§7.平面向量复习专题

§7.平面向量

1．向量有关概念：向量的概念，零向量，单位向量，相等向量，共线向量，相反向量.

例1：下列命题：（1）若若ABDC，

ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）

则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若ab,bc，则ac。（6）若a//b,b//c，

则a//c。其中正确的是______

2．向量的表示方法：几何表示法（AB），符号表示法（a），坐标表示法（a=（1，2））.

3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对

数1,2，使a=1e1＋2e2.

结论：若1e1＋2e2=3e1＋4e2 ，则1=3且2=4. 特别的，若1e1＋2e2=0，则1=2=0.

例2：（1）若a(1,1),b(1,1),c(1,2)，则c______

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 （ ）

13e1(2,3),e2(,)24

A. e1(0,0),e2(1,2) B. e1(1,2),e2(5,7) C. e1(3,5),e2(6,10) D.

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（3）已知ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，CDrABsAC，则rs的值是___

4．平面向量的数量积：

（1）．两个向量的夹角：0

（2）．平面向量的数量积：a•b＝

abcos.注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

例3：（1）△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________

的夹角为4，则k等于____

11a(1,),b(0,),cakb,dab22（2）已知，c与d（3）已知

a2,b5,ab3，则

ab等于____

（4）已知a,b是两个非零向量，且

abab，则a与ab的夹角为____

（3）．b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0。

例4：已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______

（4）．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：①aba•b0；

②当a，b同向时，a•b＝

ab，特别地，aa•aa,aa222ababab•；当与反向时，＝－；

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b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件； 当为锐角时，a•b＞0，且a、 b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件； 当为钝角时，a•b＜0，且a、cosa•bab③非零向量a，b夹角的计算公式：； ④|a•b||a||b|。

例5：（1）已知a(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______

13S2，则OF,FQ夹角的取值范围是_________ （2）已知OFQ的面积为S，且OFFQ1，若25．向量的运算：

（1）．几何运算：

①向量加法：“平行四边形法则”“三角形法则” ②向量的减法：“三角形法则”

例6：（1）化简：①ABBCCD___；②ABADDC____；③(ABCD)(ACBD)_____

（2）若O是ABC所在平面内一点，且满足

OBOCOBOC2OA，则ABC的形状为____

平面向量的数乘运算：

1aa,2实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：当>0时，a的方

向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，a0，注意：a≠0。

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（2）．坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则：

①向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2)。如

例7：（1）已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若APABAC(R)，则当＝__时，点P在一、三象限的角平分线上

1x,y(,)A(2,3),B(1,4),且AB(sinx,cosy)22，则xy 2（2）已知，

②向量的数乘运算：

ax1,y1x1,y1。

③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则

ABx2x1,y2y1，即向量的坐标等于向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

例

1ACAB38：设A(2,3),B(1,5)，且，AD3AB，则

C、D的坐标分别是__________

④平面向量数量积：a•bx1x2y1y2。如

例9：已知向量a=（sinx,cosx）, b=（sinx,sinx）, c＝（－1，0）。（1）若x＝3，求向量a、c的夹角；

（2）若x∈

[13,]84，函数f(x)ab的最大值为2，求的值

222|a|xy,a|a|xy⑤向量的模：。

222例10：已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|＝_____

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⑥两点间的距离：若Ax1,y1,Bx2,y2，则

|AB|x2x1y2y1。

222|a|a(bc)abaca(bc)(ab)c(ab)6．向量的运算律：例11：下列命题中：① ；② ；③

22aa2|a||b||b|2；abcb,aca0b0ab0a④ 若，则或；⑤若则；⑥；⑦

22abba2(ab)ab；⑧

22；

⑨(ab)2a22abb2。其中正确的是______

7．向量平行(共线)的充要条件：a//bab(ab)2(|a||b|)2x1y2y1x2＝0。如

例12：(1)若向量a(x,1),b(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同

（2）已知a(1,1),b(4,x)，ua2b，v2ab，且u//v，则x＝______ （3）设PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线

8．向量垂直的充要条件：abab0|ab||ab|x1x2y1y20.

例13：(1)已知OA(1,2),OB(3,m)，若OAOB，则m

（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B90，则点B的坐标是________

（3）已知n(a,b),向量nm，且

nm，则m的坐标是______

11、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

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b同向时|ab||a||b|,当a、 b反向时|ab||a||b|. （2）||a||b|||ab||a||b|，当a、x1x2y1y2,)Ax1,y1,Bx2,y22（3）中点坐标公式：若，则线段AB中点坐标为2.

(xxxyy2y3G123,1Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y333。 ABC（4）在中，若，则其重心的坐标为

例13：：若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为______.

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