1、集合的概念
集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。
对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。
整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。
确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。
不同的――集合元素的互异性。
2、有限集、无限集、空集的意义
有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。
我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。
几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。
3、集合的表示方法
（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：
①元素不太多的有限集，如{0，1，8}
②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，…，100}
③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，…，n，…}
●注意a与{a}的区别
●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。
（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}， {y|y＝x2}， {（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。
4、集合之间的关系
●注意区分“从属”关系与“包含”关系
“从属”关系是元素与集合之间的关系。
“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。
●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。
5、集合的运算
集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。
一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质：
还要尝试利用Venn图解决相关问题。
二、典型例题
例1. 已知集合，若，求a。
解：根据集合元素的确定性，得：
若a＋2＝1， 得:， 但此时，不符合集合元素的互异性。
若，得：。但时，，不符合集合元素的互异性。
若得：
，都不符合集合元素的互异性。
综上可得，a ＝ 0。
【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。
例2. 已知集合M＝中只含有一个元素，求a的值。
解：集合M中只含有一个元素，也就意味着方程只有一个解。
（1），只有一个解
（2）
.
综上所述，可知a的值为a＝0或a＝1
【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外多体会知识转化的方法。
例3. 已知集合且BA，求a的值。
解：由已知，得：A＝{－3，2}， 若BA，则B＝Φ，或{－3}，或{2}。
若B＝Φ，即方程ax＋1＝0无解，得a＝0。
若B＝{－3}， 即方程ax＋1＝0的解是x ＝ －3， 得a ＝ 。
若 B＝{2}， 即方程ax＋1＝0的解是x ＝ 2， 得a ＝ 。
综上所述，可知a的值为a＝0或a＝，或a ＝ 。
【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。
例4. 已知方程有两个不相等的实根x1， x2. 设C＝{x1， x2}， A＝{1，3，5，7，9}， B＝{1，4，7，10}，若，试求b， c的值。
解：由， 那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2个。
又因为，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是C＝{4，10}
因此，b＝－（x1＋x2 ）＝－14，c＝x1 x2 ＝40
【小结】对的含义的理解是本题的关键。
例5. 设集合，
（1）若， 求m的范围；
（2）若， 求m的范围。
解：（1）若，则B＝Φ，或m＋1>5，或2m－1<－2
当B＝Φ时，m＋1>2m－1，得：m<2
当m＋1>5时，m＋1≤2m－1，得：m>4
当2m－1<－2时，m＋1≤2m－1，得：m∈Φ
综上所述，可知m<2， 或m>4
（2）若， 则BA，
若B＝Φ，得m<2
若B ≠ Φ，则，得：
综上，得 m ≤ 3
【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。
例6. 已知A＝{0，1}， B＝{x|xA}，用列举法表示集合B，并指出集合A与B的关系。
解：因为xA，所以x ＝ Φ， 或x ＝ {0}， 或x ＝ {1}， 或x ＝ A，
于是集合B ＝ { Φ， {0}， {1}， A}， 从而 A∈B
三、练习题
1. 设集合M＝则（ ）
A. B. C. a ＝ M D. a > M
2. 有下列命题：①是空集 ② 若，则③ 集合有两个元素 ④ 集合为无限集，其中正确命题的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2 D. 3
3. 下列集合中，表示同一集合的是（ ）
A. M＝{（3，2）} ， N＝{（2，3）}
B. M＝{3，2} ， N＝{（2，3）}
C. M＝{（x，y）|x＋y＝1}， N＝{y|x＋y＝1}
D.M＝{1，2}， N＝{2，1}
4. 设集合，若， 则a的取值集合是（ ）
A. B. {－3}C. D. {－3，2}
5. 设集合A ＝ {x| 1 < x < 2}， B ＝ {x| x < a}， 且， 则实数a的范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}， B＝， 则集合A，B的关系是（ ）
A. ABB. BA C. A＝B D. AB
7. 已知M＝{x|y＝x2－1} ， N＝{y|y＝x2－1}， 那么M∩N＝（ ）
A. ΦB. M C. N D. R
8. 已知A ＝ {－2，－1，0，1}， B ＝ {x|x＝|y|，y∈A}， 则集合B＝_________________
9. 若，则a的值为_____
10. 若{1，2，3}A{1，2，3，4，5}， 则A＝____________
11. 已知M＝{2，a，b}， N＝{2a，2，b2}，且M＝N表示相同的集合，求a，b的值
12. 已知集合求实数p的范围。
13. 已知，且A，B满足下列三个条件：① ② ③ Φ，求实数a的值。
四、练习题答案
1. B2. A3. D4. C5. A6. B7. C
8. {0，1，2}
9. 2，或3
10. {1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5}
11. 解：依题意，得：或，解得：，或，或
结合集合元素的互异性，得或。
12. 解：B＝{x|x<－1， 或x>2}
① 若A ＝ Φ，即 ，满足AB，此时
② 若，要使AB，须使大根或小根（舍），解得：
所以
13. 解：由已知条件求得B＝{2，3}，由，知AB。
而由 ①知，所以AB。
又因为Φ，故A≠Φ，从而A＝{2}或{3}。
当A＝{2}时，将x＝2代入，得
经检验，当a＝ －3时，A＝{2， － 5}; 当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。
当A ＝ {3}时，将x＝3代入，得
经检验，当a＝ －2时，A＝{3， － 5}; 当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。
综上所述，不存在实数a使集合A， B满足已知条件。