人教A版高中数学必修2作业-直线与平面垂直的判定

[基础巩固](25分钟，60分)

一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知直线l⊥α，α∥β，则( ) A．l∥β B．lβ

C．l⊥β D．以上均有可能

解析：由于α∥β，则平面β内存在两条相交直线m，n分别平行于平面α内两条相交直线a，b，又l⊥α，则l⊥a，l⊥b，所以l⊥m，l⊥n，所以l⊥β.

答案：C

2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直

解析：若l∥m，则l⊄α，∵m⊂α，∴l∥α，这与已知l⊥α矛盾，所以直线l与m不可能平行．

答案：A

3．已知直线a、b和平面α，下列推理中错误的是( )

a⊥αa∥b

⇒a⊥b B.⇒b⊥α A.

b⊂αa⊥αa⊥ba∥α

⇒a∥α或a⊂α D.⇒a∥b C.

b⊥αb∥α

解析：当a∥α，b∥α时，a与b可能平行，也可能相交或异面，即D推理错误．故选D.

答案：D

4．ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( ) A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1

解析：正方体中BD∥B1D1，可知选项A正确； 由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1；

从而BD⊥AC1，即选项B正确； 由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C， 因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确； 由于四边形ABC1D1不是菱形， 所以AC1⊥BD1不正确．选D. 答案：D 5．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( ) A．60° B．45° C．30° D．120° 解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角， 在Rt△AOB中，AB＝2BO， 1所以cos∠ABO＝2， 即∠ABO＝60°. 答案：A 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．在三棱锥P－ABC中，最多有________个直角三角形． 解析：不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个． 答案：4 7．有下列四种说法，正确的序号是________． ①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α. 解析：①正确；对于②，若直线n⊂α，也可满足m⊥n，m⊥α，此时n∥α不正确；对于③，只有a，b相交时，才成立，否则不成立；④显然错误，因为不平行时可以相交，而垂直只是相交的一种特殊情

况．故只有①正确． 答案：① 8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________． 解析：如图所示，连接B1D1，则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角． 在Rt△BD1B1中， BB113tan∠BD1B1＝BD＝＝3， 311则∠BD1B1＝30°. 答案：30° 三、解答题(每小题10分，共20分) 9．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB. 证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1， ∴底面ABCD为直角梯形， AD＝2－12＋22＝5. ∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2. 又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2， ∴SD⊥SA. 连接BD，则BD＝22＋12＝5，∴BD2＝SD2＋SB2， ∴SD⊥SB. 又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB. 10．如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段

1AB上一点，且AD＝3DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB. (1)求证：CD⊥平面PAB； (2)求直线PC与平面PAB所成的角． 解析：(1)证明：连接CO，由3AD＝DB知，点D为AO的中点． 又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB. 由3AC＝BC知， ∠CAB＝60°， 所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO. 因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC， 又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD， 由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB. (2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角， 又△AOC是边长为2的正三角形， 所以CD＝3 在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝3， CD3所以tan∠CPD＝PD＝3，∠CPD＝30°， 即直线PC与平面PAB所成的角为30°. [能力提升](20分钟，40分) 11．[2019·淮安一中月考]在四面体P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是( ) A．BC∥平面PDF B．BC⊥平面PAE

C．DF⊥平面PAE D．AE⊥平面APC 解析：因为D，F分别为AB，AC的中点， 所以DF∥BC，故BC∥平面PDF，故A项正确． 又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点， 所以AE⊥BC，PE⊥BC，所以BC⊥平面PAE， 又DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故B、C项正确． 由于AE与AP不垂直(否则，等腰三角形PAE将有两个直角)，故AE与平面APC不垂直．选D. 答案：D 12．已知点O为三棱锥P－ABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的________心． 解析：因为PA＝PB＝PC， 所以OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心； 若PA⊥BC，又PO⊥平面ABC， 所以BC⊥PO. 所以BC⊥平面PAO. 所以BC⊥AO. 同理AC⊥OB. 所以O是△ABC的垂心． 若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是△ABC的内心． 答案：外 垂 内 13. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥平面BEF.

证明：连接PE，EC. ∵PA⊥平面ABCD. ∴PA⊥AD，PA⊥AB. 在Rt△PAE，Rt△CDE中， PA＝AB＝CD，AE＝DE， ∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形． 又F是PC的中点，∴EF⊥PC. 又BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，F是PC的中点， ∴BF⊥PC. 又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF. 14．如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； (2)求证：PD⊥平面PBC； (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． 解析：(1)如图所示，由于AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角． 因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD. 在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5， AD5故cos∠DAP＝AP＝5. 5所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为5. (2)证明：因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD. 又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC.

(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角． 因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC内的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角． 由于AD∥BC，DF∥AB， 故四边形DABF为平行四边形，故BF＝AD＝1， 由已知，得CF＝BC－BF＝2. 又AD⊥DC，AD∥BC，故BC⊥DC. 在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝25，在Rt△DPF中，PD5可得sin∠DFP＝DF＝5. 5所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5.