例1.5-8 某离散系统框图如图1.5 - 8所示。试写出描述该系统输入输出关系的差分方程。 b1 x(k－1)x(k－2)x (k)f (k)＋DD＋y(t)

－b0 －a1－a0

解 系统框图中有两个移位器，故系统是二阶系统。采用与连续系统中由框图列写微分方程相类似的方法，在左边移位器的输入端引入辅助函数x(k)，则该移位器的输出为x(k-1)，右边移位器的输出为x(k-2)。 写出左边加法器的输出 x(k)f(k)a1x(k1)a0x(k2)

x(k)a1x(k1)a0x(k2)f(k)y(k)b1x(k1)b0x(k2)

第二章

1.描述某线性非时变连续系统的微分方程为y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)，已知系统的初始条件是

2

y(0)=y′(0)=0，输入激励f(t)=e-tu(t)，试求全响应y(t)。 解 在求得该方程的齐次解和特解，它们分别是  yh(t)=c1e-t+c2e-2t yp(t)=te-t 因此，完全解是

 y(t)=c1e-t+c2e-2t+te-t 由初始条件y(0)=y′(0)=0，有  y(0)=c1+c2=0

y′(0)=-c1-2c2+1=0 解得c1=-1，c2=1，所以，全响应为  y(t)=(-e-t+e-2t+te-t)·u(t)

2.试用阶跃函数表示图所示的延时脉冲信号和方波信号。 w3(t) w2(t)w1(t)3

12 1 1 0t02t03t0tt012345t0t02t03t04t05t0－1

(a)(b)(c)

解 w1(t)=u(t-t0)-2u(t-2t0)+u(t-3t0)

w2(t)=u(t)-u(t-1)+u(t-2)-u(t-3)+u(t-4)-u(t-5)

w3(t)=u(t)+u(t-t0)+u(t-2t0)-u(t-3t0)-u(t-4t0)-u(t-5t0) 3.已知某线性非时变系统的动态方程式为 d2y(t)dy(t)32y(t)2f(t)3f(t)(t0)2 dtdt试求系统的冲激响应h(t)。 解 由原方程可得 d2y(t)dy(t)32y(t)2(t)3(t)(t0) dt2dt 考虑到该动态方程的特征方程为λ2+3λ+2=0，特征根λ1=-1，λ2=-2，因此设 h(t)Aetu(t)e2t(t)式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激响应为

h(t)etu(t)e2t(t)

4.已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为

y″(t)+5y′(t)+4y(t)=2f′(t)+3f(t)t≥0 试求系统的冲激响应h(t)。

解 冲激响应h(t)满足动态方程式 h″(t)+5h′(t)+4h(t)=2δ′(t)+3δ(t)t≥0 由于动态方程式右边最高次为δ′(t)，故方程左边的最高次h″(t)中必含有δ′(t)，故设

 h″(t)=Aδ′(t)+Bδ(t)+Cu(t) 因而有

 h′(t)=Aδ(t)+Bu(t) h(t)=Au(t)

将h″(t)，h′(t)与h(t)分别代入原动态方程式可解得 A=2，B=-7，C=27

3

 12121 12cc312c22 231

g(t)(ete2t1)u(t) 226. 已知某线性非时变(LTI)系统数学模型为 d2dy(t)3y(t)2y(t)f(t) dt2dt 输入激励f(t)=e-t u(t)，且已知h(0)=0，h′(0)=1。试用卷积积分法求系统的零状态响应yf(t)。

解 系统的特征方程为λ2+3λ+2，特征根为λ1=-1，λ2=-2。又因为n>m，因此，设

h(t)=(c1e-t+c2e-2t)u(t)

由h(0)=0，h′(0)=1，解得c1=1，c2=-1。因此，系统的冲激响应 h(t)=(e-t-e-2t)u(t)

由于激励f(t)=e-t u(t)和冲激响应h(t)均为因果函数，因此，在t>0时，有

t yf(t)f(t)h(t)e(e(t)e2(t)d0

ttt2t ededtete2t(et1)00

(tetete2t)u(t)

因此，零状态响应

 yf(t)=(te-t-e-t+e-2t)u(t)

因此可得

 h(0+)=A=2,h′(0+)=B=-7,h″(0+)=27 5.若描述系统的微分方程为

y″(t)+3y′(t)+2y(t)= 1/2 f′(t)+2f(t) 试求系统的阶跃响应。

解 系统的特征根为λ1=-1，λ2=-2，由式(2―49) 知，其阶跃响应

 g(t)=(c1e-t+c2e-2t+1)u(t)

它的一阶，二阶导数(考虑到冲激函数的抽样性质)分别为 g′(t)=(c1+c2+1)δ(t)+(-c1e-t-2c2e-2t)u(t)

g″(t)=(c1+c2+1)δ′(t)+(-c1-2c2)δ(t)+(c1e-t+4c2e-2t)u(t)

将f(t)=u(t)，y(t)=g(t)，及其导数g′(t)和g″(t)代入系统的微分方程，稍加整理得 (c1+c2+1)δ′(t)+(2c1+c2+3)δ(t)+2u(t)= 1/2δ(t)+2u(t) 由系统对应相等有 3cc10c 4

7.

已知f1(t)=e-3t u(t)，

f2(t)=e-5t u(t)，试计算两信号的卷积f1(t)*f2(t)。 解 根据卷积积分的定义，可得

f1(t)f2(t)f1()f2(t)d 

e3u()e5(t)u(t)d e3e5(t)d



1(e3te5t)

2 1(e3te5t)u(t

2)8.已知 10tT f(t)0t0,tT,h(t)t0tT0t0,tT 分别如图2.29(a)，(b)所示。试用图解法求两信号的卷积y(t)=f(t)*h(t)。 f ()h()

11

0T2T3T0T2T3T

(a)(b) h(t－)h(t－)h(t－) (0＜t＜T)

1(t＜0)11(T＜t＜2T) t－2Tt0T2T3Tt－2T0tT2T3Tt－2T0T2T3T(c)(d)t

(e)

h(t－)h(t－)y(t) (2T＜t＜3T)(t＞3T) 32112t

0T2T3T0T2T3Tt0T2T3Ttt－2T2T ( f )t－2T(g)(h) 综合各段结果，有 0(t0)



1t2(0tT 

y(t)f(t)h(t)2)Tt1t2(Tt2T)

2 1t2Tt3T3(2Tt3T 22)

0(t3T)

5

6